2020年湖南省衡阳市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

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2020年湖南省衡阳市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M={x|≥1}，N={y|y=1﹣x2}，则M∩N=（ ）

A．（﹣∞，2] B．（0，1] C．（0，2] D．[0，1]

2．复数的虚部为（ ）

A．﹣l B．﹣i C．﹣ D．

3． =（ ）

A． B．﹣1 C． D．1

4．给出下列三个命题

（1）“若x2+2x﹣3≠0，则x≠1”为假命题；

（2）命题p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x0∈R，2x0≤0

（3）“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶数”的充要条件．

其中正确的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

5．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值为（ ）

A． B． C． D．

6．如图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（ ） 第2页（共24页）

A．q= B．q= C．q= D．q=

7．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道π=3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ）

A． B． C． D．

8．已知变量x，y满足，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

9．某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积之比为（ ）

A． B． C． D．

10．如图，已知双曲线上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该双曲线离心率e的取值范围为（ ）

A． B． C． D． 第3页（共24页）

11．如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列说法中，错误的是（ ）

A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上

B．异面直线A′E与BD不可能垂直

C．三棱锥A′﹣FED的体积有最大值

D．恒有平面A′GF⊥平面BCED

12．已知函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线方程l：y=g（x），若函数f（x）满足∀x∈l（其中I为函数f（x）的定义域），当x≠x0时，[f（x）﹣g（x）]（x﹣x0）＞0恒成立，则称x0为函数f（x）的“转折点”，若函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x在（0，e]上存在一个“转折点”，则a的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知幂函数y=f（x）图象过点（9，3），则f（x）dx等于_______．

14．二项式的展开式中，x4y4与x2y6项的系数之和是_______（用数字作答）．

15．如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵树为20棵的概率是_______．

16．在△ABC中， =2， =3，设P为△ABC内部及边界上任意一点，若=λ+μ，则λμ的最大值为_______．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=1﹣an（n∈N*）．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=，cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．

18．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）

几何题 代数题 总计

男同学 22 8 30 第4页（共24页）

女同学 8 12 20

总计 30 20 50

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．

（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．

附表及公式

P（k2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

K2=．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD=．

（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=t•MC，试确定t的值．

20．在直角坐标系xOy，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1，F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点D（4，0）的直线l与C1交于不同的两点A、B，且A在DB之间，试求△AOD与△BOD面积之比的取值范围．

21．已知函数f（x）=满足f（x）的图象与直线x+y﹣1=0相切于点（0，1）．

（1）求f（x）的解析式；

（2）对任意n∈N，定义f0（x）=x，fn+1（x）=f（f（xn）），Fn（x）=f0（x）+f1（x）+f2（x）+…+fn（x）．证明：对任意x＞y＞0，均有Fn（x）＞Fn（y）．

[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，AB是⊙O的一条弦，延长AB到点C，使得AB=BC，过点B作BD⊥AC且DB=AB，连接AD与⊙O交于点E，连接CE与⊙O交于点F．

（Ⅰ）求证：D，F，B，C四点共圆；

（Ⅱ）若AB=，DF=，求BE2． 第5页（共24页）

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲

23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣3|．

（Ⅰ）若不等式f（x﹣1）+f（x）＜a的解集为空集，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，判断与的大小，并说明理由．

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2020年湖南省衡阳市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M={x|≥1}，N={y|y=1﹣x2}，则M∩N=（ ）

A．（﹣∞，2] B．（0，1] C．（0，2] D．[0，1]

【考点】交集及其运算．

【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出M与N的交集即可．

【解答】解：由M中不等式≥1，解得：0＜x≤2，即M=（0，2]，

由N中y=1﹣x2≤1，得到N=（﹣∞，1]，

则M∩N=（0，1]，

故选：B．

2．复数的虚部为（ ）

A．﹣l B．﹣i C．﹣ D．

【考点】复数的基本概念．

【分析】把给出的复数采用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则虚部可求．

【解答】解：．

所以，复数的虚部为．

故选C．

3． =（ ）

A． B．﹣1 C． D．1

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子，求得结果．

【解答】解： ==2•

=2sin30°=1，

故选：D．

4．给出下列三个命题 第7页（共24页）

（1）“若x2+2x﹣3≠0，则x≠1”为假命题；

（2）命题p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x0∈R，2x0≤0

（3）“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶数”的充要条件．

其中正确的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】（1）根据逆否命题的等价性进行判断．

（2）根据含有量词的命题的否定进行判断．

（3）根据充分条件和必要条件的定义进行判断．

【解答】解：（1）若命题“若x=1，则x2+2x﹣3=0”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此（1）不正确；

（2）根据含量词的命题否定方式，可知命题（2）正确．

（3）当时，则函数）为偶函数；反之也成立．故“”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；综上可知：真命题的个数2．

故选：C

5．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值为（ ）

A． B． C． D．

【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．

【分析】由题意可得sin（+φ），把四个选择支的值代入此式，检验，可得结论．

【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π），它们的图象有一个横坐标为的交点，

可得 cos=sin（+φ）=，把四个选项中的值代入此式，

检验只有A中的数值适合，

故选：A．

6．如图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）