函数的单调性(2)

2.1定义判别法

使用函数单调性定义进行解题是一个重点，也是一个难点。关键在于对函数单调性定义的理解。掌握这一方法有利于形成解题思路。函数的单调性定义：

一般的，设函数)(xf的定义域为I：

1）、如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量21,xx，当21xx时都有)()(21xfxf.那么就说)(xf为D上的增函数；

2）、如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量21,xx，当21xx时都有)()(21xfxf，那么就说Dxf为)(上的减函数。

例1：已知、是方程)(01442Rkkxx的两个不等实根，函数12)(2xkxxf的定义域为，，判断函数)(xf在定义域内的单调性，并证明。

证：令144)(2kxxxg，则函数图象为开口向上的抛物线。

设21xx，则01440144222121kxxkxx，；

将上述两个式子相加得：

02)(4)(4212221xxkxx，

由均值不等式，可得 2221212xxxx；

021)(22121xxkxx，

则)1)(1(22)()(1212)()(222121211221122212xxxxxxkxxxkxxkxxfxf

又0212)(22)(21212121xxxxkxxxxk， 所以0)()(12xfxf，故)(xf在区间,上是增函数。

例2、求证xxxf2)(在47,上为增函数。

解：取2121212122)()()(47xxxxxfxfxx，则，

分子、分母同时乘以2122xx，得

2121212122)122)(()()(xxxxxxxfxf，

由212,212,02121xxxx，所以0)()(21xfxf，

试卷第1页，总2页 高一数学（苏教版）必修一午间小练：

函数的单调性与最值（2）

1．函数2()41fxxx（1,1x）的最大值等于 .

2．已知函数)(xf满足),()(xfxf当)0,(,ba时，总有()()0()fafbabab．若),2()1(mfmf则实数m的取值范围是 ．

3．函数22yxx的单调递减区间是 __________________.

4． 已知函数)(xf是定义在R上的增函数，且)12()1(mfmf，则m的取值范围是 .

5．一次函数y=(1+2m)x+m在R上单调递增，则m的取值范围是__ ★

6．函数1yxx的值域为 ▲ ．

7． 函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是____.

8．函数4()([3,6])2fxxx的值域为____________。

9．若1()2axfxx在区间(2,)上是增函数，则a的取值范围是 。

10．已知二次函数aaxxxf2)(2在区间0,1上有最大值2，求实数a的值

11．已知函数()211fxxx．

（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数)(xf的图像；

（2）根据函数)(xf的图像回答下列问题： 试卷第2页，总2页 ① 求函数)(xf的单调区间；

② 求函数)(xf的值域；

③ 求关于x的方程()2fx在区间[0,2]上解的个数．

（回答上述．．．．3．个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 3 参考答案

1．4

【解析】

试题分析：因为对称轴为2[1,1]x，所以函数在[-1,1]上单调递增，因此当1x时，函数取最大值4.

考点：二次函数最值

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1

学 员 辅 导 教 案

学生姓名： 授课时间 2016 年8月23日 （星期二） 科目：数学

二次函数单调性专题

一. 教学内容：

高考复习：二次函数的基本性质

二. 考纲要求：

（1）理解二次函数函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。

（2）会运用二次函数函数图象理解和研究函数的性质。

三. 命题方向及典例探究

二次函数的性质与图像

1、二次函数的概念：形如)0(2acbxaxy的函数叫做二次函数．其定义域是R。

2、二次函数的解析式：

一般式：)0()(2acbxaxxf；

顶点式：)0()()(2akhxaxf，),(kh是二次函数的顶点坐标；

两根式：)0)()(()(21axxxxaxf，21,xx是二次函数与x轴的两个交点的横坐标。

3、二次函数的性质与图像

二次函数)0(2acbxaxy

图像 0a 0a

定义域 R

值域

对称轴

顶点坐标

奇偶性 是偶函数0)c(abxaxy02b ),44[2abacy]44,(2abacy)44,2(2abacababx2

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单调性 )2,(abx是减函数，),2(abx是增函数 )2,(abx是增函数，),2(abx是减函数

最值 abx2时，abacy442min abx2时，abacy442max

考题简析

题型一：轴定、区间定。

A、定义域为全体实数：

1、求下列函数的单调区间及值域

（1）()fxx2+8x+3； （2）()fx5x2-4x-3；

专题一 函数的单调性与最值

题型一 确定函数的单调性

1．确定函数单调性(区间)的三种常用方法

(1)定义法：一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1

(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．

(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．

2．熟记函数单调性的常用结论

(1)对勾函数y＝x＋ax(a＞0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，a]．

(2)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(3)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)，u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

(4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．

(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

【例1】(2020·华南师范大学附属中学月考)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )

A．(－∞，－2) B．(－∞，1)

C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)

【解析】由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．

要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间．

∵函数t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，

∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．

【例2】函数y＝x2＋x－6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．

【解析】令u＝x2＋x－6，

则y＝x2＋x－6可以看作是由y＝u与u＝x2＋x－6复合而成的函数．

令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2. 易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，

而y＝u在[0，＋∞)上是增函数，

所以y＝x2＋x－6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．