函数的单调性2

函数的单调性

知识点及方法

判断函数的单调性;证明函数的单调性;函数单调性的应用（解不等式、比较大小、求函数的值域和最值）

判断函数的单调性

1.

写出函数8log2log)(21221xxxf的的单调区间.

2. 写出函数)24sin(log2xy的的单调区间.

3. 已知函数xxf2)(,312)(xxxg,求))((xgf的单调区间.

4. 已知228)(xxxf ， 求函数)2(2xf单调区间。

5. 若函数f(x)的图象与函数xxg)31()(的图象关于直线xy对称，求)2(2xxf的单调递减区间.

6. 已知函数f(x)=|2x|＋|x|的值随x值的增大而增大，求x的取值范围.

7. 设f (x) =21xax(a 21)，讨论x),2(的单调性。

8. 已知y=2x2－2ax+3在区间[－1,1]上的最小值是f(a),试求f(a)的解析式,并说明当a∈[－2,1]

时,)(log)(21afag的单调性.

9. 已知二次函数f(x)的二次项系数为正,且对于任意实数x,都有f(2-x)=f(x＋2)，讨论函数f(x)的单调性。

10. 已知函数f(x)=|x2-1|＋m|x＋1|＋a有最小值f(2)=-4，(a)作出函数y=f(x)的图象，(b)写出函数f(1-2x)的递增区间。

证明函数的单调性

1. 已知函数f(x)=13x, 用函数单调性的定义证明：)(xf在(－∞,+∞)上单调递减.

2. 已知函数f(x)= xx1在区间),1(上是增函数。

3. 求证：函数xytan当)2,2(x时是增函数。

4. 已知函数f(x)=)(logxaaa,(a＞1)，（1）求f(x)的定义域、值域; （2）判断f(x)的单调性,并证明;

二次函数的单调性

1. 函数22)1()(2axaxxf在]3,(上是减函数，求a的取值范围。 2. 函数14)3(2)(2axaxxf在),1[上是减函数求a的取值范围。

3. 函数baxxxf2)(在)1,(上是减函数,在),1(上是增函数，求a。

4. 函数1)13()(2xmmxxf在[-1,2]上是增函数,求m的取值范围。

5. 已知2)1(2)(2xaxxf在)4,(上是减函数,且,0)(xf求a的取值范围。

单调性与大小关系

1. 已知xxf2log)(，当5.20a时有)5.2()(faf. 求a的取值范围.

2. 若2log2log02log2logabcd,指出dcba,,,的大小关系.

3. 已知loga(a2＋1)＜loga2a＜0, 求a的取值范围.

4. 如果ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集为{x|x＜－2或x＞4},设f(x)=ax2+bx+c,试比较f(－1),f(2),f(5)的大小.

5. 设函数)1,0(),1(log)(),1(log)(aaxxgxxfaa,在)(xf和)(xg的公共定义域内,比较)(xf与)(xg大小.

6. 已知,2log2)(,3log1)(xxxgxf试比较)(xf与)(xg大小.

7. 比较大小:)0,.(,mbambmaba

函数的单调性与值域、最值、不等式恒成立

1. 求函数1xxy 的值域。

2. 求2sinsin2xxy值域.

3. 求函数xxy41332值域.

4. 已知函数)1(log)(xxfa，当),3[x时恒有1)(xf，求a的取值范围。

5. 设不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2的实数m的取值都成立, 求x的取值范围.

6. 二次函数f(x) 32axx,当x[－2,2]时, axf)(恒成立,求实数a的取值范围.

7. 设3421lg)(xxaxf，其中Ra，如果当]1,(x时，)(xf有意义，求a的取值范围。

8. 已知)lg()(xxbaxf，（a、b为常数）（1）当a、0b时，求)(xf的定义域；（2）当01ba时，判断)(xf在定义域内的单调性；（3）当01ba时，)(xf在),1(上恒为正，求a、b满足的条件。

9. 已知函数)(xf满足)(1)(log12xxaaxfa，其中0a且1a。（1）对于)(xf当)1,1(x时，0)1()1(2mfmf，求m的取值范围。（2）当)2,(x时，4)(xf恒为负，求a的取值范围。

10. 已知函数)2(logaxya在区间[0,1]上单调减，求a的取值范围.

11.

已知函数)(log)(221aaxxxf在区间)2,(上是单调增函数，求a的取值范围。

12. 已知函数)3(log)(2sinaaxxxf在区间)2,(上是单调增函数，求a的取值范围。

13. 已知函数axxxf1)(2)0(a。讨论)(xf在),1(上的单调性。

14. 求函数xaxxf)(（)0a的单调区间。

15. 设函数22sin2cos)(2mxmxxf，（1）求函数的最大值；（2）若0)(xf对Rx恒成立，求m的取值范围。

16. ,Za求使1412111nnn52a对Nn恒成立的a的最大值.

函数单调性与奇偶性及其综合应用

1． 若f(x)在定义域R上是偶函数,且当x≥0时为偶函数, 求使)()(aff的实数a的取值范围.

2． 若奇函数y=f(x)在R上单调递增，且f(m2)＞－f(m)，求实数m的取值范围.

3． 设定义域R上的函数f(x)既是单调函数又是奇函数,若0)2log(log)log(2222tftkf对一切

tR+成立,求实数k的取值范围.

4． 已知函数f(x)是定义在(－∞,4]上的减函数,且f(m－sinx)≤f(4712m+cos2x)对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.

5． 已知函数),,(1)(2Zcbacbxaxxf是奇函数,又f(1)=f(2),f(2)＜3,且f(x)在[1,+∞)上递增.(1)求a,b,c的值; (2)当x＜0时,讨论f(x)的单调性. 已知二次函数f(x)的图像开口向下,且对于任意实数x都有f(2－x)=f(2＋x)求不等式： f[21log(x2 ＋x＋21)]＜f[21log(2x2－x＋85)]的解.

6． 设a∈R,f(x)=1222xxaa(x∈R), (1) 确定a的值,使f(x)为奇函数. (2) 当f(x)为奇函数时,对于给定的正实数k,解不等式 f –1(x)＞log2kx1. (3) 设g(n)=1nn(n∈N).当f(x)是奇函数时，试比较f(n)与g(n)的大小。

7． 设f(x)=xxx11lg21. （1）试判断函数f(x)的单调性,并给出证明;（2）若f(x)的反函数)(1xf，证明方程)(1xf=0有唯一解;（3）解不等式f [x(x21)]＜21。

8． 已知函数f(x)=loga(a－ax),(a＞1)（1）求f(x)的定义域和值域;（2）讨论函数的单调性;（3）解方程)2(21xf= f (x). 9． 已知函数f(x)=nxx211(-1n2，试比较f-1(11)222nn与的大小。

10．已知函数)0(,12)(22bxcbxxxf的值域是[1,3]。（1）求cb,（2）判断函数)(lg)(xfxF在]1,1[上的单调性，并予以证明.

11．设)(xf是定义域为),0()0,(的奇函数，且它在区间)0,(上单调增.（1）用定义证明:)(xf在),0(上的单调性;（2）若0mn且,0nm试判断)()(nfmf的符号;（3）若0)1(f解关于x的不等式0]1)1([log2xfa.

12．函数)(xf的定义域是R,对任意实数21,xx都有)()()(2121xxfxfxf.当0x时,0)(xf且3)2(f.（1）判断的奇偶性、单调性；（2）求在区间]4,2[上的最大值、最小值；（3）当]2,0[时，0)cos24()32(cosmmff对所有都成立，求实数m的取值范围.

13．已知二次函数bxaxxf2)(,(ba,为常数)，满足且方程有等根①求是否存在实数nm,，使定义域和值域分别为],[nm和]3,3[nm。如果存在求出nm,；如果不存在，说明理由。

14．已知],2,21[a若24)(2xaxxf在区间[1,4]上最大值为),(aM，最小值为),(aN令)()()(aNaMag.（1）求)(ag的解析式（2）讨论)(ag在]54,21[上的单调性（3）当]54,21[a时，证明).(422aga

15．设二次函数 cbxaxxfy2)(的图象以y轴为对称轴，已知a＋b=1，而且若点(x，y)在

)(xfy的图象上，则点(x，y2＋1)在函数 )]([)(xffxg的图像上。（1）求g(x)的解析式；（2）设F(x) =)()(xfxg，问是否存在这样的(R)，使F(x)在 )22,内是减函数，在(,220)内是增函数。

16．在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0）、P（1，t）、

Q（1－2t，2＋t）、R（－2t，2），其中t∈(0，＋)。（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t)；

（2）确定函数S(t)的单调区间，并加以证明。