2.2.1 函数的单调性(二)

2.2.1 函数的单调性（二）

课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．

1．函数的最值

设y＝f(x)的定义域为A.

(1)最大值：如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有__________，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为______＝f(x0)．

(2)最小值：如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为________＝f(x0)．

2．函数最值与单调性的联系

(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为______，最小值为______．

(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．

一、填空题

1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是________．

2．已知函数y＝x＋2x－1，下列说法正确的是________．(填序号)

①有最小值12，无最大值；

②有最大值12，无最小值；

③有最小值12，最大值2；

④无最大值，也无最小值．

3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________．

4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么f(－2)，f(0)，

f(2)的大小关系为________．

5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的________．(填序号)

①最小值是0，最大值是4；

②最小值是－4，最大值是0；

③最小值是－4，最大值是4；

④没有最大值也没有最小值．

6．函数f(x)＝11－x1－x的最大值是________．

7．函数y＝2|x|＋1的值域是________．

8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a

9．若y＝－2x，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．

二、解答题

10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.

(1)求f(x)在区间[12，3]上的最大值和最小值； (2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．

11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

能力提升

12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)

①有最大值3，最小值－1；

②有最大值3，无最小值；

③有最大值7－27，无最小值；

④无最大值，也无最小值．

13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.

(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；

(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．

1．函数的最大(小)值 (1)定义中M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”的理解．

(2)对于定义域内任意元素，都有f(x)≤M或f(x)≥M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．

拓展 对于函数y＝f(x)的最值，可简记如下：

最大值：ymax或f(x)max；最小值：ymin或f(x)min.

2．函数的最值与值域、单调性之间的联系

(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．

(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．

3．二次函数在闭区间上的最值

探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．

第2课时 函数的最大(小)值

知识梳理

1．(1)f(x)≤f(x0) ymax (2)ymin

2．(1)f(b) f(a) (2)f(a) f(b)

作业设计

1．(－∞，－3]

解析 由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，

解得a≤－3.

2．①

解析 ∵y＝x＋2x－1在定义域[12，＋∞)上是增函数，

∴y≥f(12)＝12，即函数最小值为12，无最大值．

3．[1,2]

解析 由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，

当x＝1时，y的最小值为2，

当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.

由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.

4．f(0)

解析 依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，

二次函数的对称轴为x＝12，

因为f(x)＝x2＋bx＋c开口向上，

且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，

由函数f(x)的图象可知，[12，＋∞)为f(x)的增区间，

所以f(1)

5．③

解析 y＝|x－3|－|x＋1|＝ －4 x≥3－2x＋2 －1≤x<34 x<－1.

因为[－1,3)是函数y＝－2x＋2的减区间， 所以－4≤y≤4，综上可知③正确．

6.43

解析 f(x)＝1x－122＋34≤43.

7．(0,2]

解析 观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，

所以当x＝0时，y的最大值为2，即0

故函数y的值域为(0,2]．

8．－2 0

解析 y＝－(x－3)2＋18，∵a

∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，

得b＝0(b＝6不合题意，舍去)

－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．

9．2

解析 函数y＝－2x在[－4，－1]上是单调递增函数，

故ymax＝－2－1＝2.

10．解 (1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[12，3]，

∴f(x)的最小值是f(1)＝1，

又f(12)＝54，f(3)＝5，

所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，

即f(x)在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1.

(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，

∴m＋22≤2或m＋22≥4，即m≤2或m≥6.

故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．

11．解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，

∴f(x)＝ax2＋bx＋1.

∵f(x＋1)－f(x)＝2x，

∴2ax＋a＋b＝2x，

∴ 2a＝2a＋b＝0，∴ a＝1b＝－1，∴f(x)＝x2－x＋1.

(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，

即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．

令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－32)2－54－m，

其对称轴为x＝32，

∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，

∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，

∴m<－1.

12．③ 解析 画图得到F(x)的图象：

射线AC、抛物线AB及射线BD三段，

联立方程组 y＝2x＋3，y＝x2－2x，

得xA＝2－7，

代入得F(x)的最大值为7－27，

由图可得F(x)无最小值．

13.

解 (1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1

＝ x2＋x＋1， x<0x2－x＋1， x≥0.

作图(如右所示)

(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.

若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，

g(a)＝f(2)＝－3.

若a>0，则f(x)＝a(x－12a)2＋2a－14a－1，

f(x)图象的对称轴是直线x＝12a.

当0<12a<1，即a>12时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，

g(a)＝f(1)＝3a－2.

当1≤12a≤2，即14≤a≤12时，

g(a)＝f(12a)＝2a－14a－1，

当12a>2，即0

g(a)＝f(2)＝6a－3.