分式方程的解法

分式方程的几种解法

分式方程是初中数学教材重点内容之一，它是一元二次方程的应用和深化，同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础，所以分式方程有承上启下的作用，至关重要，它的解法很多，这里略谈一二。

一、 去分母法

方法导析：它是分式方程的基本解法，即：方程两边同乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，解出这个整式方程，最后把所得结果代入最简公分母中检验，便得分式方程的根。

例1：解方程：4121235222xxxxx

解：方程两边同乘以)2)(2)(1(xxx去分母得：

)1(4)2)(1()2)(52(xxxxx

整理得：01282xx

解之得：6,221xx

检验：把2x代入)2)(2)(1(xxx，它等于0，所以2x不是原方程的根。把6x代入)2)(2)(1(xxx，它不等于0，所以6x是原方程的根。原方程的根为6x。

二、 换元法

方法导析：根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式，得到一个关于这一字母的新方程，再进行解方程，其宗旨是换得的方程较原方程简单。 例2：解方程：21333322xxxx

解，设axx32，则axx13332，原方程变形为：

2133aa

去分母，得：061322aa

解之得：61a 212a

当6a，即632xx，去分母，整理得0362xx 323x

当21a，即2132xx，去分母，整理得0622xx 23,221xx

检验，把323x，323x，2x， 23x分别代入原方程分母中其计算结果都不为0，所以他们都是原方程的根。

原方程的根是323x，2x， 23x

三、 通分法

方法导析：根据方程特点，原方程式适当变形后，两边进行通分，再结合分式性质解题。

例3：解方程：41614121xxxx

分式方程的解法与技巧

【典型例题】

1. 局部通分法：

例1.

分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。

解：方程两边分别通分并化简，得：

解之得：x＝6

经检验：x＝6是原分式方程的根。

点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。

但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。

2. 换元法：

例2.

分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x的二次三项式，且前两项完全相同，

解：

解此方程此方程无解。

点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。

3. 拆项裂项法：

例3.

分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。

解：原方程拆项，变形为：

裂项为：

经检验：x＝1是原分式方程的解。

4. 凑合法：

例4.

分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。

解：部分移项得：

∴x＝2

经检验：x＝2是原分式方程的根。

5. 构造法：

例5.

分析：

来求解，而不用常规解法。

解：原方程可化为：

6. 比例法：

例6.

分析：由于方程两边分子、分母未知数的对应项系数相等，因此可以利用这样的恒等

运算。

解：应用上述性质，可将方程变形为：

【模拟试题】（答题时间：20分钟）

解下列分式方程：

1.

2.

3.

4.

5.

【试题答案】

1. 解：原方程变形为：

即

方程两边分别通分为：

去分母得：

化简得：

解法2：

原方程变变形得：

两边分别通分得：

去分母得：

化简得：

2. 由比例的性质可得：

一、知识清单

1.分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程.

2.解分式方程的基本思想是：去分母，化为整式方程.

3.解分式方程的一般步骤是：

去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1→检验.

4.分式方程增根：使最简公分母为0的未知数的值叫做分式方程的增根.

二、基础夯实

1.解下列分式方程：

（1）xxx23124 （2）1)2)(1(21xxxx

2.当m为何值时，分式方程131212xxxm会产生增根？

三、经典例题

例1.我们容易求得分式方程2211xx的解为2x或21x（口头检验一下）.

（1）方程3311xx的解为 ；

（2）以x为未知数的方程ccxx11的解为 ；

（3）解方程：526423234xxxx

分式方程的解法

例2.解方程45342312xxxxxxxx

例3.解方程xxxxxxx11)1999)(1998(1...)2)(1(1)1(1.

例4.当a为何值时，以x为未知数的方程324xax无解？

例5.解方程组（1）514131accacbbcbaab （2）4311127116511yxxzxzzyzyyx

四、方法归纳

1.解分式方程常用的方法：去分母法、部分分式法、逐项通分或整体通分法、裂项相消法、

换元法、倒置变换法等，还可以巧妙应用“ccxx11”型的解是cx或cx1.

2.利用增根的意义解题是一类重要题型，其方法为：（1）先将分式方程转化为整式方程；

（2）从原分式方程中求出使分母为零的增根；（3）把增根代入所得到的整式方程中.

分式方程

【知识要点】1、分式方程的定义2、解法3、为什么验根4、解分式方程与分式的化简要区别开来，切不可混为一体。5、分式方程的应用

【典型例题】例1、解下列方程：

（1） （2）

分析：去分母把分式方程转化成整式方程，求解后验根.

解：（1）方程两边同乘以 ，得

，解得 x=2

检验：把x=2代入方程左边，

得 ．

∵左边＝右边，

∴x=2是原方程的解．

（2）方程两边同乘以(x-4)，得 ．∴

检验：把x=5代入方程左边，

得 ；

把x=5代入方程右边，

得 ．

∵左边＝右边，

∴x=5是原方程的解．

点评： 1．解分式方程的思想是转化为整式方程．其一般方法是方程两边同乘以各分式的最简公分母，约去分母；2．所得结果是否为原方程的解，需要检验．

例2、解下列方程

分析：解分式方程的关键是去分母，所以化分式方程为整式方程时，要找出各分母的最简公分母，找最简公分母时，要注意把各分母按同一个字母作降幂排列，能因式分解的一定要先进行因式分解。

解：

点评：检验是解分式方程的必要步骤，检验的方法是将整式方程得到的根代入最简公分母检验，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，应舍去。

例3、

分析：

解：

例4、若 = + ，求A、B的值.

分析：本题把一个真分式化成两个部分分式之和的形式，这里A和B都是待定系数，待定系数可根据对应项的系数来求解. 解：右式通分，得

= .

因为左右恒等且分母相同，故分子应恒等，即x－3≡A（x－1）+B（x+1）

所以x－3=（A+B）x+（－A+B）

由对应系数相等，得 解得

所以A=2，B=－1

例5、.某工人原计划若干天内生产840个零件，开始4天按原计划进行生产，以后每天生产的零件比原计划增加了25%，结果提前2天完成了任务.求原计划多少天完成任务？

例6、抗洪抢险，需要在一定时间内筑起拦洪大坝．甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙队合作2天后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需要多少小时？