2013-2014学年《概率论与数理统计》期末考试试卷-(A)答案

1． 0.5 ；0.58

2． 2/5

3．

4． 0.3 ；0.5

5． 10 ；8

6． 21

7． 8/9

8． )41.05,41.05(025.0025.0zz

《概率论与数理统计》期末考试试卷 (A)

一、填空题（每小题4分，共32分）.

1．设 A、B 为随机事件, P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, 若 P(A|B) =0.5, 则 P(AB) =

__0.5_____; 若 A 与 B 相互独立, 则 P(AB) = ____0.58____.

2．设随机变量 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布, 则 P{ 1 < X < 3} =

_____2/5_________.

3．设随机变量 X 的分布函数为,2 ,1 21 ,6.011 ,3.01 ,0

)(xxxxxF

则 X 的分布律为

___________________________ .

4．若离散型随机变量 X 的分布律为

X 1 2 3

pk 0.5 0.2 a

则常数 a = _0.3________; 又 Y = 2X + 3, 则 P{Y > 5} = _0.5________ . X 1 1 2

p 3.0 3.0 4.0 5．设随机变量 X 服从二项分布 b(50, 0.2), 则 E(X) = ___10_____, D(X) =

_8__________.

6．设随机变量 X ~ N(0, 1), Y ~ N(1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D(3X  2Y) =

___21______.

7．设随机变量 X 的数学期望 E(X) = , 方差 D(X) =  2, 则由切比雪夫不等式有 P{|X   | < 3 }  _________________.

8．从正态总体 N(, 0.1 2) 随机抽取的容量为 16 的简单随机样本, 测得样本均值5x，则未知参数  的置信度为0.95的置信区间是

____________________________. (用抽样分布的上侧分位点表示).

1. D 2. A 3. C 4. B 5. D 6. C

详解：2.

因为xttfxFd)()( 故attfaFd)()( 令u=-t auufaFd)()(

auufd)(attfd)(attf0d)(21 (21d)(0ttf)

详解：4.

因为X~)1,0(N,Y~)1,1(N 所以 1)(YXE，2)(YXD

故 )()(YXDYXEYX21YX~)1,0(N 所以21}021{YXP

即 21}01{YXP 21}01{YXP

二、选择题（只有一个正确答案，每小题3分，共18分）

1．设A, B, C是三个随机变量，则事件“A, B, C不多于一个发生” 的逆事件为( D ).

(A) A, B, C都发生 (B) A, B, C 至少有一个发生

(C) A, B, C 都不发生 (D) A, B, C 至少有两个发生

2．设随机变量 X 的概率密度为 f (x), 且满足 f (x) = f (x), F(x) 为 X 的分布函数, 则对任意实数 a, 下列式子中成立的是 ( A ).

(A) 错误!未找到引用源。 (B) 错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。 (D) 错误!未找到引用源。

3．设随机变量 X, Y 相互独立, 错误!未找到引用源。 与 错误!未找到引用源。

分别是 X 与 Y 的分布函数, 则随机变量 Z = max{X ,Y} 分布函数 错误!未找到引用源。 为 ( C ).

(A) max{错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。} (B) 错误!未找到引用源。 + 错误!未找到引用源。  错误!未找到引用源。

(C) 错误!未找到引用源。 (D) 错误!未找到引用源。 或 错误!未找到引用源。

4. 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0, 1) 和 N(1, 1), 则

( B ).

21}0{ )A(YXP 21}1{ )B(YXP

21}0{ )C(YXP 21}1{ )D(YXP

5．对任意两个随机变量 X 和 Y, 若 E(XY) = E(X)E(Y), 则 ( D ).

(A) X 和 Y 独立 (B) X 和 Y 不独立

(C) D(XY) = D(X)D(Y) (D) D(X + Y) = D(X) + D(Y)

6．设 X1, X2, …, Xn (n  3) 为来自总体 X 的一个简单随机样本, 则下列估计量中不是总体期望  的无偏估计量的是 ( C ).

(A) X (B) 0.1 (6X1 + 4X2) (C) 错误!未找到引用源。 (D) X1 + X2 

X3 三、解答（本题 8 分）某大型连锁超市采购的某批商品中, 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂商的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件产品，(1) 求这件产品是次品的概率; (2) 若这件产品是次品, 求它是甲厂生产的概率?

解：设A事件表示“产品为次品”，B1事件表示“是甲厂生产的产品”，B2事件表示“是乙厂生产的产品”，B3事件表示“是丙厂生产的产品”

(1) 这件产品是次品的概率:

)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP

035.02.005.035.002.045.004.0

(2) 若这件产品是次品，求它是甲厂生产的概率:

3518035.045.004.0)()()()(111APBPBAPABP

四、解答（本题8分）设连续型随机变量 X 的概率密度为，其他 ,0 0,sin)(xxAxf

求: (1) 常数 A 的值; (2) 随机变量 X 的分布函数 F(x); (3) }.23{XP

四、解答题

解：(1) AxxAxxf2dsind)(10 21A

(2) xttfxFd)()(

0d0d)()(0xxtttfxFx时，当

)cos1(21dsin210dd)()(000xtttttfxFxxx时，当

10ddsin210dd)()(00xxttttttfxFx时，当

所以

xttfxFd)()(=xxxx,10),cos1(210,0 (3) 414121)3()2(}23{FFXP

五、解答（本题10分）设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为

求: (1) 求 X, Y 的边缘概率密度 fX(x), fY(y), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)? (2) 求 P{ X + Y  1}.

五、解答题

(1)

其它，020),2(21d)2(d),()(10xxyyxyyxfxfX

其它，010,2d)2(d),()(20yyxyxxyxfyfY

因为 ),()()(yxfyfxfYX，所以X与Y是相互独立的.

(2) 247d)1)(2(21d)2(d}1{1021010xxxyyxxYXPx

六、解答（本题8分）已知随机变量 X 分布律为

Xk 1 0 2 4

Pk 0.1 0.5 0.3 0.1

求 E(X), D(X).

六、解答题

1.043.025.001.01)(XE=0.9

1.043.025.001.0)1()(22222XE=2.9

2229.09.2])([)()(XEXEXD=2.09

七、（本题6分）设某供电区域中共有10000 盏电灯，夜晚每盏灯开着的概率均为 0.7，假设各灯开、关时间彼此独立，求夜晚同时开着的灯的数量在6800 至

7200 间的概率.(其中999999.0)36.4()2120().

七、解答题

解：设X为夜晚灯开着的只数，则X~)7.0,10000(b }72006800{XP}3.07.0100007.01000072003.07.0100007.0100003.07.0100007.0100006800{XP

}21203.07.0100007.0100002120{XP

1)2120(2)]2120(1[)2120()2120()2120(

999998.01999999.02

八、(10分) 设总体 X 的概率密度为，其他 ,0 10 ,)1()(xxxf其中  > 1 是未知参数， X1, X2, …, Xn 为来自总体的一个简单随机样本，x1, x2, …, xn 为样本值, 求  的矩估计量和极大似然估计量.

八、解答题

解：(1) 矩估计法

21d)1()(101xxxXE

11112 niiXnXA111 所以 的矩估计量XX112

(2) 最大似然法

似然函数 inixL)1(1 ，10ix

inixL)1(1ininx1)1(

niixnL1ln)1ln(ln

niixnL1ln1dlnd 令0dlndL

得的最大似然估计值 1ln1niixn

的最大似然估计量 1ln1niiXn