湘教版九年级数学下册1.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质教案与反思
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
灵师不挂怀,冒涉道转延。——韩愈《送灵师》
汪村学校 钱少华
1．会用描点法画出y＝a(x－h)2的图象；
2．掌握形如y＝a(x－h)2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)
3．理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的联系．(难点)
一、情境导入
涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
【类型一】 y＝a(x－h)2的顶点坐标
已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值．
解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝－2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴a(－4＋2)2＝2.∴a＝12.
方法总结：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 二次函数y＝a(x－h)2图象的形状 顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y＝－12x2的图象相同的抛物线的解析式为( )
A．y＝12(x－2)2 B．y＝12(x＋2)2
C．y＝－12(x＋2)2 D．y＝－12(x－2)2
解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x－h)2(a≠0)，而二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝－12x2的图象相同，所以a＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h＝－2，把a＝－，h＝－2代入y＝a(x－h)2得y＝－12(x＋2)2.故选C.
方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题
【类型三】 二次函数y＝a(x－h)2的增减性及最值
对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( )
A．y随x的增大而增大
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＝－1时，y有最小值0
D．当x＞1时y随x的增大而增大
解析：因为a＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h＝1，顶点坐标为(1，0)，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
探究点二：二次函数y＝a(x－h)2图象的平移
【类型一】 利用平移确定y＝a(x－h)2的解析式
抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解析：y＝ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y＝a(x－3)2，把(－1，4)的坐标代入即可求得a的值．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a＝14，∴平移后二次函数关系式为y＝14(－3)2.
方法总结根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】 确定y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系
向左或向右平移函数y＝－12x2的图象，使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
解：能，理由如下：
设平移后的函数为y＝－12(x－h)2，
将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－12(－9－h)2，
所以h＝－5或h＝－13，
所以平移后的函数为y＝－12(x＋5)2或y＝－12(x＋13)2.
即抛物线的顶点坐标为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点三：二次函数y＝a(x－h)2与几何图形的综合
把函数y＝12x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．
解析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点坐标，最后求△ABC的面积．
解：平移后的函数为y＝12(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)，OC＝4.
解方程组y＝12（x－4）2，y＝x，得x＝2，y＝2，或x＝8，y＝8.
∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8)，∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝12×4×8－12×4×2＝12.
方法总结：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
三、板书设计
通过本节学习使学生认识到y＝a(x－h)2的图象是由y＝ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a，h对y＝a(x－h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左、向右平移，从中领会数形结合的数学思想. 【素材积累】
1、冬天是纯洁的。冬天一来，世界变得雪白一片，白得毫无瑕疵，白雪松软软地铺摘大地上，好似为大地铺上了一层银色的地毯。松树上压着厚厚的白雪，宛如慈爱的妈妈温柔地抱着自己的孩子。白雪下的松枝还露出一点绿色，为这白茫茫的世界增添了一点不一样的色彩。
2、张家界的山真美啊！影影绰绰的群山像是一个睡意未醒的仙女，披着蝉翼般的薄纱，脉脉含情，凝眸不语，摘一座碧如翡翠的山上，还点缀着几朵淡紫、金黄、艳红、清兰的小花儿，把这山装扮得婀娜多姿。这时，这山好似一位恬静羞涩的少女，随手扯过一片白云当纱巾，遮住了她那美丽的脸庞。
