12年专升本高数真题答案

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1 2023年河南省普通高等学校

选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试

高等数学 解析及解析

一、选择题（每小题2分,共60分）

1．解析:C.

【解析】:40400xxxx且.选C.

2．解析:B.

【解析】:A、D为非奇非偶函数,B为偶函数,C为奇函数。选B.

3．解析:D.

【解析】:0x时,ln(12)~2xx.选D.

4．解析:D.

【解析】:0x处没有定义,显然是间断点；又0x时21sinx地极限不存在,故是第二类间断点。选D.

5．解析:C.

【解析】:函数地定义域为,,3300limlim(0)0xxxxf,显然是连续地；又3320001(0)limlim(0)xxxffxx,因此在该点处不可导。选C.

6．解析:A.

【解析】:易知(0)=0f,且00()0(0)limlim()(0)xxxxfxx,

00()0(0)limlim()(0)(0)xxxxfxfx.故(0)f不存在。选A.

7．解析:B.

【解析】:根据复合函数求导法则可知:d()()xxyfudufede.选B.

8．解析:B.

【解析】:根据水平渐近线地求法可知:当lim()xfx时,1lim0()xfx,即0y时1()yfx地一条水平渐近线,选B.

9．解析:D.

【解析】:对xxysin21两边同时求微分有:1cos2dydxxdx,所以 2

2 ddxyxcos22.选D.

10．解析:B

【解析】:易知(0)=1f,011(0)lim1xxfx,

00sin11sin(0)limlim1xxxxfxx,故(0)1f.选B.

11．解析:D.

【解析】:令3()3fxxxc,则有2()330fxx,即函数在定义域内是单调递增地,故最多只有一个实根。选D.

12．解析:A.

【解析】:B、C地等式右边缺少常数C,D选项是求微分地,等式右边缺少dx.选A.

13．解析:C.

【解析】:()fx地一个原函数为arcsinxx,那么所有地原函数就是

arcsinxxC.所以()darcsinfxxxxC.选C.

14．解析:B.

【解析】:因为()1fx,所以()()ddfxfxxxxC,又(0)1f,故()1fxx.21()d(1)2fxxxdxxxC.选B.

15．解析:B.

【解析】:本题是变下限积分地题。利用公式可知

201222 sind(cos)dcos(sin)cosdxttxxx.选B.

16．解析:C.

【解析】:2222211113222212000002eded()deeedxxxxxxxxxxxx

22211100ee12exxx.选C.

17．解析:D.

【解析】:A选项中112100011lndlndlnln2xxxxxx,故发散；

B选项中根据结论1()bqadxxa,当1q时发散,本题中43q,故发散；

C选项中根据结论1d(ln)kaxxx,当1k时发散,本题中1k,故发散；

D选项中55153311edee55xxx,故收敛。选D. 3

3 18．解析:A.

【解析】:最高阶导数是二阶导数,并且不是线性地。选A.

19．解析:B.

【解析】:这是可分离变量地方程。有dsincosdyyxxx,两边同时积分有

2211sin22yxC,即22sinyxC.选B.

20．解析:D.

【解析】:对空间地任意一个向量有222coscoscos1,现有,46,从而解得1cos2,所以为60或120.选D.

21．解析:B.

【解析】:直线地方向向量为1,2,3l,平面地法向量为2,1,0n,且0nl,直线上地点0,1,2不在平面内,所以故该直线和平面平行。选B.

22．解析:C.

【解析】:根据旋转曲面方程地特点,有两个平方项地系数相同,故选C.

23．解析:B.

【解析】:(,)(1,1)(,)(1,1)(,)(1,1)1(1)(1)11limlimlim12(1)(1)1xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy.选B.

24．解析:A.

【解析】:可微可以退出偏导数存在,但是仅有偏导数存在退不出可微,故是充分而非必要条件。选A.

25．解析:C.

【解析】:21cos();cos()sin()zzyxyxyxyxyxxy.选C.

26．解析:B.

【解析】:由0!nxnxen,可知2002(2)(1)!!nnnnxnnxxenn.选B.

27．解析:A.

【解析】:A选项中一般项趋于40,故发散；

B、C选项是交错级数,满足莱布尼茨定理,故收敛；D选项根据结论11pnn中1p时收敛,本题中32p,故收敛。选A.

28．解析:C.

【解析】:该级数地中心点是2,又在点0x处条件收敛,所以可以确定收敛区间为0,4.故在2x,3x处收敛。选C.

29．解析:C. 4

4 【解析】:P(,)=e2yxyy,(,)e3yQxyxxy,且有1yPQeyx,因此该积分与积分路径无关。令该积分沿直线yx上点(1, 1)到(1, 1)积分,可有111(e2)d(e3)d(ee2)ee4yyxxLyxxxyyxxdx.选C.

30．解析:A.

【解析】:积分区域可写为:

2(,)01,0(,)12,02Dxyxyxxyxyx,在图象中表示为

由此可知,积分区域还可表示为(,)01,2Dxyyyxy.因此积分可表示为 1 2 0 d(, )dyyyfxyx.选A.

二、填空题（每小题2分,共20分）

31．解析:xx.

【解析】:(1)(1)fxxx,()(1)fttt,因此()(1)fxxxxx.

32．解析:4.

【解析】:22222()lim1=lim1=xttxxttxxfxett,2ln2(ln2)=4fe.

33．解析:0.

【解析】:因为极值点是()0fx或者()fx不存在地点,现已知函数fx()在点a处

可导,所以()0fa.

34．解析:22(2,)e.

【解析】:(1)xyxe,(2)xyxe.令0y,可得2x,此时22ye；

并且当2x时,0y；当2x时,0y.因此拐点为22(2,)e. 2yx2yx

1 2 1

x y 5

5 35．解析:Cxxln1ln212.

【解析】:22222111111()(1)ln1ln(1)1212xdxdxdxdxxxCxxxxxx

36．解析:2xxey.

【解析】:原方程对应地齐次线性微分方程为d20dyxyx,可解得2xyCe.用常数

变易法,可求得非齐次线性微分方程地通解为2()xyxCe.将(0)0y代入有0C.所以对应地特解为2xyxe.

37．解析:1.

【解析】:385ab,6,5ab,1cos(,)6ababab,

故向量a在向量b上地投影cos(,)1rjbPaaab.

38．解析:-1.

【解析】:令(,,)Fxyzxyxzyz.则有,xzFyzFxy,所以

xzFzyzxFxy.由于0,1xy时,0z.代入可知011xyzx.

39．解析:4.

【解析】:ddDDxyS,而积分区域D表示地是以0,2为圆心,2为半径地圆,所以

4DS,即dd4Dxy.

40．解析:发散.

【解析】:limlim01nnnnunukn,由比较判别法地极限形式可知,级数1nnu和11nn有相同地敛散性,故正项级数1nnu是发散地。

三、计算题（每小题5分,共50分）

41．求极限30tansinlime1xxxx． 6

6 【解析】:原式301sin1coslimxxxx

20sin1cos1limcosxxxxxx

22000sin12limlimlimcosxxxxxxxx1=2．

42．已知参数方程(1sin) (1cos)xatyat（t为参数）,求22ddyx．

【解析】:因为 ddsindtanddcosdyyatttxxatt

所以 2232dddsec1ddsecddcosdyyttxtxxatat．

43．求不定积分1edxx．

【解析】:令+1xt,则21xt,且d2dxtt

于是

原式2ed2dettttt2(eed)tttt2(1)ettC

12(11)exxC回代．

44．求2200limed1extxxxt．

【解析】:原式22

0 0200ededlimlimxxttxxxttxx20limexx1．

45．求微分方程22dd2430ddyyyxx地通解．

【解析】:原方程地特征方程为

22430rr

特征方程地根为 212ri

所以原方程地通解为 1222ecossin22xyCxCx．