质点运动学(1)

第一章 质点运动学

基 本 要 求

一、理解质点模型和参照系、坐标系等概念。

二、掌握位置矢量、位移、速度、加速度等物理量的概念及其关系。

三、掌握直线运动、圆周运动及抛体运动中运动方程及速度、加速度等物理量的计算。

四、理解运动叠加原理及其应用。

内 容 提 要

一、参照系、坐标系和质点

参照系 用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。

运动的相对性决定描述物体运动必须选取参照系。运动学中参照系可任选，不同参照系中物体的运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。

坐标系 固定在参照系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。

坐标系为参照系的数学抽象。参照系选定后，坐标系还可以任选。在同一参照系中用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同，但其运动形式的数学表述却可以不同。

常用坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等。

质点 如果物体的线度和形状在所研究的现象中不起作用，或所起的作用可以忽略不计，我们就可以近似地把物体看作是一个没有大小和形状的理想物体，称为质点。

二、质点的位置矢量和运动方程

位置矢量（位矢、矢径） 用来确定某时刻质点位置（用矢端表示）的矢量。

kjirrzyxzyx ),,(

位置矢量的大小：222zyxrr

位置矢量的方向余弦：rzryrxcos,cos,cos

运动方程 质点位置矢量坐标和时间的函数关系称为质点的运动方程。

kjir)()()()(tztytxt

或 )(txx，)(tyy，)(tzz

三、位移和路程

位移（矢量） 质点在一段时间（t）内位置的改变（r）叫作它在这段时间内的位移。

)()(tttrrr

路程（标量） 质点实际运动轨迹的长度s。

注意：Δt→0时，位移大小等于路程，即rdds

四、速度和加速度

速度 位置矢量对时间的变化率。

平均速度：trv

（瞬时）速度：dtdttrrv lim0kjidtdzdtdydtdx

速度方向：沿轨迹上质点所在点的切线，并指向质点前进的方向。

速度大小（速率）：dtdsdtdvrv

加速度 速度对时间的变化率。

平均加速度：tΔΔva

（瞬时）加速度： 220ΔΔ limdtddtdt trvva

kjikji222222dtzddtyddtxddtdvdtdvdtdvzyx 加速度的方向：速度增量的极限方向。

加速度的大小：dtdava

五、直线运动

直线运动中，r、v、a在同一条直线上，只用一维描述，可当作标量去处理。

)(txx； dtdxv； 22dtxddtdva

匀速直线运动 位置:vtxx0

匀加速直线运动 位置：20021attvxx；

速度：)(20202xxavv

六、圆周运动

1.加速度

切向加速度 引起速度大小改变的加速度。

dtdvat

法向加速度（向心加速度） 引起速度方向改变的加速度。

Rvan2 加速度 ntntantaaRvdtdv 2

2.圆周运动的角量描述

角位移 

角速度 dtdθ

角加速度 22dtddtdω

当为常数时，质点作匀变速转动，此时有运动学关系

)(2 21

0202200ttt

3.角量与线量的关系

Rv， Rdtdvat， 22RRvan

七、运动叠加原理

物体同时参与几种运动时，该运动可以看作几个各自独立进行的运动叠加而成。

竖直上抛运动 竖直向上的匀速直线运动+自由落体

2021gttvy 竖直下抛运动 竖直向下的匀速直线运动+自由落体

2021gttvy

平抛运动 水平方向上的匀速直线运动+自由落体jir2021gttv

解题方法与例题分析

一、已知运动方程（位置矢量），计算位移、速度和加速度。

计算（瞬时）速度和加速度一般用求导的方法：位置矢量（运动方程）对时间求导即为速度，速度对时间求导就是加速度。计算位移、平均速度、平均加速度可先由始末时刻确定始末位置，再由定义计算。

例1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为

jir22btat （其中a、b为常量），

则该质点作何种形式的运动

解 由质点的位置矢量 jir22btat 得运动方程 22btyatx

轨道方程 bayx， xaby

质点的速度 jirvbtatdtd22

质点的加速度 jivabadtd22

质点的加速度为非零恒量，故该质点在xy平面内作匀变速直线运动，其轨道方程为xaby。

例2 某质点的运动方程为 x =2t–7t3+3（SI），则该质点作何种形式的运动并确定加速度的方向。

解 由质点的运动方程 x =2t–7t3+3

得质点的速度 2212tdtdxv

质点的加速度 tdtdva42

质点的加速度为时间的函数，故该质点作变加速直线运动；加速度为负，说明加速度方向沿x轴负方向。

例3 一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x =5t2– 3t3

(SI)。试求：

（1）在第2秒内的平均速度； （2）第2秒末的瞬时速度；

（3）第2秒末的加速度。

解 （1）由平均速度的定义：

txv/

m/s612)1315()2325(3232

（2）由定义 2910 ttdx/dtv

s2t时，有 sv/m162

（3）由定义 dtdva/ t1810

s2t时，有 22m/s26a

例4 在离船高度为h的岸边，绞车以恒定的速率v0收绳（绳原长l0），使船靠岸，如图1—1所示，试描述船的运动。

解 建立如图坐标系，显然船在x轴上作直线运动。t时刻绳长为

tvll00

船的运动方程为

2200)(htvlx 图1—1 0vxlhxo速度为 2200000)()(htvlvtvldtdxv

方向沿x轴负向。

加速度为 3220232200220)(xhvhtvlhvdtdva

方向沿x轴负向。

可见，船作加速直线运动，离岸越近，x越小，a越大。

例5 已知质点的运动方程x=2t，y=4–t2（SI）。试求任一时刻质点的速度、切向加速度、法向加速度、总加速度的大小。

解 由运动方程可求得质点速度的x、y分量

2dtdxvx, tdtdyvy2

速度大小为 22212tvvvyx

同理：0dtdvaxx， 2dtdvayy m/s2

所以加速度大小为 2yaa m/s2

切向加速度：212ttdtdvat

法向加速度：22212taaatn

二、已知加速度及初始条件，计算速度和运动方程。 此类问题是前一类问题的逆过程，加速度对时间的积分即为速度，速度对时间的积分就是运动方程。解决此类问题时应注意由初始条件确定积分上下限。

例6 一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为

a=3+6x2（SI）。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。

解 设质点在任意位置x处的速度为v，则

dtdxdxdvdtdvadxdvv263x

分离变量，两边积分：

dxxvdvvx)63(002

得 346xxv

例7 一艘正在行驶的汽船，当关闭发动机后，沿一直线运动，加速度与船速的平方成正比且反向，即2kva，其中常量k>0。若关闭发动机时汽船的速度为v0，求：

（1）关闭发动机后t时刻的汽船速度；

（2）关闭发动机后的t时间内，汽船行驶的距离。

解 以汽船为研究对象，由于它做减速直线运动，所以取汽船运动方向为坐标轴x的正方向，坐标原点选择在刚关闭发动机的位置处。

（1）按直线运动的加速度公式有 dtdva

由题意2kva，代入上式，有 dtdvkv2

分离变量 2vdvkdt

已知t=0时，0vv，并设t时刻的速度为v，对上式取定积分

200vdvdtkvvt

∴ 100tkvvv

（2）由 dtdxv

有 100tkvvdtdx

分离变量，两边取定积分，有

dttkvvdxtx10000

由此得汽船的运动方程为 )1ln(10tkvkx

汽船在t时间内行驶的距离

0)1ln(1||00tkvkxxs)1ln(10tkvk

例8 一质点从静止出发沿半径为R=3m的圆周运动，切向加速度为2sm3ta。求：

（1）经过多少时间它的总加速度a恰好与半径成45º角

（2）在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少

解 已知3dtdvat，即 dtdv3

由初始条件: t =0时，00v，得质点的瞬时速率

tvtdtdvv0033

质点的法向加速度的大小为 22233)3(ttRvan

这样总加速度为：ntaaant233t

其中n为沿半径指向圆心的单位矢量，t为切向单位矢量。

（1）设总加速度与半径夹角为，

则有： naacos， taasin

当=45º时，有ntaa，即要求

3t2 =3，t =1s（另一负根舍去）

所以t =1s时，总加速度a与半径成45º角。

（2）由 vdtds 和初始条件：t =0时，s0=0 ，得：

20233ttdtvdtst