导数练习题带答案
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1 A . xdx1 B . o (x 1)dx 1C . 1dxTdx 0 2A.不存在B.0C.2D.10导数及其应用一、选择题1.函数y f(x)在一点的导数值为 0是函数y f(x)在这点取极值的( )A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件2.已知点P(1,2)是曲线y=2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为()1A . 2B . 4C . 6 D.-2323. 设函数f (x) = X - X ，则f (1)的值为() A . - 1B .C . 1D .54.已知函数f (x)a x1(x 0)，右 lim f (x)存在，则f'( 2)x a(x0) x 011 A. 4ln2B5C.2D.】山2445.设球的半径为时间 t 的函数R t 。
若球的体积以均匀速度c 增长， 则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为 CB.成正比，比例系数为 2CC.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为 2C36.已知函数f (x) xax 2 x 1 在( ,)上是单调函数，则实数a 的取值范围是A .(,3] [3, ) B . [ .3, 3]C .(,、3)(■ 3,)D .(3, 3)17.—点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s it 45t 3432t 2，那么速度为零的时 刻是()A. 1秒末B. 0秒C. 4秒末D. 0,1,4 秒末8. 下列等于1的积分是9叽的值是110. o(e x e x)dx =1 2 1A. eB. 2eC.D. e -e e e二、填空题11. 设f(x) (1 x)6(1 x)5，则函数f'(x)中x3的系数是_________________________ 。
12. 过原点作曲线y e x的切线，则切点的坐标为 ________________，切线的斜率为13. 曲线y=x3在点(1，1)切线方程为_____________ .1 32 ,.,14. 函数f(x) —ax 2ax x在R上单调递增，则实数a的取值范围为____________ .3三、解答题2 215. 设函数f(x) (1 x) ln(1 x)I I(1)求函数f (x)的单调区间；1(2)若当x ［1,e 1］时，不等式f (x) m恒成立，求实数m的取值范围；e(3)若关于x的方程f (x) x2 x a在区间［0,2］上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围。
16. 设函数f(x) x3 ax2 a2x m(a 0).(1 )若a 1时函数f (x)有三个互不相同的零点，求m的取值范围;(2)若函数f (x)在x 1,1内没有极值点，求a的取值范围；(3)若对任意的a 3,6，不等式f(x) 1在x 2,2上恒成立，求实数m的取值范围.17.已知函数f(x) x3 3ax b(a 0).(1)若曲线y f (x)在点(2, f (x))处与直线y 8相切，求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值点。
18. 求函数y (x a)(x b)(x c)的导数。
19. ：(3x2k)dx 10,则k ____________20.甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？B答案一、选择题1. D2. B3. C4. D5. 解析：由题意可知球的体积为V(t) R3(t)，则c V (t) 4 R (t)R(t),3c 2R^ 4 R(t)，而球的表面积为S(t) 4 R(t)，所以v a= S'(t) 4 R2(t) 8 R(t)R(t),2c 2c 即"8 R(t)R(t)=2 4 R⑴R(t尸聞R(t尸丽，故选D' 26. B 解析：f (x) 3x 2ax 1 0 在(，)恒成立,4a2 12 0 a .37. D8. C9. D10. D二、填空题11.4012. (1, e) , e13.3x —y—2=0114.[0,—]4三、解答题15.解析::因为 f (x) 2(1 x) ln(1 x)2所以f (x) 2(1 x)- 21 x2 1 2 x 2x(1)令f (x) 2(1 x) 2[(1 x) ] 0 01 x 1 x 1 x2 x 1或x>0,所以f (x)的单调增区间为(—2,—1)和(0 分)2 1 2 x 2x令f (x) 2(1 x)1 x 2[(1 x)1 x]0 1 x 0 分)(2) 令f(X)0 (1x)2 1 x或x2(舍)，由(1)知，f(x)连续，由此可得1 1 2f (— 1) —2, f (0) 1, f(e 1) e 2,e e所以，当x ［丄1,e 1］时,f (x)的最大值为e2 2.e因此可得：f (x)<m恒成立时，m>d— 2 ( 9分)(3) 原题可转化为：方程a=(1 + x) —ln(1+ x)2在区间［0 , 2］上恰好有两个相异的实根。
2令g(x) (1 x) ln(1 x)2,则g (x) 1 ,令g (x) 0,解得：x 1,1 x当x (0,1)时,g (x) 0, g(x)在(0,1)单调递减，当x (1,2)时,g (x) 0, g(x)在(1,2)单调递增. (12分)g(x)在x 0和x 2点处连续，又g(0) 1,g(1) 2 In4,g(2) 3 In 9,且2 —ln4<3 —ln9<1，二g (x)的最大值是1, g (x)的最小值是2—ln4。
所以在区间［0 , 2］上原方程恰有两个相异的实根时实数a的取值范围是：2 —ln4< a< 3—In9 ........... (14 分)16.解析:3(1)当a 1 时f (x) x2x x m ,•/ f(x)有三个互不相同的零点，••• f (x) 3 2 x x x m 0 即m 3 2x x x有三个互不相同的实数根令g(x)3 2 /x x x，贝y g (x) 3x2 2x 1 (3x 1)(x 1)1 1••• g(x)在(，1)和(一，)均为减函数，在(1,一)为增函数，3 31 5二g(x)极小g( 1) 1,g(x)极大g(n3 27所以m的取值范围是(1空) .......... 4分'27(2)由题设可知，方程f/(x) 3x2 2ax a20在1,1上没有实数根,f/(1) 3 2a a20二f/( 1) 3 2a a20，解得a 3 ....... 8分a 0(3)/ 2-f (x) 3x 2axa 23( x a 、/3)(xa),又 a0,.••当 xa 或 x -时，f /(x) 0 ; 当 f ax -时， f /(x) 0 •33•函数f (x)的递增区间为(,a)和(旦,),单调递减区间为(a,a -)33当a3,6 时，-1,2 ,3 a 3,又x 2,2 , /f(X )max max f( 2),f(2)而 f (2) f( 2) 16 4a20 ,• f (x)max f ( 2)8 4a2a 2 m , 又 •/ f (x)1在 2,2上恒成立，• f(x)max1 即 84a 2a 2m 1 ,即 m 9 4a 2a 2在a3,6上恒成立.••• 924a 2a 的最小值为87,• m87......... 13分' 217.解析：(I) f x 3x3a ,•-曲线y f (x)在点(2, f (x))处与直线y 8相切，f ' 20 3 4 a 0a 4,...5 分f 2 88 6a b「8b 24.(n)： f x 3 x 2a a 0 5当a 0时，f x 0, f (x)在J上单调递增，此时函数f (x)没有极值点.当a 0时，由f ' x 0x .a ,当x ，-.a 时，f ' x0，函数 f (x)单调递增，当x'、a, •-. a 时，f ' x 0,函数 f (x)单调递减，当x•、a, 时，f x 0，函数 f (x)单调递增，•••此时x '一 a 是f (x)的极大值点， x ,a 是f (x)的极小值点• ............................ 12分18.解析：y (x a) (x b)(x c) (x a)(x b) (x c) (x a)(x b)(x c)(x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b)19.1点距 D 点 x km,贝U T BD=40,AC=50— x , A BC=BD 2 CD 2 x 2 402又设总的水管费用为y元，依题意有：y=3a(50 —x)+5 a ■：, x2402(0 x 50)y' = —3 a + 5ax ,令y' =0,解得x =30402在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50- x =20(km)•••供水站建在 A D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.40解法二：设/ BCD=,则BC= ,CD=40cot ,(0 ) , AC 50 40cotsin 2设总的水管费用为f( 0 ),依题意，有40 5 3cosf ( 0 )=3 a (50 —40 • cot 0 )+5 a =150a+40a •sin sin(5 3cos ) sin (5 3cos ) (sin ) 3 5cos…f ( 0 )=40 a 2 40a -sin sin3令 f ( 0 )=0, 得cos 0 =53 4 3根据问题的实际意义，当cos 0 =-时，函数取得最小值，此时sin 0 =- , • cot 0 =-,5 5 4• AC=50 —40cot 0 =20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.。
