数项级数收敛性的判别

级数收敛发散的判断方法总结
级数是一种由数列构成的无限求和，是数学中的一个重要概念。

在学习级数时，我们需要掌握判断级数是否收敛或发散的方法。

一、正项级数判别法
正项级数是指所有项都是非负的级数。

如果正项级数的部分和有上界，则该级数收敛；如果正项级数的部分和无上界，则该级数发散。

二、比较判别法
比较判别法是指将待判断的级数与已知的收敛或发散的级数进行比较，从而判断待判断的级数的收敛性。

1. 比较法一：若0≤a_n≤b_n，则若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n
必收敛；若级数∑a_n发散，则级数∑b_n必发散。

2. 比较法二：若a_n≥0，b_n≥0，则若存在正整数N，使得对于n
≥N，a_n≤kb_n，则级数∑b_n收敛，则级数∑a_n必收敛；若级数
∑a_n发散，则级数∑b_n必发散。

三、极限判别法
极限判别法是指将待判断的级数的通项公式中的n变为无穷大，然后求其极限值，从而判断级数的收敛性。

1. 当极限lim(a_n) = 0时，级数∑a_n可能收敛也可能发散。

2. 当极限lim(a_n) ≠ 0时，级数∑a_n必发散。

四、积分判别法
积分判别法是将待判断的级数的通项公式中的n替换为变量x，然后将其转化为函数f(x)的形式，然后对函数f(x)在正实数区间[a,∞)上求不定积分∫f(x)dx，若积分∫f(x)dx收敛，则级数∑a_n收敛；若积分∫f(x)dx发散，则级数∑a_n发散。

以上就是关于级数收敛发散的判断方法的总结，掌握这些方法可以帮助我们更好地判断级数的收敛性，加深对级数概念的理解。

级数收敛的概念和判别法则级数是数学中重要的概念之一，它是由无穷多个数相加而成的一种数列。

级数的收敛性与数列的求和有着密切的关系，它在分析学、数学物理等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍级数收敛的概念及其判别法则。

一、级数收敛的概念级数是指由无穷多个数按照一定次序相加而成的表达式。

设a₁，a₂，a₃，……，aₙ，……是一个数列，则级数可以表示为S = a₁ +a₂ + a₃ + …… + aₙ + ……当数列{Sₙ}存在有限的极限值S时，称级数S收敛，记作∑aₙ = S。

反之，若数列{Sₙ}不存在有限的极限值，则称级数S发散。

二、级数收敛的判别法则为了判断一个级数是否收敛，数学家们提出了多种判别法则，下面将介绍其中几种常见的方法。

1. 初等判别法初等判别法适用于一些简单级数的判断。

对于级数∑aₙ，如果当n趋于无穷大时，aₙ趋于零，即lim(aₙ) = 0，那么级数必收敛。

2. 比较判别法比较判别法适用于正项级数的判定。

设有两个级数∑aₙ和∑bₙ，且对于所有n，都有0 ≤ aₙ ≤ bₙ成立。

若级数∑bₙ收敛，则级数∑aₙ也收敛；若级数∑aₙ发散，则级数∑bₙ也发散。

3. 极限判别法极限判别法适用于形式为aₙ = f(n)的级数。

若存在正整数N和常数p，使得当n > N时，有aₙ ≤ (n^p)成立，那么根据级数∑(n^p)的收敛性来判断∑aₙ的收敛性。

4. 比值判别法比值判别法适用于正项级数的判定。

设有级数∑aₙ，若存在正实数q，使得当n足够大时，有(aₙ₊₁/aₙ) ≤ q成立，那么如果q < 1，级数∑aₙ收敛，如果q > 1，级数∑aₙ发散，若q = 1，则该方法不适用。

5. 根值判别法根值判别法适用于正项级数的判定。

设有级数∑aₙ，若存在正实数r，使得当n足够大时，有(n√aₙ) ≤ r成立，那么如果r < 1，级数∑aₙ收敛，如果r > 1，级数∑aₙ发散，若r = 1，则该方法不适用。

级数收敛的判别方法1. 比较判别法：若级数的通项与一个已知的收敛级数或发散级数之间存在比较关系，通过比较它们的大小可以判断级数的收敛性。

2. 极限判别法：对于正项级数，若其通项在n趋于无穷大时的极限存在且非零，那么级数收敛；若极限为零或不存在，则级数发散。

3. 比值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的比值的极限，若极限小于1，则级数收敛；大于1，则级数发散；等于1，则判别不出结果，可能为发散也可能为收敛。

4. 高斯判别法：对于形如an = f(n)g(n)的级数，若函数f(n)和g(n)满足一定的条件，那么级数收敛。

5. 绝对收敛和条件收敛：若级数的绝对值级数收敛，则原级数也收敛，否则原级数发散。

条件收敛是指原级数在绝对收敛的前提下仍然收敛。

6. 积分判别法：对于正项级数，将通项进行积分，若积分级数收敛，则原级数收敛；若积分级数发散，则原级数发散。

7. Ratio Test：For a series with positive terms, if the ratio of consecutive terms has a limit less than 1, then the series converges. If the limit is greater than 1 or does not exist, the series diverges.8. Root Test：For a series with positive terms, if the nth root of the absolute value of each term has a limit less than 1, then the series converges. If the limit is greater than 1 or does not exist, the series diverges.9. Alternating Series Test：For an alternating series with decreasing terms, if the absolute value of the terms tends to zero as n approaches infinity, then the series converges.10. Power Series Convergence Test：For a power series of the form ∑(an(x-c)^n), if there exists a number R such that the series converges for |x-c| < R and diverges for |x-c| > R, then the series converges for the interval (c-R, c+R) and diverges elsewhere.。

函数项级数收敛和一致收敛的判别函数项级数收敛和一致收敛的判别函数项级数是指将一列函数相加得到的级数，例如：$%sum%limits_{n=1}^%infty f_n(x)$。

如果该级数在某个区间内收敛，则称该级数在该区间内收敛，否则称该级数在该区间内发散。

函数项级数的收敛性可以分为点态收敛和一致收敛两种。

点态收敛是指对于每一个$x$，级数$%sum%limits_{n=1}^%inftyf_n(x)$都收敛，而一致收敛则是指存在一个收敛的函数$S(x)$，使得对于任意$%epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，对于所有$x$都有$|%sum%limits_{k=1}^n f_k(x)-S(x)|<%epsilon$。

下面将介绍函数项级数的一致收敛的判别方法：一、Weierstrass判别法Weierstrass判别法是判定函数项级数一致收敛的最常用方法之一。

其基本思想是将原函数项级数中的每一项$f_n(x)$都用一个上界函数$M_n(x)$来代替，并且要求这个上界函数满足以下两个条件：1. 对于任意$n$和$x$，都有$|f_n(x)|%leq M_n(x)$。

2. 上界函数$M_n(x)$的函数项级数$%sum%limits_{n=1}^%infty M_n(x)$在该区间内收敛。

如果满足上述条件，则原函数项级数在该区间内一致收敛。

二、Abel判别法Abel判别法是另一种判定函数项级数一致收敛的方法。

其基本思想是将原函数项级数表示为两个部分的乘积：$%sum%limits_{n=1}^%infty a_n(x)b_n(x)$，其中$a_n(x)=%sum%limits_{k=1}^n f_k(x)$，$b_n(x)$是一个单调有界函数。

如果满足以下两个条件，则原函数项级数在该区间内一致收敛：1. 函数$a_n(x)$在该区间内一致有界。

2. 函数$b_n(x)$在该区间内一致收敛到某个函数$B(x)$。

函数项级数一致收敛性判别及应用函数项级数是由一系列函数的和组成的级数，通常用于描述函数的展开式或泰勒级数。

对于某些函数项级数，我们希望判断其在一定的条件下是否具有一致收敛性，这对于分析和解决问题具有很大的价值。

本文将介绍一些函数项级数一致收敛性的判别方法及其应用。

一、函数项级数收敛的定义设 $f_n$ 为定义在区间 $I$ 上的函数序列，如果存在函数 $f$ 使得$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ 对于所有 $x\in I$ 成立，则称函数序列$\{f_n\}$ 在 $I$ 上逐点收敛于函数 $f$，并记为 $f_n\to f$（$n\to\infty$）。

二、Weierstrass 判别法Weierstrass 判别法是判断函数项级数一致收敛性的重要方法之一。

它通常用于非负函数项级数。

证明如下：设 $s_N(x)=\sum_{n=1}^{N}f_n(x)$ 为前 $N$ 项和函数，$s(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 为级数的和函数。

由于 $|f_n(x)|\leq M_n$，所以对于 $m>n$，有 $|s_m(x)-s_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|f_k(x)|\leq \sum_{k=n+1}^{m}M_k$。

三、Abel 判别法1. 证明 Riemann 积分的线性性如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，则它们的线性组合$\alpha f(x)+\beta g(x)$ 也在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，并且$$\int_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int_a^bf(x)dx+\beta\int_a^bg(x)dx$$如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续，则它们的线性组合也在$[a,b]$ 上一致连续。

函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数的一致收敛性判别可以通过Weierstrass判别法、Cauchy准则和Abel定理来进行。

Weierstrass判别法是指如果对于函数项级数的每一项f_n(x)和一个正项级数M_n，满足|f_n(x)| ≤ M_n，且正项级数M_n一致收敛于一个数M(x)，则函数项级数一致收敛。

应用：
函数项级数的一致收敛性判别在数学分析和应用数学中有广泛的应用。

在实分析中，一致收敛性判别可以用来研究函数项级数的性质，如收敛域、导函数和积分函数的连续性等。

在微分方程的研究中，一致收敛性判别可以用来证明解的存在唯一性以及解的性质。

在物理学和工程学中，一致收敛性判别可以用来研究泛函级数的逼近性质，如傅里叶级数在信号处理和图像处理中的应用等。

一致收敛性判别也被应用于概率论中的随机过程和随机分析等领域。

函数项级数的一致收敛性判别在数学和应用科学中有着重要的理论和实际价值。

级数收敛与发散的判定方法级数是数学中的重要概念，它由一列数相加得到。

在级数中，我们想要知道这个级数是收敛还是发散，这对于解决很多数学问题至关重要。

本文将介绍一些常用的判定方法，帮助我们判断级数的收敛性。

一、正项级数的判定方法正项级数是指级数中所有的项都是非负数的级数。

对于这样的级数，我们有以下几种常见的判定方法。

1. 比较判别法比较判别法是最常用的判定方法之一。

若存在一个收敛的正项级数和一个发散的正项级数，使得对于所有的n，都有a_n ≤ b_n，那么级数Σa_n也是收敛的，而级数Σb_n是发散的。

2. 极限判别法极限判别法是另一种常用的判定方法。

若存在一个正常数L，使得当n趋向无穷大时，a_n的极限为L（L>0），那么级数Σa_n收敛。

反之，如果当n趋向无穷大时，a_n的极限不存在或为无穷大，那么级数Σa_n发散。

3. 比值判别法比值判别法是判定正项级数收敛与发散的重要方法。

假设an为正项级数的一般项，若存在一个实数r，使得当n趋向无穷大时，|(a_n+1)/a_n|的极限为r（0≤r＜1），那么级数Σa_n是收敛的。

反之，如果r≥1或者r不存在，那么级数Σa_n是发散的。

二、任意项级数的判定方法除了正项级数外，我们还会遇到一般的级数，这些级数中的项既有正数也有负数，这时我们无法直接使用前面的判定方法。

以下介绍两种常见的判定方法。

1. 列维判别法对于一般级数Σa_n，如果存在一个发散的正项级数和一个收敛的正项级数，使得当n趋向无穷大时，(a_n+1)/(a_n)的极限为p（0<p≤∞），那么级数Σa_n是收敛的。

如果p＜1，则级数Σa_n是发散的。

2. 积分判别法对于一般级数Σa_n，如果存在一个函数f(x)，在连续正数轴上单调递减，并且对于n=1,2,...，有a_n=f(n)，那么级数Σa_n与函数f(x)的积分∫f(x)dx的收敛性或发散性相同。

综上所述，级数收敛与发散的判定方法有正项级数的比较判别法、极限判别法和比值判别法，以及任意项级数的列维判别法和积分判别法。

函数项级数一致收敛性判别及应用函数项级数是指由函数组成的序列求和的过程，它在数学中具有重要的应用。

函数项级数一致收敛性判别及应用是函数序列求和过程中的一个重要问题，它涉及到函数项级数的收敛性和应用方面。

本文将介绍函数项级数一致收敛性的判别方法和应用，让读者对这个重要的数学问题有一个更深入的了解。

我们来介绍一下函数项级数一致收敛性的概念。

函数项级数的一致收敛性是指函数项级数在定义域上一致收敛。

在数学中，一致收敛是指序列或者函数在某个范围内均匀收敛。

对于函数项级数来说，一致收敛性意味着在整个定义域上，序列的收敛性都是均匀的，而不是局部的。

一致收敛性是函数项级数的重要性质，它在微积分、实分析和复分析等领域都有广泛的应用。

要判断函数项级数是否一致收敛，有一些常用的判别法则，下面我们将介绍其中的几种。

首先是Weierstrass判别法。

Weierstrass判别法是判断函数项级数一致收敛性的常用方法之一，它要求被求和的函数的绝对值在定义域上有一个上界，而且这个上界在定义域上是一致的。

具体而言，如果对于函数项级数中的每一个函数f(x)都存在一个数M，使得|f(x)|≤M对于定义域D中的所有x都成立，那么函数项级数就一致收敛。

Cauchy判别法也是判断函数项级数一致收敛的一种方法。

Cauchy判别法是根据函数项级数的收敛性和余项来判断一致收敛性的，它要求余项趋于零，即对于任意的ε>0，存在一个正整数N，当n和m都大于N时，|Rn- Rm|<ε成立。

如果余项满足这个条件，那么函数项级数就一致收敛。

我们要介绍的是Abel判别法。

Abel判别法适用于交错级数，它要求函数项级数的前n项和收敛，并且有界，而且收敛序列是单调递减的，这时交错级数就是一致收敛的。

这三种判别法则是判断函数项级数一致收敛性的常用方法，在实际应用中非常有用。

函数项级数一致收敛性的判别法则是实际问题的抽象和理论总结，它在实际应用中有广泛的用途。

级数与收敛性的判断一. 级数的定义和收敛性判断级数是指由一系列无穷多个数相加而成的表达式，通常形式为 a1 + a2 + a3 + ...，其中ai为序列中的第i个数。

在数学中，我们经常需要判断一个级数是否收敛，即求出级数的和，或者判断级数是否发散，即级数的和是无穷大或不存在。

确定一个级数是否收敛有多种方法，下面将介绍常用的四种方法，它们分别是：比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。

二. 比较判别法比较判别法是最常用的求解级数收敛性的方法之一。

该方法通过将待判断级数与一个收敛的基准级数进行比较，从而判断待判断级数的收敛性。

具体来说，比较判别法可以分为以下两种情况：1. 若存在一个收敛的正项级数∑b_n，则当对于所有n，有0 ≤ a_n ≤ b_n时，级数∑a_n也收敛。

2. 若存在一个发散的正项级数∑b_n，则当对于所有n，有a_n ≥ b_n ≥ 0时，级数∑a_n也发散。

三. 比值判别法比值判别法是另一种常用的级数收敛性判断方法。

通过取待判断级数的相邻项的比值的极限值，可以得出判断结果。

具体来说，比值判别法可以分为以下两种情况：1. 若存在一个正常数L，使得lim(n→∞) |a_(n+1)/a_n| = L，若L < 1，则级数∑a_n收敛；若L > 1，则级数∑a_n发散；若L = 1，则比值判别法无法判断，需要结合其他方法。

2. 若lim(n→∞) |a_(n+1)/a_n| = +∞，则级数∑a_n发散；若lim(n→∞) |a_(n+1)/a_n| = 0，则级数∑a_n收敛。

四. 根值判别法根值判别法是一种用于判断级数收敛性的方法，它采用级数的相邻项的根值的极限来进行判断。

具体来说，根值判别法可以分为以下两种情况：1. 若存在一个正常数L，使得lim(n→∞) (|a_n|^1/n) = L，若L < 1，则级数∑a_n收敛；若L > 1，则级数∑a_n发散；若L = 1，则根值判别法无法判断。

数项级数收敛的判别方法数项级数是数学中的一个重要概念，它由一组序列所构成，有无穷多个数相加而成。

判断数项级数是否收敛是一个重要的问题，本文将围绕“数项级数收敛的判别方法”展开讨论。

第一步，先说一下收敛和发散的定义。

对于一个数列（即只有一项的“级数”），如果其极限值存在，则称这个数列是收敛的，否则就是发散的。

对于一个数项级数，如果其部分和的极限值存在，则称该级数是收敛的，反之，则是发散的。

因此，我们要判断一组序列相加后的部分和是否收敛，就需要寻找相应的判别方法。

第二步，几种常用的判别方法。

1. 比较判别法比较判别法是数项级数判别法中最常用的一种。

其基本思想是通过与其它更简单的级数进行比较，来判断该级数的收敛性。

具体做法有两种：（1）比较原则一：若0≤an≤bn，且级数∑bn收敛，则级数∑an也收敛。

（2）比较原则二：若0≤bn≤an，且级数∑bn发散，则级数∑an也发散。

2. 极限判别法极限判别法是另一种常用的判断级数收敛性的方法。

它的基本思想是利用极限的大小关系来判断级数的收敛性。

具体做法如下：若an>0，且limn→∞an/bn=L（L为常数），则（1）若L< ∞，则级数∑an和级数∑bn收敛或发散；（2）若L > 0，∑bn收敛，则∑an收敛；（3）若L = ∞，∑bn发散，则∑an也发散。

3. 交错级数判别法交错级数是一种类似于分数的级数形式，其每一项的符号交替出现。

交错级数判别法的基本思想是，若交错级数满足某些特殊条件，该级数就是收敛的。

具体做法如下：若交错级数∑（-1）nan满足以下条件，则该级数收敛：（1）an > 0;（2）an单调递减;（3）limn→∞an=0。

第三步，应用判别法解决实际问题。

当我们遇到一个分数、一个根号，或者一个三角函数等等一些复杂的级数时，直接用极限或比较原则对其进行处理可能会非常复杂。

这时我们就需要灵活运用各种级数收敛性判别方法，比如利用洛必达法则求解极限，或通过变形将其转化为其他形式更容易处理的级数。

级数收敛一、定义定义1：设有数列 表达式 （1）称为数项级数，可记为 ，其中 称为数项级数（1）的第n 项或一般项。

定义2： 称为级数（1）的第n 个部分和，数列称为它的部分和数列。

定义3：设 是级数（1）的部分和数列，若 则说级数（1）的和是S ，这时也说级数（1）是收敛（于S ）的。

记为： 。

若是发散数列，则称级数（1）发散。

余项： 定义4：绝对收敛：若∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛条件收敛：若∑∞=1n n u 发散，则称级数∑∞=1n n u 条件收敛二、性质定理定理1若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则对任意常数,c d ，级数111()nn n n n n n cudv c u d v ∞∞∞===+=+∑∑∑也收敛.定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.+++u u u n 21,,,:}{21u u u u n n ∑∞=1n n u u n u u u S n n ++=21}{S n }{S n S S n n =∞→lim S u n n =∑∞=1}{S n S S r n n -=定理3 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和. 三、分类1、等比级数（几何级数）:2、--p 级数：)0(11>∑∞=p nn p3、正项级数: 若0≥n u ，则称∑n u 为正项级数4、一般级数：任意 ，则称∑n u 为一般级数 三、等比级数收敛性的判别法等比级数（几何级数） ，1<q 时，级数收敛 1≥q 时，级数发散四、--p 级数收敛性判别法：--p 级数)0(11>∑∞=p nn p(1)当10≤<p 时，级数发散 (2)当1>p 时，级数收敛 例：∑21n 为p-级数，p=2>1，显然此级数是收敛的. 五、正项级数收敛性的判别法（1）比较原则：设∑n u 与∑n v 是两个正项级数，若（1） 当+∞<<10时，两级数同时收敛或同时发散； （2） 当0=l 且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛；+++-q a aq a n 1qq a S n n --=1)1()1(≠q ⎪⎩⎪⎨⎧-=∞→发散q a S n n 1lim +++-q a aq a n 1 +++u u u n 21（3） 当+∞=l 且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散； 例： 判别级数∑n 1sin 的敛散性解：由于 111s i nl i m =∞→nn n ，根据比较原则，及调和级数∑n1发散，所以级数∑n1sin 也发散.（2）比式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且lim q u u nn =+1则 (1)当1<q 时，级数∑n u 也收敛；(2)当1>q 时，或+∞=q 时，级数∑n u 发散；注：当1=q 时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数∑21n 与∑n 1，它们的比式极限都是1lim1=+∞→nn n u u 但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的. （3）根式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且1lim =∞→n nn u 则 (1)当1<l 时，级数收敛 (2)当1>l 时，级数发散注：当1=l 时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数∑21n 与∑n 1，二者都有1lim =∞n nn u ，但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的.但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的. 例：判别级数()∑-+nn212的敛散性解：由于232123lim lim122122==-∞→-∞→m m m m mm u u 612321l i m l i m 212212==+∞→+∞→mm m mm m u u 故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别法来考察这个级数，由于 2123l i ml i m 2222==∞→∞→m mm m m m u 2121lim lim 12121212==++∞→++∞→m m m m m m u 所以21lim =∞→n n n u 由根式判别法知原级数收敛. （4）积分判别法：设f 是[)+∞,1上非负递减函数那么正项级数∑)(n f 与非正常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散； 例：讨论级数∑∞=2)(ln 1n pn n 的敛散性 解：研究非正常积分⎰∞+2)(ln px x dx，由于 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+==2ln 22)(ln )(ln )(ln p p p udu x x d x x dx当1>p 时收敛1≤p 时发散，由积分判别法级数∑∞=2)(ln 1n pn n 在1>p 时收敛1≤p 时发散 六、一般级数收敛性的判别法（1）级数∑∞=1n n u 若0lim≠∞→n n u ，则此级数发散. 例：判断级数∑++nnn 2222的敛散性解：由于 1)2(lim 122=+⋅++∞→nx nn ，所以原级数发散（2）（基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.例：判定正项级数()()()112111n n n a a a a ∞=+++∑的敛散性.分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较判别法以及其他的判别法进行判断,因此可选用基本定理进行判断. 解 记()()()12111nn n a u a a a =+++,则()()()()()()()()()121211211111111111nn n n n a u a a a a a a a a a -==-+++++++++级数的前n 项和()()()112111111n n k k n S u a a a ===-<+++∑所以原级数的部分和数列有上界,于是原级数收敛.（3）柯西收敛准则级数∑∞=1n n u 收敛的充要条件：,,0N n ∈∃>∀ε当)(N m n m ∈>时，N p ∈∀有：ε<+⋅⋅⋅+++++m p m m u u u 21例：证明级数∑21n的收敛 证明：由于||21p m m m u u u ++++⋯++=222)(1)2(1)1(1p m m m +⋯++++ <))(1(1)2)(1(1)1(1p m p m m m m m +-++⋯+++++=）（）（）（pm p m m m m m+--++⋯++-+++-1112111111 =p m m +-11<m1 因此，对任给正数ε ，取]1[ε=N ，使得当m>N 及任意自然数p ，由上式就有||21p m m m u u u ++++⋯++<m1<ε由柯西收敛准则推得级数∑21n 是收敛的. （4）绝对收敛定义法：若级数∑n u 各项绝对值所组成的级数∑n u 收敛，则原级数∑n u 收敛； 例：⋯++⋯++=∑!!2!2n n nnαααα的各项绝对值所组成的级数是⋯++⋯++=∑!||!2||||!||2n n nn αααα应用比式判别法，对于任意实数α都有1||lim||||lim1+=∞→+∞→n u u n nn n α=0 因此，所考察的级数对任何实数α都绝对收敛.（5）莱布尼兹判别法：若交错级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 满足下述两个条件：(1)数列{}n u 单调递减；(2)0lim=∞→n n u 则级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 收敛.例：考察级数∑∞=+-111)1(n n n的敛散性.解：因为∑∑∞=+=-111|1)1(|n n nn 发散，不满足绝对收敛定义，而此级数满足莱布尼茨条件，故收敛.。

数项级数敛散性判别法。

(总结)数项级数是一类由无穷多个项组成的数列，它们的和是一个数。

在数学中，我们通常利用一些方法来判断数项级数的收敛性和发散性。

以下是数项级数敛散性判别法的总结：1. 正项级数收敛判别法：如果数列中的每一项都是非负数，且后一项大于等于前一项，那么这个数项级数收敛。

2. 比较判别法：如果一个数项级数的绝对值序列能够被一个已知的收敛数项级数和一个已知的发散数项级数所夹逼，那么这个数项级数与已知的收敛数项级数具有相同的收敛情况，与已知的发散数项级数具有相同的发散情况。

3. 极限比值判别法：对于一个数项级数，如果存在一个常数$q$，使得 $0\leq q<1$，并且对于充分大的 $n$，有$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<q$，那么数项级数收敛。

如果存在一个常数 $r>1$，并且对于充分大的 $n$，有$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|>r$，那么数项级数发散。

如果 $q=1$，那么该方法不确定。

4. 根号(拉阔)判别法：对于一个数项级数，如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}<1$，那么数项级数收敛；如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}>1$，那么数项级数发散；如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}=1$，那么该方法不确定。

5. 积分判别法：对于一个递减的正项函数 $f(x)$，如果数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 可以表示成积分$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ 的形式，且该积分收敛，那么数项级数也收敛。

如果积分发散，那么数项级数也发散。