数集确界原理典型例题

数学分析确界定理习题1、用区间表示下列不等式的解：(1) |1-x|-x≥0；(2) |x+1/x |≤6；(3) (x-a)(x-b)(x-c)>0 (a,b,c为常数，且a<b<c)；(4) sinx≥根号2/2.解：(1) 1-x≥x或1-x≤ - x；即x≤1/2 ；∴原不等式的解为：x∈(-∞,1/2].(2) -6≤x+1/x≤6，且x≠0；当x>0时，-6x≤x^2+1≤6x；解得3-2根号2≤x≤3+2根号2；当x<0时，-6x≥x^2+1≥6x；解得-3-2根号2≤x≤ -3+2根号2；原不等式的解为：x∈[3-2根号2, 3+2根号2]∪[-3-2根号2, -3+2根号2] (3)当x>a时，x>c或x<b；即x>c或a<x<b；当x<a时，b<x<c，即x无解；∴原不等式的解为：x∈(a,b)∪(c,+∞).(4)当-π<x<π时，x∈[π/4,3π/4]；根据正弦函数的周期性，原不等式的解为：x∈[2k+π/4, 2k+3π/4]，k为整数。

2、设S为非空数集。

试对下列概念给出定义：(1)S无上界；(2)S无界.解：(1)设S为非空数集，若对任意M>0，总存在x0∈S，使x0>M，则称数集S 无上界；(2)设S为非空数集，若对任意M>0，总存在x0∈S，使|x0|>M，则称数集S无界.3、试证明数集S={y|y=2-x^2, x∈R}有上界而无下界.证：对任意x∈R, y=2-x^2≤2，∴数集S有上界2.而对任意的M>0，取x1=根号(M+3)，有y1=2-(M+3)= -M-1∈S，且y1<-M，∴数集S无下界。

4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：(1) S={x|x^2<2}；(2) S={x|x=n!, n∈N+}；(3) S={x|x为(0,1)内的无理数}；(4) S={x|x=1-1/2^n, n∈N}.解：(1) sup S=根号2；inf S=-根号2.验证：由x^2<2，得-根号2<x<根号2. 因此对于任意x∈S，有x<根号2，且x>-根号2，即根号2和-根号2分别是S的上下界.又对任意ε>0，不妨设ε<2根号2，于是存在x0=根号2-ε/2，x1=-根号2+ε/2，使x0,x1∈S，但x0>根号2-ε；x1<-根号2+ε，∴sup S=根号2；inf S=-根号2.(2) sup S=+∞，inf S=1.验证：对任意x∈S，1≤x<+∞. 所以1是S的下界。

数集确界原理数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用。

在数学分析中，确界原理是指对于有上（下）界的非空实数集合必存在最小（大）上（下）确界。

这一原理在实际问题中有着重要的意义，下面我们将深入探讨数集确界原理及其应用。

首先，我们来了解一下数集的上确界和下确界。

对于一个实数集合A，如果存在一个实数M，使得对于A中的任意元素x，都有x≤M，那么M就是A的上确界，记作supA。

类似地，如果存在一个实数m，使得对于A中的任意元素x，都有x≥m，那么m就是A的下确界，记作infA。

上确界和下确界是数学分析中非常重要的概念，它们在实际问题中的应用非常广泛。

数集确界原理指出，对于有上（下）界的非空实数集合，必存在最小（大）上（下）确界。

这一原理在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，对于某种商品的价格集合，我们可以通过确界原理得到最低价和最高价，这对于市场分析和决策具有重要意义。

在工程学中，对于某种材料的强度集合，我们可以通过确界原理得到最小强度和最大强度，这对于设计和生产具有重要意义。

在物理学中，对于某种物理量的测量结果集合，我们可以通过确界原理得到最小值和最大值，这对于实验结果的分析具有重要意义。

除了在实际问题中的应用，数集确界原理在数学分析中也有着重要的理论意义。

它为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。

通过确界原理，我们可以证明实数集合的某些性质，例如实数集合的稠密性、实数集合的有界性等。

这些性质对于实数集合的理论研究和应用具有重要意义。

总之，数集确界原理是数学分析中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用，并且为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。

通过对数集确界原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解和运用实数集合的性质，为实际问题的分析和解决提供重要的理论支持。

希望本文对读者对数集确界原理有所帮助，谢谢阅读。

2007／10／09§1.8 上确界和下确界一、定义,,β有上界是一个非空集合设E —有没有最小上界？—⎩⎨⎧再小一点不再是上界；是上界； .2 .1：定义1满足合是一个非空有上界的集设β,E ;, 1β≤∈∀x E x o 有.,,0 2εβεεε->∈>∀x E x o 使存在是上界小一点不再是上界,的上确界为称E β.sup E =β记为同样满足合是一个非空有下界的集设α,E ;, 1α≥∈∀x E x o 有. , ,0 2εαεεε+<∈>∀y E y o 使存在,的下确界为称E α.inf E =α记为Supremum (上确界)，Infimum (下确界)最大下界例1.,1N inf *=,1)1,0sup( ,0)1,0inf(==,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧n {}{},1sup ,0inf ==n n x x①;,E E ∉∈也可以确界可以②上确界与最大元的关系：;sup ,a E a E =那么中有最大元,中无最大元E .也可以有上确界下确界与最小元有类似关系.二、确界的一些基本性质{}Y y X x y x Y X ∈∈+=+,：①YX Y X inf inf )inf(+=+YX Y X sup sup )sup(+=+Xa X a inf )inf(+=+Xa X a sup )sup(+=+②)sup(sup inf )inf(Y X Y X Y X +≤+≤+③{}{},, n n y x 数列若,n n y x ≤⎩⎨⎧≤≤nn n n y x y x inf inf sup sup 则Y X y x Y y Y y X x X x inf inf inf ,inf ,+≥+⇒⎭⎬⎫≥∈∀≥∈∀,0>∀εε++<+∃Y X y x inf inf ''YX Y X inf inf )inf(+=+∴证明：YX Y X inf inf )inf(+=+①2inf ,''ε+<∈∃X x X x 2inf ,''ε+<∈∃Y y Y y }⇒YY X X sup inf ,sup inf ≤≤显然有⎩⎨⎧++≤YX Y X inf sup sup inf YX sup sup +≤②YX Y X inf inf )inf(+=+∴)sup(Y X +=③nn y x sup sup ≤往证,sup ,N *n n n y y x n ≤≤∈∀{}.sup 上界是n n x y ∴,sup sup n n y x ≤∴{})(sup 最小上界是n n x x .inf inf 类似可证n n y x ≤三、确界原理定理1:非空有上界的数集必有上确界;非空有下界的数集必有下确界.证明：, 的一个上界是设E γ,E x ∈任取.],[],[11b a x 记为将γ,],[11二等分将b a ⎩⎨⎧].,[,],[,2222b a E b a E 取左区间为中点右边区间没有；取为中点右边区间有,N ],,[,*∈=n b a I n n n 得闭区间套重复进行,321 ⊃⊃⊃I I I .02||1→-=-n n xI γ此区间套特点：.,],[中点右边无中点中必含有每个E b E b a n n n 由区间套定理，.lim lim ,|1n n n n n n b a I ∞→∞→∞===∈∃ββ其中Ⅰ.,,n b x E x <∈∀必有.lim β=≤∴∞→n n b x 是上界Ⅱ.,N ,0*∈∃>∀N ε,εβ->N a 使,根据区间特点,],[N N N x E b a 中点中必有在使得.εβ->≥N N a x .sup E =β所以Esup =β下证.inf ,sup -∞=+∞=E E单调有界原理确界原理⇒证明：{}有上界，单调增设 ,n a ,,,0 εε->∃>∀a a a N N 使且,时N n >}.sup{lim n n n a a a ==∴∞→例2.{},,sup a a a a a n n n ≤=且有上确界则εε<-⇒⎩⎨⎧≤->≥a a aa a a a n n N n2007／10／11§1.9 有限覆盖定理一、覆盖{}，若有一族开区间给定集合Λλλ∈, ,I A , Λλλ∈⊂I A 使.A 称这一族开区间覆盖了{}.的一个开覆盖是或称开区间族A I λ)1()2({}的覆盖是A I λ⇔,A x ∈∀总有一个开{}.00λλλI x I I ∈∈，使区间），），（），），（如21,1(,5432,4321(,320:++-n n n n ]2141[),10(，覆盖了，覆盖了二、有限覆盖定理定理2)(定理—Borel Heine {}覆盖，被一族开区间若有限闭区间λI b a ],[则必可从中选出有限个开区间来覆盖].,[b a 证明：反证法{},],[中有限个开区间覆盖不能被设λI b a , ],[ 二等分将b a 不能必有一个区间],[11b a .被有限覆盖不能必有一个闭区间二等分],[,],[2211b a b a .被有限覆盖{},],[,n n b a 得到闭区间套如此下去且其中.限覆盖每一个区间都不能被有知由闭区间套定理 ,,],[|1 ∞=∈∃n n n b a η.lim lim η==∞→∞→n n n n b a 且],,[b a ∈η {},),(ηβαλ盖住中至少有一个在I ∴.βηα<<,由极限性质必有如,,N n N >∃,βηα<<<<n n b a ),(],[βα⊂n n b a 矛盾！可少！区间的有限性、闭性不 ,),1(,2,1)},,0{(的开覆盖是+∞= n n .无有限覆盖,(0,1),3,2)},1,1{(的开覆盖是 =n n.无有限覆盖注意：单调有界定理确界定理闭区间套定理有限覆盖定理列紧性定理Cauchy收敛定理三、实数系统六定理等价性作业(数学分析习题集)习题1.8 上确界和下确界A 1(3), (5);2；3；5.。

数学分析习题第一章 实数集与函数§1 实数1.设a 为有理数,x 为无理数.证明:(1)a x +为无理数; (2)当0a ≠时,ax 为无理数.2.试在数轴上表示出下列不等式的解:(1)2(1)0;x x -> (2)13;x x -<-3.设.a b R ∈、证明:若对任何正数ε有,a b ε-<则.a b =4.设0,x ≠证明1x x+≥2，并说明其中等号何时成立. 5.证明:对任何x R ∈有 (1)12x x -+-≥1; (2)123x x x -+-+-≥2.6.设a b c R +∈、、(R +表示全体正实数的集合).证明≤.b c -你能说明此不等式的几何意义吗?§2 数集g 确界原理1.用区间表示下列不等式的解: (1)1x x --≥0; (2) 1x x+≤6; (3)()()()0x a x b x c --->( ,,a b c 为常数,且a b c <<);(4)sin x ≥22.设S 为非空数集.试对下列概念给出定义:(1)S 无上界; (2)S 无界.3.试证明由(3)式所确定的数集S 有上界而无下界.4.求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证:(1)2{|2};S x x =< (2){|!,};S x x n n N +==∈(3){|(0,1)};S x x =为内的无理数(4)1{|1,}.2nS x x n N+==-∈5.设S为非空有下界数集.证明:inf minS S Sξξ=∈⇔=.§3 函数概念1.试作下列函数的图象:(1) 21;y x=+ (2) 2(1);y x=+(3) 21(1);y x=-+ (4) sgn(sin);y x=(5) 33, 1., 1.3, 1.x xy x xx⎧>⎪=<⎨⎪=⎩2.试比较函数xy a=与logay x=分别当2a=和12a=时的图象.3.根据图1-2写出定义在[0,1]上的分段函数1()f x和2()f x的解析表示式.4.确定下列初等函数的存在域:(1) sin(sin);y x= (2) lg(lg);y x=(3) arcsin(lg);10xy= (4) lg(arcsin).10xy=5.设函数2, 0()2, 0.xx xf xx+⎧=⎨>⎩≤，求(1) (3),(0),(1);(2)()(0),()(0)(0).f f f f x f f x f x-∆--∆-∆>6.设函数1(),1f xx=+求。

第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。

(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。

设a∈R，δ>0。

满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。

若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。

若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。