2006高考文科数学试卷及答案全国1

2006年普通高等学校招生全国统一考试试卷文科数学试题及答案（安徽卷）参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =，{3,6}T =，则()U C S T ⋃等于（ ）A ．∅B ．{2,4,7,8}C ．{1,3,5,6}D ．{2,4,6,8}解：{1,3,5,6}S T ⋃=，则()U C S T ⋃＝{2,4,7,8}，故选B（2）不等式112x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞解：由112x <得：112022xx x--=<，即(2)0x x -<，故选D 。

（3）函数1()x y e x R +=∈的反函数是（ ） A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =->C ．1ln (0)y x x =-->D ．1ln (0)y x x =-+>解：由1x y e +=得：1ln ,x y +=即x=-1+lny ，所以1ln (0)y x x =-+>为所求，故选D 。

（4）“3x >”是24x >“的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：条件集是结论集的子集，所以选B 。

2006 年一般高等学校招生全国一致考试一试卷文科数学试题及答案（安徽卷）参照公式：假如时间 A 、 B 互斥，那么 P( A B)P( A) P(B)假如时间 A 、 B 互相独立，那么 P( A B) P( A) P(B)假如事件 A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰巧发生k 次的概n k率 P n k C n k P k 1 P2球的表面积公式 S4 R ，此中 R 表示球的半径43球的体积公式 V R ，此中 R 表示球的半径 3第Ⅰ卷（选择题 共 60分）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

（ 1）设全集 U {1,2,3,4,5,6,7,8} ，会合 S{1,3,5} ， T {3,6} ，则 C U S T 等于（）A ．B． {2,4,7,8}C． {1,3,5,6}D． {2,4,6,8}解： ST {1,3,5,6} ，则 C U ST ＝ {2,4,7,8} ，应选 B（ 2）不等式 11 的解集是（ ）A ． ( ,2) x 2 ． (2, )． (0, 2)． ( ,2)(2,)B CD解：由11 得： 1 12 x0 ，即 x(2x) 0 ，应选 D 。

x 2 x 22x（ 3）函数 y e x 1 (x R) 的反函数是（）A ． y 1 ln x( x 0)B ． y 1ln x( x 0)C ． y 1 ln x(x 0)D． y 1 ln x(x 0)解：由 ye x 1 得： x 1 ln y,即 x=-1+lny ，所以 y1 ln x( x0) 为所求，应选D 。

（ 4）“ x 3”是 x 24 “的（ ） A ．必需不充足条件 B ．充足不用要条件 C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件 解：条件集是结论集的子集，所以选 B 。

（ 5）若抛物线 y 22 px 的焦点与椭圆 x 2 y 2 1 的右焦点重合，则 p 的值为（）6 2A ． 2B．2C ．4D． 4解：椭圆 x2y 21的右焦点为 (2,0) ，所以抛物线 y 22 px 的焦点为 (2,0) ，则62p 4 ，应选 D 。

2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a 、b 满足1a =，4b =，且2a b ⋅=，则a 与b 的夹角为 A.6π B.4π C.3π D.2π 2. 1.设集合2{|0}M x x x =-<，{|||2}N x x =<，则 A.MN =∅ B.M N M = C.M N M = D.M N R =2.已知函数x e y =的图像与函数)(x f y =的图像关于直线x y =对称，则 A.2(2)x f x e =（x R ∈） B.2ln )2(=x f ·x ln （0>x ） C.(2)2x f x e =（x R ∈） D.(2)ln ln 2f x x =+（0x >）3.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A.14-B.4-C.4D.145.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若735S =，则4a = A.8 B.7 C.6 D.5 5.函数()tan()4f x x π=+的单调增区间为A.(,)22k k ππππ-+，k Z ∈ B.(,(1))k k ππ+，k Z ∈ C.3(,)44k k ππππ-+，k Z ∈ D.3(,)44k k ππππ-+，k Z ∈7.从圆012222=+-+-y y x x 外一点(3,2)P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A.21B.53C.23D.08.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A.14B.349.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π10.在10)21(x x -的展开式中，4x 的系数为A.120-B.120C.15-D.15 11.抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是A.43B.75C.85D.3 11.用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A.2B.2C.2D.220cm 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.已知函数1()21x f x a =-+，若)(x f 为奇函数，则a = .14.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于 .15.变量x 、y 满足下列条件2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为 .16.安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日.不同的安排方法共有 种.（用数字作答） 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知}{n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求}{n a 的通项公式. 18.（本小题满分12分）ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时,cos 2cos 2B CA ++取得最大值,并求出这个最大值. 19.（本小题满分12）A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12.（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率. 20.（本小题满分12分）如图，1l 、2l 是相互垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段.点A 、B 在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==. （Ⅰ）证明AC NB ⊥；（Ⅱ）若60ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.21.（本小题满分14分）设P 是椭圆2221x y a+=（1a >）短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值.22.（本小题满分12分）设a 为实数，函数x a ax x x f )1()(223-+-=在)0,(-∞和),1(+∞都是增函数，求a 的取值范围.ABCMN1l2l2006年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案一．选择题（1）C （2）B （3）D （4）A （5）D （6）C （7）B （8）B（9）C（10）C（11）A（12）B二．填空题 （13）21 （14）3π（15）11 （16）2400 三．解答题 （17）解：设等比数列||n a 的公比为q ，则q ≠0， ,2,23432q q a a qq a a ====所以 ,32022=+q q解得 .3,3121==q q 当 ,18,311==a q 时所以 .32318)31(18111n n n n a ---⨯==⨯= 当 ,92,31==a q 时所以 .3239231--⨯=⨯=n n n a（18）解： 由,222,A C B C B A -=+=++ππ得所以有 .2sin 2cos A C B =+2sin 2cos 2cos 2cos A A C B A +=++2sin 22sin 212A A +-=.23)212(sin 22+--=A当.232cos 2cos ,3,212sin 取得最大值时即C B A A A ++==π（19）解： （Ⅰ）设A 1表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i= 0，1，2，B 1表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i= 0，1，2，依题意有.943232)(,9432312)(21=⨯==⨯⨯=A P A P.2121212)(.412121)(10=⨯⨯==⨯=B P B P所求的概率为P = P （B 0·A 1）+ P （B 0·A 2）+ P （B 1·A 2） = 942194419441⨯+⨯+⨯.94=（Ⅱ）所求的概率为.729604)941(13=--=P（20）解法：（Ⅰ）由已知l 2⊥MN ，l 2⊥l 1，MN l 1 = M ， 可得l 2⊥平面ABN.由已知MN ⊥l 1，AM = MB = MN ， 可知AN = NB 且AN ⊥NB 又AN 为 AC 在平面ABN 内的射影，∴ AC ⊥NB（Ⅱ）∵ Rt △CAN = Rt △CNB ， ∴ AC = BC ，又已知∠ACB = 60°，因此△ABC 为正三角形。

2006年高考文科数学试卷及答案(全国卷1)（1）设集合M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则（A）M （B）M （C）（D）（2）已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则（A）f(2x)=e2x(x （B）f(2x)=ln2lnx(x>0 （C）f(2x)=2e2x(x （D）f(2x)= lnx+ln2(x>0（3）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A）- （B）-4 (C)4 （D）（4）如果(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m=（A）1 （B）-1 （C）（D）-（5）函数f(x)=tan(x+ )的单调递增区间为（A）(k - , k + ),k （B）(k , (k+1) ),k (C) (k - , k + ),k （D）(k - , k + ),k（6）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c，且c=2a，则cosB=（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A）16 （B）20 （C）24 （D）32（8）抛物线y=-x2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（9）设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1、b2、b3满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30 后与同向，其中i=1、2、3，则（A）-b1+b2+b3=0 （B）b1-b2+b3=0 （C）b1+b2-b3=0 （D）b1+b2+b3=0（10）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（A）120 （B）105 （C）90 （D）75（11）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A）8 cm2 （B）6 cm2 （C）3 cm2 （D）20cm2（12）设集合I={1，2，3，4，5}，选择I的两个非空子和B，要使B中的最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（A）50种（B）49种（C）48种（D）47种二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

全卷共150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、集合P ＝｛x 」x 2－16<0｝,Q ＝｛x 」x ＝2n ，n ∈Z ｝,则P Q ＝A.｛-2,2｝B.｛－2，2，－4，4｝C.｛2，0，2｝D.｛－2，2，0，－4，4｝ 2、已知非零向量a 、b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则=baA. 41B. 4C. 21D. 2 3、已知2sin 23A =＝32，A ∈（0，π），则sin cos A A +=A.3 B ．3- C ．53 D ．53- 4、在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9A. 81B. 27527C.3 D. 2435、甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么A. 甲是乙的充分但不必要条件B. 甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 6、关于直线m 、n 与平面α与β，有下列四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中真命题的序号是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③7、设f(x)＝x x -+22lg，则)2()2(xf x f +的定义域为 A. ），（），（－4004 B.(－4,－1) (1，4) C. (－2,－1) (1，2) D. (－4,－2) (2，4) 8、在2431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的有 A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项9、设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，若1,2且⋅=，则点P 的轨迹方程是A. )0,0(123322>>=+y x y x B. )0,0(123322>>=-y x y xC.)0,0(132322>>=-y x y x D.)0,0(132322>>=+y x y x 10、关于x 的方程()011222=+---k x x ，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 一、选择题：1.C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.A 二、填空题：11.23 12. 0.94 13. (0，34) 14. 78 15.（34πR 3）`＝4πR 2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. （1）函数)321sin(+=x y 的最小正周期是 （A ）2π （B ）π（C ）2π（D ）4π （2）设集合A ={1,2}，则满足A ∪B ={1,2,3}的集合B 的个数是（A ）1（B ）3（C ）4（D ）8（3）设)(x f 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 （A ）)(x f )(x f -是奇函数 （B ）)(x f |)(x f -| 是奇函数（C ）)(x f －)(x f -是偶函数 （D ）)(x f +)(x f -是偶函数（4）5646362616C C C C C ++++的值为 （A ）61（B ）62 （C ）63 （D ）64（5）方程02522=+-x x 的两个根可分别作为（A ）一椭圆和一双曲线的离心率（B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率（D ）两椭圆的离心率球的表面积公式24R S π=球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径（6）给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线21,l l 与同一平面所成的角相等，则21,l l 互相平行. ④若直线21,l l 是异面直线，则与21,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4（7）双曲线422=-y x 的两条渐近线与直线3=x 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式 组是（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3000x y x y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≥-3000x y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-3000x y x y x （D ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≤-3030x y x y x（8）设○+是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集. 若对任意A b a A b a ∈⊕∈有,,，则称A 对运 算○+封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是 （A ）自然数集 （B ）整数集 （C ）有理数集 （D ）无理数集（9）△ABC 的三内角A ，B ，C ，所对边的长分别为c b a ,,，设向量p ),(b c a +、q =).,(a c a b -- 若p ∥q ，，则角C 的大小为（A ）6π （B ）3π （C ）2π （D ）32π （10）已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，顶角的正切值是（A ）23 （B ）3（C ）815 （D ）715 （11）与方程)0(22≥+-=x e e y x x的曲线关于直线x y =对称的曲线的方程为（A ）)1ln(x y += （B ）)1ln(x y -=（C ）)1ln(x y +-=（D ）)1ln(x y --=（12）曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的（A ）离心率相等 （B ）焦距相等 （C ）焦点相同（D ）准线相同绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第II 卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）方程)1(log 2)1(log 22--=-x x 的解为 .（14）设⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x g x 则=))21((g g .（15）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P —ABCDEF ， 则此正六棱锥的侧面积是 .（16）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有 种.（以数作答）三．解答题：本大题共小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2006年山东高考文科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）定义集合运算：{|()A B z z xy x y ==+ ，x A ∈，}y B ∈，设集合{0A =，1}，{2B =，3}，则集合A B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．182．（5分）设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩…，则(f f （2）)的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．（5分）函数1(01)x y a a =+<<的反函数的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．4．（5分）设向量(1,3)a =- ，(2,4)b =- ，若表示向量4a ，32b a - ，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )A ．(1,1)-B ．(1,1)-C ．(4,6)-D ．(4,6)-5．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则f （6）的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．26．（5分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3A π=，a =1b =，则(c = )A ．1B ．2 C1- D7．（5，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( ) ABC ．12D8．（5分）正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A．B ．1:3 C．1: D ．1:99．（5分）设2:200p x x -->，21:0||2x q x -<-，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（5分）已知2(n x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( ) A ．1-B ．1C ．45-D ．4511．（5分）已知集合{5}A =，{1B =，2}，{1C =，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( ) A ．33B ．34C ．35D ．3612．（5分）已知x 和y 是正整数，且满足约束条件10227.x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩………则23z x y =+的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.5二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ． 14．（4分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 （用数字作答）．15．（4分）已知抛物线24y x =，过点(4,0)P 的直线与抛物线相交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，则2212y y +的最小值是 ．16．（4分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长均为1，则点1B 到平面1ABC 的距离为 ．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）设函数32()23(1)1f x x a x =--+，其中1a …． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）讨论()f x 的极值．18．（12分）已知函数2()sin ()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)． （Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）计算f （1）f +（2）(2008)f +⋯+．19．（12分）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：（Ⅰ）抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率； （Ⅱ）抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率； （Ⅲ）抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．20．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，//AB DC ，AC BD ⊥，AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点，又2BO =，PO =，PB PD ⊥．（1）求异面直接PD 与BC 所成角的余弦值； （2）求二面角P AB C --的大小； （3）设点M 在棱PC 上，且PMPCλ=，问λ为何值时，PC ⊥平面BMD ．21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l 过点(0,2)P 且与椭圆相交于A 、B 两点，当AOB ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程．22．（14分）已知数列{}n a 中，112a =，点1(,2)n n n a a +-在直线y x =上，其中1n =，2，3⋯．（Ⅰ）令11n n n b a a +=--，求证数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项；（Ⅲ）设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由．2006年山东高考文科数学真题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）定义集合运算：{|()A B z z xy x y ==+ ，x A ∈，}y B ∈，设集合{0A =，1}，{2B =，3}，则集合A B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．18【解答】解：当0x =时，0z =， 当1x =，2y =时，6z =， 当1x =，3y =时，12z =，故所有元素之和为18， 故选：D ．2．（5分）设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩…，则(f f （2）)的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：(f f （2）23)(log (21))f f =-=（1）1122e -==，故选C ． 3．（5分）函数1(01)x y a a =+<<的反函数的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数1(01)x y a a =+<<的反函数为log (1)a y x =-， 它的图象是函数log a y x =向右移动1个单位得到， 故选：A ．4．（5分）设向量(1,3)a =- ，(2,4)b =- ，若表示向量4a ，32b a - ，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )A ．(1,1)-B ．(1,1)-C ．(4,6)-D ．(4,6)-【解答】解：4(4,12)a =-，32(8,18)b a -=-， 设向量(,)c x y =，依题意，得4(32)0a b a c +-+=， 所以480x -+=，12180y -++=， 解得4x =，6y =-，故选：D ．5．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则f （6）的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【解答】解：因为(2)()f x f x +=-， 所以f （6）f =-（4）f =（2）(0)f =-， 又()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)0f =， 所以f （6）0=， 故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3A π=，a =1b =，则(c = )A ．1B ．2C 1-D 【解答】解：解法一：（余弦定理）由2222cos a b c bc A =+-得： 223121cos13c c c c π=+-⨯⨯=+-，220c c ∴--=，2c ∴=或1-（舍)．解法二：（正弦定理）由sin sin a b A B =1sin B =， 1sin 2B ∴=， b a < ，6B π∴=，从而2C π=，2224c a b ∴=+=，2c ∴=．7．（5，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( )A B C ．12D 【解答】解：不妨设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则有2221b a c a c=-=，据此求出e =， 故选：B ．8．（5分）正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A ．B ．1:3C ．1:D ．1:9【解答】解：设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为12a ，它的外接球的半径为，故所求的比为1:， 选C9．（5分）设2:200p x x -->，21:0||2x q x -<-，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：2:200p x x -->，解得5x >或4x <-，21:0||2x q x -<-，当0x …时可化为()()21110022x x x x x -+---即得01x <…或2x > 故210||2x x -<-的解为：2x <-或11x -<<或2x >， 故选：A ．10．（5分）已知2(n x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( ) A ．1-B ．1C ．45-D ．45【解答】解：第三项的系数为2n ð，第五项的系数为4n ð， 由第三项与第五项的系数之比为314可得10n =展开式的通项为为405210211010()((1)r r rr rr r T C x C x--+==-，令4050r -=， 解得8r =，故所求的常数项为8810(1)45C -=， 故选：D ．11．（5分）已知集合{5}A =，{1B =，2}，{1C =，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( ) A ．33B ．34C ．35D ．36【解答】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为11323336C C A =， 但集合B 、C 中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个， 故所求的个数为36333-=个， 故选：A ．12．（5分）已知x 和y 是正整数，且满足约束条件10227.x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩………则23z x y =+的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.5【解答】解：画出满足约束条件10227.x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩………对应的可行域：如图所示易得B 点坐标为(6,4)且当直线23z x y =+ 过点B 时z 取最大值，此时24z =，点 C 的坐标为(3.5,1.5)，过点C 时取得最小值，但x ，y 都是整数，最接近的整数解为(4,2)， 故所求的最小值为14， 故选：B ．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是　200　． 【解答】解： 学校共有师生3200人，从所有师生中抽取一个容量为160的样本， ∴每个个体被抽到的概率是1601320020=， ∴10120=总体中的教师数，∴学校的教师人数为1020200⨯=．故答案是：200．14．（4分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为　1-　（用数字作答）．【解答】解：设首项为1a ，公差为d ，由题得111151010229414110455291a d a d d d d a d a d +=+=⎧⎧⇒⇒-=--⇒=-⎨⎨+=-+=-⎩⎩ 故答案为1-15．（4分）已知抛物线24y x =，过点(4,0)P 的直线与抛物线相交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，则2212y y +的最小值是　32　．【解答】解：设直线方程为(4)y k x =-，与抛物线方程联立消去y 得2222(84)160k x k x k -++= 1216x x ∴=显然1x ，20x >，又2212124()32y y x x +=+=…，当且仅当124x x ==时取等号，此时k 不存在． 故答案为3216．（4分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长均为1，则点1B 到平面1ABC 的距【解答】解：如图所示，取AB 得中点M ，连接CM ，1C M ，过点C 作1CD C M ⊥，垂足为D11C A C B = ，M 为AB 中点， 1C M AB ∴⊥CA CB = ，M 为AB 中点， CM AB ∴⊥又1C M CM M = ，AB ∴⊥平面1C CM 又AB ⊂ 平面1ABC ，∴平面1ABC ⊥平面1C CM ，平面1ABC ⋂平面11C CM C M =，1CD C M ⊥，CD ∴⊥平面1C AB ，CD ∴的长度即为点C 到平面1ABC 的距离，即点1B 到平面1ABC 的距离在Rt △1C CM 中，11C C =，CM =，1C M =CD ∴=，即点1B 到平面1ABC三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）设函数32()23(1)1f x x a x =--+，其中1a …．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）讨论()f x 的极值．【解答】解：由已知得()6[(1)]f x x x a '=--，令()0f x '=，解得10x =，21x a =-．（Ⅰ）当1a =时，2()6f x x '=，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增当1a >时，()6[(1)]f x x x a '=--，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表： x (,0)-∞0 (0,1)a - 1a - (1,)a -+∞ ()f x ' + 0- 0 + ()f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增从上表可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,1)a -上单调递减；在(1,)a -+∞上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a =时，函数()f x 没有极值．当1a >时，函数()f x 在0x =处取得极大值1，在1x a =-处取得极小值31(1)a --．18．（12分）已知函数2()sin ()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）计算f （1）f +（2）(2008)f +⋯+．【解答】解：（Ⅰ）2sin ()cos(22)22A A y A x x ωϕωϕ=+=-+． ()y f x = 的最大值为2，0A >． ∴2,222A A A +==． 又 其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>， ∴12()2,224ππωω==． ∴22()cos(2)1cos(2)2222f x x x ππϕϕ=-+=-+． ()y f x = 过(1,2)点，∴cos(2)12x πϕ+=-． ∴22,2x k k Z πϕππ+=+∈，∴22,2k k Z πϕπ=+∈， ∴,4k k Z πϕπ=+∈，又 02πϕ<<， ∴4πϕ=．（Ⅱ）解法一： 4πϕ=，2()2()44f x sin x ππ=+ f ∴（1）f +（2）f +（3）f +（4）21014=+++=．又()y f x = 的周期为4，20084502=⨯，f ∴（1）f +（2）(2008)45022008f +⋯+=⨯=．解法二： 2()2sin ()4f x x πϕ=+ ∴223(1)(3)2sin ()2sin ()244f f ππϕϕ+=+++=，22(2)(4)2sin ()2sin ()22f f πϕπϕ+=+++=，f ∴（1）f +（2）f +（3）f +（4）4=．又(2,0)±的周期为4，20084502=⨯，f ∴（1）f +（2）(2008)45022008f +⋯+=⨯=．19．（12分）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：（Ⅰ）抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；（Ⅱ）抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；（Ⅲ）抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．【解答】解：()I 由题意知本题是一个古典概型，设“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A ，试验发生包含的所有事件数38C ，满足条件的事件是抽出的3张卡片上最大的数字是4，包括有一个4或有2个4，事件数是12212626C C C C +∴由古典概型公式12212626389()14C C C C P A C +==． ()II 由题意知本题是一个古典概型，设“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B ，试验发生包含的所有事件数38C ，满足条件的事件是抽出的3张卡片上有2张卡片上的数字是3，共有2126C C 种结果 ∴由古典概型公式得到2126383()28C C P B C == ()III “抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C ，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D ，由题意，C 与D 是对立事件，14C 是选一卡片，取2张22C ，另选取一张16C ∴121426383()7C C C PD C == P ∴（C ）34177=-=． 20．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，//AB DC ，AC BD ⊥，AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点，又2BO =，PO =，PB PD ⊥．（1）求异面直接PD 与BC 所成角的余弦值；（2）求二面角P AB C --的大小；（3）设点M 在棱PC 上，且PM PCλ=，问λ为何值时，PC ⊥平面BMD ．【解答】解：（1）PO ⊥ 平面ABCD ，PO BD ∴⊥又,2,PB PD BO PO ⊥==，由平面几何知识得：1,OD PD PB ===过D 做//DE BC 交于AB 于E ，连接PE ，则PDE ∠或其补角为异面直线PD 与BC 所成的角，四边形ABCD 是等腰梯形，1OC OD ∴==，2OB OA ==，OA OB ⊥∴BC AB CD ===又//AB DC∴四边形EBCD 是平行四边形．∴ED BC BE CD ====E ∴是AB 的中点，且AE =又PA PB ==PEA ∴∆为直角三角形，∴2PE ===在PED ∆中，由余弦定理得222cos 2PD DE PE PDE PD DE +-∠===故异面直线PD 与BC（2）连接OE ，由（1）以及三垂线定理可知，PEO ∠为二面角P AB C --的平面角，sin 0PO PE PE ∴∠==，45PEO ∴∠=︒，∴二面角P AB C --的平面角的大小为45︒； （3）连接MD ，MB ，MO ，PC ⊥ 平面BMD ，OM ⊂平面BMD ，PC OM ∴⊥，在Rt POC ∆中，PC PD ==1OC =，PO =，PM ∴=，MC =， ∴2PM MC=， 故2λ=时，PC ⊥平面BMD ．21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l 过点(0,2)P 且与椭圆相交于A 、B 两点，当AOB ∆面积取得最大值时，求直线l 的方程．【解答】解：设椭圆方程为22221()x y a b c a b+=>> （Ⅰ）由已知得222221b c a c a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩⇒14a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， ∴所求椭圆方程为228161x y +=．（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 由2228161y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得关于x 的方程：22(12)860k x kx +++=， 由直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，∴△2206424(12)0k k >⇒-+> 解得232k > 又由韦达定理得122122812612k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩∴12|||AB x x =-==原点O 到直线l的距离d =1||2AOB S AB d ∆===对S =2422244(4)240(*)S k S k S +-++= 0S ≠ ，2222222216(4)44(24)0402404S S S S S S S⎧⎪--⨯+⎪-⎪>⎨⎪⎪+>⎪⎩… 整理得：212S … 又0S >，∴0S <… 从而AOB S ∆的最大值为S =， 此时代入方程(*)得42428490k k k -+=∴=所以，所求直线方程为：240y -+=．22．（14分）已知数列{}n a 中，112a =，点1(,2)n n n a a +-在直线y x =上，其中1n =，2，3⋯．（Ⅰ）令11n n n b a a +=--，求证数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项；（Ⅲ）设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知得111,22n n a a a n +==+， 2213313,114424a a a =--=--=-， 又11n n nb a a +=--，1211n n n b a a +++=--， ∴112111*********n n n n n n n n n n a n a n b a a b a a a a +++++++++----===----， {}n b ∴是以34-为首项，以12为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，13131()4222n n n b -=-⨯=-⨯， ∴131122n n n a a +--=-⨯， ∴2131122a a --=-⨯，32231122a a --=-⨯， ⋯ ∴1131122n n n a a ----=-⨯， 将以上各式相加得： ∴1213111(1)()2222n n a a n ----=-++⋯+， ∴11111(1)31313221(1)(1)212222212n n n n a a n n n ---=+--⨯=+---=+--． ∴322n na n =+-． （Ⅲ）存在2λ=，使数列{}n n S T n λ+是等差数列． 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，22n n a b n +=- ∴(1)22(1)3222222n n n n n n n n n T T S T n n n S T n T n n nλλλ+--+++--+=-==+又121131(1)3133323342(1)(1222222212n n n n n n n n S T n T b b b n n λλ++--+--=++⋯+==--=-+=+-+- ∴当且仅当2λ=时，数列{}n n S T nλ+是等差数列．。

2006年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与夹角为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R3．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）4．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．5．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=35，则a4=（）A．8 B．7 C．6 D．56．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．7．（5分）从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．08．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．9．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π10．（5分）在的展开式中，x4的系数为（）A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．1511．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．312．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知函数f（x）=a﹣，若f（x）为奇函数，则a=．14．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．15．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．16．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知{a n}为等比数列，，求{a n}的通项公式．18．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．19．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．20．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．21．（12分）设P是椭圆=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．22．（14分）设a为实数，函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围．2006年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与夹角为（）A．B．C．D．【分析】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，变化出夹角的余弦表示式，代入给出的数值，求出余弦值，注意向量夹角的范围，求出适合的角．【解答】解：∵向量a、b满足，且，设与的夹角为θ，则cosθ==，∵θ∈【0π】，∴θ=，故选C．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=e x 的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=35，则a4=（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】充分运用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=×7=7a4=35，∴a4=5，故选D．6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x 的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．0【分析】先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果．【解答】解：圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P （3，2）向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，故选B．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）在的展开式中，x4的系数为（）A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．15【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求出x4的系数【解答】解：在的展开式中x4项是=﹣15x4，故选项为C．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数f（x）=a﹣，若f（x）为奇函数，则a=．【分析】因为f（x）为奇函数，而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求出参数a的值．【解答】解：函数．若f（x）为奇函数，则f（0）=0，即，a=．故答案为14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．16．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：2400三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）已知{a n}为等比数列，，求{a n}的通项公式．【分析】首先设出等比数列的公比为q，表示出a2，a4，利用两者之和为，求出公比q的两个值，利用其两个值分别求出对应的首项a1，最后利用等比数列的通项公式得到即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q≠0，a2==，a4=a3q=2q所以+2q=，解得q1=，q2=3，当q1=，a1=18．所以a n=18×（）n﹣1==2×33﹣n．当q=3时，a1=，所以a n=×3n﹣1=2×3n﹣3．18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B 有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：ξ0123P∴数学期望Eξ=3×=．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH 为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．21．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设P是椭圆=1（a＞1）短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．【分析】依题意可知|PQ|=，因为Q在椭圆上，所以x2=a2（1﹣y2），|PQ|2=a2（1﹣y2）+y2﹣2y+1=（1﹣a2）y2﹣2y+1+a2=（1﹣a2）（y﹣）2﹣+1+a2．由此分类讨论进行求解．【解答】解：由已知得到P（0，1）或P（0，﹣1）由于对称性，不妨取P（0，1）设Q（x，y）是椭圆上的任一点，则|PQ|=，①又因为Q在椭圆上，所以，x2=a2（1﹣y2），|PQ|2=a2（1﹣y2）+y2﹣2y+1=（1﹣a2）y2﹣2y+1+a2=（1﹣a2）（y﹣）2﹣+1+a2．②因为|y|≤1，a＞1，若a≥，则||≤1，所以如果它包括对称轴的x的取值，那么就是顶点上取得最大值，即当﹣1≤＜0时，在y=时，|PQ|取最大值；如果对称轴不在y的取值范围内的话，那么根据图象给出的单调性来求解．即当＜﹣1时，则当y=﹣1时，|PQ|取最大值2．22．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）设a为实数，函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x在（﹣∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围．【分析】先对函数f（x）进行求导得到一个二次函数，根据二次函数的图象和性质令f'（x）≥0在（﹣∞，0）和（1，+∞）成立，解出a的值．【解答】解：f'（x）=3x2﹣2ax+（a2﹣1），其判别式△=4a2﹣12a2+12=12﹣8a2．（ⅰ）若△=12﹣8a2=0，即a=±，当x∈（﹣∞，），或x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）为增函数．所以a=±．（ⅱ）若△=12﹣8a2＜0，恒有f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）为增函数，所以a2＞，即a∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）（ⅲ）若△12﹣8a2＞0，即﹣＜a＜，令f'（x）=0，解得x1=，x2=．当x∈（﹣∞，x1），或x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．依题意x1≥0且x2≤1．由x1≥0得a≥，解得1≤a＜由x2≤1得≤3﹣a，解得﹣＜a＜，从而a∈[1，）综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∪[1，），即a∈（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．。

2006年普通高等学校招生全国统一考试试卷文科数学试题及答案（安徽卷）参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =，{3,6}T =，则()U C S T ⋃等于（ ）A ．∅B ．{2,4,7,8}C ．{1,3,5,6}D ．{2,4,6,8}解：{1,3,5,6}S T ⋃=，则()U C S T ⋃＝{2,4,7,8}，故选B（2）不等式112x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞解：由112x <得：112022x x x--=<，即(2)0x x -<，故选D 。

（3）函数1()x y e x R +=∈的反函数是（ ） A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =->C ．1ln (0)y x x =-->D ．1ln (0)y x x =-+>解：由1x y e +=得：1ln ,x y +=即x=-1+lny ，所以1ln (0)y x x =-+>为所求，故选D 。

（4）“3x >”是24x >“的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：条件集是结论集的子集，所以选B 。

2006年普通高等学校招生全国统一考试试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =，{3,6}T =，则()U C S T ⋃等于（ ）A ．∅B ．{2,4,7,8}C ．{1,3,5,6}D ．{2,4,6,8}（2）不等式112x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞（3）函数1()x y e x R +=∈的反函数是（ ） A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =->C ．1ln (0)y x x =-->D ．1ln (0)y x x =-+>（4）“3x >”是24x >“的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（5）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4（6）表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A ．23π B ．13π C ．23π D ．22π （7）直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是A ．(0,21)-B ．(21,21)-+C ．(21,21)--+D ．(0,21)+ （8）对于函数()sin 1(0)sin x f x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值（9）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- （10）如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-（11）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为（ ）A ．17 B ．27 C ．37 D ．472006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。