结构力学主要定理

§11-1概述1．变形功与变形能弹性杆受拉力P作用（图11-1），当P从零开始到终值缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零增至而做功，称为变形功。

（11-1）与此同时弹性杆被拉长而具有做功的能力，表明杆件内储存了变形能。

单位体积储存的应变能称为应变比能（11-2）整个杆件的变形能为（11-3）如果略去拉伸过程中的动能及其它能量的变化与损失，由能量守恒原理，杆件的变形能U在数值上应等于外力做的功W，即有U=W （11-4）这是一个对变形体都适用的普遍原理称为功能原理，弹性固体变形是可逆的，即当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。

但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。

2．应变余功与余能变形体受外力作用时的余功定义为其中P1是外力从零增加到的终值，仿照功与变形能相等的关系，将余功相应的能称为余能，用U c表示。

余功与余能相等，即可仿照前面，定义单位体积余应变能（或应变余能），称为余应变比能由此整个结构余应变能可写成应指出：余功、余应变能、余应变比能具有功的量纲，是变形体的另一能量参数，但都没有具体的物理概念，只是常力所做的功减去变力所做功余下的那部分功。

3．能量原理固体力学中运用功与能有关的基本原理统称为能量原理，由此发展出来的方法称为能量法。

能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。

4．本章内容本章只涉及能量原理在材料力学中常用的部分内容，如：变形能、互等定理、卡氏定理、虚功原理、单位载荷法及图乘法，更为深入的，如最小势能原理，最小余能原理等变分原理，可参考其它专著。

§11-2 杆件变形能计算杆件不同受力情况下的变形能。

1．轴向拉伸或压缩线弹性杆件（图11-3）拉、压杆应变比能则整个杆的变形能或（11-5）（11-6）其中，N是内力（轴力），A是截面面积，l是杆长。

对于等截面杆，内力N=P=常数，用（11-1），线弹性范围内拉压杆的变形能而杆的伸长（或缩短），上式可改写成（11-7）2．纯剪，扭转线弹性杆件（图11-4）线弹性材料纯剪应力状态杆件的应变比能为或（11-8）扭转杆的变形能（11-9）其中，T（x）是截面上的扭矩（内力）。

对于受扭转力偶矩m作用的等截面圆杆，如果杆件材料是线弹性的，则其扭转角为；扭转力偶矩m所作的功为。

则由（11-1），扭转变形能为（11-10）3．线弹性梁弯曲弹性弯曲杆的应变比能；整个杆的变形能（11-11）=（11-12）其中，M（x）是梁截面的弯矩（内力矩）。

对于弹性纯弯曲梁，其两端受弯曲力偶矩m作用，m由零开始逐渐增加到最终值，则两端截面的相对转角为θ，则弯曲力偶矩所做的功为（图11-5），则由（11-1）得杆的应变能11-13）对于纯弯曲梁常数，上式亦可由（11-8）得到。

4．广义力与广义位移对于拉压杆、扭转杆、弯曲杆的变形能可统一写成（11-14）式中P在拉伸时代表拉力，扭转时代表扭转力偶矩，弯曲时代表弯曲力偶矩，P称为广义力，而与之相应的位移δ，称为广义位移，如拉伸时它是与P相应的线位移；扭转时，它是与扭转力偶矩相应的角位移；弯曲时，它是与弯曲力偶矩相应的截面角位移θ。

更一般地说，广义力矢量与相应广义位移矢量的点积等于功。

5．非线性弹性材料的构件的变形功、变形能对于非线性弹性材料的构件（图11-1），（11-4）式仍成立，但力与位移关系，应力与应变关系应为由试验确定的曲线（图11-1），变形能与应变比能为，（11-15）例题11-1轴线为半圆形平面曲杆如图11-6，作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面，求P力作用点的垂直位移。

解：杆的任一截面mn位置可用圆心角φ来表示，曲杆在P力作用下，mn截面上有弯矩与扭矩为对于截面尺寸远小于半径R的曲杆（常称小曲率曲杆），可按直杆计算其变形能，微段内的变形能是整个曲杆变形能可在杆上积分，即P做的功W为, 根据（11-1）有, ,由此得:，例题11-2 图11-7简支梁中间受集中力P作用，试导出横力弯曲变形能U1和剪切变形能U2，以矩形截面梁为例比较这两变形能的大小。

解：（1）变形能计算如图11-8所示，m-n截面上内力为M(x)、Q(x)，则有, 。

弯曲变形比能又可称应变比能u1，剪切变形比能u2分别为,∴，令，并令，则有：，。

横力弯曲总应变能；对于矩形截面梁（图11-8）无量纲参数k为；对其它截面形状，同理可求得相应的k，例如圆形截面，圆管截面梁k=2。

（2）两变形能的比较图11-7简支梁，则按上式，总应变能，两应变能之比，。

矩形截面，，∴。

取，当，以上比值为0.125；当，为0.0312。

可见对细长梁，剪切应变能可以忽略不计，而短粗梁应予考虑。

例题11-3梁的材料应力—应变关系为，试求梁的变形能U及变形余能U c的表达式。

解：（1）变形能U应变比能u为，∴。

将关系，以及代入，则有：，其中。

（2）变形余能U c∴。

将代入上式。

（3）非线性应力—应变关系下，比较U与U C可见，变形能与余变形能不相等，因为它们按照定义是不同的，对线性弹性材料它们在数值上相等。

§11-3变形能普遍表达式广义力P1，P2，…，P n作用于物体（图11-9），且设按同一比例系数β从零增长到终值。

相应地物体产生变形（广义位移）δ1，δ2，…，δn，对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例β增加，这时，外力对物体做功称为变形功，这一功以变形能储藏在物体内。

如果外力在某一中间值βP1，βP2，…，βP n时，外力有一增量dβ，此时外力将在位移增量δ1dβ,δ2dβ，…，δn dβ上做功为：外力从零到终值（即β从0到1）做的功可积分上式：=所以，物体的变形能为（11-16）对于杆件的组合变形，如图11-10，可取出微段dx来考察，截面上有弯矩M(x)，扭矩T(x)和轴力N(x)，它们可视为外力。

设两截面轴向位移为，相对扭转角为，相对转角为，微段变形能（对线弹性材料）：其中，，。

代入上式并积分，得组合变形杆件的变形能：（11-17）§11-4 互等定理1．功互等定理对于线弹性体（此物体可以代表梁，桁架，框架或其它类型结构），第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功，这就是功互等定理。

为证明上述定理，考察如图11-11两组力P，Q作用于线弹性物体所做的功，第一组力有m个载荷P1，P2，…，P m，第二组力有n个载荷Q1，Q2，…，Q n。

第一组力P 引起相应位移为，引起第二组力Q作用点及其方向的位移为。

第二组力Q引起相应位移为，引起第一组力P作用点及其方向的位移为。

若先将第一组力P i（i=1,2,…,m）单独作用，这组力引起其作用点沿该组力作用方向位移为(i=1,2,…,m)（称为相应位移，见图11-11（a）），其所做的功为：随后作用上第二组力Q j（j=1,2,…,n）（图11-11（b）），此时Q j在其相应位移上做功应为。

与此同时，因为P i力已存在，且已达到终值，其值不变为常力，P i在Q j产生P i作用点、P i 方向上的位移做功为故先加P后加Q时做功总和为：将加载次序反过来，先加力Q后加力P，Q j在相应位移上做功为：再加P i (i=1,2,…,m)力，P i在其相应位移做功为：同时物体上已作用有Q j且其值不变，Q j在由于P i引起的Q j作用点及方向的位移上做功为：对此加载顺序，两组力所做的总功为：由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故必有U1=U2，从而得功互等定理的表达式为：=（11-18）2．位移互等定理利用（11-18），并设两组力各只有一个力P i、Q j作用于同一物体，则有：；若，则有。

若将引起相应位移写成，将引起的相应于的位移写成，则上式又可写成常用的公式（11-19）。

此式即为位移互等定理：Pi作用点沿Pi方向由于而引起的位移，等于作用点沿方向由于Pi引起的位移。

上述互等定理中的力与位移都应理解为广义的，如果力换成力偶，则相应的位移应是转角位移，其推导不变。

例题11-4 装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁如图11-12，试用互等定理求解。

解：解除支座B，把工件看成悬臂梁，将切削力P及顶针反力R B作为第一组力，设想在同一悬臂梁右端作用单位力X=1，作为第二组力。

在X=1作用下悬臂梁上的P及R B作用点的相应位移分别为（图11-12（b））,第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为：第一组力作用下，其右端B实际位移为零，所以第二组力在第一组力引起的位移上所做的功等于零。

由功互等定理有：，由此解得：。

§11-5 卡氏定理1．卡氏第一定理弹性杆件的应变能U()对于杆件上与某一载荷相应的位移（i=1,2,…,n）的变化率等于该载荷的值，即：（11-20）。

以图11-13简支梁为例，其上作用有载荷P1，P2，…，P n（广义力），其相应位移为δ1，δ2，…，δn（广义位移）。

假定载荷P i（i=1,2,…,n）同时作用，且由同一比例从零加载到终值P i（i=1,2,…,n）。

结构的变形能等于载荷作用期间所做的功，通过材料的载荷—位移关系，每个力P i 可表成为其相应位移的函数，通过积分求得的变形能是位移δ的函数，即如果此时某—位移有一增量，其余位移保持不变，则此时变形能的增量dU为: 。

当位移增大时，相应力P i将做功，而其它任何力都不做功，因为其它的位移没有改变，∴，根据（11-1）故有：。

卡氏第一定理还可通过虚位移原理导出，不受线弹性材料的限制，可用于非线性弹性材料杆件或结构。

2．卡氏第二定理线弹性杆件或杆系的应变能U（）对于作用在该杆件或杆系上的某一载荷的变化率等于该载荷相应的位移，即：（11-21）弹性结构，在外力P1，P2，…，P i，…作用下，其相应的位移为δ1，δ2，…，δi，…，结构的应变能是P1，P2，…，P i，…的函数，即设诸力中只有P i有一个增量，其余不变，则相应产生位移增量，，…，，…，此时功的增量，亦即应变能增量为（略去高阶小量）。

将原作用力P1，P2，…，P i，…作为第一组力，把看作第二组力，则由功互等定理，得：。

所以有：或；若趋近于零，则：。

这就是卡氏第二定理表达式。

对于横力弯曲，应变能用（11-12），用卡氏定理，有：对于桁架、拉、压杆，应用（11-6）（11-21a）（11-21b）例题11-5图11-14外伸梁抗弯刚度为EI，试求外伸端C的挠度f C和左端截面的转角θA。

解：外伸端C作用有集中力P，截面A作用有集中力偶矩m，根据卡氏第二定理有：。