2-迭代与时间相关法
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§3. 定常问题的迭代解法
1）在实际的计算中，网格点的数量非常多，需要求解大型的代数方程组。
为此，可直接调用编程语言（C/C++、FORTRAN 、Matlab 等）的数学函数库来求解，也可使用下面讨论的迭代解法。
Laplace 方程 22
2
20x
y
y
y
抖+=抖 的差分近似为 1,,1,,1,,1
2
2
220j k j k j k
j k j k j k x
y
+-+--+-++
=D D y y y y y y
将它改写成
1,1,,1,1,222222j k j k j k j k j k x y x y +-+-骣++÷ç÷+=+ç÷÷çD D D D 桫
y y y y y 或
,1,1,,1,1j k j k j k j k j k a a b b +-+-=+++y y y y y
其中
(
)
2
222
2
2
1
222y x a x y
x y D D =
=
D +D +D D
(
)
2
222
22
1
222x y b x y
x y D D ==
D +D +
D D
当 x y D =D 时，1
4
a b == 。
给定迭代的初始近似 (0)
,j k y ，最简单的迭代公式为
(1)()()()(),1,1,,1,1
m m m m m j k j k j k j k j k a a b b ++-+-=+++y y y y y （ 0,1,2,3,m =L ） 称为简单迭代法。
2）对于前面给出的实例，简单迭代法的计算步骤为 1. 给定迭代的初始近似 (0),j k y 和迭代的收敛精度 δ 。
2. 对 0,1,2,3,m =L ：
3. 在流场内的每一个网格点（内点）上用迭代公式
(1)()()()()
,1,1,,1,1
m m m m m j k j k j k j k j k a a b b ++-+-=+++y y y y y 进行计算。
公式右边如果有网格点位于边界 OABC 、OE 、ED 上，可直接将边界条件指定的流函数值代入。
4. 在边界 CD 上的每一个网格点（不包括端点C 、D ）处，
用公式 (1)(1)
,1,m m j k j k
++-=y y 计算。
5. 对所有网格点，计算 (1)()
,,,max m m j k j k
j k
+-y y 。
若 (1)()
,,,max m m j k j k
j k
δ+-<y y ，迭代收敛。
否则将 m 加 1 ，返回步骤3。
3）如果迭代计算的过程中对网格点是按行扫描的，则当计算到
网格点（,j k ）时，上一个网格点（1,j k -）处的流函数值已经从 ()
1,m j k -y 更新为 (1)
1,m j k +-y ；而网格点（,1j k -）位于上一行，其流函数值也已经从 (),1m j k -y 更新为 (1)
,1m j k +-y 。
迭代算法可以充分利用这些最新得到
的结果，这样就构成了高斯－赛德尔迭代法
(1)()(1)()(1),1,1,,1,1
m m m m m j k j k j k j k j k a a b b ++++-+-=+++y y y y y
如果迭代计算的过程中对网格点的扫描是按其他顺序进行的，则上式右边会有所不同。
但高斯－赛德尔迭代法的基本思路总是不变的，即：充分利用已经得到的最新结果。
采用高斯－赛德尔迭代法，通常能够加快迭代的收敛，但并不总是如此。
甚至可以找到反例，对某种特定的代数方程组，用简单迭代法收敛，用高斯－赛德尔迭代法反而不收敛。
4）还可以采用其他迭代方案。
例如，将高斯－赛德尔迭代的计算结果记作 (),j k *y ，即
()()()()()
,1,1,,1,1
m m j k j k j k j k j k a a b b ***+-+-=+++y y y y y 将它与 ()
,m j k
y 的加权平均作为迭代的结果 ()(1)()()
,1,,1m m j k j k j k
ωω+*+=+-y y y 称为松弛法，式中的 02ω<< ，称为松弛因子。
显然，当 ω=1 时，松弛法还原成高斯－赛德尔迭代法。
而当
1<ω<2 时称为超松弛迭代，当 0<ω<1 时称为亚松弛迭代。
§4.迭代的收敛性分析（不做要求）
1）设 ,j k y 为差分方程的精确解（注意，不是原微分方程定解问题的精确解，这与舍入误差的稳定性分析类似），()
,m j k y 是其第 m 次迭代近似。
迭代误差可定义为
()()
,,,m m j k j k
j k δ=-y y 类似于稳定性分析的von Neumann 方法，可设迭代误差具有如下形式。
