数学实验 实验2 方程求解
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大学数学实验报告----迭代(一)——方程求解
Do M n , n, 2, 100
运行结果：
M n_Integer : Module y, k , m 2; k m ^ n 1 ;
x Mod k, n ;
Print n, " ", PrimeQ n , " ", x, "
", GCD m, n
Do M n , n, 2, 100
2 True 0 2 3 True 1 1 4 False 0 2 5 True 1 1 6 False 2 2 7 True 1 1 8 False 0 2 9 False 4 1 10 False 2 2 11 True 1 1 12 False 8 2 13 True 1 1 14 False 2 2 15 False 4 1 16 False 0 2 17 True 1 1 18 False 14 2 19 True 1 1 20 False 8 2 21 False 4 1 22 False 2 2 23 True 1 1 24 False 8 2 25 False 16 1 26 False 2 2 27 False 13 1 28 False 8 2 29 True 1 1 30 False 2 2 31 True 1 1 32 False 0 2 33 False 4 1 34 False 2 2 35 False 9 1 36 False 32 2 37 True 1 1 38 False 2 2 39 False 4 1 40 False 8 2
99 False 3 27 100 False 1 67 Null2
m=4 时
输入程序：
M n_Integer : Module y, k , m 4; k m ^ n 1 ; x Mod k, n ; Print n, " ", PrimeQ n , " ", GCD m, n , " ", x Do M n , n, 2, 100
数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析
实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。
其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。
（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。
matlab数学实验：方程组求解
X=
equition no solve 说明 该方程组无解
数学实验 实验： matlab 数学实验：方程组求解 （ 2011 班级：10 电本 1 班 年 12 月 8 日） 成绩：
学号：4100208108
姓名：李亚京
一、实验问题： 解线性方程组 二、实验内容 2 x + 3 y = 4 的解。 x − y =1 1 4 2 0 3 1 X = − 1 2 − 1 1 0 − 1
三、计算过程 2 x + 3 y = 4 的解。 x − y =1
3. 利用求逆法求方程组
解 A=[2 3;1 -1]; >> B=inv(A)
B =
0.2000
0.6000
0.2000
-0.4000
>> C=[4;1]; >> B*C
ans =
1.4000 0.4000 1 4 2 0 3 1 X = − 1 2 − 1 1 0 − 1
解：> A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0]; >> b=[2 10 8]'; >> B=[A b]; >> n=3; >> R_A=rank(A)
R_A =
2
>> R_B=rank(B)
R_B =
3
>> if R_A==R_B&R_A==n
elseif R_A==R_B&R_A<n X=A\b C=null(A,'r') else X='equition no solve' end
解：>> A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2]; >> B=null(A,'r')
方程求根计算方法课件及实验教学
实践是关键
通过实际动手操作，学生能更好地理解方程求根的概念和方法，提高问题解决能力。
拓展思考
鼓励学生思考方程求根方法的适用性和限制性，帮助他们在实际问题中做出明智的选择。
迭代改进
教师应根据学生的实际情况和反馈，不断改进教学方法和实验设计，以提高教学效果。
方程求根计算方法课件及 实验教学
欢迎来到我们的课件，探索方程求根的计算方法和实验教学。方程求根在数 学中的重要性不可忽视，让我们一起开始这次精彩的探索之旅吧！
方程求根的重要性
方程求根是解决实际问题的关键步骤。它们在物理、工程学和经济学等领域中起着重要作用，帮助我们 找到未知数的值，并解决复杂的数学问题。
方程求根的一般方法
1 代入法
将可能的解代入方程，验证是否满足等式。这是一种常用的解方程方法。
2 消元法
通过逐步消除未知数的系数，将方程转化为更简单的形式，以便求解。
3 图像法
将方程的图像与坐标轴交点作为解。这种方法通常用于一次和二次方程。
二分法求实根
二分法是一种迭代方法，通过不断缩小搜索范围，找到实根的近似值。它基于连续函数的介值定理，是问题转化为一系列有根的逼近问题，通过多次逼近来找到实根。这种方法适用于未知数只存在 于特定区间的情况。
牛顿迭代法求实根
牛顿迭代法使用泰勒级数的概念，通过迭代逼近不断靠近方程的根。它是一 种快速收敛的方法，特别适用于函数具有光滑性的情况。
割线法求实根
割线法与牛顿迭代法类似，但它使用两个近似值来逼近根，从而更具稳定性。 割线法是一种可靠的求解非线性方程的方法。
方程求根的程序实现
选择合适的编程语言
根据问题的复杂性和计算要求，选择适用于方程求根的编程语言，如Python或MATLAB。
通过实际动手操作，学生能更好地理解方程求根的概念和方法，提高问题解决能力。
拓展思考
鼓励学生思考方程求根方法的适用性和限制性，帮助他们在实际问题中做出明智的选择。
迭代改进
教师应根据学生的实际情况和反馈，不断改进教学方法和实验设计，以提高教学效果。
方程求根计算方法课件及 实验教学
欢迎来到我们的课件，探索方程求根的计算方法和实验教学。方程求根在数 学中的重要性不可忽视，让我们一起开始这次精彩的探索之旅吧！
方程求根的重要性
方程求根是解决实际问题的关键步骤。它们在物理、工程学和经济学等领域中起着重要作用，帮助我们 找到未知数的值，并解决复杂的数学问题。
方程求根的一般方法
1 代入法
将可能的解代入方程，验证是否满足等式。这是一种常用的解方程方法。
2 消元法
通过逐步消除未知数的系数，将方程转化为更简单的形式，以便求解。
3 图像法
将方程的图像与坐标轴交点作为解。这种方法通常用于一次和二次方程。
二分法求实根
二分法是一种迭代方法，通过不断缩小搜索范围，找到实根的近似值。它基于连续函数的介值定理，是问题转化为一系列有根的逼近问题，通过多次逼近来找到实根。这种方法适用于未知数只存在 于特定区间的情况。
牛顿迭代法求实根
牛顿迭代法使用泰勒级数的概念，通过迭代逼近不断靠近方程的根。它是一 种快速收敛的方法，特别适用于函数具有光滑性的情况。
割线法求实根
割线法与牛顿迭代法类似，但它使用两个近似值来逼近根，从而更具稳定性。 割线法是一种可靠的求解非线性方程的方法。
方程求根的程序实现
选择合适的编程语言
根据问题的复杂性和计算要求，选择适用于方程求根的编程语言，如Python或MATLAB。
数学实验2 班级 学号 姓名 一.用MATLAB计算下列极限： (1); (2
>> clear;
>> [x,y,f]=fsolve('eg2_2fun',[0.1,0.1])
回车显示
y =
-0.2484 -0.3676
y =
-0.2484 -0.3676
y =
-0.2484 -0.3676
y =
0.0249 0.0530
y =
0.0249 0.0530
y =
0.0249 0.0530
ans =
exp(m*n)
（6）
clear
>> syms y m n k
>> limit((1+m*y)^(n/y+k),y,0)
ans =
exp(m*n)
（7）
clear
>> syms x m n
>> limit(sin(m*x)/tan(n*x),x,0)
ans =
m/n
（8）
syms x m n
y =
1.0e-003 *
0.3389 0.2246
y =
1.0e-003 *
0.3389 0.2246
y =
1.0e-003 *
0.3389 0.2246
y =
1.0e-007 *
0.4429 0.7265
y =
1.0e-007 *
0.5281 0.7649
y =
1.0e-007 *
0.4575 0.9178
用MATLAB计算极限的命令语句如下：
clear
>> syms x y m n（生成符号变量 ）
limit(f(x),x,a)（求 ）
>> [x,y,f]=fsolve('eg2_2fun',[0.1,0.1])
回车显示
y =
-0.2484 -0.3676
y =
-0.2484 -0.3676
y =
-0.2484 -0.3676
y =
0.0249 0.0530
y =
0.0249 0.0530
y =
0.0249 0.0530
ans =
exp(m*n)
（6）
clear
>> syms y m n k
>> limit((1+m*y)^(n/y+k),y,0)
ans =
exp(m*n)
（7）
clear
>> syms x m n
>> limit(sin(m*x)/tan(n*x),x,0)
ans =
m/n
（8）
syms x m n
y =
1.0e-003 *
0.3389 0.2246
y =
1.0e-003 *
0.3389 0.2246
y =
1.0e-003 *
0.3389 0.2246
y =
1.0e-007 *
0.4429 0.7265
y =
1.0e-007 *
0.5281 0.7649
y =
1.0e-007 *
0.4575 0.9178
用MATLAB计算极限的命令语句如下：
clear
>> syms x y m n（生成符号变量 ）
limit(f(x),x,a)（求 ）
数学建模作业实验2微分方程实验
数学建模作业(实验2微分方程实验)基本实验1．微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t 增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：,,,+1,(1)(2)(3)(4);2;2;2.dx dx dx dxx x y x dt dt dt dt dy dy dy dy y y x y dt dt dt dt ⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解答解：（1）由平衡点的定义可得，f （x ）=x=0，f （y ）=y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为1001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=1=1λλ，；由根与系数的关系可得：1212()2010p q λλλλ=-+=-<==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f （x）=-x=0，f （y ）=2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=-1=2λλ，；由根与系数的关系可得：121210-(2<0)p q λλλλ=-+=-<==，，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（3）由平衡点的定义可得，f （x ）=y=0，f （y ）=-2x=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为0120A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，显然其特征值为121.4142=4142=-1.i i λλ，；由根与系数的关系可得：12120 1.41420()p q λλλλ=-+===>，，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（4）由平衡点的定义可得，f （x ）=-x=0，f （y ）=-2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-100-2A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12==-12-λλ，；由根与系数的关系可得：1212()3020p q λλλλ=-+=>==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是稳定的。
高等数学实验2 微分、积分(含答案)
班级 学号 姓名高等数学实验2 微分、积分一. 用MA TLAB 计算下列导数：diff 函数（1）已知2xy e =，求y '、y ''、(10)y 。
（2）已知nx y e =，求y '''。
（3）已知210x y xe-=,求y '、y ''与(8)y 。
(4)设2sin ()43x f x x x =++，求()f x '、()f x ''及()6f π''。
二．用MA TLAB 解方程。
solve 函数1．一元方程与线性方程（组）（1） 解方程 062=--x x（2）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+060622x y y x （3）解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=++-=++012412324543213214321431x x x x x x x x x x x x x x2．非线性方程（组）（4）解非线性方程组⎩⎨⎧=+-=--0sin 3.0cos 5.00cos 3.0sin 5.0212211x x x x x x 三。
用MA TLAB 计算极值：(1)已知销售额R 是价格P 的函数，且200184R P P ⎛⎫=-⎪+⎝⎭。
当价格P 为何值时， 销售额R 有最大值，且求此最大值。
(2)已知某公司收益函数210xR xe -=，成本函数32(1085)/100C x x =++，其中x 为产（销）量，求最大收益、最低平均成本和最大利润。
四．用MATLAB 计算下列不定积分 int 函数1．ln xdx ⎰； 2。
321x x e dx -⎰； 3． 42(31)sin(21)x x x dx -++⎰； 4．(sin sin cos )ax bx cx dx ⨯⨯⎰； 5．（练习）5(4)ln(32)x x x dx --⎰； 6．（练习）4sin(25)x x e dx +⎰；五．用MATLAB 计算下列定积分 int 函数1．120(1)x xe dx x +⎰ 2。
二分法实验报告
数值计算方法实验报告班级：数学师范2班姓名：***学号：************指导老师：**非线性方程的数值解法——二分法【实验目的】用二分法求解一般方程0)(=x f 的根；通过上机进一步加深了对二分法的理解与应用的能力。
【基本原理】对于方程0)(=x f 的第一部是确定它的有根区间[]b a ,。
设[]b a C x f ,)(∈，若0)()(<b f a f ，则由连续函数零点定理知，方程0)(=x f 在[]b a ,内至少有一个根；又若)'(x f 在区间()b a ,内恒正或恒负，则此根在()b a ,内唯一。
【实验步骤】（1）输入：a ，b 的值及精度控制量ε；（2）If 0)()(>b f a f then 返回第（1）步，重新输入a,b 值else 转第（3）步；（3）While ε>-b a 时做 1）)(21b a x +=，计算)(x f ；If 0)(=x f then 输出x ，停机。
2）If 0)()(>b f a f then [][]x a b a ,,= else [][]b x b a ,,= endwhile;(4) 输出)(21b a x +=。
【Matlab 编码】【实验结果】【实验分析】 方程3()0x f x x e -=-=的一个实根，因为0)1(,0)0(><f f ,2'()30x f x x e -=+>故)(x f 在()1,0内有唯一实根，精度ε=0.00005，下面是用二分法求解过程：【误差分析】7730.0*=x , 7725.0=x绝对误差：**()e x x x =-=0.0005 【算法优劣分析】有效数字的取值不同，收敛速度较慢。
当方法0)(=x f 在[]b a ,上有唯一实根时，二分法肯定是收敛的，程序简单，且易于估计误差之大小；它的缺点是不能求方程具有偶重根和复根，收敛速度慢。
数学实验____方程模型及其求解算法_参考答案
实验2 方程模型及其求解算法一、实验目的及意义[1] 复习求解方程及方程组的基本原理和方法；[2] 掌握迭代算法；[3] 熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)；[4] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），初步了解数学建模过程。
这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验内容1．方程求解和方程组的各种数值解法练习2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；2．根据各种数值解法步骤编写M文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务基础实验1．用图形放大法求解方程x sin(x) = 1. 并观察该方程有多少个根。
画出图形程序：x=-10::10;y=x.*sin(x)-1;y1=zeros(size(x));plot(x,y,x,y1)MATLAB运行结果：-10-8-6-4-20246810-8-6-4-22468扩大区间画图程序：x=-50::50;y=x.*sin(x)-1;y1=zeros(size(x));plot(x,y,x,y1)MATLAB 运行结果：由上图可知，该方程有偶数个无数的根。
2．将方程x 5+5x3- 2x + 1 = 0 改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，并给出解释。
（1）画图：x1=-6::6;x2=-3::3;x3=-1::1;x4=::;y1=x1.^5 +5*x1.^3-2*x1+1;y2=x2.^5 +5*x2.^3-2*x2+1;y3=x3.^5 +5*x3.^3-2*x3+1;y4=x4.^5 +5*x4.^3-2*x4+1; subplot(2,2,1),plot(x1,y1),title('子图 (1)') ,grid on, subplot(2,2,2),plot(x2,y2),title('子图 (2)'),grid on, subplot(2,2,3),plot(x3,y3),title('子图 (3)'),grid on, subplot(2,2,4),plot(x4,y4),title('子图 (4)') ,grid on,由图可知 x 的初值应在（，）之间。
数学实验项目-使用二分法对非线性方程求根
end 程序输出
n=01,当前有根区间是[0.000000,0.500000],近似根为 0.500000,wucha=0.500000 n=02,当前有根区间是[0.250000,0.500000],近似根为 0.250000,wucha=0.250000 n=03,当前有根区间是[0.250000,0.375000],近似根为 0.375000,wucha=0.125000 n=04,当前有根区间是[0.250000,0.312500],近似根为 0.312500,wucha=0.062500 n=05,当前有根区间是[0.250000,0.281250],近似根为 0.281250,wucha=0.031250 n=06,当前有根区间是[0.265625,0.281250],近似根为 0.265625,wucha=0.015625 n=07,当前有根区间是[0.265625,0.273438],近似根为 0.273438,wucha=0.007813 n=08,当前有根区间是[0.265625,0.269531],近似根为 0.269531,wucha=0.003906 n=09,当前有根区间是[0.265625,0.267578],近似根为 0.267578,wucha=0.001953 n=10,当前有根区间是[0.265625,0.266602],近似根为 0.266602,wucha=0.000977 n=11,当前有根区间是[0.266113,0.266602],近似根为 0.266113,wucha=0.000488 n=12,当前有根区间是[0.266113,0.266357],近似根为 0.266357,wucha=0.000244 n=13,当前有根区间是[0.266235,0.266357],近似根为 0.266235,wucha=0.000122 n=14,当前有根区间是[0.266235,0.266296],近似根为 0.266296,wucha=0.000061 n=15,当前有根区间是[0.266235,0.266266],近似根为 0.266266,wucha=0.000031 n=16,当前有根区间是[0.266235,0.266251],近似根为 0.266251,wucha=0.000015 n=17,当前有根区间是[0.266243,0.266251],近似根为 0.266243,wucha=0.000008 n=18,当前有根区间是[0.266247,0.266251],近似根为 0.266247,wucha=0.000004 n=19,当前有根区间是[0.266247,0.266249],近似根为 0.266249,wucha=0.000002 n=20,当前有根区间是[0.266248,0.266249],近似根为 0.266248,wucha=0.000001
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开课学院、实验室：
课程 名称 指导 教师 肖剑 数学实验
DS1421 实验项目 名 成 称 绩
实验时间
方程求解
：
2014 年 5 月 10 日
实验项目类型
验证 演示 综合 设计 其他
实验目的
[1] [2] [3] [4] 复习求解方程及方程组的基本原理和方法； 掌握迭代算法； 熟悉 MATLAB 软件编程环境；掌握 MATLAB 编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)； 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
end hold off; grid; 2.有阻力：x(1)=181; delta=0.0001; f(1)=bomb21(x(1)); fmin=1000; i=0; while x<183 i=i+1; f(i)=bomb21(x(i)); if f(i)<fmin fmin=f(i); xmin=x(i); end x(i+1)=x(i)+delta; end angle=acos(xmin/200)/pi*180 bomb22(xmin) function f=bomb21(x) Vx=x; Vy=sqrt(200^2-x^2); A=0+i*0; Point=360+i*160; t=0; S=0; while(S<=360) t=t+0.01; Vx=Vx-0.1*Vx*0.01;Vy=Vy-9.8*0.01; A=A+(Vx+i*Vy)*0.01; end f=abs(A-Point); function bomb22(x) Vx=x; Vy=sqrt(200^2-x^2); A=0+i*0; t=0; S=0; hold on; while(S<=360) t=t+0.01; Vx=Vx-0.1*Vx*0.01;Vy=Vy-9.8*0.01; A=A+(Vx+i*Vy)*0.01; S=S+Vx*0.01;
图4
五、附录（程序等）
第一问程序： [a,t]=solve('200*cos(a)*t-360','200*sin(a)*t-5*t^2-160') 结果：a = -2*atan((5*(8*9119^(1/2) + 768)^(3/2))/7048 - (980*(8*9119^(1/2) + 768)^(1/2))/881 (9*9119^(1/2))/881 + 900/881) 2*atan((980*(768 8*9119^(1/2))^(1/2))/881 (9*9119^(1/2))/881 (5*(768 8*9119^(1/2))^(3/2))/7048 - 900/881) -2*atan((980*(8*9119^(1/2) + 768)^(1/2))/881 - (9*9119^(1/2))/881 - (5*(8*9119^(1/2) + 768)^(3/2))/7048 + 900/881) 2*atan((5*(768 - 8*9119^(1/2))^(3/2))/7048 - (980*(768 - 8*9119^(1/2))^(1/2))/881 -
通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿 法、割线法等） ，初步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处 理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
基础实验
一、实验内容
1．方程求解和方程组的各种数值解法练习 2．直接使用 MATLAB 命令对方程和方程组进行求解练习 3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
二、实验过程（一般应包括实验原理或问题分析，算法设计、程序、计算、图表等， 实 验结果及分析）
5 号宋体
应用实验（或综合实验）
一、实验内容
1．用图形放大法求解方程 x sin(x) = 1. 并观察该方程有多少个根。 程序： x=linspace(-20*pi,20*pi,200); y=x.*sin(x)-1; plot(x,y); hold on; line([-50,50],[0,0]) 结果： 如图 1，该方程有无数个根。 逐 渐 缩 小 区 间 ， 观 察 方 程 在 区 间 [2,3.6] 上 的 一 个 根 。 图1
分析：注意两种方法的不同点，注意结果的处理。
二、问题分析
炮弹发射视为斜抛运动， 已知初始速度为 200 m/s， 问要击中水平距离 360m、 垂直距离 160m 的目标， 当忽略空气阻力时，发射角应多大？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。 进一步思考： 如果要考虑水平方向的阻力， 且设阻力与 （水平方向） 速度成正比， 系数为 0.1 （1/s） ， 结果又如何？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。
x 3
程序 2 x1 =1;
2x x5 1 5 ：
x2=((2*x1-x1^5-1)/5)^(1/3); while abs(x1-x2)>10^(-5) x1=x2;
x2=((2*x1-x1^5-1)/5)^(1/3); end x1 输出结果：x1 =0.4004 + 0.2860i 迭代收敛；
四、实验结果及分析
第一问中，满足条件的有两个角度，简化表示所得结果，分别为 1.5248 弧度（87,36 度）和 0.4642 弧度（26.60 度） 。结果： （图中交点即为（360,160） ）
图2 第二问中，无空气阻力情况下炮弹的运动图像及炮弹发射夹角为 26.4244（如图 3） 。
图3 有无空气阻力情况下炮弹的运动图像及炮弹发射夹角为 24.6241（如图 4） 。
x 2 x1 x 2 e 1 x2 x1 2 x 2 e x12 5 x 22 7 x 32 12 3 x1 x 2 x1 x 3 11 x1 0 2 x x 40 x 0 1 2 3
(1)
(2)
直接使用 MATLAB 命令：solve()和 fsolve()对方程组求解。 第一题：1.solve 求解： 程序：[x1,x2]=solve('2*x1-x2-exp(-x1)','-x1+2*x2-exp(-x2)') 结果：x1 = 0.56714329040978387299996866221036 x2 =0.56714329040978387299996866221036 2.fsolve 求解： 程序：function f=fun1(x) f(1)=2*x(1)-x(2)-exp(-x(1)); f(2)=-x(1)+2*x(2)-exp(-x(2)); end 结果：在 command windows 中输入 y=fsolve('Untitled3',[1,1])得 y = 0.5671 0.5671 第二题：1.solve 求解： 程序：[x1,x2,x3]=solve('x1^2-5*x2^2+7*x3^2+12','3*x1*x2+x1*x3-11*x1','2*x2*x3+40*x1') double(x1) double(x2) double(x3)
2x x5 1 x5 5xFra bibliotek 1 ， x ， 5 2
程序 1
3 5 x ( 2 x 5 x 1 )：
x1=0; x2=(x1^5+5*x1^3+1)/2; while abs(x1-x2)>10^(-5) x1=x2; x2=(x1^5+5*x1^3+1)/2; end x1 输出结果为：x1 =Inf 迭代不收敛。
结果：x1 = 1,0,0,-0.3145,0,0,-3.8701e+02 - 3.2703e+01i,-3.8701e+02 + 3.2703e+01i x2 = 5, 1.5492,-1.5492, 2.9579, 0, 0, -0.3123 +50.8065i,-0.3123 -50.8065i x3 = -4, 0, 0, 2.1263, 1.3093i, - 1.3093i, 1.1937e+01 - 1.5242e+02i,1.1937e+01 + 1.5242e+02i 2.fsolve 求解: 程序：function [y] = Untitled(x) y(1)=x(1)^2-5*x(2)^2+7*x(3)^2+12; y(2)=3*x(1)*x(2)+x(1)*x(3)-11*x(1); y(3)=2*x(1)*x(3)+40*x(1); end 结果：在 command 中输入 y=fsolve('hh',[1,1,1])得 y = 0.0000 1.5768 -0.2484，输入的初始值不同得到不同的答案.
取 x 在区间[-10,10]
取 x 在区间[0,10]
取 x 在区间[1,5]
取 x 在区间[2,3.6]
5 3 2．将方程 x +5x - 2x + 1 = 0 改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，并给出解释
5 迭代形式有： x ( 2 x 5 x 1 )， x 3 3
x
程序 3 x1=0;
x5 5x3 1 2 ：
x2=(2*x1-5*x1^3-1)^(1/5); for k=1:100 x1=x2; x2=(2*x1-5*x1^3-1)^(1/5); end x1 输出结果：x1 = 2.0162 - 0.8223i 迭代收敛。 分析：理解不同形式迭代结果不同。 3．求解下列方程组
(9*9119^(1/2))/881 - 900/881) t = (8*9119^(1/2) + 768)^(1/2) (768 - 8*9119^(1/2))^(1/2) -(8*9119^(1/2) + 768)^(1/2) -(768 - 8*9119^(1/2))^(1/2) 舍去时间为负的值，在将角度值带入原方程画出 x 与 y 的图形 第二问程序：1.无阻力： x(1)=178.8; delta=0.0001; f(1)=bomb11(x(1)); fmin=1000; i=0; while x<180 i=i+1; f(i)=bomb11(x(i)); if f(i)<fmin fmin=f(i); xmin=x(i); end x(i+1)=x(i)+delta; end angle=acos(xmin/200)/pi*180 bomb12(xmin) function f=bomb11(x) Vy=sqrt(200^2-x^2); A=0+i*0; Point=360+i*160; t=0; while(x*t<=360) t=t+0.01;Vy=Vy-9.8*0.01; A=A+(x+i*Vy)*0.01; end f=abs(A-Point); function bomb12(x) Vy=sqrt(200^2-x^2); A=0+i*0; t=0; hold on; while(x*t<=360) t=t+0.01; Vy=Vy-9.8*0.01; A=A+(x+i*Vy)*0.01; plot(x*t,sqrt(200^2-x^2)*t-4.9*t^2,'.');
课程 名称 指导 教师 肖剑 数学实验
DS1421 实验项目 名 成 称 绩
实验时间
方程求解
：
2014 年 5 月 10 日
实验项目类型
验证 演示 综合 设计 其他
实验目的
[1] [2] [3] [4] 复习求解方程及方程组的基本原理和方法； 掌握迭代算法； 熟悉 MATLAB 软件编程环境；掌握 MATLAB 编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)； 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
end hold off; grid; 2.有阻力：x(1)=181; delta=0.0001; f(1)=bomb21(x(1)); fmin=1000; i=0; while x<183 i=i+1; f(i)=bomb21(x(i)); if f(i)<fmin fmin=f(i); xmin=x(i); end x(i+1)=x(i)+delta; end angle=acos(xmin/200)/pi*180 bomb22(xmin) function f=bomb21(x) Vx=x; Vy=sqrt(200^2-x^2); A=0+i*0; Point=360+i*160; t=0; S=0; while(S<=360) t=t+0.01; Vx=Vx-0.1*Vx*0.01;Vy=Vy-9.8*0.01; A=A+(Vx+i*Vy)*0.01; end f=abs(A-Point); function bomb22(x) Vx=x; Vy=sqrt(200^2-x^2); A=0+i*0; t=0; S=0; hold on; while(S<=360) t=t+0.01; Vx=Vx-0.1*Vx*0.01;Vy=Vy-9.8*0.01; A=A+(Vx+i*Vy)*0.01; S=S+Vx*0.01;
图4
五、附录（程序等）
第一问程序： [a,t]=solve('200*cos(a)*t-360','200*sin(a)*t-5*t^2-160') 结果：a = -2*atan((5*(8*9119^(1/2) + 768)^(3/2))/7048 - (980*(8*9119^(1/2) + 768)^(1/2))/881 (9*9119^(1/2))/881 + 900/881) 2*atan((980*(768 8*9119^(1/2))^(1/2))/881 (9*9119^(1/2))/881 (5*(768 8*9119^(1/2))^(3/2))/7048 - 900/881) -2*atan((980*(8*9119^(1/2) + 768)^(1/2))/881 - (9*9119^(1/2))/881 - (5*(8*9119^(1/2) + 768)^(3/2))/7048 + 900/881) 2*atan((5*(768 - 8*9119^(1/2))^(3/2))/7048 - (980*(768 - 8*9119^(1/2))^(1/2))/881 -
通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿 法、割线法等） ，初步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处 理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
基础实验
一、实验内容
1．方程求解和方程组的各种数值解法练习 2．直接使用 MATLAB 命令对方程和方程组进行求解练习 3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
二、实验过程（一般应包括实验原理或问题分析，算法设计、程序、计算、图表等， 实 验结果及分析）
5 号宋体
应用实验（或综合实验）
一、实验内容
1．用图形放大法求解方程 x sin(x) = 1. 并观察该方程有多少个根。 程序： x=linspace(-20*pi,20*pi,200); y=x.*sin(x)-1; plot(x,y); hold on; line([-50,50],[0,0]) 结果： 如图 1，该方程有无数个根。 逐 渐 缩 小 区 间 ， 观 察 方 程 在 区 间 [2,3.6] 上 的 一 个 根 。 图1
分析：注意两种方法的不同点，注意结果的处理。
二、问题分析
炮弹发射视为斜抛运动， 已知初始速度为 200 m/s， 问要击中水平距离 360m、 垂直距离 160m 的目标， 当忽略空气阻力时，发射角应多大？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。 进一步思考： 如果要考虑水平方向的阻力， 且设阻力与 （水平方向） 速度成正比， 系数为 0.1 （1/s） ， 结果又如何？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。
x 3
程序 2 x1 =1;
2x x5 1 5 ：
x2=((2*x1-x1^5-1)/5)^(1/3); while abs(x1-x2)>10^(-5) x1=x2;
x2=((2*x1-x1^5-1)/5)^(1/3); end x1 输出结果：x1 =0.4004 + 0.2860i 迭代收敛；
四、实验结果及分析
第一问中，满足条件的有两个角度，简化表示所得结果，分别为 1.5248 弧度（87,36 度）和 0.4642 弧度（26.60 度） 。结果： （图中交点即为（360,160） ）
图2 第二问中，无空气阻力情况下炮弹的运动图像及炮弹发射夹角为 26.4244（如图 3） 。
图3 有无空气阻力情况下炮弹的运动图像及炮弹发射夹角为 24.6241（如图 4） 。
x 2 x1 x 2 e 1 x2 x1 2 x 2 e x12 5 x 22 7 x 32 12 3 x1 x 2 x1 x 3 11 x1 0 2 x x 40 x 0 1 2 3
(1)
(2)
直接使用 MATLAB 命令：solve()和 fsolve()对方程组求解。 第一题：1.solve 求解： 程序：[x1,x2]=solve('2*x1-x2-exp(-x1)','-x1+2*x2-exp(-x2)') 结果：x1 = 0.56714329040978387299996866221036 x2 =0.56714329040978387299996866221036 2.fsolve 求解： 程序：function f=fun1(x) f(1)=2*x(1)-x(2)-exp(-x(1)); f(2)=-x(1)+2*x(2)-exp(-x(2)); end 结果：在 command windows 中输入 y=fsolve('Untitled3',[1,1])得 y = 0.5671 0.5671 第二题：1.solve 求解： 程序：[x1,x2,x3]=solve('x1^2-5*x2^2+7*x3^2+12','3*x1*x2+x1*x3-11*x1','2*x2*x3+40*x1') double(x1) double(x2) double(x3)
2x x5 1 x5 5xFra bibliotek 1 ， x ， 5 2
程序 1
3 5 x ( 2 x 5 x 1 )：
x1=0; x2=(x1^5+5*x1^3+1)/2; while abs(x1-x2)>10^(-5) x1=x2; x2=(x1^5+5*x1^3+1)/2; end x1 输出结果为：x1 =Inf 迭代不收敛。
结果：x1 = 1,0,0,-0.3145,0,0,-3.8701e+02 - 3.2703e+01i,-3.8701e+02 + 3.2703e+01i x2 = 5, 1.5492,-1.5492, 2.9579, 0, 0, -0.3123 +50.8065i,-0.3123 -50.8065i x3 = -4, 0, 0, 2.1263, 1.3093i, - 1.3093i, 1.1937e+01 - 1.5242e+02i,1.1937e+01 + 1.5242e+02i 2.fsolve 求解: 程序：function [y] = Untitled(x) y(1)=x(1)^2-5*x(2)^2+7*x(3)^2+12; y(2)=3*x(1)*x(2)+x(1)*x(3)-11*x(1); y(3)=2*x(1)*x(3)+40*x(1); end 结果：在 command 中输入 y=fsolve('hh',[1,1,1])得 y = 0.0000 1.5768 -0.2484，输入的初始值不同得到不同的答案.
取 x 在区间[-10,10]
取 x 在区间[0,10]
取 x 在区间[1,5]
取 x 在区间[2,3.6]
5 3 2．将方程 x +5x - 2x + 1 = 0 改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，并给出解释
5 迭代形式有： x ( 2 x 5 x 1 )， x 3 3
x
程序 3 x1=0;
x5 5x3 1 2 ：
x2=(2*x1-5*x1^3-1)^(1/5); for k=1:100 x1=x2; x2=(2*x1-5*x1^3-1)^(1/5); end x1 输出结果：x1 = 2.0162 - 0.8223i 迭代收敛。 分析：理解不同形式迭代结果不同。 3．求解下列方程组
(9*9119^(1/2))/881 - 900/881) t = (8*9119^(1/2) + 768)^(1/2) (768 - 8*9119^(1/2))^(1/2) -(8*9119^(1/2) + 768)^(1/2) -(768 - 8*9119^(1/2))^(1/2) 舍去时间为负的值，在将角度值带入原方程画出 x 与 y 的图形 第二问程序：1.无阻力： x(1)=178.8; delta=0.0001; f(1)=bomb11(x(1)); fmin=1000; i=0; while x<180 i=i+1; f(i)=bomb11(x(i)); if f(i)<fmin fmin=f(i); xmin=x(i); end x(i+1)=x(i)+delta; end angle=acos(xmin/200)/pi*180 bomb12(xmin) function f=bomb11(x) Vy=sqrt(200^2-x^2); A=0+i*0; Point=360+i*160; t=0; while(x*t<=360) t=t+0.01;Vy=Vy-9.8*0.01; A=A+(x+i*Vy)*0.01; end f=abs(A-Point); function bomb12(x) Vy=sqrt(200^2-x^2); A=0+i*0; t=0; hold on; while(x*t<=360) t=t+0.01; Vy=Vy-9.8*0.01; A=A+(x+i*Vy)*0.01; plot(x*t,sqrt(200^2-x^2)*t-4.9*t^2,'.');