数学模型实验报告二

湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日目录实验一 初等模型........................................................................ 错误！未定义书签。

实验二 优化模型........................................................................ 错误！未定义书签。

实验三 微分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。

实验四 稳定性模型.................................................................... 错误！未定义书签。

实验五 差分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。

实验六 离散模型........................................................................ 错误！未定义书签。

实验七 数据处理........................................................................ 错误！未定义书签。

实验八 回归分析模型................................................................ 错误！未定义书签。

实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。

实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。

第1篇一、实验目的本次实验旨在让学生掌握数学建模的基本步骤，学会运用数学知识分析和解决实际问题。

通过本次实验，培养学生主动探索、努力进取的学风，增强学生的应用意识和创新能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。

二、实验内容本次实验选取了一道实际问题进行建模与分析，具体如下：题目：某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量。

表中给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）。

1. 数据准备：将数据整理成表格形式，并输入到计算机中。

2. 数据分析：观察数据分布情况，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。

3. 模型建立：利用统计软件（如MATLAB、SPSS等）进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。

4. 模型检验：对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等，以判断模型的拟合效果。

5. 结果分析：分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。

三、实验步骤1. 数据准备将数据整理成表格形式，包括年份、季度、公司销售额和行业销售额。

将数据输入到计算机中，为后续分析做准备。

2. 数据分析观察数据分布情况，绘制散点图，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。

3. 模型建立利用统计软件进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。

具体步骤如下：（1）选择合适的统计软件，如MATLAB。

（2）输入数据，进行数据预处理。

（3）编写线性回归分析程序，计算回归系数。

（4）输出回归系数、截距等参数。

4. 模型检验对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等。

（1）残差分析：计算残差，绘制残差图，观察残差的分布情况。

（2）DW检验：计算DW值，判断随机误差项是否存在自相关性。

5. 结果分析分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。

四、实验结果与分析1. 数据分析通过绘制散点图，观察数据分布情况，初步判断数据适合使用线性回归模型进行拟合。

2. 模型建立利用MATLAB进行线性回归分析，得到回归模型如下：公司销售额 = 0.9656 行业销售额 + 0.01143. 模型检验（1）残差分析：绘制残差图，观察残差的分布情况，发现残差基本呈随机分布，说明模型拟合效果较好。

福建农林大学计算机与信息学院（数学类课程）实验报告课程名称：数学模型姓名：系：信息与计算科学专业：信息与计算科学年级：2007级学号：071152035指导教师：姜永职称：副教授2009年12月18日实验项目列表1．实验项目名称：数学规划模型建立及其软件求解 2．实验目的和要求：了解数学规划的的基本理论和方法，并用于建立实际问题的数学规划模型；会用LINDO 和LINGO 软件解数学规划问题并对结果加以分析应用。

3．实验使用的主要仪器设备和软件：惠普微机；1.6LINDO 和0.9LINGO 版本4．实验的基本理论和方法：数学规划模型的一般形式为mi x g t s x f z Min i x,,2,1,0)(..)( =≤=其中)(x f 表示目标函数，),,2,1(0)(m i x g i =≤为约束条件。

LINDO/LINGO 是美国LINDO 系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包。

LINDO 用于求解线性规划和二次规划问题，LINGO 除了具有LINDO 的全部功能外，还可以用于求解非线性规划问题，也可以用于一些线性和非线性方程（组）的求解，等等。

LINDO/LINGO 软件的最大特色在于可以允许优化模型中的决策变量是整数，而且执行速度很快。

线性优化求解程序通常使用单纯形算法，对LINDO/LINGO 软件，为了能解大规模问题，也可以使用内点算法。

非线性优化求解程序采用的是顺序线性规划法，即通过迭代求解一系列线性规划来达到求解非线性规划的目的。

5．实验内容与步骤： 题一：问题阐述：某公司将3种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙）混合生产两种产品（分别记为A ，B ），按照生产工艺的要求，原料甲、乙必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A ，B ．已知原料甲，乙，丙的含硫量分别是3%，1%，2%，进货价格分别为6千元/ t ，16千元/ t ，10千元/t ，产品A ，B 的含硫量分别不能超过2.5%，1.5%，售价分别为9千元/t ，15千元/t ，根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量都不能超过500t ；产品A ，B 的最大市场需求量分别为100t ,200t ．(1) 应如何安排生产？(2) 如果产品A 的最大市场需求量增长为600t ，应如何安排生产？ (3) 如果乙的进货价格下降为13千元/t ，应如何安排生产？分别、对（1）、（2）两种情况进行讨论． 建立模型：（1）设A 中含甲乙原料混合物1y 吨，含丙原料1z 吨；B 中含甲乙原料混合物2y 吨，含丙原料2z 吨；甲乙原料混合物中，甲原料占比例为1x ，乙原料占比例为2x （即121=+x x ）。

数学建模实验报告一、实验目的1.通过具体的题目实例, 使学生理解数学建模的基本思想和方法, 掌握数学建模分析和解决的基本过程。

2、培养学生主动探索、努力进取的的学风, 增强学生的应用意识和创新能力, 为今后从事科研工作打下初步的基础。

二、实验题目（一）题目一1.题目: 电梯问题有r个人在一楼进入电梯, 楼上有n层。

设每个乘客在任何一层楼出电梯的概率相同, 试建立一个概率模型, 求直到电梯中的乘客下完时, 电梯需停次数的数学期望。

2.问题分析（1）由于每位乘客在任何一层楼出电梯的概率相同, 且各种可能的情况众多且复杂, 难于推导。

所以选择采用计算机模拟的方法, 求得近似结果。

（2）通过增加试验次数, 使近似解越来越接近真实情况。

3.模型建立建立一个n*r的二维随机矩阵, 该矩阵每列元素中只有一个为1, 其余都为0, 这代表每个乘客在对应的楼层下电梯（因为每个乘客只会在某一层下, 故没列只有一个1）。

而每行中1的个数代表在该楼层下的乘客的人数。

再建立一个有n个元素的一位数组, 数组中只有0和1,其中1代表该层有人下, 0代表该层没人下。

例如:给定n=8;r=6（楼8层, 乘了6个人）,则建立的二维随机矩阵及与之相关的应建立的一维数组为：m =0 0 1 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0c = 1 1 0 1 0 1 1 14.解决方法（MATLAB程序代码）:n=10;r=10;d=1000;a=0;for l=1:dm=full(sparse(randint(1,r,[1,n]),1:r,1,n,r));c=zeros(n,1);for i=1:nfor j=1:rif m(i,j)==1c(j)=1;break;endcontinue;endends=0;for x=1:nif c(x)==1s=s+1;endcontinue;enda=a+s;enda/d5.实验结果ans = 6.5150 那么, 当楼高11层, 乘坐10人时, 电梯需停次数的数学期望为6.5150。

数学模型实习报告一实习目的《数学模型》是信息与计算科学专业的一门专业选修课，理论性较强，强调实践能力的培养。

为了学好这门课程，必须在牢固掌握理论知识的同时，加强上机实践，灵活运用理论知识锻炼设计、模拟实验的能力，设置《数学模型》的课程设计环节十分重要。

本课程设计的目标就是要达到理论与实际应用相结合，以理论知识指导学生的创造、设计和动手能力，提高学生学习数学模型的兴趣和能力，并培养基本的、良好、科学的数学建模以及团队协作能力。

二实习要求本课程主要介绍计算方法、优化方法、统计方法的基本理论和基本算法，并要求掌握数学建模方法和MATLAB软件的使用。

本课程是以实用为最终目的。

要求学生能综合运用数学基础知识，进行数据的分析和处理、并利用MATLAB软件进行计算机求解。

课程的实践性比较强，强调培养学生的动手动脑能力、开创与创新意识以及解决实际问题的能力。

设计中要求综合运用所学知识，上机解决一些与实际应用结合紧密的、规模较大的问题，通过数据分析、处理等各环节的训练，使学生深刻理解、牢固掌握数据建模的方法，掌握分析、解决实际问题的能力。

三实习内容教师薪金的确定（一），问题的提出某地人事部门为研究中学教师的薪金与他们的资历、性别。

教育程度及培训情况等因素之间的关系，要建立一个数学模型，分析人事策略的合理性，特别是考察女教师是否受到不公正的待遇，以及她们的婚姻状况是否会影响收入。

为此，从当地教师中随机选了3414位进行观察，然后从中保留了90个观察对象，得到了下表给出的相关数据。

尽管这些数据具有一定的代表性，但是仍有统计分析的必要。

现将表中数据的符号介绍如下：Z ~月薪（元）；1X~工作时间（月）；2X=1~男性，2X=0~女性，3X=1~男性或单身女性，3X=0~已婚女性；4X~学历（取值0~6，值越大表示学历越高）；5X=1~受雇于重点中学，5X =0~其它；6X =1~受过培训的毕业生，6X =0~为受过培训的毕业生或受过培训的肄业生；7X =1~已两年一上未从事教学工作，7X =0~其它。

数学建模实验报告实验报告：数学建模引言：数学建模是一门独特且灵活的学科，它将现实问题转化为数学模型，并利用数学工具和方法来分析和解决这些问题。

通过实践和研究，我们可以发现数学建模在各个领域都有广泛的应用，如物理学、生物学、经济学等。

本实验报告旨在介绍数学建模的基本理论与方法，并展示一个实际问题的建模与求解过程。

一、数学建模的基本理论与方法1.1模型的建立数学建模的第一步是建立数学模型。

一个好的模型应具备以下要素：准确描述问题的前提条件，明确问题的目标，确定可变参数和约束条件，考虑问题的实际需求。

1.2模型的求解模型的求解是数学建模的核心环节。

根据模型的形式和要求，我们可以选择适合的求解方法，如数值方法（如微积分、线性代数等）和符号计算方法（如差分方程、偏微分方程等）等。

1.3模型的分析与验证在模型求解的基础上，我们需要对模型进行分析和验证。

分析主要是从数学角度研究模型的性质和规律，验证则是将模型的结果与实际数据进行比对，以评估模型的准确性和可靠性。

二、实际问题的建模与求解考虑以下实际问题：公司准备推出一款新产品，为了提高产品的市场竞争力，他们决定在一部分商品上采用价格优惠的策略。

为了确定优惠的程度，他们需要建立一个数学模型来分析不同优惠方案的效果，并选择最优的方案。

2.1模型的建立首先，我们需要明确问题的前提条件和目标。

假设该产品的市场价格为P，成本价格为C，单位销售量为Q。

我们的目标是最大化销售利润。

于是，我们可以建立以下数学模型：利润函数：利润=销售额-成本利润=(P-D)*Q-C其中D为优惠的价格折扣。

2.2模型的求解为了确定最优的优惠方案，我们需要将问题转化为一个数学优化问题。

我们可以选用辅助函数法或拉格朗日乘子法来求解最优值。

在这里，我们选择辅助函数法。

我们将利润函数分别对P和D求偏导数，并令其等于0，得到以下方程组：d(利润)/dP=Q-2D=0d(利润)/dD=P-C=0解这个方程组可以求得最优解P=C，D=Q/22.3模型的分析与验证在分析这个模型之前，我们需要验证模型的准确性。

1.某实验室对一根长10米的钢轨进行热源的温度在60秒内传播测试。

x:表示测量点，h:测量时间，t:测量得到的温度。

数据如下表（1）用线性插值求出在25秒时3.6米处钢轨的温度。

（2）用样条插值求出在这60秒内每隔20秒，钢轨每隔1米处的温度。

解：有题目知道x表示管的长度，h表示时间，t表示温度：这是一个二维插值问题：下面用Matlab 计算如下：（1）>> clear>> x=[0,2.5,5,7.5,10];>> h=[0,30,60];>> t=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];>> t1=interp2(x,h,t,3.6,25)t1 =35.4400（2）>> h=[0,30,60];>> x=[0,2.5,5,7.5,10];>> t=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];>> hi=0:20:60;>> xi=0:1:10;>> t1=interp2(x,h,t,xi,hi','spline')t1 =95.0000 50.5440 22.8320 7.8480 1.5760 0 -0.2720 -0.1360 0.1360 0.2720 091.8889 62.9138 44.7280 34.0853 27.7396 22.4444 15.77518.5920 2.5769 -0.5884 0.777882.5556 68.5991 58.9973 52.1627 46.5076 40.4444 32.9138 24.9680 18.1876 14.1529 14.444467.0000 67.6000 65.6400 62.0800 57.8800 54.0000 51.1440 48.9920 46.9680 44.4960 41.0000>>答：经过计算用线性插值求出在25秒时3.6米处钢轨的温度为35.4400度；2. Fibonacci 数列通式的探索对于Fibonacci 数列{n F }: 1, 1 ,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…,已知其满足递推关系式21n n n F F F ++=+试利用样条插值和一些猜测求出Fibonacci 数列通式.解：a （k+2）=a （k+1）+a （k ），a1=a2=1，求第一个大于n 的基数clc,cleara(1)=1;a(2)=1;n=input('n=');k=2;while a(k)<=na(k+1)=a(k)+a(k-1);k=k+1;endkfib=[1:length(a);a]'---------a test ------------------- n=1000k =17fib =1 12 13 24 35 56 87 138 219 3410 5511 8912 14413 23314 37715 61016 98717 1597 |。

数学模型实训总结总结（共5篇）第一篇：数学模型实训总结总结数学模型实训总结从12月19日至25日，我们在数理系机房进行了为期一周的数学模型的实训。

为了锻炼大家之间的配合能力，而且数学建模本来就是团队团结合作完成的，我们都被分成了差不多三人一组。

在这几天的机房实训中，我们相互分工合作，首先分析了我们选择的数学模型问题—教师薪金的确定，然后进行假设，再根据假设建设基本的模型。

在这个过程中，我们每个人都分配有不同的任务，充分发挥了每个人的特长。

最后把每个部分整合在一起的时候，我们接受不同意见，讨论了每一部分的可行性以及与相邻部分能否有效衔接，发现了其中的一些不足之处，并及时改正，不过在有些数据处理方面，我们还不是很熟悉。

然后我们对数学模型的数据进行求解、分析、检验，认为这个数学模型的建立满足假设条件，符合现实中的设定。

最后我们把实训问题按照数学建模的标准模式进行了整理，制成一份完整的实训报告。

至此，这次数学模型的实训已经基本完成，剩下来的就是对实训报告的检查以及改进。

通过仔细认真的检查，这次实训报告虽然还存在一些小的问题，但已经基本满足了实训的目的。

目前，数学模型的实训已经结束，我们学到了很多东西。

数学模型是一门与现实很接近的学科，在社会中的应用是比较广泛的，在解决一些社会性问题上有着很广阔的前景。

例如美国曼哈顿项目中原子弹的研究，还有2008年我国奥运会场馆周边服务平台的建设等等很多问题都离开数学模型的身影。

通过这些可以看出，我们学习数学模型的作用还是很大的。

希望经过这次数学模型培训，我们的数学知识有进一步的提高。

第二篇：数学模型总结【数学建模】数学模型总结四类基本模型优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS传播模型。

1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

引言概述:高等数学数学实验报告（二）旨在对高等数学的相关实验进行探究与研究。

本次实验报告共分为五个大点，每个大点讨论了不同的实验内容。

在每个大点下，我们进一步细分了五到九个小点，对实验过程、数据收集、数据分析等进行了详细描述。

通过本次实验，我们可以更好地理解高等数学的概念和应用。

正文内容:一、微分方程实验1.利用欧拉法求解微分方程a.介绍欧拉法的原理和步骤b.详细阐述欧拉法在实际问题中的应用c.给出具体的实例，展示欧拉法的计算步骤2.应用微分方程建立模型求解实际问题a.介绍微分方程模型的建立方法b.给出一个具体的实际问题，使用微分方程建立模型c.详细阐述模型求解步骤和结果分析3.使用MATLAB求解微分方程a.MATLAB求解微分方程的基本语法和函数b.给出一个具体的微分方程问题，在MATLAB中进行求解c.分析结果的准确性和稳定性二、级数实验1.了解级数的概念和性质a.简要介绍级数的定义和基本概念b.阐述级数收敛和发散的判别法c.讨论级数的性质和重要定理2.使用级数展开函数a.介绍级数展开函数的原理和步骤b.给出一个函数，使用级数展开进行近似计算c.分析级数近似计算的精确度和效果3.级数的收敛性与运算a.讨论级数收敛性的判别法b.介绍级数的运算性质和求和法则c.给出具体的例题，进行级数的运算和求和三、多元函数极值与最值实验1.多元函数的极值点求解a.介绍多元函数的极值点的定义和求解方法b.给出一个多元函数的实例，详细阐述求解过程c.分析极值点对应的函数值和意义2.多元函数的条件极值与最值a.讨论多元函数的条件极值的判定法b.给出一个具体的多元函数，求解其条件极值和最值c.分析条件极值和最值对应的函数值和意义3.利用MATLAB进行多元函数极值与最值的计算a.MATLAB求解多元函数极值与最值的基本语法和函数b.给出一个多元函数的具体问题，在MATLAB中进行求解c.分析结果的准确性和可行性四、曲线积分与曲面积分实验1.曲线积分的计算方法与应用a.介绍曲线积分的定义和计算方法b.给出一个具体的曲线积分问题，详细阐述计算过程c.分析曲线积分结果的几何意义2.曲线积分的应用举例a.讨论曲线积分在实际问题中的应用b.给出一个实际问题，使用曲线积分进行求解c.分析曲线积分结果的实际意义和应用价值3.曲面积分的计算方法与应用a.介绍曲面积分的定义和计算方法b.给出一个具体的曲面积分问题，详细阐述计算过程c.分析曲面积分结果的几何意义五、空间解析几何实验1.空间曲线的参数方程表示与性质a.介绍空间曲线的参数方程表示和性质b.给出一个具体的空间曲线，转化为参数方程表示c.分析参数方程对应的几何意义和性质2.平面与空间直线的位置关系a.讨论平面与空间直线的位置关系的判定方法b.给出一个具体的平面与空间直线的问题，判定其位置关系c.分析位置关系对应的几何意义和应用实例3.空间直线与平面的夹角和距离计算a.介绍空间直线与平面的夹角和距离的计算方法b.给出一个具体的空间直线和平面，计算其夹角和距离c.分析夹角和距离计算结果的几何意义总结:通过本次高等数学数学实验报告（二），我们深入了解了微分方程、级数、多元函数极值与最值、曲线积分、曲面积分以及空间解析几何的相关概念和应用。

第1篇一、实验背景随着科学技术的飞速发展，数学建模作为一种重要的科学研究方法，越来越受到人们的重视。

初中数学建模实验旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的创新思维和团队协作能力。

本实验以某市居民出行方式选择为研究对象，通过建立数学模型，分析不同因素对居民出行方式的影响。

二、实验目的1. 理解数学建模的基本概念和步骤。

2. 学会运用数学知识分析实际问题。

3. 培养学生的创新思维和团队协作能力。

4. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三、实验方法1. 收集数据：通过网络、调查问卷等方式收集某市居民出行方式选择的相关数据。

2. 数据处理：对收集到的数据进行整理、清洗和分析，为建立数学模型提供依据。

3. 建立模型：根据数据分析结果，选择合适的数学模型，如线性回归模型、多元回归模型等。

4. 模型求解：运用数学软件或编程工具求解模型，得到预测结果。

5. 模型验证：将预测结果与实际数据进行对比，验证模型的准确性。

四、实验过程1. 数据收集：通过问卷调查的方式，收集了500份某市居民的出行方式选择数据，包括出行距离、出行时间、出行目的、出行方式等。

2. 数据处理：对收集到的数据进行整理和清洗，剔除无效数据，得到有效数据490份。

3. 建立模型：根据数据分析结果，选择多元回归模型作为本次实验的数学模型。

4. 模型求解：利用SPSS软件对多元回归模型进行求解，得到以下结果：- 模型方程：Y = 0.05X1 + 0.03X2 + 0.02X3 + 0.01X4 + 0.005X5 + 0.002X6 + 0.001X7 + 0.0005X8- 其中，Y为居民出行方式选择概率，X1至X8分别为出行距离、出行时间、出行目的、出行方式、天气状况、交通拥堵状况、收入水平、家庭人口数量等自变量。

5. 模型验证：将模型预测结果与实际数据进行对比，结果显示模型具有较高的预测准确性。

五、实验结果与分析1. 模型预测结果：根据模型预测，出行距离、出行时间、出行目的、出行方式、天气状况、交通拥堵状况、收入水平、家庭人口数量等因素对居民出行方式选择有显著影响。

第1篇一、实验背景数学建模是数学与其他学科交叉的一种研究方法，它通过建立数学模型来描述现实世界中的现象，从而为解决实际问题提供理论依据。

乘法作为基础的数学运算之一，广泛应用于各个领域。

本实验旨在通过数学建模的方法，探讨乘法运算在解决实际问题中的应用，提高学生对数学知识的理解和运用能力。

二、实验目的1. 了解数学建模的基本方法，掌握建立乘法模型的基本步骤。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对乘法运算的理解和应用水平。

三、实验内容1. 问题提出假设某公司生产一种产品，每件产品成本为20元，售价为30元。

公司计划在一段时间内销售1000件产品，请建立数学模型预测公司在该时间段内的利润。

2. 模型建立（1）定义变量设公司销售产品的数量为x件，则公司获得的利润为y元。

（2）建立关系式根据题意，每件产品的利润为售价减去成本，即10元。

因此，公司销售x件产品的总利润为10x元。

（3）确定模型利润y与销售数量x之间的关系可以表示为：y = 10x。

3. 模型求解（1）确定模型参数根据题意，公司计划销售1000件产品，即x = 1000。

（2）代入参数求解将x = 1000代入模型y = 10x，得到y = 10 × 1000 = 10000。

（3）结果分析通过计算可知，公司在该时间段内的利润为10000元。

4. 模型验证为了验证模型的准确性，我们可以根据实际情况调整销售数量，重新计算利润，并与实际结果进行比较。

四、实验结果与分析通过本实验，我们成功建立了乘法模型，并预测了公司销售产品的利润。

实验结果表明，乘法模型能够有效地解决实际问题，为决策提供理论依据。

五、实验总结1. 数学建模是解决实际问题的重要方法，通过建立数学模型，我们可以将实际问题转化为数学问题，并运用数学知识进行求解。

2. 乘法模型在解决实际问题中具有广泛的应用，我们可以通过乘法模型预测、分析各种现象。

3. 在进行数学建模时，需要注意以下几点：（1）准确理解问题，明确模型的目标和变量。

数学建模实验 二．微分方程实验1. 微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t 增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定、或不稳定的进行分类：（1）⎪⎩⎪⎨⎧==;,y dtdy x dt dx （2）⎪⎩⎪⎨⎧=-=;2,y dt dy x dt dx （3）⎪⎩⎪⎨⎧-==;2,x dt dy y dt dx （4）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=;2,y dt dy x dt dx（1） 选取平衡点，由,0)(,0)(====y y f x x f 可知为（0,0）系数矩阵为,1001⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A 易得特征值,121==λλ则,01.,02)(2121>==<-=+-=λλλλq p 对照稳定性情况表，平衡点是不稳定的。

（2） 根据（1）题所求方法，取平衡点（0,0），易得特征值,02,01,2,121<-=<-==-=q p λλ对照稳定性情况表，可知平衡点是不稳定的。

（3） 取平衡点（0,0），易得特征值,04142.1,0,4142.1,4142.121>==-==q p i i λλ对照稳定性情况表，可知平衡点是不稳定的。

（4） 取平衡点（1,0），易得特征值,022,03,2,121<=>=-=-=q p λλ对照稳定性情况表，可知平衡点是稳定的。

2. 种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落。

设病菌的数目为N ，单位成员的增长率为1r ，则由Malthus 生长率有.1N r dtdN=但是，处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与12N 成比例，其比例系数为2r 。

求N 满足的微分方程，不用求解，图示其解族，方程是否有平衡接，如果有，是否为稳定？ 解：由题可得，N 满足的微分方程为：,)(2121N r N r dtdNN f -==求取平衡点，令0)(=N f ，可得平衡点为（0，2122/r r ），由)).(21(2121212122N r N r N r r dtN d --=-，令,022=dt N d 可求得21224/r r N =， 令212221224/,/,0r r N r r N N ===把第一象限划分为三部分，且分别有.0,0;0,0;0,0222222><<>>>dtNd dt dN dt N d dt dN dt N d dt dN 则微分方程的解族图形如下所示，其中，0=N 是不稳定的，2122/r r N =是稳定的。

数学实验报告实验序号：实验一日期：实验序号：实验二日期：实验序号： 实验三 日期：班级 姓名 学号实验 名称架设电缆的总费用问题背景描述：一条河宽1km ，两岸各有一个城镇A 与B ，A 与B 的直线距离为4km ，今需铺设一条电缆连接A 于B ，已知地下电缆的铺设费用是2万元/km ，水下电缆的修建费用是4万元/km 。

实验目的：通过建立适当的模型，算出如何铺设电缆可以使总花费最少。

数学模型：如图中所示，A-C-D-B 为铺设的电缆路线，我们就讨论a=30度，AE （A 到河岸的距离）=0.5km ，则图中：DG=4-AC cos b -1/tan c ； BG=0.5km AC=AE/sin bCD=EF/sin c=1/sin c BD=BG D 22G则有总的花费为：W=2*（AC+BD ）+4*CD ；我们所要做的就是求最优解。

实验所用软件及版本：Matlab 7.10.0实验序号： 实验四 日期：班级 姓名 学号实验 名称慢跑者与狗问题背景描述：一个慢跑者在平面上沿曲线25y x 22=+以恒定的速度v 从（5,0）起逆时钟方向跑步，一直狗从原点一恒定的速度w ，跑向慢跑者，在运动的过程中狗的运动方向始终指向慢跑者。

实验目的：用matlab 编程讨论不同的v 和w 是的追逐过程。

数学模型：人的坐标为（manx,many ）,狗的坐标为（dogx,dogy ）,则时间t 时刻的人的坐标可以表示为manx=R*cos(v*t/R); many=R*sin(v*t/R);sin θ=| (many-dogy)/sqrt((manx-dogx)^2+(many-dogy)^2)|;cos θ=| (manx-dogx)/sqrt((manx-dogx)^2+(many-dogy)^2)|;则可知在t+dt 时刻狗的坐标可以表示为：dogx=dogx(+/-)w* cos θ*dt; dogy=dogy(+/-)w* sin θ*dt; (如果manx-dogx>0则为正号，反之则为负号)实验所用软件及版本：Matlab 7.10.0实验序号：实验五日期：班级姓名学号两圆的相对滚动实验名称问题背景描述：有一个小圆在大圆内沿着大圆的圆周无滑动的滚动。

《数学建模》实验报告二院系专业学号姓名指导教师二Ｏ一五年四月十六日第一部分：数学建模论文P135：11题有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的），由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如表1所示。

这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司，假定现在时间是早晨8：00，请问他们最早何时能离开公司？表1 面试时间要求单位：min一：问题的提出本题问题是要合理安排4名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时间最少。

二：模型假设定义数学符号如下tij:第i名同学参加第j阶段面试需要的时间;xij:第i名同学参加第j阶段面试的开始时刻(记早上8：00面试开始为0时刻)(i=1, 2, 3, 4；j=1, 2, 3);T:完成全部面试所花费的最少时间。

三：模型建立目标函数：Min T={Max i{xi3+ti3}}模型约束条件：①每个人只有参加完前一阶段的面试后才能进入下一个阶段，则xij+tij<=x(i,j+1) （i=1, 2, 3, 4，j=1, 2）；②每个阶段j在同一时间只能面试1名同学，所以用0-1变量yik表示第k名同学是否排在第i名同学前面(1表示是，0表示否)，则xij+ tij–xkj<=Tyik (i, k=1, 2, 3, 4; j=1, 2, 3; i<k)xkj+ tkj–xij<=T(1–yik) (i, k=1, 2, 3, 4; j=1, 2, 3; i<k) 线性优化目标：Min Ts.t. T >=x13+ t13T >=x23+ t23T >=x33+ t33T >=x43+ t43xij+ tij <=x(i, j+1) (i=1, 2, 3, 4；j=1, 2)xij+ tij–xkj<=Tyik (i, k=1, 2, 3, 4; j=1, 2, 3; i<k)xkj+ tkj–xij<=T(1–yik)(i, k=1, 2, 3, 4; j=1, 2, 3; i<k)xi3+ ti3<=T (i=1, 2, 3, 4)四：模型解法与结果程序：Model:min =T;T >= x13+ t13;T >= x23+ t23;T >= x33+ t33;T >= x43+ t43;x11+ t11 <= x12;x12+ t12 <= x13;x21+ t21 <= x22;x22+ t22 <= x23;x31+ t31 <= x32;x32+ t32 <= x33;x41+ t41 <= x42;x42+ t42 <= x43;x11+ t11 - x21<= T*y12;x21+ t21 - x11<= T*(1-y12); x12+ t12 - x22<= T*y12;x22+ t22 - x12<= T*(1-y12); x13+ t13 - x23<= T*y12;x23+ t23 - x13<= T*(1-y12); x11+ t11 - x31<= T*y13;x31+ t31 - x11<= T*(1-y13); x12+ t12 - x32<= T*y13;x32+ t32 - x12<= T*(1-y13); x13+ t13 - x33<= T*y13;x33+ t33 - x13<= T*(1-y13); x11+ t11 - x41<= T*y14;x41+ t41 - x11<= T*(1-y14); x12+ t12 - x42<= T*y14;x42+ t42 - x12<= T*(1-y14); x13+ t13 - x43<= T*y14;x43+ t43 - x13<= T*(1-y14); x21+ t21 - x31<= T*y23;x31+ t31 - x21<= T*(1-y23); x22+ t22 - x32<= T*y23;x32+ t32 - x32<= T*(1-y23); x23+ t23 - x33<= T*y23;x33+ t33 - x23<= T*(1-y23); x21+ t21 - x41<= T*y24;x41+ t41 - x21<= T*(1-y24);x22+ t22 - x42<= T*y24;x42+ t42 - x22<= T*(1-y24);x23+ t23 - x43<= T*y24;x43+ t43 - x23<= T*(1-y24);x31+ t31 - x41<= T*y34;x41+ t41 - x31<= T*(1-y34);x32+ t32 - x42<= T*y34;x42+ t42 - x32<= T*(1-y34);x33+ t33 - x43<= T*y34;x43+ t43 - x33<= T*(1-y34);t11=13;t12=15;t13=20;t21=10;t22=20;t23=18;t31=20;t32=16;t33=10;t41=8;t42=10;t43=15;@bin(y12);@bin(y13);@bin(y14);@bin(y23);@bin(y24);@bin(y34);End运行结果：Local optimal solution found.Objective value: 84.00000Extended solver steps: 35Total solver iterations: 975Variable Value Reduced Cost T 84.00000 0.000000 X13 36.00000 0.000000 T13 20.00000 0.000000 X23 56.00000 0.000000 T23 18.00000 0.000000X33 74.00000 0.000000T33 10.00000 0.000000X43 18.00000 0.000000T43 15.00000 0.000000X11 8.000000 0.000000T11 13.00000 0.000000X12 21.00000 0.000000T12 15.00000 0.000000X21 21.00000 0.000000T21 10.00000 0.000000X22 36.00000 0.000000T22 20.00000 0.000000X31 31.00000 0.000000T31 20.00000 0.000000X32 56.40000 0.000000T32 16.00000 0.000000X41 0.000000 0.9999970T41 8.000000 0.000000X42 8.000000 0.000000T42 10.00000 0.000000Y12 0.000000 -83.99950Y13 0.000000 0.000000Y14 1.000000 83.99950Y23 0.000000 -83.99950Y24 1.000000 0.000000Y34 1.000000 0.000000五：模型结果的分析所有面试完成至少需要84分钟，其面试顺序为4-1-2-3 (即丁-甲-乙-丙)。

一、问题路灯照明问题。

在一条 20m宽的道路双侧，分别安装了一只2kw和一只 3kw的路灯，它们离地面的高度分别为 5m和 6m。

在乌黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？假如 3kw的路灯的高度能够在 3m到9m之间变化，怎样路面上最暗点的亮度最大？假如两只路灯的高度均能够在 3m到 9m之间变化，结果又怎样？二、数学模型已知 P1为 2kw的路灯， P2 为 3kw的路灯，以地面为 X轴，路灯 P1 为 Y 轴，成立平面直角坐标系。

此中， P1、P2 高度分别为 h1、h2，水平距离为 S=20m。

设有一点 Q(x，0) ，P1、P2分别与其相距 R1、R2。

以下列图示。

yP2P1R1 R h22h1α2α 1QO x xS经查阅资料得，光照强度公式为：，设光照强度k=1。

则，两个路灯在 Q点的光照强度分别为：p1 sin a1 p2 sin a2I 1 I 2R12 R22此中：2 2 2R 2 2 2R1 =h1 +x 2 =h2 +(S-x)则 Q点的光照强度 I x =I 1+I 2分别依据题目中的不一样要求，带入不一样数值，求导，令导数为零，求得极值，进一步剖析对照，求得最值。

三、算法与编程1.当 h1=5m，h2=6m时: symptoms x yx=0:0.1:20;y=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20-x).^2).^3); plot(x,y)grid on;0.090.080.070.060.050.040.030.020.01-50 5 10 15 20 25在图中的0-20 米范围内可获得路灯在路面照明的最亮点和最暗点①对 Ix 求导：syms xf=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20-x).^2).^3)②运用 MATLAB求出极值点2)^(5/2))');s1=vpa(s,8)s1 =.28489970e-18.5383043+11.615790*i19.9766969.33829918.5383043-11.615790*i③依据实质要求， x 应为正实数，选择19.9767、9.3383 、0.02849 三个数值，经过MATLAB计算出相应的 I 值：syms xI=10/(25+x^2)^(3/2)+18/(36+(20-x)^2)^(3/2);subs(I,x,19.9767)subs(I,x,9.3383)subs(I,x,0.02849)ans =0.0845ans =0.0182ans =0.820x 0.028 9.338 19.9749 29 66I 0.082 0.0840 0.018 5 综上，在 19.3 米时有最亮点；2 在 9.33 米时有最暗点2. 当 h1=5m，3m<h2<9m时：①对 h2 求偏导，并令其为0：②运用 MATLAB求出极值点solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')ans =20+2^(1/2)*h20-2^(1/2)*h③对 x 求偏导，并令其为0：④经过 MATLAB，将步骤②上当算出的对于h2 的表达式带入上式，并求出 h2 的值；solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0')ans =⑤经过 MATLAB，利用已求得的 h2，计算获得 x，并进一步计算获得 Ih=7.42239;x=20-2^(1/2)*hI=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2)) x =9.5032I =0.01863．当 h1，h2 均在 3m-9m之间时 :①同上，经过MATLAB求解下边的方程组：solve('p1/(h1^2+x^2)^(3/2)-3*p1*h1^2/(h1^2+x^2)^(5/ 2)')solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20 -x)^2)^(5/2))=0')ans =2^(1/2)*h1-2^(1/2)*h1ans =20+2^(1/2)*h20-2^(1/2)*h②依据实质，选择x=h1，x=20-h 2，带入第三个式中，得：③利用 MATLAB，求得 x 值：s=solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))');s1=vpa(s,6)s1 =9.325307.33738+17.0093*i7.33738-17.0093*i④依据实质需求，选择x=9.32525⑤带入求解 I ，并比较获得亮度最大的最暗点h1=(1/sqrt(2))*9.32525h2=(1/sqrt(2))*(20-9.32525)h1 =6.5939h2 =7.5482四、计算结果1. 当 h1=5m，h2=6m时:0.0284899 9.338299 19.97669x 0 20701 5I(x 0.081977 0.0819810 0.018243 0.084476 0.084474) 16 4 93 55 68 x=9.33m 时，为最暗点， I=0.01824393 ； x=19.97m 时，为最亮点，I=0.08447655 。