浙江省杭州市第二中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 含答案

2020学年第一学期9＋1高中联盟期中考试高一年级语文学科试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；一、语言文字应用（本大题共12题，选择题每小题3分，共42分。

选择题列出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．下列词语中读音字形全都正确的一项是A．我们文工团的几个同志，就由助攻团的团长分派到各个战斗连去。

大概因为我是个女同志吧，团长对我抓了半天后脑勺．（sháo），最后才叫一个通讯员送我到前沿包扎．（zā）所去。

B．列车一头扎进黑暗，把她们撇．（piě）在冰冷的铁轨旁边。

很久，她们还能感觉到它那越来越轻的震颤．（chàn）。

一切又恢复了寂静，静得叫人愁怅。

C．中秋节，在我的故乡，现在一定又是家家门前放一张竹茶几．（jī），上面供一副．（fù）香烛，几碟瓜果月饼。

孩子们急切地盼那柱香快些焚尽，好早些分摊给月亮娘娘享用过的东西。

D．袁隆平拍去身上在粉笔灰尘，掖．（yē）着讲义夹．（jiá），匆匆来到校园外的早稻试验田。

采用常规法培育出来的早稻常规品种正在勾头散籽，呈现一派丰收景象。

阅读下面的文字，完成2－3题。

（5分）过去史学家一直认为第二次世界大战比较重要，认为1914年到1918年的一战只是欧洲旧的家庭式的争吵。

于是．．冷战结束以后，已经有越来越多的世界主流历史学家开始意识到其实一战比二战更重要。

一战不仅为未来洗好了牌，为二十年后的二战奠定了基础，也在精神和文化上基本确立．．了延续至今的世界历史文化版图。

【甲】第一次世界大战造成的第一个结果是四个欧洲古老帝国（沙皇俄国、德意志帝国、奥匈帝国、奥斯曼土耳其帝国）的崩溃，整个欧洲文明出现巨大的真空。

【乙】更具灾难性的是“巴黎和会”签署的《凡尔赛和约》虽然结束了战争，却没有产生一种新的精神或文明的尺度。

2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，5，6，7}，则A∩B＝（）A．{0，2}B．{2}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}2．已知命题p：“∃x＞0，使得x2﹣x﹣2＞0”，则命题p的否定是（）A．∀x≤0，总有x2﹣x﹣2＞0B．∀x＞0，总有x2﹣x﹣2≤0C．∃x＞0，使得x2﹣x﹣2≤0D．∃x≤0，使得x2﹣x﹣2＞03．“三角形为等边三角形”是“三角形为等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中表示同一函数的是（）A．y＝与B．f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+1C．y＝与D．y＝与y＝x﹣35．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则（）A．ac2≤bc2B．C．ac＜bc＜0D．0＜a2＜b26．函数中，有（）A．f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增B．f（x）在（1，+∞）上单调递减C．f（x）在（1，+∞）上单调递增D．f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减7．若正数x，y满足＝1，则x+2y的最小值为（）A．B．C．25D．278．定义在R上的偶函数f（x）满足：在x∈[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（1，+∞）∪（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）D．（0，1）9．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+a＝0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，1]∪{0}D．[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]∪{0}10．函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）＝f（x+12），y＝f（x﹣1）的图形关于（1，0）对称，且f（8）＝1，则f（2020）＝（）A．1B．﹣1C．0D．2二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。

2024届浙江省杭州市杭州第二中学高三下第二次检测试题考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+2．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．33C ．22D ．323．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．124．命题“(0,1),ln xx ex -∀∈>”的否定是（ ）A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤5．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．43C 23D ．236．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞D ．(0,1)(1,)⋃+∞7．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]5,3-B ．[]2,3C ．[)2,+∞D ．(],3-∞8．若1(1)z a i =+-（a R ∈），|2|z =a =（ ）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．19．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞10．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1111．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭12．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年初一（上）期中考试数 学（考试时间90分钟 满分100分）18分）1．如图是加工零件尺寸的要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm ），其中不合格的是（ ）A ．Φ45.02B ．Φ44.9C ．44.98D ．Φ45.012．下列运算中正确的是（ ）A ．2(2)4-=- B ．224-= C ．3(3)27-=- D ．236= 3．若37x =是关于x 的方程70x m +=的解，则m 的值为（ ） A ．3- B ．13- C ．3 D ．134．若单项式12m a b -与212n a b 是同类项，则mn 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．95．下列各式中，是一元一次方程的是（ ）A ．852020x y -=B ．26x -C ．212191y y =+D ．582x x +=6．下列计算正确的是（ ）A ．8(42)8482÷+=÷+÷B ．1(1)(2)(1)(1)12-÷-⨯=-÷-= C ．3311311636624433434⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷=-⨯=-⨯+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．[](2)(2)40--+÷= 7．下列方程的解法，其中正确的个数是（ ） ①14136x x ---=，去分母得2(1)46x x ---= ②24132x x ---=，去分母得2(2)3(4)1x x ---= ③2(1)3(2)5x x ---=，去括号得22635x x ---=④32x =-，系数化为1得32x =- A ．3 B ．2 C ．1 D ．08．2020年国庆档电影《我和我的家乡》上映13天票房收入达到21.94亿元，并连续10天拿下票房单日冠军．其中21.94亿元用科学记数法可表示为（ ）A ．821.9410⨯元B ．82.19410⨯元C ．100.219410⨯元D ．92.19410⨯元9．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n二、填空题（本题共有9小题，每小题3分，共27分）10．如果数轴上A 点表示3-，那么与点A 距离2个单位的点所表示的数是 ．11．比较大小：78- 89-（填“>”“<”或“=”） 12．历史上，数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示，例如多项式2()25f x x x =+-，则(1)f -= ．13．用四舍五入法将3.694精确到0.01，所得到的近似值为 ．14．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如()2222153x x x x --+=-+-，则所捂住的多项式为 ．15．“☆”是新规定的某种运算符号，设a ☆b =ab a b +-，若2 ☆8n =-，则n = ．16．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知2m n +=-，4mn =-，则2(3)3(2)mn m n mn ---的值为 ．17．某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用12 000元，《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套x 元，可列方程为 ．18．观察下列一组算式：2231881-==⨯，22531682-==⨯，22752483-==⨯，22973284-==⨯……根据你所发现的规律，猜想22201920178-=⨯ ．三、按要求解答（第19小题8分，第20小题5分，第21小题10分，共23分）19．计算题（每小题4分，共8分） ①3511114662⎛⎫---- ⎪⎝⎭ ②[]31452(3)5211⎛⎫-⨯-÷-+ ⎪⎝⎭20．（本题5分）化简并求值：222212(2)()2x xy y xy x y ⎡⎤⎛⎫---+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中x 、y 的取值如图所示．21．解方程（每小题5分，共10分）①3(202)10y y --= ②243146x x --=-四、解答题（第22、23小题4分，第24小题5分，共13分）22．（本题4分）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为x a =的形式．下面是解方程20.30.410.50.3x x -+-=的主要过程，请在如图的矩形框中选择与方程变形对应的依据，并将它前面的序号填入相应的括号中．解：原方程可化为4153x +-=（ ） 去分母，得3(203)5(104)15x x --+=（ ）去括号，得609502015x x ---=（ ）移项，得605015920x x -=++（ ）合并同类项，得1044x =（合并同类项法则） 系数化为1，得 4.4x =（等式的基本性质2）23．（本题4分）阅读材料，回答问题．计算：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：原式的倒数为211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝2112(30)31065⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭＝203512-+-+＝10-故原式＝110- 根据材料中的方法计算113224261437⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 24．（本题5分）在某地住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）． （1）用含m ，n 的代数式表示该广场的面积S ；（2）若m ，n 满足2(6)50m n -+-=，求出该广场的面积．五、解答题（第25、26小题6分，第27小题7分，共19分）25．（本题6分）列代数式或一元一次方程解应用题请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？（2）甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打8折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买5个水瓶和20个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由．26．（本题6分）下表中的字母都是按一定规律排列的．我们把某格中的字母的和所得多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为62x y +，第2格的“特征多项式”为94x y +，回答下列问题．（1）第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第n 格的“特征多项式”为 ；（n 为正整数）（2）求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差．27．（本题7分）在数轴上，对于不重合的三点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的13倍，我们就把点C叫做【A，B】的理想点．例如：图中，点A表示的数为-1，点B表示的数为3．表示数0的点C到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点C是【A，B】的理想点；又如，表示数2的点D到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点D 就不是【A，B】的理想点，但点D是【B，A】的理想点．（1）当点A表示的数为-1，点B表示的数为7时，①若点C表示的数为1，则点C（填“是”或“不是”）【A，B】的理想点；②若点D是【B，A】的理想点，则点D表示的数是；（2）若A，B在数轴上表示的数分别为-2和4，现有一点C从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，当点C到达点A时停止．请直接写出点C运动多少秒时，C，A，B中恰有一个点为其余两点的理想点？参考答案一、选择题（每小题2分，共18分）二、填空题（每小题3分，共27分）19．计算题（每小题4分，共8分）①原式=3511114662--+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 =5131116642--++ =1224-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 =14┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 ②原式=14582211⎛⎫-⨯-÷ ⎪⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 =24--┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分=6-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分20．解：原式=22221242x xy y xy x y ⎛⎫---+- ⎪⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 =22221242x xy y xy x y --+-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 =272x xy -┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 当2x =，1y =-时┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分原式=2722(1)112-⨯⨯-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分21．解方程（每小题5分，共10分）①3(202)10y y --=解：60610y y -+=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分61060y y +=+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分770y =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分10y =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 ②243146x x --=- 解：3(2)122(43)x x -=--┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分361286x x -=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分361286x x -=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分310x -=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分103x =-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 四、解答题（第22、23小题4分，第24小题5分，共13分）22．③；②；④；①┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分23．解：原式的倒数为132216143742⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 1322(42)61437⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭792812=-+-+14=-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分故原式=114-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 24．解：（1）S 7220.52m n n m mn =⋅-⋅=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 （2）由题意得6050m n -=⎧⎨-=⎩，解得65m n =⎧⎨=⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分当6m =，5n =时 S 7651052=⨯⨯=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分五、解答题（第25、26小题6分，第27小题7分，共19分）25．解：（1）设一个水瓶x 元，则一个水杯是(48)x -元┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分34(48)152x x +-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分40x =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分∴4848408x -=-=┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分答：一个水瓶40元，一个水杯8元．（2）甲商场需付款：80%(540208)288⨯⨯+⨯=（元）┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 乙商场需付款：5408(2052)280⨯+⨯-⨯=（元）┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 ∴选择乙商场更划算．26．解：（1）126x y +；158x y +；3(1)2n x ny ++┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）(2112)(1810)x y x y +-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分32x y =+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分27．（1）①是┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分②5或11┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）设运动时间为t 秒，则BC t =，6AC t =-依题意，得C 是【A ，B 】的理想点时有16=3t t -，∴92t = C 是【B ，A 】的理想点时有1(6)3t t =-，∴32t = A 是【C ，B 】的理想点时有16=63t -⨯，∴4t =B 是【C ，A 】的理想点时有1=6=23t ⨯ 答：点C 运动92秒、32秒、4秒、2秒时，C ，A ，B 中恰有一个点为其余两点的理想点．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分。

浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}N 12A x x =∈-≤≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}12．若函数()1f x +的定义域是{}10x x -<<，则函数()f x 的定义域为（）A ．{}01x x <<B ．{}21x x -<<-C ．{}10x x -<<D ．{}20x x -<<3．不等式20cx ax b ++>的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则函数2y ax bx c =+-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知()e e x x xf x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知命题p ：0x ∃≥，111x x +<+，则（）A ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是真命题B ．命题p 的否定为0x ∃≥，111x x +≥+，且p 是真命题C ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是假命题D ．命题p 的否定为0x ∀<，111x x +≥+，p 是假命题6．已知函数2()32x a x f x ax x ⎧≤=⎨+>⎩，，是R 上的增．函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1a >B ．13a <<C ．13a -≤≤D ．13a <£7．已知,,abc 为正数，且22a b c ++=，则14a b b c +++的最小值为（）A ．52B ．52C ．92D ．948．已知函数341()=41x x f x x -++，则不等式(21)()0f x f x -+<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞二、多选题9．设,R a b ∈，若0a b ->，则下列结论正确的是（）A ．0b a ->B ．0b a +>C ．220a b ->D ．330a b +<10．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A ．三项比赛都参加的有2人B ．只参加100米比赛的有3人C ．只参加400米比赛的有3人D ．只参加1500米比赛的有3人11．设R x ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.51, 1.52⎡⎤=-=-⎣⎦，记{}[]x x x =-.则下列说法正确的有（）A ．R,Z x n ∀∈∈，都有[][]n x n x +=+B ．,x y ∀∈R ，都有[][][]xy x y ≥C ．*R,N x n ∀∈∈，都有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．若存在实数x ，使得23[]1,[]2,[]3,...,[]n x x x x n ====同时成立，则正整数n 的最大值为4.三、填空题12．设集合(){}22,2,N,N A x y x y x y =+≤∈∈，则A 中元素的个数为13．如果2339x x --<，则x 的取值范围为.14．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12x x D ∈,当12x x <时，有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0;f =②1()()32x f f x =；③(1)()1f x f x -+=.则21((55f f +=四、解答题15．已知命题22:R,60p x x x a ∃∈-+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A .(1)求集合A ；(2)设集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数()4(0)4x xa f x a =+≠(1)当1a =时，根据定义证明函数()f x 在(0,+∞）上单调递增.(2)若()f x 有最小值4，求a 的值.17．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为7502m 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m 的小路，中间,,A B C 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中,B C 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为m x ，鲜花种植的总面积为2m S .(1)用含有x 的代数式表示a ，并写出x 的取值范围；(2)当x 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？18．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈.(1)若1t =，（i ）当[0,3]x ∈时，求()f x 的最大值和最小值;（ii ）对任意的[]0,2x a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围；(2)若对任意的12,[0,4]x x ∈，都有()()128f x f x -≤，求实数t 的取值范围.19．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2()4f x x x =-+.(1)求()f x 的解析式；(2)当()f x 的定义域为[,]a b （0a ）时，()f x 的值域为[,]a b ，求,a b 的取值.(3)是否存在实数,a b ，使得当()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为88[,b a，如果存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.。

2020-2021学年浙江省杭州高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣124．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣15．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行6．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥C1﹣A1BD的体积为（）A．B．C．D．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB＝BC＝2，AB，BC分别与y'轴、x'轴平行，则△ABC在原图中对应三角形的面积为（）A．B．1C．2D．48．若函数f（x）＝x2+e x﹣（x＜0）与g（x）＝x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为，此时||＝．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H（t）＝A sin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H（t）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．20．已知函数f（x）＝g（x）h（x），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f（x）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝﹣3+2i，∴，∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．故选：C．2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣12解：，，与的夹角θ为45°，则＝＝12．故选：B．4．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣1解：根据题意，函数，则f（﹣1）＝e0＝1，则f（f（﹣1））＝f（1）＝1﹣2＝﹣1；故选：D．5．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行解：∵a⊂α，α∥β，∴a与α内直线的位置关系有两种：平行或相交，故A错误；a与β内直线的位置关系有两种：平行或异面，平行的有无数条，相交的也有无数条，故B正确CD错误．故选：B ．6．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为（）A ．B ．C ．D ．解：∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴正方体的体积为1×1×1＝1，又＝，∴三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为1﹣，故选：A ．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB ＝BC ＝2，AB ，BC 分别与y '轴、x '轴平行，则△ABC 在原图中对应三角形的面积为（）A ．B ．1C ．2D ．4解：把直观图转化为原平面图形，如图所示：则原平面图形为直角三角形，计算该直角三角形的面积为S ＝×4×2＝4．故选：D ．8．若函数f （x ）＝x 2+e x ﹣（x ＜0）与g （x ）＝x 2+ln （x +a ）图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A ．（﹣）B ．（）C ．（）D ．（）解：因为f （x ），g （x ）图象上存在关于y 轴对称的点，设P （x ，y ）（x ＜0）在函数f （x ）上，则P 关于y 轴的对称点Q 为（﹣x ，y ），则存在x ∈（﹣∞，0），满足x 2+e x ﹣＝（﹣x ）2+ln （﹣x +a ），即方程e x ﹣＝ln （﹣x +a ）在（﹣∞，0）上有解，即函数F（x）＝与函数h（x）＝ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有交点，在直角坐标系中画出函数F（x）和h（x）的图象，如图所示，当h（x）过点时，a＝，由图象可知，当a＜时，函数F（x）与h（x）在x＜0时有交点，所以a的取值范围为（﹣∞，）．故选：A．9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形解：在A中，面最少的多面体是三棱锥，故最多面体至少有四个面，故A正确；在B中，平行六面体的六个面均为平行四边形，故B正确；在C中，长方体、正方体都是四棱柱，但长方体不是正四棱柱，故C错误；在D中，棱台的所有侧面都是梯形，故D正确．故选：ABD．10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则解：对于A，当x＜0时，x+≤﹣2，故错；对于B，当a＜b＜0时，，则，故正确；对于C，若x（x﹣2）＜0，则0＜x＜2，则log2x∈（﹣∞，1），故错；对于D，若a＞0，b＞0，a+b≤1，则有ab，即，故正确．故选：BD．11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个解：建立直角坐标系，如图所示：设正方形的边长为1，设动点P（x，y），则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（﹣1，1），所以＝（1，0），＝（﹣1，1），所以＝+μ，整理得，所以λ+μ＝x+2y，下面对点P的位置逐一进行讨论，①当点P在AB上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，1]，②当动点P在BC上时，，故λ+μ＝x+2y∈[1，3]，③当动点P在CD上时，，故λ+μ＝x+2y∈[2，3]，④当动点P在DA上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，2]，由此可得：λ+μ＝2，得到动点P为BC的中点或点D的位置，故A错误，当λ+μ＝1时，得到动点P为点B的位置或AD的中点，故B正确，当λ+μ＝时，点P为CD的中点或P（1，），故D正确，当λ+μ＝3时，点P为C（1，1）的位置，故C正确．故选：BCD．12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是解：当x＝时，，所以，故选项A正确；当时，图象面积增加，即f（x）单调递增，故选项B错误；取BC的中点G，连接OG，设射线OP与正方形的边的交点为E，作点E关于直线OG的对称点F，则∠FOD＝x，所以∠AOF＝π﹣x，将射线OF绕点O按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知S＝f（x），因为S+f（π﹣x）＝4，所以f（x）+f（π﹣x）＝4，故选项C正确；因为f（x）+f（π﹣x）＝4，则，所以，则f（x）的图象不关于对称，故选项D错误．故选：AC．二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．解：复数||＝＝＝＝，故答案为：．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝1．解：在△ABC中，∵AB＝，BC＝3，∠C＝120°，∴由余弦定理可得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos C，即：（）2＝AC2+32﹣2×3×AC×cos120°．∴整理可得：AC2+3AC﹣4＝0，解得：AC＝1或﹣4（舍去）．故答案为：1．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝﹣7．解：设大正方形的边长为a＝5，小正方形的边长为1，故设直角三角形的边长为x和x+1，故x2+（x+1）2＝25，解得x＝3，故tan．故＝﹣7．故答案为：﹣7．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为﹣16，此时||＝6．解：∵A（﹣5，0）和B（5，0）在中点为原点O（0，0），不妨以A，B的中点为原点，AB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，H为AB上一点，，故，所以，P到直线AB的距离为3，则P点在直线L：y＝3上，可得：A（﹣5，0），B（5，0），P（x，3），则＝（﹣5﹣x，﹣3）⋅（5﹣x，﹣3）＝x2﹣25+9＝x2﹣16，当且仅当x＝0时，取最小值﹣16，此时P（0，3），．故答案为：﹣16；6．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．【解答】（1）解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点，则EC＝CD＝1，∠ACB＝60°，所以，故三棱锥C1﹣CDE的体积为＝＝；（2）证明：因为D、E分别为BC、AC的中点，则DE∥AB，又AB∥A1B1，所以DE∥A1B1，又A1B1⊄平面DEC1，DE⊂平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．解：（1），所以．（2），因为与共线，所以，解得m＝4．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H （t ）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．解：（1）H 关于t 的函数关系式为H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B ，由，解得A ＝62，B ＝83，…1分又函数周期为30，所以ω＝＝，可得H （t ）＝62sin （t +φ）+83，…2分又H （0）＝62sin （×0+φ）+83＝21，所以sin φ＝﹣1，φ＝﹣，…3分所以摩天轮转动一周的解析式为：H （t ）＝62sin （t ﹣）+83，0≤t ≤30，…4分（2）H （t ）＝62sin （t ﹣）+83＝﹣62cos t +83，所以﹣62cos t +83＝52，cos t ＝，…6分所以t ＝5…8分（3）由题意知，经过t 分钟后游客甲距离地面高度解析式为H 甲＝﹣62cos t +83，乙与甲间隔的时间为＝5分钟，所以乙距离地面高度解析式为H 乙＝﹣62cos （t ﹣5）+83，5≤t ≤30，…10分所以两人离地面的高度差h ＝|H 甲﹣H 乙|＝|﹣62cos t +62cos （t ﹣5）|＝62|sin （t ﹣）|，5≤t ≤30，当t ﹣＝，或时，即t ＝10或25分钟时，h 取最大值为62米…12分20．已知函数f （x ）＝g （x ）h （x ），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f （x ）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．解：若选条件①，f（x）＝＝2sin x（cos x﹣sin x）＝2sin x cos x﹣2sin2x＝sin2x+cos2x﹣1＝．（1）函数的周期为T＝π；（2）∵x∈，∴2x+∈[，]，当2x+＝，即x＝﹣时，函数取得最小值﹣2，当2x+＝，即x＝时，函数取得最大值；若选条件②，f（x）＝＝＝．（1）函数的周期为T＝2π；（2）由x∈，得sin x∈[，]，当sin x＝，即x＝时，函数取得最大值，当sin x＝﹣，即x＝﹣时，函数取得最大值﹣1﹣．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？【解答】（1）y1＝（10﹣m）x﹣20，其中{x|0≤x≤200，x∈N}，，其中{x|0≤x≤120，x∈N}．（2）∵6≤m≤8，∴10﹣m＞0，∴y1在定义域上是增函数，∴当x＝200时，（y1）max＝（10﹣m）200﹣20＝1980﹣200m，又，∴当x＝100时，（y2）max＝460，（y1）max﹣（y2）max＝1980﹣200m﹣460＝1520﹣200m，当1520﹣200m＞0时，即6≤m＜7.6时，投资A产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＝0时，即m＝7.6时，投资A或B产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＜0时，即7.6＜m≤8时，投资B产品可获得最大年利润．22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）g(x)＝|log2x|＝,因为关于x的方程g(x)＝n有两个不等的实数根α,β,(α＜β)所以﹣log2α＝n,log2β＝n,所以α＝2﹣n,β＝2n,所以αβ＝2﹣n•2n＝20＝1．（2）f(m)＝＝m+﹣3在m∈[1,2]上单调递减，则f(2)≤f(m)≤f(1),所以1≤f(m)≤2,令p＝f(m),则p∈[1,2],因为g(x)＝|log2x|在[,1]上单调递减，在[1,4]上电脑端递增，又g()＝3,g(1)＝0,g(4)＝2,令t＝g(x),则当t∈(0,2]时，方程t＝g(x)有两个不等实数根，由(1)知，两个根之积为1，当t∈(2,3]∪{0}时，方程t＝g(x)有且仅有一个根且此根在区间[,)内或为1，令h(t)＝4t2﹣4at+3a﹣1,所以原题目等价于，对任意p∈[1,2]，关于t的方程h(t)＝p在区间[0,3]上总有2个不等根t1,t2(t1＜t2),且t1＝g(x)有两个不等根，t2＝g(x)只有一个根，则必有0＜t1≤2＜t2≤3,则有,解得＜a≤,此时t2＝g(x)∈(2,3),则其根x∈[,),所以x1x2x3∈[,),所以存在实数a,使得对任意m∈[1,2],关于x的方程4g2(x)﹣4ag(x)+3a﹣1﹣f(m)＝0在区间[,4]上总有3个不等根，x1,x2,x3,实数a的取值范围为(，],x1x2x3的范围为[,)．。

2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（8个单选题，每题4分；2个多选题，每题5分；共42分）1．复数z ＝﹣i 的虚部为（）A ．B ．﹣C ．iD ．﹣i2．已知向量＝（k ，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k ＝（）A ．﹣B ．0C ．3D ．3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则B 的解的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定4．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A ．1B ．C ．2D ．25．已知向量，不共线，且向量λ+与+（2λ﹣1）的方向相反，则实数λ的值为（）A ．1B ．﹣C ．1或﹣D ．﹣1或﹣6．设复数z 满足＝i ，则|z |＝（）A ．1B ．C ．D ．27．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交8．已知，为单位向量，|+|＝|﹣|，记是与+方向相同的单位向量，则在+方向上的投影向量为（）A ．B ．﹣C ．D ．9．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题是（）A ．若|z 1﹣z 2|＝0，则＝B ．若z 1＝，则＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1•＝z 2•D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 2210．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b ＝c cos A ，角A 的角平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos A ＝，以下结论正确的是（）A．AC＝B．AB＝8C．＝D．△ABD的面积为二、填空题（6题，每题5分，共30分）11．若1+i是关于x的实系数方程x 2+bx+c＝0的一个复数根，则c＝．12．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为．13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos A＝，sin B＝cos C，并且a＝，则△ABC的面积为．15．设P为△ABC所在平面上一点，且满足（m＞0）．若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为．16．如图，圆O是半径为1的圆，OA＝，设B，C为圆上的任意2个点，则•的取值范围是．三、解答题（4题，每题12分，共48分）17．如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C﹣b﹣c＝0．（1）求A；（2）若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．（1）设＝x+y，求x+y的值；（2）若＝6，求的值．20．设a为实数，函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．参考答案一、选择题（8个单选题，每题4分；2个多选题，每题5分；共42分）1．复数z＝﹣i的虚部为（）A．B．﹣C．i D．﹣i 解：z＝﹣i的虚部为﹣，故选：B．2．已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k＝（）A．﹣B．0C．3D．解：∵＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）∴2﹣3＝（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•＝0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）＝0，解得，k＝3．故选：C．3．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，则B的解的个数是（）A．0B．1C．2D．不确定解：因为a＝80，b＝100，A＝30°，由正弦定理得，，所以sin B＝，因为a＜b，所以B＞A，故B有两解．故选：C．4．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1B．C．2D．2解：设圆锥的底面半径为r，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r，又∵圆锥的表面积为π，∴πr（r+3r）＝π，解得：r＝，l＝，故圆锥的高h＝＝，故选：B．5．已知向量，不共线，且向量λ+与+（2λ﹣1）的方向相反，则实数λ的值为（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣解：与的方向相反，且不共线，∴存在μ＜0，使，∴，解得或1（舍去）．故选：B．6．设复数z满足＝i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：∵复数z满足＝i，∴1+z＝i﹣zi，∴z（1+i）＝i﹣1，∴z＝＝i，∴|z|＝1，故选：A．7．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C ．l 可以和l 1，l 2都相交，如下图：，∴该选项错误；D ．“l 至少与l 1，l 2中的一条相交”正确，假如l 和l 1，l 2都不相交；∵l 和l 1，l 2都共面；∴l 和l 1，l 2都平行；∴l 1∥l 2，l 1和l 2共面，这样便不符合已知的l 1和l 2异面；∴该选项正确．故选：D ．8．已知，为单位向量，|+|＝|﹣|，记是与+方向相同的单位向量，则在+方向上的投影向量为（）A ．B ．﹣C ．D ．解：由题意可得2+2＝2﹣4+2，可得＝，则＝1+＝，设与+的夹角为α，则||•||cos α＝，有||＝＝，故＝＝．则在+方向上的投影向量为：．故选：C ．9．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题是（）A ．若|z 1﹣z 2|＝0，则＝B ．若z 1＝，则＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1•＝z 2•D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 22解：对（A ），若|z 1﹣z 2|＝0，则z 1﹣z 2＝0，z 1＝z 2，所以为真；对（B ）若，则z 1和z 2互为共轭复数，所以为真；对（C ）设z 1＝a 1+b 1i ，z 2＝a 2+b 2i ，若|z 1|＝|z 2|，则，，所以为真；对（D ）若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|为真，而，所以为假．故选：ABC ．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝c cos A，角A的角平分线交BC于点D，AD＝1，cos A＝，以下结论正确的是（）A．AC＝B．AB＝8C．＝D．△ABD的面积为解：因为b＝c cos A，由正弦定理可得，sin B＝sin C cos A＝sin（A+C），所以sin A cos C＝0，因为sin A≠0，所以cos C＝0即C＝，∵＝cos A＝，由角平分线定理可得，＝，设AC＝x，AB＝8x，则BC＝3x，CD＝，Rt△ACD中，由勾股定理可得，，解可得x＝，即AC＝，AB＝6，∵S ABC＝＝，＝＝．所以S△ABD故选：ACD．二、填空题（6题，每题5分，共30分）11．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则c＝3．解：因为1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，所以1﹣i也是方程的根，由根与系数的关系可知：，所以b＝﹣2，c＝3．故答案为：3．12．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为2+．解：DC＝AB sin45°＝，BC＝AB sin45°+AD＝+1，S梯形ABCD＝（AD+BC）DC＝（2+）＝+，S＝S梯形ABCD＝2+．故答案为：2+13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为．解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO＝AO＝R，PO1＝4，OO1＝4﹣R，在Rt△AO1O中，AO1＝，由勾股定理R2＝2+（4﹣R）2得R＝，∴球的体积为．故答案为：．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos A＝，sin B＝cos C，并且a＝，则△ABC的面积为．解：∵cos A＝，A为三角形的内角，∴sin A＝＝＝，∵sin B＝cos C，且sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴sin A cos C+cos A sin C＝cos C，则cos C+sin C＝cos C，即sin C﹣cos C＝0，由得，sin C＝，cos C＝，∴sin B＝cos C＝，又a＝，由正弦定理得，则c＝＝＝，∴△ABC的面积S＝＝＝，故答案为：．15．设P为△ABC所在平面上一点，且满足（m＞0）．若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为14．解：由3+4＝m，可得+＝，可设＝+，则D，A，C共线，且D在线段AC上，可得＝，即有D分AC的比为4：3，即有C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍，＝S△ABP＝×8＝14．故S△ABC故答案为：14．16．如图，圆O是半径为1的圆，OA＝，设B，C为圆上的任意2个点，则•的取值范围是．解：如图，设D是线段BC的中点，则OD⊥BC，连接OA，OB．OC，OD，设θ为和的夹角，则•＝（﹣）•＝•﹣•＝||•||•∠BCO﹣||•||•cosθ＝﹣|•cosθ≥﹣|＝（||﹣）2﹣，∵||∈[0，2]，∴当||＝时，•有最小值为﹣，当||＝2且cosθ＝﹣1时，﹣|•cosθ有最大值为3，即•有最大值为3，故答案为：[﹣，3]．三、解答题（4题，每题12分，共48分）17．如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC．【解答】证明：（1）取PD的中点E，连接AE、NE，如图所示：由NE∥DC，且NE＝DC，AM∥DC，且AM＝DC，所以NE∥AM，且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE，又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD；（2）因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥BC．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C﹣b﹣c＝0．（1）求A；（2）若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．解：（1）由题意知，a cos C+a sin C﹣b﹣c＝0，由正弦定理得：sin A cos C+sin A sin C﹣sin B﹣sin C＝0，由sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）得，sin A cos C+sin A sin C﹣sin（A+C）﹣sin C＝0，则sin A sin C﹣cos A sin C﹣sin C＝0，又sin C≠0，则sin A﹣cos A＝1，化简得，，即，又0＜A＜π，所以A＝；（2）在△ABC中，cos B＝得，sin B＝＝…则sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝…由正弦定理得，＝＝…设a＝7x、c＝5x，在△ABD中，由余弦定理得：AD2＝AB2+BD2﹣2•AB•BD•cos B，，解得x＝1，则a＝7，c＝5…所以△ABC的面积S＝＝…19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．（1）设＝x+y，求x+y的值；（2）若＝6，求的值．解：（1）△ABC中，D是BC的中点，BE＝2EA，AD与CE交于点O．设＝x+y＝x+y（﹣）＝﹣x﹣y+y＝（﹣x﹣y）+y，又＝，＝，所以＝（﹣x﹣y）+y，所以﹣x﹣y+y＝1，①又＝﹣（x+y）+2y，所以﹣（x+y）+2y＝1，②由①②组成方程组解得，所以x+y＝﹣＝﹣；（2）设＝m＝m（+），＝+＝+n＝+n（﹣）＝（1﹣n）+n＝+n；所以，，所以＝＝（+），＝﹣＝﹣+，所以6•＝6×（+）•（﹣+）＝﹣+•+；又•＝6，所以0＝﹣+，所以＝3，所以＝．20．设a为实数，函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．解：（1）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1，∵|a|＞0，∴﹣a＞0∴⇒a≤﹣1（2）当x≥a时，f（x）＝3x2﹣2ax+a2，∴，如图所示：当x≤a时，f（x）＝x2+2ax﹣a2，∴．综上所述：．（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△＝4a2﹣12（a2﹣1）＝12﹣8a2当a≤﹣或a≥时，△≤0，x∈（a，+∞）；当﹣＜a＜时，△＞0，得：即进而分2类讨论：当﹣＜a＜﹣时，a＜，此时不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；当﹣≤a≤时，＜a＜；此时不等式组的解集为[，+∞）．当＜x＜，a＞；此时不等式组的解集为（a，+∞）．综上可得，当a∈（﹣∞，﹣]∪（，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；当a∈（﹣，﹣）时，不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；当a∈[﹣，]时，不等式组的解集为[，+∞）．。

2020学年杭二高一上期中一、选择题：每小题4分，共40分.1. 已知集合{,},{1,3}(,)A a b B a a b R ==+∈，若{}2A B ⋂=，则A B =（ ）A. {2}B. {3}C. {1，2，3}D. {0，1，2}【答案】C2. 与函数()f x =）A. ()2x g x x=B. ()2g x =C. ()g x x =D. ()g x x =【答案】D3. 已知幂函数()f x x α=的图象过点()93，，若()2f t =，则实数t 的值为（ ） A.B. C. 4± D. 4【答案】D4. 己知函数()y f x =，x ∈R ，且(0)3f =，(2)4(0)f f =，(4)4(2)f f =，(6)4(2)f f =，…，(2)4(22)f n f n =-，*n N ∈，则函数()y f x =的解析式可以是（ ）A. ()32xf x =⨯B. ()34xf x =⨯C. ()38xf x =⨯D. ()4xf x =【答案】A 5. 设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则(())2f f a =，则a =（ ） A. 0 B.13C.23D. 1【答案】C6. 若2233x y x y ---<-，则（ ） A. 22y x >B. 1x y<C. lg()0y x ->D. 122yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D7. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A. 0a b ab +<< B. 0ab a b <+< C. 0a b ab +<< D. 0ab a b <<+【答案】B8. 若对任意使得关于x 的方程20ax bx c ++=()0ac ≠有实数解的a ，b ，c 均有222()()()a b b c c a -+-+-2rc ≥，则实数r 的最大值是（ ）A. 1B.98C.916D. 2【答案】B9. 命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. 8a ≥ B. 9a ≥C. 10a ≥D. 11a ≥【答案】CD10. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,C 为线段AB 上的点,且AC a =,BC b =,O 为AB 的中点,以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D ,连结OD ,AD ,BD ,过点C 作OD 的垂线,垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A.2a bab +≥(0a >,0b >) B. 222a b ab +≥(0a >,0b >)C.211ab a b≥+(0a >,0b >) D. 2222a b a b++≥(0a ≥,0b >) 【答案】AC11. 华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()111212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中1111221c a b a b =+，2112222c a b a b =+.已知定义在R 上不恒为0的函数()f x ，对任意,a b ∈R 有：()()()()121111b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭且满足()12f ab y y =+，则（ ）A. ()00=fB. ()11f -=C. ()f x 是偶函数D. ()f x 是奇函数【答案】AD12. 定义域和值域均为[-a ，a ](常数a >0）的函数()y f x =和()y g x =的大致图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）A. 方程(())0f f x =可能存在五个解B. 方程(())0g g x =有且仅有一个解C. 方程(())0f f x =有两负数解和一正数解D. 方程(())0g g x =最多只有三个解【答案】ABC二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.13. 函数21()1f x x =+的值域是__________. 【答案】（0，1]14. 的数2()ln(2)f x x x =-的单调递增区间是__________. 【答案】（2，+∞）15. 已知函数()()()221f x x x ax b =-++，若对于任意的x ∈R ，都有()()4f x f x =-，则()f x 的最小值是_____. 【答案】16-16. 已知a 、b 、c 为正实数，则代数式938432a b cb c c a a b+++++的最小值是_________. 【答案】4748.三、解答题：5小题，共74分.17. 计算：（1）)2411323230.002105283---⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()21lg5lg8lg10003lg 2lglg 0.066⋅++++ 【答案】（1）20-；（2）1. 18. 设常数a R ∈，集合101x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x a =≤-.（1）若2a =，求A B ，()RAB ；（2）若AB R =，求a 的取值范围.【答案】（1）{|1AB x x =<-或1}x =，(){}R 1A B x x ⋂=>；（2）2a ≥.19. 2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当(]0,14t ∈时，曲线是二次函数图象的一部分，当[]14,40t ∈时，曲线是函数()83log 5a y t =+-，（0a >且1a ≠）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳．（1）试求()p f t =的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．【答案】（1）()(]()(]21311282,0,144log 583,14,40t t p t t ⎧--+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩；（2）教师能够合理安排时间讲完题目，理由见解析．20. 已知函数1()xxf x a a =-(a >0，a ≠1). （1）若a >l ，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实致b 的取值范围； （2）若3(1)2f =且221()2()xx h x a mf x a=+-在[1，+∞)上的最小值为2-，求m 的值. 【答案】（1）35b -<<；（2）2.21. 已知函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数． （1）求实数k的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）209m << 22. 设函数2()f x ax x a b =+-+，a ，b ∈R .（1）若函数()f x 在[]0,2上单调递增，在()2,+∞单调递减，求实数a 的值；（2）若对任意的实数[]0,1b ∈及任意的[]3,3x ∈-，不等式()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）14-；（2）12a =-.。

上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。

2020-2021学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{a，b}，B＝{a+1，3}（a，b∈R），若A∩B＝{2}，则A∪B＝（）A．{2}B．{3}C．{1，2，3}D．{0，1，2}2．与函数f（x）＝表示同一函数提（）A．g（x）＝B．g（x）＝（）2C．g（x）＝x D．g（x）＝|x|3．已知幂函数f（x）＝x a的图象过点（9，3），若f（t）＝2，则实数t的值为（）A．B．C．±4D．44．己知函数y＝f（x），x∈R，且f（0）＝3，，，，…，，n∈N*，则函数y＝f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝3×2x B．f（x）＝3×4x C．f（x）＝3×8x D．f（x）＝4x5．设函数，则f（f（a））＝2，则a＝（）A．0B．C．D．16．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．y2＞x2B．C．lg（y﹣x）＞0D．7．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 8．若对任意使得关于x的方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有实数解的a，b，c均有（a﹣b）2+（b﹣a）2+（c﹣a）2≥rc2，则实数r的最大值是（）A．1B．C．D．29．命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥8B．a≥9C．a≥10D．a≥1110．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A．（a＞0，b＞0）B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）C．（a＞0，b＞0）D．（a≥0，b＞0）11．华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中c1＝a1b11+a2b21，c2＝a1b12+a2b22．已知定义在R上不恒为0的函数f（x），对任意a，b∈R有：且满足f（ab）＝y1+y2，则（）A．f（0）＝0B．f（﹣1）＝1C．f（x）是偶函数D．f（x）是奇函数12．定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象如图所示，则下列说法正确的有（）A．方程f（f（x））＝0可能存在五个解B．方程g（g（x））＝0有且仅有一个解C．方程f（f（x））＝0有两负数解和一正数解D．方程g（g（x））＝0最多只有三个解二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.13．函数f（x）＝的值域是．14．函数f（x）＝ln（x2﹣2x）的单调递增区间是．15．若函数f（x）＝（x2﹣1）（x2+ax+b）对于任意x∈R都满足f（x）＝f（x﹣4），则f（x）的最小值是．16．已知a、b、c为正实数，则代数式的最小值是．三、解答题：5小题，共74分.17．计算：（1）；（2）lg5•（lg8+lg1000）+3lg22+lg+lg0.06．18．设常数a∈R，集合，B＝{x|x≤a﹣1}．（1）若a＝2，求A∩B，A∩（∁R B）；（2）若A∪B＝R，求a的取值范围．19．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y＝log a（t﹣5）+83（a＞0，且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．（1）试求p＝f（t）的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．20．已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若a＞1，不等式f（x2+bx）+f（4﹣x）＞0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围；（2）若且在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．21．已知函数为奇函数．（1）求实数k的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）若存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在区间[α，β]上的值域为，求实数m的取值范围．22．设函数f（x）＝ax2+|x﹣a|+b，a，b∈R．（1）若函数f（x）在[0，2]上单调递增，在（2，+∞）单调递减，求实数a的值；（2）若对任意的实数b∈[0，1]及任意的x∈[﹣3，3]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：每小题4分，共40分.1．已知集合A＝{a，b}，B＝{a+1，3}（a，b∈R），若A∩B＝{2}，则A∪B＝（）A．{2}B．{3}C．{1，2，3}D．{0，1，2}解：∵A∩B＝{2}，∴2∈B，2∈A，∴，解a＝1，b＝2，∴A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3}．故选：C．2．与函数f（x）＝表示同一函数提（）A．g（x）＝B．g（x）＝（）2C．g（x）＝x D．g（x）＝|x|解：对于A，g（x）＝＝x的定义域是{x|x≠0}，f（x）＝＝|x|的定义域是R，定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于B，g（x）＝＝x的定义域是{x|x≥0}，f（x）＝＝|x|的定义域是R，定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于C，g（x）＝x的定义域是R，f（x）＝＝|x|的定义域是R，对应关系不同，不是同一函数；对于D，g（x）＝|x|的定义域是R，f（x）＝＝|x|的定义域是R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．3．已知幂函数f（x）＝x a的图象过点（9，3），若f（t）＝2，则实数t的值为（）A．B．C．±4D．4解：幂函数f（x）＝x a的图象过点（9，3），所以9a＝3，解得a＝，所以f（x）＝；当f（t）＝2时，即＝2，解得t＝4．故选：D．4．己知函数y＝f（x），x∈R，且f（0）＝3，，，，…，，n∈N*，则函数y＝f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝3×2x B．f（x）＝3×4x C．f（x）＝3×8x D．f（x）＝4x解：由题可知，＝4n，因为f（0）＝3，所以f（2n）＝3×4n，令x＝2n，则n＝，所以f（x）＝3×＝3×2x，故选：A．5．设函数，则f（f（a））＝2，则a＝（）A．0B．C．D．1解：∵函数，f（f（a））＝2，∴当a＜1时，f（a）＝3a﹣1，当f（a）＝3a﹣1＜1时，f（f（a））＝3（3a﹣1）﹣1＝2，解得a＝；当f（a）＝3a﹣1≥1时，f（f（a））＝23a﹣1＝2，则3a﹣1＝1，解得a＝；当a≥1时，f（a）＝2a，当f（a）＝2a＜1时，f（f（a））＝3×2a﹣1＝2，解得a＝0，不合题意；当f（a）＝2a≥1时，f（f（a））＝＝2，解a＝0，不合题意．综上，a＝．故选：C．6．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．y2＞x2B．C．lg（y﹣x）＞0D．解：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，设f（t）＝2t﹣3﹣t，则f（t）在R上是单调增函数；所以x＜y．对于A，由x＜y，不能得出y2＞x2，所以A错误；对于B，由x＜y，也不能得出，所以B错误；对于C，由x＜y，得出y﹣x＞0，不能得出lg（y﹣x）＞0，所以C错误；对于D，x＜y时，＞，即，选项D正确．故选：D．7．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 解：∵a＝log0.20.3＝，b＝log20.3＝，∴＝，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．8．若对任意使得关于x的方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有实数解的a，b，c均有（a﹣b）2+（b﹣a）2+（c﹣a）2≥rc2，则实数r的最大值是（）A．1B．C．D．2解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有实数解，△＝b2﹣4ac≥0，即，令，，故x2﹣4y≥0，即，∵（a﹣b）2+（b﹣a）2+（c﹣a）2≥rc2，∴，而＝2x2﹣2x+2+2y2﹣2y﹣2xy＝2y2﹣2（x+1）y+2x2﹣2x+2，当，即，当时，函数f（y）＝2y2﹣2（x+1）y+2x2﹣2x+2有最小值，，，，∴在其定义域上是增函数，又∵，∴当时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0，∴g（x）在上是减函数，在上是增函数，∴，当，即或时，当时，函数f（y）＝2y2﹣2（x+1）y+2x2﹣2x+2有最小值，，∵或，∴，综上，的最小值为，故实数实数r的最大值是．故选：B．9．命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥8B．a≥9C．a≥10D．a≥11解：命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a．a≥10；a≥11是命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选：CD．10．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A．（a＞0，b＞0）B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）C．（a＞0，b＞0）D．（a≥0，b＞0）解：根据图形，利用射影定理得：CD2＝DE•OD，由于：OD≥CD，所以：（a＞0，b＞0）．由于CD2＝AC•CB＝ab，所以所以由于CD≥DE，整理得：（a＞0，b＞0）．故选：AC．11．华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中c1＝a1b11+a2b21，c2＝a1b12+a2b22．已知定义在R上不恒为0的函数f（x），对任意a，b∈R有：且满足f（ab）＝y1+y2，则（）A．f（0）＝0B．f（﹣1）＝1C．f（x）是偶函数D．f（x）是奇函数解：根据定义可得：y1＝f（a）（﹣1）+f（b）（a﹣1）；且y2＝f（a）（b+1）+f（b）×1；∴f（ab）＝y1+y2＝﹣f（a）+f（b）（a﹣1）+f（a）（b+1）+f（b）；令a＝b＝0可得：f（0）＝﹣f（0）+f（0）（0﹣1）+f（0）（0+1）+f（0）⇒f（0）＝0，A成立；令a＝b＝1可得：f（1）＝﹣f（1）+f（1）（1﹣1）+f（1）（1+1）+f（1）⇒f（1）＝0，令a＝b＝﹣1可得：f（1）＝﹣f（﹣1）+f（﹣1）（﹣1﹣1）+f（﹣1）（﹣1+1）+f（﹣1）⇒f（﹣1）＝0，B不成立，令a＝﹣1可得：f（﹣b）＝﹣f（﹣1）+f（b）（﹣1﹣1）+f（﹣1）（b+1）+f（b）⇒f （﹣b）＝﹣f（b），C不成立，D成立，故选：AD．12．定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象如图所示，则下列说法正确的有（）A．方程f（f（x））＝0可能存在五个解B．方程g（g（x））＝0有且仅有一个解C．方程f（f（x））＝0有两负数解和一正数解D．方程g（g（x））＝0最多只有三个解解：对于A选项，设f（x）＝0的三个解分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜0＜x3，设y＝f（x）的极大值为m，极小值为n，当x1＜n时，f（x）＝x1有一个解；当n＜x2＜m时，f（x）＝x2有三个解；当x3＞m时，f（x）＝x3有一个解，所以方程f（f（x））＝0可能存在五个解，即A正确；对于C选项，当x1＜n时，f（x）＝x1有一个负数解；当x2＝n时，f（x）＝x2有一个负数解；当x3＞m时，f（x）＝x3有一个正数解，即C正确；对于B选项，设g（x）＝0的解为x4，且0＜x4＜a，由于g（x）在[﹣a，a]上单调递减，所以g（x）＝x4有唯一解，所以方程g（g（x））＝0有且仅有一个解，即B正确，D错误．故选：ABC．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.13．函数f（x）＝的值域是（0，1]．解：对于y＝1+x2≥1，故f（x）≤1，当x→∞时，y＝1+x2→+∞，故f（x）→0，故f（x）的值域是（0，1]，故答案为：（0，1]．14．函数f（x）＝ln（x2﹣2x）的单调递增区间是（2，+∞）．解：∵f（x）的定义域为：（2，+∞）∪（﹣∞，0）令z＝x2﹣2x，则原函数可以写为y＝lnz，∵y＝lnz为增函数∴原函数的增区间即是函数z＝x2﹣2x的单调增区间即（2，+∞）．∴x∈（2，+∞）故答案为：（2，+∞）．15．若函数f（x）＝（x2﹣1）（x2+ax+b）对于任意x∈R都满足f（x）＝f（x﹣4），则f（x）的最小值是﹣16．解：由题意可知，f（1）＝f（﹣1）＝0，又f（x）＝f（x﹣4），所以f（3）＝f（5）＝0，即，解得a＝﹣8，b＝15所以f（x）＝（x2﹣1）（x2﹣8x+15）＝（x2﹣1）（x﹣3）（x﹣5）＝（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5），令t＝x2﹣4x+4，t≥0，则函数f（x）可转化为g（t）＝（t﹣1）（t﹣9）＝（t﹣5）2﹣16，所以f（x）的最小值是﹣16．16．已知a、b、c为正实数，则代数式的最小值是．解：令b+3c＝x，8c+4a＝y，3a+2b＝z，则a＝，b＝，c＝，所以代数式＝．当且仅当x：y：z＝1：2：3，即a：b：c＝10：21：1时，等号成立．故答案为：．三、解答题：5小题，共74分.17．计算：（1）；（2）lg5•（lg8+lg1000）+3lg22+lg+lg0.06．解：（1）＝＝（2）＝＝3（lg5+lg2）•lg2+3lg5﹣2＝1．18．设常数a∈R，集合，B＝{x|x≤a﹣1}．（1）若a＝2，求A∩B，A∩（∁R B）；（2）若A∪B＝R，求a的取值范围．解：（1）∵A＝{x|x＜﹣1或x≥1}，a＝2时，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝{x|x＜﹣1或x＝1}，∁R B＝{x|x＞1}，A∩（∁R B）＝{x|x＞1}；（2）∵A∪B＝R∴a﹣1≥1，解得a≥2，∴a的取值范围为[2，+∞）．19．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y＝log a（t﹣5）+83（a＞0，且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．（1）试求p＝f（t）的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．解：（1）当t∈（0，14]时，设p＝f（t）＝c（t﹣12）2+82（c＜0），将点（14，81）代入得c＝﹣，∴当t∈（0，14]时，p＝f（t）＝﹣（t﹣12）2+82；当t∈（14，40]时，将点（14，81）代入y＝log a（t﹣5）+83，得a＝，所以p＝f（t）＝；（2）当t∈（0，14]时，﹣（t﹣12）2+82≥80，解得12﹣2≤t≤12+2，所以t∈[12﹣2，14]，当t∈（14，40]时，log（t﹣5）+83≥80，解得5＜t≤32，所以t∈（14，32]，综上t∈[12﹣2，32]时学生听课效果最佳，此时，所以，教师能够合理安排时间讲完题目．20．已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若a＞1，不等式f（x2+bx）+f（4﹣x）＞0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围；（2）若且在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．解：（1）∀x∈R，f（﹣x）＝a﹣x﹣＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），即f（x）是R上的奇函数．且a＞l时，g（x）＝a x单调递增，（x＞0）也单调递增，由复合函数单调性可知f（x）＝h[g（x）]在R上单调递增．原不等式f（x2+bx）+f（4﹣x）＞0⇔f（x2+bx）＞﹣f（4﹣x）＝f（x﹣4）⇔x2+bx＞x﹣4，因此x2+（b﹣1）x+4＞0对x∈R恒成立，故△＝（b﹣1）2﹣16＝（b﹣5）（b+3）＜0，即﹣3＜b＜5．（2）∵，且a＞0，∴a＝2（a＝﹣＜0舍去）．因此，，当x∈[1，+∞）时，，令，其中x∈[1，+∞），并令φ（t）＝h（x）＝t2﹣2mt+2，其中，二次函数对称轴，①若，则，解得，矛盾，故无解；②若，则，解得m＝2（m＝﹣2＜舍去），满足题意．综上所述，m＝2．21．已知函数为奇函数．（1）求实数k的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）若存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在区间[α，β]上的值域为，求实数m的取值范围．解：（1）因为函数为奇函数，所以f（x）+f（﹣x）＝0，即对定义域内任意x恒成立，所以k2＝1，即k＝±1，显然k≠﹣1，又当k＝1时，的定义域关于原点对称．所以k＝1为满足题意的值．（2）结论：f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）上均为增函数．证明：由（1）知，其定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则，因为7（x1﹣1）（x2+1）﹣（x1+1）（x2﹣1）＝2（x1﹣x2）＜0，所以，所以，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上为增函数．同理，f（x）在（﹣∞，1）上为增函数．（3）由（2）知f（x）在（1，+∞）上为增函数，又因为函数f（x）在[α，β]上的值域为，所以m＞0，且，所以，即α，β是方程的两实根，问题等价于方程在（1，+∞）上有两个不等实根，令，对称轴则，即，解得．故m的范围（0，）．22．设函数f（x）＝ax2+|x﹣a|+b，a，b∈R．（1）若函数f（x）在[0，2]上单调递增，在（2，+∞）单调递减，求实数a的值；（2）若对任意的实数b∈[0，1]及任意的x∈[﹣3，3]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）f（x）＝，显然a＜0，则，解得，经检验，符合题意，∴a的值为﹣；（2）不等式|f（x）|≤2恒成立，即﹣2≤f（x）≤2，令g（x）＝ax2+|x﹣a|，则﹣2﹣b≤g（x）≤2﹣b恒成立，由任意的实数b∈[0，1]恒成立，则﹣2≤g（x）≤1恒成立．则由，解得，﹣2≤g（x）≤1可化为﹣ax2﹣2≤|x﹣a|≤﹣ax2+1恒成立，先考虑|x﹣a|≤﹣ax2+1恒成立，即ax2﹣1≤|x﹣a|≤﹣ax2+1，由x﹣a≤﹣ax2+1恒成立知，（x﹣1）（ax+a+1）≤0恒成立，则a+a+1＝0，即．只需证明：，因为，当时，，当时，，证毕．故实数a的取值范围为{﹣}．。