八年级数学下册专题复习易错易混专题一元二次方程中的易错问题练习课件新版沪科版

心动 不如行动 公式法是这样生产的
w 你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解 : x2 b x c 0.
w1.化1:把二次项系数化为1;
x2
x2
b a
ba
x
a
x
b
2a
ac
.
a2
b 2a
2
c a
w2.移项:把常数项移到方程的右边;
.
w3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
1.直接开平方法
• 对于形如ax2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥o)的方程可 以用直接开平方法解
解方程：
（1）3(x2)2 60
（2） 9x26x10
2.配方法
w我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程 的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: w1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); w2.移项:把常数项移到方程的右边; w3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; w4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; w6.求解:解一元一次方程; w7.定解:写出原方程的解.
x1,2
2a
.
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 :
b x1,2 2a .
当b2 4ac 0时, 方程ax2 bx c 0a 0没有实数根
我们把代数式b2 4ac叫做方程ax2 bx c 0a 0的
根的判别式.用""来表示.即 b2 4ac.
解得x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3,或5 x 5 3 2. 答 : 这两个数为32或23.

，
另一个根为
。
4、当m为何值时，关于x的一元二次方程x²-4x+m-½ =0，
有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？
5、如果等腰三角形的三条边长是x2-6x+5=0 的根，则这个等腰三角形的周长是------------
-------6、设（3a+3b-2)(3a+3b+1)=4 , 则a+b的值 是---------
务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递
业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长
率为x，则下列方程正确的是
A．1.4(1＋x)＝4.5
B．1.4(1＋2x)＝4.5
C．1.4(1＋x)2＝4.5
D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝
4.5
例5 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡 场的一边靠墙（墙长25m），另三边用 40m的木栏围成。 （1）鸡场的面积能达到180m2吗？试通过 计算说明。
8、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件， 每件赢利40元。为了扩大销售，增加利润，商场决 定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫 每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫 应降价多少元？ 为尽快减少库存，以便资金周转，
则降价多少元？
（2）能不能通过适当的降价，使商场的每天衬衫 销售获利达到最大？若能，则降价多少元？最大 获利是多少元？(小组合作探究)
例2 解方程: (x-5)2=36
练习：用最好的方法求解下列方程 1)x²-2x=4(2016年安徽） 2)5x²-4x-1=0 3)4y = 1 - ½y²
例3 已知关于x的方程x²-x-m=0没有实数根，那 么求m的取值范围。

（3）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0, 必有一解为 -1
（4）若4a+2b+c=0,则一元二次方程 ax²+bx+c=0,必有一解为 2
1.已知关于x一元二次方程(a-1)x²+x+a²-1=0的
一根是0，则a的值为 A. 1 B. -1 C. 1或-1
（B ） D. 0
同步练习P18：1，2，3，4，5 P19：2，3，6
m6
2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个 根是3，求a的值。
解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
3²+3a+a=0
9+4a=0 4a=-9
a 9 4
3.关于x的一元二次方程（m-1)x²+x+程，得： m²-1=0, m²=1, m=±1.
17.1 一元二次方程
知识回顾
一、一元二次方程的概念及一般形式：
ax2+bx+c=0 (a≠0)
巩固练习
1. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般形 式 x2+3x-3=0 .其中二次项系数 1 ，常数 项 -3 .
2. 当m ≠2 时，方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二 次方程. 当m =2 时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是 一元一次方程.
二、一元二次方程解的概念
❖问题：下面哪些数是方程x2 ＋x －2=0的解 -3，-2，-1,0,1,2,3
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 叫做一元二次方程的解.一元二次方程的解也叫做 一元二次方程根. 4(m1)16.5已m4 知0 关于x的一元二次方程

沪科版数学八年级下
第17章 一元二次方程
17.1 一元二次方程
复习引入
1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？ 2.什么是一元一次方程？它的一般情势是怎样的？
一般情势：ax+b=0 (a≠0) 3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的 一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实 际问题的步骤吗? ◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
想还有一其想它：的列法吗？试说明原因.
(20-x)(32-2x)=57032Βιβλιοθήκη 2x3220-x 20
新知讲授 1.请视察下面两个方程并回答问题：
x2+2x-1=0 x2-36x+35=0
（1）它们是一元一次方程吗？
（2）与一元一次方程有何异同？
（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 特点： 1.等号两边都是整式
2、一元二次方程的一般情势是： _a_x_2_+_b_x_+_c_=_0_（__a_≠_0_）____.
3、使方程左右两边相等 的未知数的值，
叫做一元二次方程的解，也叫
做 一元二次方程的根 .
广东省怀集县梁村镇中心初级中学
周恒
提升练习
1. 判断下列方程是否一元二次方程？
不是，因为方程 左边不是整式
复习引入 分别指出下面的方程叫做什么方程？ ⑴3x+4=1； ⑵ 6x-5y=7
⑶
解：⑴是一元一次方程， ⑵是二元一次方程， ⑶是分式方程.
广东省怀集县梁村镇中心初级中学
周恒
新知探究 一元二次方程及其一般情势
问题1：某地为增加农民收入，调整农作物种植结构，从而 202X年无公害蔬菜的产量比202X年翻一翻，那么202X年和 202X年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？

∴b2-4ac=1+4=5＞0 1 5 ∴x= 2 1
1 5 1 5 ∴x1= ，x2= 2 2
解：（1）（配方法） （2）(x-3)2+2x(x-3)=0
x 2+ x - 1 = 0
1 1 = 1+ 4 4 1 2 5 ∴ ( x+ ) = 4 2
x 2+ x +
∴(x-3)(x-3+2x)=0
综合(1)(2)可得，当m≥实数根.
5 时，原方程有 4
典例讲解3
我校团委准备举办学生绘画展览，为美化 画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四 周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好 与原画面积相等，求彩纸的宽度.
解析：已知矩形长、宽可求出矩形面积 和镶边面积，设彩纸的宽度为xcm，然 后用x分别表示新矩形的长、宽，根据彩 纸面积与原画面的面积相等，列出方程 求解即可.
(x-3)(3x-3)=0
∴x1=3，x2=1
1 5 1 5 ∴x1= ，x2= 2 2
1 5 ∴ x+ = 2 2
典例讲解2 若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0 有实数根，求m的取值范围. 解析：本题易认为所给方程是一元二次 方程，而用b2-4ac≥0且m2-1≠0来解.事 实上，题目中没有指明方程的次数，也 没有指明根的个数，因此应考虑方程为 二次方程和一次方程两种情况.
能力拓展
用换元法解方程：
x 1 x 3 x x 1 2
x1=1,x2=2 x 1 提示：设y= x 则原方程为2y2-3y-2=0
归纳小结
1.你能把本章的内容作一个书面整理吗？
2.利用方程（组）解决实际 问题的关键是什么？

2.构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（2）有一根为2.
3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求
a的值.
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0得， 32+3a+a=0，
a 9. 4
9+4a=0， 4a=-9，
4. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根 为1, 求a+b+c的值.
程的解(或根).
（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？
特点：
1.等号两边都是整式 2.只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是2
（4）通过与一元一次方程的对照，你能给这类方程取个合 理的名字吗？
一般地,任何一个关于x 的方程都可以化为 ax2 bx c 0
的情势,我们把 ax2 bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称
解：由题意，得 a 12 b 1 c 0.
即a b c 0.
思考:若 a+b+c=0,你能通过视察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的一个根吗?
解：由题意，得 a b c 0.
即a 12 b 1 c 0.
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 拓展:若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 你能通过视察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根吗?
为一元二次方程的一般情势.
想一想 为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数

绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间, 开辟面积为900㎡的一块长方形绿地,并且长 比宽多10m,则绿地的长和宽名为多少?
解: 设长方形绿地的宽为xm,则长方形绿地的长为(x+10)m.
根据题意得
X(x+10)=900 整理可得
x2+10x-900=0
学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底 增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
2
3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程 中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。
课本习题1、2、3
； 亚米娱乐 ；
上紧丶"宏七叹了口气丶只是唏嘘道："若是有机会,你好好劝劝根汉,既然他和咱小师妹有如此深缘,若是他们能结成道侣の话,也是壹件美事丶"宏七有些尴尬の笑了笑道："毕竟他救の是你の小师妹,咱和你小师妹也不是很熟呀,总共也没说几句话。""咱和他熟,但是毕竟人家 是救了你小师妹の人呀,现在咱看他没有这方面の意思,咱还去和他说这种事情。"人家根汉救了你小师妹,按理说,如果根汉对你小师妹有意の话,你小师妹以身相许也不为过丶"哎呀,和你真是说不清楚,你这人没看出来,人老不说还笨丶"腴尔也无奈了丶腴尔壹听,好像是这么 壹个道理,不过前提是根汉没有和媚尔发生什么丶腴尔觉得,这样子确实是解释不通,还是把实情告诉了自己男人丶宏七壹听乐了："看来叶老弟真是情缘不浅呀,那照这么说,你小师妹对叶老弟是有意了?""这倒也是丶""他?咱没细问呀。""这倒是。""那是自然,以他の天赋,有 女人不意外。""咱看你是没机会爱上别人了。"腴尔也笑了,"又老又丑,谁会爱上你呀别自恋了

(1)BQ＝___2_t____cm)当 t 为何值时，PQ 的长度等于 5 cm?
解：由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52， 解得 t1＝0(舍去)，t2＝2. 当 t＝2 时，PQ 的长度等于 5 cm.
(3)是否存在 t 的值，使得五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2？若 存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．
(2)选购期间发现该品牌跳绳在两个文体用品商场有不同的促销 方案：甲商场买十送一，乙商场全场九折，试问去哪个商场 购买更优惠？
解：∵100×1110＝1 10100≈90.9(根)， ∴在甲商场需购买 91 根． 在甲商场购买所需费用为 36×91＝3 276(元)， 在乙商场购买所需费用为 36×100×0.9＝3 240(元)， 3 276＞3 240. 答：去乙商场购买更优惠．
(1)求 2017 年到 2019 年该品牌跳绳单价平均每年增长的百分率；
解：设 2017 年到 2019 年该品牌跳绳单价平均每年增长的百分率 为 x，依题意得 25(1＋x)2＝36， 解得 x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)． 答：2017 年到 2019 年该品牌跳绳单价平均每年增长的百分率为 20%.
例：解方程： 2 x－3＝0. 解：设 x＝t(t≥0)，则原方程可化为 2t－3＝0. ∴t＝32，∴ x＝32，即 x＝94. 请利用上述方法，解方程：x＋2 x－8＝0.
解：设 x＝t(t≥0)，则 x＝t2， ∴原方程可化为 t2＋2t－8＝0， 解得 t1＝－4(舍去)，t2＝2， ∴x＝4. 即原方程的解为 x＝4.
5．[中考·随州]已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2k＋3)x＋k2＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2.

x
合作交流
问题2：剪一块面积是150cm2的长方形 铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片 应怎样剪？
分析：要解决此问题，需求出铁片的长和 宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数 来列方程．
合作交流
解：设这块铁片宽xcm，则长是 （x+5）cm．根据题意，可得 x（x+5）＝150．
即 x2+5x-150＝0
⑧3y2+4=5y ( 是 )
1、若（m 2）x2 （m 2）x 2 0是关于x的一元二 次方程则m ≠-2． 2、若方程（m 2）xm2 2 （m 1）x 2 0 是关于x的一元二次方程，则m的值为 2 ．
3、若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= 2 ；
4、写出一个根为2，另一个根为5的一元二次方 程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都 可以化为 ax2+bx+c=0的形式，我们把ax2+bx+c=0（a,b,c为常数 ,a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2 ， bx ， c 分别为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系 数和一次项系数。
为什么 a≠0?
考 考 1、当a=0，b≠0时，bx+c=0是一元一次方程 你
由题意可知截取后 的底面积．故应根 据面积找相等关系 解题．
合作交流 解：设小正方形边长为xcm，则盒子底面 的长、宽分别为（80-2x）cm、（60-2x） cm，则有（80-2x）（60-2x）＝1500．
x 80-2x x 即 x2-70x+825＝0 x
这个方程和以前
60-2x
学过的方程有什么 异同？
观察
这两个方程有什么共同点？