图上的路选址问题与连通p-中心和p-中位问题

图论课后习题答案图论是数学中的一个分支，主要研究图的结构和性质。

图论的课后习题通常包括证明题、计算题和应用题。

下面给出一些典型的图论课后习题答案：1. 证明题：证明一个图是连通的当且仅当它的任意两个顶点都存在一条路径相连。

答案：首先定义连通图的概念：一个图是连通的，如果对于任意两个顶点，都存在一条路径将它们连接起来。

接下来，我们证明两个方向：- 如果一个图是连通的，那么对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，根据定义，必然存在一条路径\( P \)将它们连接起来。

- 反之，如果对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，都存在一条路径将它们连接起来，那么我们可以构造一个从任意顶点\( u \)出发，访问图中所有顶点的路径，这表明图是连通的。

2. 计算题：给定一个有\( n \)个顶点的完全图，计算它的边数。

答案：在完全图中，每个顶点都与其他所有顶点相连。

因此，对于一个顶点，它将与\( n-1 \)个其他顶点相连。

但是，每条边被计算了两次（因为它连接了两个顶点），所以边数应该是\( \frac{n(n-1)}{2} \)。

3. 应用题：在一个社交网络中，每个用户可以与其他人建立联系。

如果一个用户与至少一半的用户建立了联系，那么这个社交网络是连通的吗？答案：是的，这个社交网络是连通的。

假设社交网络中有\( n \)个用户，如果一个用户与至少\( \lceil \frac{n}{2} \rceil \)个用户建立了联系，那么我们可以构造一条从任意用户\( u \)到这个中心用户的路径。

由于中心用户与至少一半的用户建立了联系，我们可以继续通过这些联系到达其他用户，从而证明社交网络是连通的。

4. 证明题：证明在任何图中，边数至少是顶点数减一。

答案：考虑一个图的生成树，它是一个最小的连通子图，包含图中的所有顶点，并且没有环。

在生成树中，边数等于顶点数减一。

由于任何图都至少包含一个生成树，因此原图的边数至少与生成树的边数相同，即至少是顶点数减一。

P中心问题（p-Center Problem）是一种经典的离散选址问题，已经被证明是NP-难问题。

在P中心问题中，需要选定p个位置建造服务设施，使得所有客户到最近设施距离中的最大值最小。

对于P中心问题的近似算法，可以采用启发式算法、贪婪算法、模拟退火算法等。

1.启发式算法：启发式算法是一种基于经验和直觉的算法，它通过一些启发式规
则来指导搜索过程，从而得到一个近似解。

在P中心问题中，可以采用一些启发式规则，如“最远距离优先”或“最小距离优先”等，来选择建造设施的位置。

2.贪婪算法：贪婪算法是一种贪心的算法，它总是选择当前看来最好的选择，从
而期望最终得到一个近似最优解。

在P中心问题中，可以采用贪婪算法来选择建造设施的位置，每次选择距离当前已选设施最远的客户作为下一个设施的位置。

3.模拟退火算法：模拟退火算法是一种受物理退火过程启发的全局优化算法，它
通过引入随机性来避免陷入局部最优解。

在P中心问题中，可以采用模拟退火算法来求解近似解，通过不断调整解的质量和随机性来得到一个近似最优解。

需要注意的是，由于P中心问题是NP-难问题，因此没有已知的多项式时间近似算法可以保证得到最优解。

以上介绍的近似算法只能得到一个近似解，其质量取决于问题的具体情况和算法参数的选择。

Vol. 33 No. 3Mrs. 2221第38卷第3期2021年3月计算机应用研究Application Research of ComputersR 中心选址问题的一种降阶回溯算法*尚春剑，宁爱兵，彭大江，张惠珍(上海理工大学 管理学院，上海220293)摘要：运筹学研究领域中的应急服务设施选址问题有许多求解模型，选取了 P-中心模型进行研究，首先研究了该问题的数学性质，并给出了证明，利用这些数学性质能对问题进行降阶从而缩小问题的规模；然后在此基础 上设计一个基于上界和下界的回溯算法来求解该问题；最后通过一个示例分析进一步阐述了该算法的原理，并 证明了该算法能在较短时间内求得问题的最优解。

关键词：设施选址问题；P 冲心模型；降阶算法；上界；下界；回溯算法中图分类号：TP301.6 文献标志码：A 文章编号：1001-3695(2221)23-218-2734-04doi ：10. 10734/j. isse. 102)-3035.6222.64.6253Brchtrrching algoritim with reduction for P-ceetec location proilemShang Chunjiaa, Ning AiCing , Peeg Dajiang , Zhang Huizhee(Business School , University of Shanghai for Science & Technology , Shanghai 220093 , China )Abstract : There were varions solution moCele foe the emercency service facility location proilem ang thin papec stuCied theP-ceetcc monei. This papev proposeU a bachtraching algoVthmw:ith upper anU lowev bonng,ang aPUee a reenchon algoVthm bystuUyino the mathemahchl properties. The algoVthm conlg Uecreaso the schle ang the Ueeree of complexity of the P-ceeter loch- tion problem,sc as to accelerate the execuhon speee. At the eng,this panee illustrateU an instance to eUnorate this algoethmfurthee.Key words ： facility location prodem ； P-ceeter moOee ； reUuction algorithm ； upper bonnU ； lower bonng ； bachtraching ae-ooethm日常生活中的各类紧急突发事件给人们的安全和生活造 成了巨大的影响，当灾害发生时,应急服务设施是提供救援支 持、保障人民群众人身安全最基本最重要的设施，具有十分重要的作用。

第五章复习思考题及参考答案第五章复习思考题及参考答案一、基本概念1. 物流结点物流结点是物流网络中货物运往最终消费者过程中临时经过停顿的地方，是物流网络的重要组成部分，是整个物流网络的灵魂所在。

2. 专家选择法专家选择法是以专家为索取信息的对象，运用专家的知识和经验，考虑选址对象的社会环境和客观背景，直观地对选址对象进行综合分析研究，寻求其特性和发展规律，并进行选择的一种选址方法。

专家选址法中最常用的有因素评分法和德尔菲法。

3. 解析法解析法是通过数学模型进行物流网点布局的方法。

采用这种方法首先根据问题的特征、外部条件以及内在的联系建立数学模型，然后对模型求解以获得最佳布局方案。

4. 模拟法模拟法是将实际问题用数学方法和逻辑关系表示出来，然后通过模拟计算及逻辑推理确定最佳布局方案。

5. 启发法该法是针对模型的求解而言的，是一种逐次逼近的方法。

对这种方法进行反复判断，实践修正，直到满意为止。

6. 费用一效果分析法费用一效果分析法是对技术方案的经济效果进行分析评价的一种方法。

其实质是要求系统给社会提供财富或服务的价值一效益必须超出支出费用。

该方法以经济评价为主，是所有评价方法的基础。

7. 中点问题在区域中选择（若干个）设施位置，使得该位置离客户到最近设施的距离（或成本）的“合计”最小。

这种目标通常在企业问题中应用，所以也称为“经济效益性” （Economic Efficiency）。

在中点问题中，被选择设施的数量往往预先确定，当选择设施数量为P 时，称为P 中点问题。

8. 中心问题根据使得离客户最近的设施的距离（或成本）“最大值” 最小的原则，在区域中选择设施位置的方法称为中心问题。

P- 中心问题也叫min--max 问题，是探讨如何在网络中选择P 个服务站，使得任意一需求点到距离该需求点最近的服务站的最大距离最小问题。

9. 重心模型重心模型是选址问题中最常用的一种模型，可解决连续区域直线距离的单点选址问题。

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2016, 5(2), 276-281Published Online May 2016 in Hans. /journal/aam/10.12677/aam.2016.52035Research on Logistics Center LocationProblem Based on p-Median ModelXu Tong, Huan Liang, Lina Zheng, Yanyan Wang, Rongyu LuoSchool of Mathematics and Statistics, Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao HebeiReceived: May 3rd, 2016; accepted: May 23rd, 2016; published: May 26th, 2016Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY)./licenses/by/4.0/AbstractFor logistics center location problem, this paper analyzed and compared several commonly used location methods and algorithms. The p-median model for solving the logistics center location problem is established and the fast solution of the model is realized by using Greedy Dropping Heuristic Algorithm. Combined with specific cases, a kind of actual location problem is solved to verify the correctness of the model and the feasibility of the algorithm by writing the program corresponding to the algorithm.KeywordsLogistics Center, Location, p-Median, Heuristic Algorithm基于p-中值模型的物流中心选址问题研究童旭，梁欢，郑丽娜，王岩焱，罗融宇东北大学秦皇岛分校数学与统计学院，河北秦皇岛收稿日期：2016年5月3日；录用日期：2016年5月23日；发布日期：2016年5月26日摘要针对物流中心选址问题，分析和比较了几种常用的选址方法和求解算法。