简单的线性规划问题(2)

简单的线性规划问题(附答案)简单的线性规划问题[学习目标]知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求 (1)x 2＋y 2的最小值；(2)y x 的最大值．解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，85， 又由⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝132，所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案10解析画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元． 反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解． 跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007. 由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752.所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎨⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1,4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________． 三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y－3＝0上，则m＝1.2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎪⎪⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x ＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x ＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎨⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，∴x＋2y－4＞0，则目标函数等价于z＝x＋2y－4，易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，则z＝5d，其中d为P(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，故d的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max＝215·5＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.∵a＞1，∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。

第43讲简单的线性规划问题1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.(3)画或判断二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，特殊点定“域”．2．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出的二元一次不等式组；(2)线性目标函数——由条件列出的一次函数表达式；(3)线性规划——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为线性规划问题．(4)可行解、可行域、最优解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．3．利用线性规划求最值的一般步骤：(1)根据线性约束条件画出可行域；(2)设z＝0，画出直线l0；(3)观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解；(4)求出目标函数的最大值或最小值．热身练习1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的点是(C)A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－1)将上述各点代入不等式检验，若满足不等式，则点在所表示的平面区域内，否则，不在．因为(0,0)，(－1,1)，(2，－1)都满足不等式，所以这些点都在所表示的平面区域内，而(－1,3)不满足不等式，故选 C.2．如图所示，不等式2x－y＜0表示的平面区域是(B)直线定界，因为2x－y＝0不经过(2,1)点排除D,2x－y<0不包括边界，排除A，再取特殊点(1,0)代入得2－0>0，故(1,0)不在2x－y<0表示的区域内，故排除C，选B.3．不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于(C)A.32B.23C.43D.34不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，作出不等式组表示的平面区域如右图：所以S阴＝12×4－43×1＝43.4．目标函数z＝x＋2y，将其看成直线方程时，z的意义是(C) A．该直线的截距B．该直线的纵截距C．该直线纵截距的2倍D．该直线纵截距的1 2将z＝x＋2y化为y＝－12x＋z2，可知z＝2b，表示该直线的纵截距的2倍．5．(2015·北京卷)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为7.把z＝2x＋3y变形为y＝－23x＋13z，通过平移直线y＝－23x知，当过点A(2,1)时，z＝2x＋3y取得最大值且z max＝2×2＋3×1＝7.。

简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。

第2课时简单的线性规划的应用(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；(2)会用画网格的方法求解整数线性规划问题；(3)能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能给出解答；(4)培养学生的数学应用意识和解决问题的能力，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模〞和解决实际问题的能力．2.过程与方法(1)引导学生学会如何使用网格法；(2)通过讲解实例，让学生感受线性规划中的建模问题，培养学生应用数学的能力．3．情感、态度与价值观(1)培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的能力；(2)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学〞的意识，激励学生创新．●重点、难点重点：将实际问题转化为线性规划问题，并通过最优解的判断予以解决．难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．解决重点、难点的关键是根据实际问题中的条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、数学问题几何化．(教师用书独具)●教学建议1．为了激发学生学习的主体意识，应面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，建议采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质．2．学生在建立数学模型时，应主要分清条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组．可采用分组讨论、各组竞争、自主总结、部分同学示X画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!错误!(对应学生用书第59页)课标解读1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(重点) 2.培养应用线性规划的知识，解决实际问题的能力．(难点)实际应用问题的最优解对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最正确位置一般通过这个凸多边形的顶点．用线性规划解决实际问题的一般步骤线性规划解决实际问题的一般步骤：整数线性规划要求变量取整数的线性规划称为整数线性规划.(对应学生用书第59页)收益最大问题某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，生产甲种棉纱1吨需消耗一级子棉2吨、二级子棉1吨，生产乙种棉纱需消耗一级子棉1吨，二级子棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能使利润总额最大？[思路探究] 由数据可列表如下：产品消耗量 资源甲种棉纱(1吨)乙种棉纱(1吨)资源限额(吨)一级子棉(吨) 2 1 300 二级子棉(吨) 1 2 250 利润(元)600900[自主解答] 设生产甲、乙两种棉纱分别为x 吨、y 吨， 那么利润总额z ＝600x ＋900y 元， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤300，x ＋2y ≤250，x ≥0，y ≥0.作出其可行域如下图．把z ＝600x ＋900y 变形为平行直线系l ：y ＝－23x ＋z900.由图可知当直线l 经过可行域上的点M 时，截距z900最大，即z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝300，x ＋2y ＝250，得交点M (3503，2003)．所以应生产甲种棉纱3503吨，乙种棉纱2003吨．1．利用线性规划求最大值，主要是收益最大、效率最高、利润最大等问题，要将求最值的变量设为z ，将z 表示成其它变量的函数，求其最大值．2．对于线性规划问题，由于题干太长，数据太多，为便于理清数据间的关系，不妨用列表法．某公司计划在今年内同时出售某种多功能电子琴和一种智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金(102元)月资金供应量(102元)电子琴 洗衣机成本 30 20 300 劳动力(工资) 5 10 110 单位利润68[解] 设月供应电子琴x 架、洗衣机y 台，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为z ＝6x ＋8y ，不等式组表示的平面区域如下图．作直线l ：6x ＋8y ＝0，即作直线l ：3x ＋4y ＝0.把直线l 向右上方平移，当直线l 经过可行域中的点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ＝300，5x ＋10y ＝110，得点M 的坐标为(4,9)，将M (4,9)代入z ＝6x ＋8y ，得z ＝6×4＋8×9＝96.所以当月供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，才能使总利润最大，最大总利润为9600元.耗费最小问题营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，且食物A 的价格为28元/kg ；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，且食物B 的价格为21元/kg.为了满足营养专家指出的日常饮食要求．同时使花费最低，需要同时食用多少食物A 和食物B?[思路探究] 将数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B0.1050.140.07[自主解答] 设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z 元，那么⎩⎪⎨⎪⎧0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，①目标函数为z ＝28x ＋21y . 二元一次不等式组①等价于⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②所表示的平面区域(如下图)，即为可行域．考虑z ＝28x ＋21y ，将它变形为y ＝－43x ＋z 21，这是斜率为－43且随z 变化的一族平行直线，z 21是直线在y 轴上的截距，当z21取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即求在满足约束条件时目标函数z ＝28x ＋21y 的最小值．由图可知当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距z21最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋7y ＝6，7x ＋7y ＝5，得M (17，47)．所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用17kg 食物A 和47kg 食物B .1．利用线性规划求最小值，可以用来解决许多实际问题，诸如省钱，省工，省材料等问题．2．利用线性规划解决实际问题，建立约束条件往往是关键的一步，设出未知数后，应特别注意文字语言与符号语言的转换，以免因审题不细或表达不当而出现错误．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．假设病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？[解] 设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图．把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省.简单的整数线性规划问题要将两种大小不同的钢板截成A ，B ，C 三种规格，每X 钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格第一种钢板 2 1 1 第二种钢板123今需要A ，B ，C 三种规格的成品分别为15,18,27块，那么各截这两种钢板多少X 可得所需的三种规格的成品，且使所用钢板的X 数最少？[思路探究] 设截第一种钢板x X ，第二种钢板y X ．[自主解答] 设需截第一种钢板x X ，第二种钢板y X ，共使用钢板z X ，那么⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15x ＋2y ≥18，x ＋3y ≥27，x ≥0，y ≥0，且x ，y 都是整数，求使目标函数z ＝x ＋y 取最小值时的x ，y . 作可行域如下图，平移直线z ＝x ＋y ， 可知直线经过点(185，395)时z 取最小值，此时x ＋y ＝575，但185与395都不是整数，所以可行域内的点(185，395)不是最优解．因为非整点最优解为(185，395)，z ＝575，所以z ≥12.令x ＋y ＝12，那么y ＝12－x ，代入约束条件整理得3≤x ≤92，所以x ＝3或x ＝4，这时最优整点为(3,9)和(4,8)．故有以下两种截法：第一种截法是截第一种钢板3X 、第二种钢板9X ； 第二种截法是截第一种钢板4X 、第二种钢板8X ． 最少要截两种钢板共12X ．1．当变量为车辆、产品个数、钢板块数等数量时，应为整数，利用线性规划求最值，最优解也应为整数．2．假设按常规方法求出的不是整数解，可按以下方法调整：(1)平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线l 0，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解．(2)调整优值法：先求非整点最优解，再借助于不定方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．预计用2 000元购买单价为50元的桌子和单价为20元的椅子，希望使桌子、椅子的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，那么买桌子、椅子各多少才行？[解] 设买桌子x X 、买椅子y 把．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ≤y ，y ≤1.5x ，50x ＋20y ≤2 000，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝x ＋y ，满足以上不等式组的可行域如下图．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2000，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，∴点B 的坐标为(25，752)．作直线l ：x ＋y ＝0，将直线向右上方平移， 当直线l 经过可行域中的点B 时，z 取得最大值． ∵x ，y ∈N ，∴y ＝37.∴应买桌子25X 、椅子37把.(对应学生用书第61页)可行域内整点寻找错误有一批钢管，长度都是4000 mm ，要截成500 mm 和600 mm 两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于13，要使钢管截得的毛坯最多，怎样截最合理？[错解] 设每根钢管截500 mm 的毛坯x 根，600 mm 的毛坯y 根， 那么x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4000，x y ＞13，x＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤40，y ＜3x ，x ＞0，y ＞0，其中x ，y 均为正整数． 作出可行域，如下图．目标函数为z ＝x ＋y .作一族平行线y ＝－x ＋z ，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线为过A 点的直线，求出A 点的坐标．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，5x ＋6y ＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11723，y ＝5523.所以A (11723，5523)由于x ，y 均为正整数，故调整为x ＝2，y ＝5. 所以x ＋y ＝7.经检验，满足条件，所以每根钢管截500 mm 的毛坯两根，600 mm 的毛坯五根最合理． [错因分析] 此题错误的原因是：①没能准确作出一族平行直线y ＝－x ＋z ；②可行域内的整点寻找不准确．[防X 措施] 准确作图，充分考虑实际问题的特殊性．当图上的整点不好分辨时，应将几个有可能符合题意的整点的坐标都求出来然后逐一检验，而不能采取“四舍五入〞的办法．[正解] 设每根钢管截500 mm 的毛坯x 根，600 mm 的毛坯y 根．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4000，x y ＞13，x ＞0，y ＞0，且x ，y 均为正整数．作出可行域，如图3－3－62所示．目标函数为z ＝x ＋y ，作一族平行直线y ＝－x ＋z ，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线必为过点B (8,0)的直线，这时x ＋y ＝8.因为x ，y 均为正整数，所以(8,0)不是最优解． 在可行域内找整点，使x ＋y ＝7.经验证，可知点(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)均为最优解．答：每根钢管截500 mm 的毛坯两根，600 mm 的毛坯五根，或截500 mm 的毛坯三根，600 mm 的毛坯四根，或截500 mm 的毛坯四根，600 mm 的毛坯三根，或截500 mm 的毛坯五根，600 mm 的毛坯两根，或截500 mm 的毛坯六根，600 mm 的毛坯一根最合理．1．基础知识：(1)实际应用问题的最优解； (2)整数线性规划；(2)用线性规划解决实际问题的一般步骤． 2．基本技能： (1)收益最大问题； (2)耗费最小问题；(3)简单的整数线性规划问题． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)转化与化归思想； (3)函数思想.(对应学生用书第62页)1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为________．[解析] 设6吨的有x 辆，4吨的有y 辆，运送货物吨数为z ，那么z ＝6x ＋4y . [答案] z ＝6x ＋4y2．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1 kg ，b 1 kg ，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2 kg ，b 2 kg ，甲、乙产品每千克可获得的利润分别为d 1元，d 2元，月初一次性购进原料A ，B 各c 1 kg ，c 2 kg ，本月要生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x kg ，y kg ，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为________．[解析] 对原料A 的限制：a 1x ＋a 2y ≤c 1，对原料B 的限制：b 1x ＋b 2y ≤c 2，另外甲、乙两种产品产量x ≥0，y ≥0.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c1b 1x ＋b 2y ≤c2x ≥0y ≥03．某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件，生产每万件甲种配件要用A 原料3吨，B 原料2吨，生产每万件乙种配件要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每件甲种配件可获得利润5元，每件乙种配件可获得利润3元．该企业在一年内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业在一年内可获得的最大利润是________．[解析] 设生产甲种配件x 万件，生产乙种配件y 万件，利润为z 万元．那么根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，目标函数为z ＝5x ＋3y .作出可行域如下图，那么可知A (133，0)，B (0,6)，C (3,4)．由图形可知，目标函数在点C (3,4)处取得最大值，最大值为5×3＋3×4＝27.[答案] 27万4．甲、乙两个居民小区的居委会组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加．甲区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，乙区的每位同学在返车费是5元，每人可为3位老人服务，如果要求乙区参与活动的同学比甲区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元，怎样安排甲、乙两区参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？[解] 设甲、乙两区参与活动的人数分别为x ，y ，受到服务的老人的人数为z ，那么z ＝5x ＋3y ，应满足的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥1，3x ＋5y ≤37，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N .根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域中的整点，如下图阴影部分中的点所示． 画直线l 0：5x ＋3y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内的点M ，该点到直线l 0的距离最大，那么这一点的坐标使目标函数取得最大值，解方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，3x ＋5y ＝37，得点M (4,5)．因此当x ＝4，y ＝5时，z 取得最大值，并且z max ＝5×4＋3×5＝35.答：甲、乙两区参与活动的同学人数分别为4人和5人时，受到服务的老人最多，受到服务的老人最多是35人.(对应学生用书第98页)一、填空题1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有5名男工，3名女工，乙组有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于1，求各自最多组成的工作小组数．要建立的数学模型中，约束条件为________．[解析] 设组成甲种组x 组，乙种组y 组，那么对男工人数的限制为5x ＋4y ≤25，对女工人数的限制为3x ＋5y ≤20，组数限制x ≥y ≥1，故约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，1≤y ≤x ..[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，1≤y ≤x .2．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5X ，票面2元的每套4X ，如果每种至少买两套，共有________种买法．[解析] 设票面8角的买x 套，票面2元的买y 套．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N *，y ≥2，y ∈N *，0.8×5x ＋2×4y ≤50，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，2x ＋4y ≤25，x ，y ∈N *.画出如右图平面区域得y ＝2时，x ＝2,3,4,5,6,7,8； y ＝3时，x ＝2,3,4,5,6； y ＝4时，x ＝2,3,4； y ＝5时，x ＝2.共有7＋5＋3＋1＝16. [答案] 163．实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费________．[解析] 设购买每袋35千克的x 袋，购买每袋24千克的y 袋，那么⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x ≥0，y ≥0.求z ＝140x ＋120y 的最小值，作出可行域知，当x ＝1，y ＝3时费用最少．此时要花费：z ＝140×1＋120×3＝500元．[答案] 500元4．一批长400 cm 的条形钢材，需要将其截成518 mm 与698 mm 的两种毛坯，那么钢材的最大利用率为________．[解析] 设518 mm 和698 mm 的毛坯个数分别为x ，y ，最大利用率为z ，那么z ＝51.8x ＋69.8y400。