对微积分中极限思想教学的探讨

谈微积分中的数学思想及其教学微积分，作为现代数学的重要分支，在科学技术、社会科学、经济学等领域有着广泛的应用。

微积分中的数学思想及其教学，不仅涉及到数学基础知识的学习，还关乎学生数学思维和解决实际问题能力的培养。

本文将详细探讨微积分中的数学思想及其教学，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要数学工具。

微积分中涉及的抽象思想主要包括无穷、极限和连续等概念。

无穷是指一个数列或函数在无限趋近于某个点时的情况，极限则是指数列或函数在某一趋势下的最终状态，而连续则描述了函数在某一点处的平滑过渡。

这些抽象概念的理解对于后续微积分的学习至关重要。

微积分中的计算思想主要包括导数、积分和级数等。

导数反映了函数在某一点处的变化率，可以应用于求解曲线切线、物体运动加速度等实际问题；积分则是微分的逆运算，用于求解面积、体积、长度等实际问题；级数则是由无穷多个数相加而成，可以用来表示函数、解决实际问题。

微积分中的优化思想主要包括方程、建模和实验等。

方程是解决问题的一种重要工具，可以用来求解未知量，如运用微分方程可以解决物理、化学、生物等领域的问题；建模则是指运用数学模型来描述实际问题，通过求解模型来得到实际问题的解；实验则是指通过设计实验来验证数学模型的有效性和精度。

微积分的教学目标应当是培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。

具体而言，教学目标应当包括以下几个方面：(1)掌握微积分的基本概念和理论体系，如极限、导数、积分等；(2)学会运用微积分的基本方法和技能，如微分法、积分法、级数法等；(3)能够运用微积分的知识解决实际问题，如物理、工程、经济等领域的问题；(4)培养学生的数学思维和推理能力，提高学生的数学素养。

微积分教学重点和难点主要包括以下几个方面：(1)抽象概念的理解：如无穷、极限、连续等概念较为抽象，学生往往难以理解和掌握；(2)计算方法的掌握：如导数、积分、级数等的计算方法较为复杂，需要学生多次练习才能掌握；(3)优化思想的运用：如方程、建模、实验等优化思想需要学生具备一定的数学基础和实际经验，才能够理解和运用。

摘要：极限理论贯穿整个微积分学，是微积分的重要内容和难点。

认识极限思想是把握和理解极限理论的前提。

通过极限思想与辨证哲学的紧密联系，加强极限思想的辨证理解，有助于数学思维的培养和数学素养的提高。

关键词：极限思想；辨证哲学；对立统一0 引言。

微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述，用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。

极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学。

要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。

极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。

1 极限思想与辩证哲学的联系。

1.1 极限思想是变与不变的对立统一。

“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。

例如，平面内一条曲线C上某一点P 的切线斜率为kp。

除P 点外曲线上点的斜率k 是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率K，斜率k 不可能等于kp，k 与kp是变与不变的对立关系；同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。

当曲线上的点无限接近P 点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近。

当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不变的统一关系。

1.2 极限思想是过程与结果的对立统一。

过程和结果在哲学上是辩证统一的关系，在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。

在上例中，当曲线上的点无限接近点P 的变化过程中，k 是变化过程，kp是变化结果。

一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P 重合，同样曲线上变化点的斜率k 也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k 越来越接近kp，二者之间有紧密的联系，无限接近的变化结果使得斜率k 转化为kp，这体现了过程与结果的统一性。

极限思想在微积分中的应用
极限思想是数学中一种基本概念，它在微积分中也是一种有用抽象思维模式，
受到各个领域的青睐。

极限思想，起源于18世纪德国哲学家康德，它可以将问题从宏观范围转向微
观范围，以更加深入地分析问题，并推出有效的解决方案。

极限思想其实是一种思考方式，它使用无限近似的思想来推断一个函数的接近值，从而得到函数的近似值，运用它能够求出极限值，求微分和积分，在函数分析学中具有重要意义。

在微积分中，极限思想被广泛应用于函数分析，它可以求出无限多个分析参数，而不需要对函数进行精确级别的数值分析。

极限思想的运用可以得到函数的极限值，可以求出函数的微分和积分，从而找出函数的最佳表达形式。

极限思想不仅可以用于微积分，而且还可以被广泛应用于物理、化学和计算机
科学等多个领域，它能帮助我们更好地理解某种特定的问题，以及思考应对更大的问题，以达到更完美的抽象表达。

总之，极限思想在微积分中有着重要作用，可以更准确地表达不同函数之间的
关系，复杂问题也得到了更为直观的抽象表达。

微积分中的微小量与极限思想微积分是数学中极具代表性的一种学科，广泛应用于自然科学、工程学科中。

微积分的产生是为了解决导数、积分等数学问题，但是其内容远不止与此。

微积分的基础是微小量及极限思想，本文将探讨微积分中的微小量与极限思想，及其在实际运用中的相关问题。

一、微积分中的微小量微小量是微积分中的重要概念，它是指一段极小的长度、时间、质量、电荷等数学量。

微小量可以用符号dx、dy、dt、dq 等表示。

微小量虽然无限小，但是微积分中的很多概念都是基于微小量的之上构建起来的。

例如，如果我们要计算函数 f(x) 的导数，可以将其定义为：f'(x) = lim Δx→0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx其中，Δx 表示 x 的增量，取极限时，Δx 无限地趋近于零，此时Δx 可以近似看作微小量 dx。

那么，上式就可以表示成：f'(x) = lim dx→0 [f(x+dx)-f(x)]/dx这个式子就是微分的定义。

我们可以看到，微分的本质就是在计算微小量之间的比例。

微分的另一个重要应用是积分，积分的本质就是对微小量的无限累加。

在微积分中，除了微分和积分，微小量还有很多它的应用。

微小量可以用来描述物理学中的瞬时速度、瞬时加速度等概念。

例如，当我们在一秒内记录一辆汽车的行驶距离，那么在极小的时间段内，汽车行驶的距离就是其瞬时速度。

我们可以用微小量来描述瞬时速度的变化情况。

又如，当我们要计算一个体积为 V 的三维几何体的体积时，可以将其分解成无数个微小体，每个微小体的体积为dV。

那么，整个几何体的体积就是微小量dV 的累加。

二、微积分中的极限思想微积分中的极限思想是微积分理论的重要组成部分。

极限是指一种数学概念，用于描述函数、数列、无穷级数等数学对象在一个极端情况下的变化趋势。

在微积分中，极限思想是用来描述微小量的性质，通过极限可以更好地理解微小量与数学对象的关系。

例如，在微积分中，常常用到以下常见的极限：1. 夹逼定理：若函数 f(x)、g(x)、h(x) 满足对于其邻域内的任意x，有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，并且 lim f(x) = lim h(x) = L，则有 lim g(x) = L。

极限思想与微积分学关系探讨极限思想与微积分之间的联系紧密.在微积分的创立和发展过程中，牛顿、莱布尼兹等数学家以无穷思想为重要依据，成功地利用无穷小方法、无限过程之间的联系进行推理、运算，获得了一系列的研究成果.这为极限思想的发展和完善奠定了坚实的基础.通过数学家们的努力，极限理论逐步得到了完善.一、极限思想的应用人们很早就应用了极限的思想.例如欧多克索斯的穷竭法，阿基米得的圆、球、抛物线图形求积法.此外，我国古代数学家对此也做过很多的工作，如刘徽的割圆术、祖恒之的截面原理等.17 世纪上半叶，德国天文学家、数学家开普勒在（Kepler，1571-1630）1615 年发表的《酒桶的立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法.他的无限小元法是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积.他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积的和，从而得出球的体积是球的面积与球的半径乘积的1/3.他将圆周看成是有无限多个边的正多边形，于是圆就被视为以这些多边形的边为底、顶点在圆心的三角形之和，从而得出圆的面积等于圆周长与圆半径乘积的1/2.与此同时，他还用无穷小方法算出了圆环体、圆柱等的体积.虽然这些计算都是不严谨的，但是他得出的结果却是正确的.这些简单易行的方法，同我们现在采用的“微元法”有着相似之处.开普勒是第一个在求积中运用无穷小方法的数学家，这是他对积分学的最大贡献.1629年，法国数学家费马首次获得了求函数极值的法则，用类似方法他还求出了平面曲线的切线，抛物线体积的重心和拐点;用极限求出了抛物线的面积等.意大利数学家、伽利略的学生、波伦那大学教授卡瓦列（Cavalieri，1598-1647）在开普勒和伽利略的影响下，得出不可分量法.1635年他在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》中系统地发展了不可分量法.他认为点运动形成线，线运动形成面，体积则是由无穷多个平行平面组成的，并分别把这些元素叫作线、面和体的不可分量.他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理），并利用不可分量法推算出椭圆的面积为πab.卡瓦列里的不可分量被看成是以几何形式表示的无穷小量，这种用不可分量法求和的思想为后来定积分概念的形成奠定了基础.但由于他的不可分量法回避了求极限的过程，因而在论证上缺乏严密性.英国的数学家巴罗（Barrow，1630-1677）是牛顿的老师，也是英国皇家学会的首批会员.他在1669年出版的著作《几何讲义》中，利用所谓微分三角形或者特征三角形求出了曲线的斜率.他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小的项来求极限.这些先驱者在研究极限的过程中为微积分的创立积累了大量的资料，而这些资料无一不是以极限的思想为基石一步一步堆积起来的.二、微积分的创立1.牛顿的工作牛顿（Newton，1642 -1727）发现微积分首先得益于其老师巴罗，巴罗关于“微分三角形”的思想给他带来的影响极大，另外费马（Fermat，1601-1665）的切线方法和沃利斯（Wallis，1616-1703）的《无穷算术》也给了他很大的启发.牛顿是总结和发展了前人的思想，得出关于微积分的理论. 1666年，牛顿写出第一篇关于微积分的论文《流数短论》，在该文中首先提出了流数概念.1671年，牛顿完成了《流数法与无穷级数》（1736年出版），牛顿进一步对自己的思想作了更广泛更明确的说明，系统的引进了他所独创的概念和记法.他将变量称作“流”，将变量的变化率称作“流数”.1676年，牛顿完成了另一部著作《求曲边形的面积》（1704年出版），提出了“最初比”和“最后比”两个新概念，并且明确的给出了将导数作为增量比的极限思想.1711年，牛顿发表了《运用无穷多项方程的分析学》.在这本书中，他运用了无限小的方法和二项式定理，扩大了微积分的应用范围.采用了面积的无限小矩形，找到了曲边梯形求积的一般方法.牛顿不仅给出了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且證明了面积可以用无穷小面积的和来表示，进而证明了这样的和能通过由求变化率的逆过程得到.牛顿将和的极限用于微分中得到我们今天所说的微积分基本定理.牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，经过20年左右的时间，他的微积分从以无穷小为基础，转变为以极限为基础.但由于时代或认识的局限性，牛顿始终没能给出无穷小和极限的严格定义，但瑕不掩瑜，他将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来.正是因为这，我们说牛顿创立了微积分.2.莱布尼茨的工作德国自然科学家、数学家、哲学家莱布尼茨（Leibniz，1646 -1716）从研究几何问题入手完成了微积分的基本计算理论，引进了常量、变量和参考变量的概念.他把微积分称为“无穷小算法”.他建立的微积分也是以无穷小为基础的.创建了微积分的符号及积分符号，并提出了函数的和、差、积、商的微分法则和在积分量下对参变量求微分的方法以及旋转体体积公式.1684年，莱布尼茨在《博学文摘》上发表了第一篇论文，文中提出了切线、极大值、极小值和拐点的方法.但他对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，由于缺少严密的定义，有时他把无穷小微分作为有限的确定的量，有时又作为无穷小舍去.然而，两位数学家的贡献也有所不同.牛顿较多的注重于创立微积分的体系和基本方法，从考虑变化率的角度出发解决面积和体积问题.而莱布尼茨更多地关心微积分运算公式的建立和推广，从而建立了微积分法则和公式.三、对极限和微积分的进一步研究继牛顿和莱布尼茨之后，17—18世纪初产生了不少极限与微积分成果.捷克数学家波尔查诺（Bolzano，1781-1848）是为微积分提供更加严密的基本概念的先驱.他给连续函数所下的定义第一次清楚表明，连续性观念的基础将在极限中找到.然而他的工作长期被忽略，没能引起数学家们的注意.瑞士数学家、物理学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783年）整理了萊布尼茨的支持者——大陆派的微积分内容，先后发表了《无穷小分析应论》《微分学》《积分学》等著作.在这些著作与一系列论文中，欧拉对微积分的发展作出了伟大的贡献.（1）对函数概念进行了系统的探讨，定义了多元函数和超越函数概念，区分了显函数和隐函数，单值函数和多值函数;（2）给出了用累次积分计算有界区域的二重积分方法;（3）研究了数列极限的存在性，并把该极限记为e;对于发散级数，把实函数的许多结果都推广到复数域，从而推动了复变函数的理论发展;（5）通过对函数极值问题的研究，解决了一般函数问题的极值问题，并成功的找到了极值函数必须满足的微分方程——欧拉方程.法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（Joseph Louis lagrange，1736—1813年）试图彻底抛弃模糊不清的无穷小概念.在其名著《解析函数论》（1797年发表）中，他曾经尝试把微分、无穷小和极限与概念，从微积分中排除，用代数方法证明了泰勒展开式.由于对无穷小级数的收敛问题仍无法回避极限，因而他的“纯代数的微分学”尝试并未成功.但他对函数的抽象处理却可以说是实变函数的起点.此外，他还给出了泰勒级数的余项公式，运用极限思想研究了二元函数的极值，阐明了条件极值的理论，并研究了三重积分的变量代数式.德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815—1897）认识到微积分的基础必须建立在静态的极限的定义上.他提出了极限的静态的定义，这个定义就是我们至今仍在使用的极限的ε-N 定义.这个定义借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系.该定义只用到了存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，排除了极限概念中运动的直观痕迹，给微积分提供了严谨的理论基础，也为极限思想在数学科学中赢得了合法的席位.大部分的数学家在解决问题时都不同程度地使用了无穷小方法，进而采用了极限的思想和方法，但都没有给出明确的定义，包括被誉为微积分的创始人牛顿和莱布尼兹，他们中有很多人在创立微积分的过程中也没有给出无穷小和极限的数学定义.但这丝毫也无损于这些科学伟人的历史功绩，因为任何科学理论的创立，都不是某个数学家凭空臆想出来的，而是社会发展的需要.从认识论的角度看，人的认识规律是由具体到抽象，那么人类对极限理论的认识和发展也不应例外.极限思想作为人类思想宝库中的一种重要思想，它的发展历程与微积分、积分学的发展有着密不可分的关系，并且极限思想在微积分发展中起了重要的作用.。

微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略【摘要】微积分中函数极限是微积分学习中的重要内容，对于理解函数的性质和变化趋势具有重要意义。

本文将介绍一些常用的函数极限求解方法和策略，包括数列极限法、无穷小量代换法、夹逼定理法、利用极限性质的方法以及利用导数的方法。

通过多种方法的结合运用，可以更准确地求解函数的极限。

我们也要注意极限存在的条件，确保计算的准确性。

提高极限求解的技巧和效率，可以帮助我们更好地掌握函数极限的求解过程，提高学习效果。

深入理解和掌握这些方法，将有助于我们更好地应用和推广到实际问题中，从而更好地理解和应用微积分知识。

【关键词】微积分、函数极限、数列极限法、无穷小量代换法、夹逼定理法、利用极限性质的方法、利用导数的方法、多种方法结合运用、注意极限存在的条件、提高极限求解的技巧和效率1. 引言1.1 微积分中函数极限的重要性微积分中函数极限是微积分学习中的重要概念之一，它能够帮助我们理解函数在某一点的变化趋势和极限取值。

函数极限的研究不仅有助于我们解决数学问题，还可以应用于物理、经济、工程等各个领域。

函数极限的重要性体现在以下几个方面：函数极限是微积分的基础，它是导数、积分等概念的前提。

只有对函数极限有深入的理解，才能更好地理解微积分中的其他内容。

函数极限在研究函数在某一点的性质时起到至关重要的作用，能够帮助我们确定函数在该点的连续性、可导性等特性。

函数极限也可以应用于求解极限值、证明极限存在等问题，是数学分析中的重要工具之一。

微积分中函数极限的重要性不言而喻。

只有深入理解函数极限的概念，掌握各种求解方法和技巧，才能在微积分学习中取得更好的成绩，并将其运用到实际问题中取得更好的效果。

强调函数极限的重要性，也有助于引起我们对微积分学习的重视和兴趣。

对函数极限的研究具有极其重要的意义。

2. 正文2.1 数列极限法数总结和统计等。

以下是关于数列极限法的内容：数列极限法是微积分中函数极限求解的一种常用方法，通过研究数列的性质和极限，可以推导出函数的极限值。

微积分学中的极限思想分析微积分学中的极限思想是微积分学的重要基础，是现代数学的重要概念之一。

它为我们理解和处理函数的性质提供了一种有效的工具和方法。

本文将从极限的定义、性质以及在微积分中的应用等方面对极限思想进行分析。

极限的定义是微积分学中的基本概念之一。

在数学中，极限的定义通常使用符号“lim”来表示。

对于一个数列或者一个函数f(x)，当自变量x的值无限靠近某个特定的数a时，如果函数f(x)的值趋近于一个确定的数L，那么我们就说函数f(x)在x趋近于a 时的极限为L，表示为lim f(x) = L。

这个定义表明了函数在某一点附近的行为，并且是我们进一步研究函数性质和求解微积分问题的基础。

极限具有一些重要的性质。

极限的唯一性性质：当一个函数在某一点的极限存在时，它的极限是唯一的。

极限的保序性性质：如果函数f(x)在某一点的极限存在，并且对于自变量x的所有值来说，f(x)≤g(x)，那么函数g(x)在该点的极限也存在，并且f(x)的极限小于等于g(x)的极限。

极限的四则运算性质：如果函数f(x)和g(x)在某一点的极限都存在，那么它们的和、差、积、商的极限也存在，并且可根据相应运算规律进行计算。

在微积分学中，极限思想被广泛应用于求解导数和积分等问题。

导数的定义就是基于极限思想而建立的。

导数表示了函数在某一点的变化率，是一种极限的概念。

通过求函数在某一点的极限的方法，可以得到函数在该点的导数，并进一步研究函数在整个定义域上的性质。

积分也是基于极限思想进行定义的。

通过对函数在某一区间上的极限进行求解，可以得到该区间上的积分值，进而求解一些面积、体积和曲线长度等问题。

极限思想还可以应用于解决一些极值问题、级数收敛性判断以及函数图像的绘制等。

对于极值问题来说，通过对函数在某一点的极限进行分析，可以找到函数的最大值或最小值。

对于级数的收敛性判断来说，通过对级数通项的极限进行分析，可以判断级数是否收敛。

对于函数图像的绘制来说，通过对函数在一段区间内的极限进行分析，可以研究函数的单调性和凸凹性。

在小学数学教学中渗透极限思想的四个“点”极限思想是微积分的基本思想，用以描述某个无限变化过程的终极状态，是其他相关数学分支（如复变函数、实变函数）的理论基础。

极限也是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，是事物转化的重要环节。

因此，我们可以尝试挖掘体现极限思想的知识点，在小学数学教学中渗透极限思想。

一、关键点――大张旗鼓地渗透所谓关键点，即极限思想是认识一些新知的基础，没有对极限思想的感悟，就不可能深刻把握新知的内涵。

小学阶段这样的知识点较多，如“圆面积公式”、“循环小数”、“角的认识”等，在教学这些知识点时要及时进行渗透，让学生在认识新知的同时体验极限思想的无穷魅力。

如，教学“射线的初步认识”一课时，一位教师经历了如下教学片断：师：请同学们在白纸上画一条3厘米长的线段，说一说它有什么特点。

生：它是直的，用直尺可以量出长度。

生：它有两个端点……师：请同学们在白纸上画一条5厘米长的直线。

生：好了！（得意）生：不对！直线是没有长短的……师：为什么？生：因为直线可以向两边无限延长。

师：无限延长是什么意思？生：就是无限的长，没完没了的意思……师：下面请同学们仔细观察老师的演示。

师：（用红外线光电筒照在黑板上）请同学们画出来。

师：（打开窗户，将红外线光电筒照射向天空）如果光束没有受到阻碍的话，请你画出来……（学生有很多种情况，请学生自己说出自己的理由，交流反馈）师：这就是我们今天要学的射线，它有什么特点呢？生：一个端点、直的、可以向一个方向无限延长、不可度量。

师：射线是直线的一半吗？生：是的，因为在直线上点一个点，就可以得到两条射线。

生：不对，它们都是可以无限延长的，所以无法比较，不能说谁是谁的一半……让学生一下子认识到图形的无限性有一定难度，上述教学中，教师通过让学生自己动手，使其建立起对“线段”、“射线”、“直线”的直观感悟。

在红外线的演示下，学生轻松建立了对“直线”、“射线”的“无限”的空间感观。