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2019高考试题解析分类汇编：圆锥曲线一、选择题1．1（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．25B ．45 C ．255D ．4552214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式20022Ax Bx C d A B++=+2222551(2)±=+±．2（2019年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A ．22145x y -=B ．22145x y -= C．22125x y -=D ．22125x y -==． B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．3 3．（2019年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±已知双曲线C ：的离心率为，故有=，所以=，解得=．故C 的渐近线方程为，故选C ．本题考查双曲线的方程以及,,a b c 的计算。
双曲线1C 中，2222cos ,sin a b θθ==，所以21c =，离心率为221c o s e θ=。
2C 中，22222s i n ,s i n t a n a b θθθ==，所以22222s i n s i nt a nt a nc θθθθ=+=。
离心率为2222tan 1sin cos e θθθ==，所以两个双曲线有相同的离心率，选D.4 4．（2019年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是 （ ）A ．12B ．32C ．1D ．3B因为抛物线方程为y 2=4x 。
山东各地2019高考数学最新联考试题分类大汇编：圆锥曲线【一】选择题：11、(山东省济南市2018年2月高三定时练习文科)圆0241022=+-+x y x 的圆心是双曲线)0(19222>=-a y ax 的一个焦点，那么此双曲线的渐近线方程为(B)A 、x y 34±= B 、x y 43±= C 、x y 53±=D 、x y 54±= 3.(山东省济南市2018年2月高三定时练习理科)抛物线214y x =的焦点坐标是〔D 〕A 、,0161（）B 、(1,0）C 、1-,016（）D 、0,1（） 11.(山东省济南市2018年2月高三定时练习理科)点1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，假设2ABF ∆为锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是〔D 〕 A 、(1,)+∞B 、(1,3)C 、〔1，2〕D 、(1,12)+10、(山东省潍坊市2018年3月高三一轮模拟文理科)直线4h 一4y —k=0与抛物线y2=x 交于A 、B 两点，假设，那么弦AB 的中点到直线x+1/2=0的距离等于(C) A 、7/4B 、2C.9/4D 、411.(山东省淄博市2018年3月高三第一次模拟文科〕设双曲线22x a -22y b=1的半焦距为c ，直线l 过A 〔a,0〕，B 〔0,b 〕两点，假设原点O 到l 的距离为34c ，那么双曲线的离心率为(A)22或223235.(山东省实验中学2018年3月高三第四次诊断文科)对任意实数θ，那么方程22sin 4x y θ+=所表示的曲线不可能是(C)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆7.(山东省实验中学2018年3月高三第四次诊断文科)抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，那么p 的值为(C)A.12B.1C.2D.4 5、(山东省烟台市2018年高三诊断性检测理)P 为抛物线x y 42=上一个动点，Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和最小值是(D)A 、5B 、8C.25+ D.171-10.〔山东省济南一中2018届高三上学期期末文科〕抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，假设双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，那么实数a 的值是(A)A 、 19B 、125C 、15D 、135、(山东省烟台市2018届高三上学期期末文科)直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，那么该椭圆的离心率为 A.255 B.12C.55 D.2311.(山东省青岛市2018届高三上学期期末文科)以双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，那么圆F 与双曲线的渐近线(C) A 、相交 B 、相离 C 、相切D 、不确定【二】填空题：13、(山东省潍坊市2018年3月高三一轮模拟文理科)双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为。
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2019年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2019年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为2/3.（答案：C）2.（2019年天津高考）已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1.（答案：D）3.（2019年全国I高考）已知方程x^2/n^2 - y^2/m^2 = 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(-1,3)。
（答案：A）4.（2019年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。
已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为4.（答案：B）5.（2019年全国II高考）圆(x-1)^2 + (y-4)^2 = 13的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=-2/3.（答案：A）6.（2019年全国II高考）已知F1,F2是双曲线E:x^2/4 -y^2/2 = 1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=1/3，则E的离心率为2/3.（答案：A）7.（2019年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。
P为C上一点，且PF⊥x轴。
过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。
若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1/3.（答案：A）8.（2019年浙江高考）已知椭圆 + y^2/(m^2-1) = 1(m>1)与双曲线- y^2/(n^2-1) = 1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为m，n，则e1+e2=3.（答案：C）解析】Ⅰ）由题意可知，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据离心率的定义可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的焦距之一，即$2c$为椭圆的长轴长度，$a$为椭圆的半长轴长度，$b$为椭圆的半短轴长度，则有：$$\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 即：$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 又因为焦点$F$在椭圆的一个顶点上，所以该顶点的坐标为$(a,0)$，即$2c=2a$，代入上式可得：$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$ 又因为椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$可得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$$ 即：$$x^2+4y^2=a^2$$ （Ⅱ）（i）设椭圆C的另一个顶点为$V$，则$OV$为椭圆的长轴，$OF$为椭圆的短轴，且$OV=2a$，$OF=\sqrt{3}a$。
广东省14市2019届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（珠海市2019分别为F 1、F 2，过F 1作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C 、y x =± D 、2y x =± 2、（广州市2019届高三12月调研考试）已知抛物线()220y px p =>与双曲线有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为A B C D 3、（惠州市2019届高三第三次调研考试）已知F 是抛物线24x y =的焦点，M ，N 是该，则MN 的中点到准线的距离为（ ）A B ．2 C ．3 D ．4 4、（江门市 2019届普通高中高三调研）若抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线）A B ．3 C ．2D5、（揭阳市2019在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，直线AF 与抛物线的另一交点为B ，则FA FB ⋅=u u u r u u u rA ．10-BC ．3-D 6、（雷州市2019届高三上学期期末）已知双曲线C，则C 的渐近线方程为ABCD ．y=x ± 7、（茂名市2019届高三上期末）右焦点F 1，F 2，右顶点为A ，P 为其 右支上一点，PF 1Q于点R ，RQ 的中点为M ，若RF 2⊥PF 1，且AM ⊥PF 1，则双曲线的离心率为（ ）A 、1 B 、2 CD8、（汕尾市2019C 的离心率为 ABCD ．2 9、（汕尾市2019届高三上学期期末）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，()1,P y 是抛物线上一点，过点P 向抛物线C 的准线l 引垂线，垂足为D ，若PDF ∆为等边三角形，则p =。
10、（韶关市2019届高三上学期期末）设点M 为双曲线E 圆C ：2222x y a b +=+的一个交点，若∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，其中F 1， F 2为双曲线E 的两焦点，则双曲线E 的离心率为A 、 2B 、1 CD 11、（韶关市2019届高三上学期期末）设抛物线28y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为Q ，过点Q 作斜率为k （k ＜0）的直线交抛物线于A 、B 两点，若｜AF ｜＝2｜BF ｜，则k 的值为 AB 、CD 、12、（肇庆市2019届高三上学期期末）已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程在C 上，则C 的方程为ABCD13、（肇庆市2019届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为,A B ，P 是椭圆上异于,A B 的一点，若直线PA 的斜率PA k 与直线PB 的斜率PB k 乘积14PA PB k k =-g ，则椭圆C 的离心率为A.14 B. 12 C. 34D. 3214、（佛山市2019届高三上学期期末）参考答案一、填空题1、A2、A3、C4、A5、D6、C7、B8、C9、2310、B 11、A 12、B 13、D 14、A二、解答题1、（珠海市2019届高三上学期期末）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点P （－3，12），且右焦点F 2（3，0）。
高考数学精品复习资料2019.5北京市部分区高三上学期考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（朝阳区高三上学期期末）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 ．2、（西城区高三上学期期末）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x = （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=3、（东城区高三上学期期末）抛物线22y x =的准线方程是（A ）1y =- （B ）12y =- （C ）1x =- （D ）12x =-4、（丰台区高三上学期期末）设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ． 5、（海淀区高三上学期期末）抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．36、（昌平区高三上学期期末）在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7、（海淀区高三上学期期末）已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A ．12y x =-+B ．12y x =C ．2y x =-D ．2y x =-8、（石景山区高三上学期期末）若双曲线2214x y m -=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是 ．9、（通州区高三上学期期末）“>1m ”是“方程2211x y m m -=-表示双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、（东城区高三上学期期末））若点(2,0)P 到双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =_______．11、（北京昌平临川育人学校高三上学期期末）设双曲线=1的两焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上的一点，若PF 1与双曲线的一条渐近线平行，则•=（ ）A ．B ．C ．D ．二、解答题1、（昌平区高三上学期期末）椭圆C 的焦点为1(F ,2F ，且点M 在椭圆C 上.过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点,点B 关于y 轴的对称点为点D （不同于点A ）.(I) 求椭圆C 的标准方程；(II)证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标.2、（朝阳区高三上学期期末）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P 与其顶点(A ,B 不重合．（Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．3、（西城区高三上学期期末）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅ 为定值．4、（东城区高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB 的斜率之积为34-，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足||3||PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值．5、（丰台区高三上学期期末）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.6、（海淀区高三上学期期末）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．7、（石景山区高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．8、（通州区高三上学期期末）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点)23,1(P ，离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．参考答案一、选择、填空题1、32、B3、D4、535、B6、A7、A 8、( 9、A 1011、解：由双曲线=1的a=，b=1，c=2，得F 1（﹣2，0），F 2（2，0），渐近线为，由对称性，不妨设PF 1与直线平行，可得，由得，即有，，•=﹣×+（﹣）2=﹣．故选B ．二、解答题1、解：(I)法一设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由已知得22222,211,a b c a b c ⎧=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22142x y +=. …………6分法二设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由已知得c =12214a MF MF =+==.所以2a =， 2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. …………6分 (II)法一当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+.由221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y .则22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩特殊地，当A 为(2,0)时，12=-k ，所以2423=-x ，223=-x ，243=y ，即24(,)33-B .所以点B 关于y 轴的对称点24(,)33D ，则直线AD 的方程为(2)=--y x . 又因为当直线l 斜率不存时，直线AD 的方程为0=x ， 如果存在定点Q 满足条件，则(0,2)Q . 所以111112111---===-QA y y k k x x x ，222222111---===-+--QD y y k k x x x ， 又因为 121212112()2()220QA QB x x k k k k k k x x x x +-=-+=-=-=， 所以=QA QD k k ，即,,A D Q 三点共线.即直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2)Q . …………14分 法二(II)①当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+ .由221,24y kx x y =+⎧⎨+=⎩，可得22(12)420k x kx ++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)D x y -.所以22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩因为2121AD y y k x x -=--，所以直线AD 的方程为：211121()y y y y x x x x --=---.所以21121112121y y x y x yy x y x x x x --=⋅++--+21121121112121y y x y x y x y x yx x x x x --++=⋅+--+2112212121y y x y x y x x x x x -+=⋅+--+ 2112212121(1)(1)y y x kx x kx x x x x x -+++=⋅+--+ 21122121212y y kx x x x x x x x x -++=⋅+--+ 2112212121y y kx x x x x x x -=⋅++--+21212y y x x x -=⋅+--.因为当0,2x y ==， 所以直线MD 恒过(0,2)点.②当k 不存在时，直线AD 的方程为0x =，过定点(0,2). 综上所述，直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2). …………14分2、解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为±OM 的方程是3y x =，由22236,,x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x =±，1y =±．取M，则1)N -．所以OMN ∆②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=． 因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===． 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =．所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-． 所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-． 由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分 3、解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB面积的最大值是2．[5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分]直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n-=-，从而000ty nx OE y n -=-．[9分]直线M B 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n+=+，从而000ty nx OF y n +=+．[11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ----[13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]4、解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分（Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ． 因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =， 所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线， 所以BP BQ λ=．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--，123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩ 解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ--+++-+=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34-， 所以121234y y x x ⋅=-，即1212043x x y y+=．所以2291()1λλλ-+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………14分 5、解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =. (4)分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=． 所以，FS FT ⋅u u r u u u r的值是定值，且定值为0. (13)分6、解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==所以椭圆G 的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+ 所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.7、解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为2c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 8、解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b +=① 11,22c e a ==又所以② 由①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=……………….4分（Ⅱ）椭圆右焦点坐标F (1,0)，显然直线AB 斜率存在， 设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =-③…………….5分代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= ……………….6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④ ……………….7分 在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--，……………….9分 又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==，即有k x yx y =-=-112211 所以=+21k k =--+--1231232211x y x y )1111(2311212211-+---+-x x x y x y =2k -121212232()1x x x x x x +--++⑤将④代入⑤得=+21k k 322k -12134834)3(42348222222-=++-+--+k k kk k k k ，……………….12分又213-=k k ， 所以=+21k k 32k ，即132,,k k k 成等差数列.……………….13分。
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2019全国高考 - 圆锥曲线部分汇编(2019北京理数) （4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A)a 2=2b 2（B ）3a 2=4b2(C ）a =2b (D ）3a =4b(2019北京理数） （18）（本小题14分）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点(2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程;（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．(2019北京文数） （5)已知双曲线2221x y a-=(a >0)a =（ （B)4（C ）2（D)12(2019北京文数） （11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．(2019北京文数） （19）（本小题14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若｜OM ｜·｜ON ｜=2，求证：直线l 经过定点．（2019江苏) 7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3，4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .（2019江苏） 17．(本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．(2019全国Ⅰ理数) 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，(),过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=(2019全国Ⅰ理数) 16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =,120FB F B ⋅=,则C 的离心率为____________．(2019全国Ⅰ理数） 19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1)若｜AF |+｜BF ｜=4，求l 的方程； (2）若3AP PB =，求|AB ｜．（2019全国Ⅰ文数） 10．双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒(2019全国Ⅰ文数） 12．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=(2019全国Ⅰ文数） 21.（12分）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称,│AB │ =4，⊙M 过点A ,B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上,求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │-│MP │为定值？并说明理由．(2019全国Ⅱ理数)1. 若抛物线13)0(2222=+>=py p x p px y 的焦点是椭圆的一个焦点，则p=________A 。
2019二卷数学圆锥曲线
2019年高考数学二卷的圆锥曲线部分，是许多考生心中的痛点。
圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，它涉及的知识点广泛，对思维能力要求高，因此难度较大。
在2019年的高考数学二卷中，圆锥曲线部分更是成为了一个难点，许多考生在此部分失分严重。
圆锥曲线部分主要考察了椭圆的性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系等知识点。
其中，最让考生头疼的是计算问题。
由于涉及到的数学公式较多，计算过程繁琐，很多考生在解题过程中出现了错误，导致最终答案不准确。
为了更好地掌握圆锥曲线部分的知识点，考生需要在平时的学习中多加练习。
通过大量的练习，考生可以逐渐掌握解题技巧，提高计算能力和思维敏捷度。
此外，考生还需要注重基础知识的学习，掌握椭圆的基本性质和标准方程，以便在解题时能够灵活运用。
除了练习和基础知识的学习，考生还需要注意一些细节问题。
例如，在解题过程中要仔细审题，避免因为看错题目或理解错误而导致失分。
同时，考生还需要注意计算的准确性和速度，在考试时合理安排时间，避免因为时间不够而影响最终成绩。
总之，2019年高考数学二卷的圆锥曲线部分难度较大，需要考生在平时的学习中多加练习，注重基础知识的学习和细节问题的处理。
只有这样，考生才能够在考试中取得更好的成绩。
第 1 页 共 18 页 江苏省各地2019届高考模拟考试数学试题分类汇编：圆锥曲线一、填空题1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是抛物线24y x =与双曲线2221(0)4x y b b-=>的一个交点.若抛物线的焦点为F ，且5FA =，则双曲线的渐进线方程为 .2、（南京市2019届高三第三次模拟）平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P ．若线段PF 的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 ．3、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））已知双曲线221(0)x y m m-=>的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝＿＿4、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)=>y px p 的准线为l ，直线l 与双曲线2214x y -= 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，6AB =，则p 的值为 ．5、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右顶点(20)A ，到渐近线的 距离为2，则b 的值为 ．6、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别 交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为 ． 7、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知双曲线C 的方程为2214x y -=，则其离心率为 ．8、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））抛物线24y x =的焦点坐标为 ．9、（盐城市2019届高三第三次模拟）双曲线1222=-y x 的焦距为______.。
2019年二模试卷圆锥曲线专题填选题分类一、点的轨迹1．（2019•上海二模）已知圆（x﹣2）2+y2＝9的圆心为C，过点M（﹣2，0）且与x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A在点M与点B之间．过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分2．（2019•崇明区二模）已知线段AB上有一动点D（D异于A、B），线段CD⊥AB，且满足CD2＝λAD•BD（λ是大于0且不等于1的常数），则点C的运动轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分二、圆锥曲线标准方程1．（2019•普陀区二模）若椭圆的焦点在x轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．2．（2019•奉贤区二模）已知△ABC的周长为12，B（0，﹣2），C（0，2），则顶点A的轨迹方程为（）A．（x≠0）B．（y≠0）C．（x≠0）D．（y≠0）3．（2019•虹口区二模）在平面直角坐标系xOy中，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O，如图所示，双曲线Γ是以C、F为焦点的，且经过正六边形的顶点A、B、D、E，则双曲线Γ的方程为．4．（2019•静安区二模）已知双曲线C与椭圆的焦点相同，且双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为．5．（2019•闵行区二模）如图，A是圆O：x2+y2＝9上的任意一点，B、C是圆O直径的两个端点，点D在直径BC上，，点P在线段AC上，若，则点P的轨迹方程为6．（2019•宝山区二模）过点A（﹣2，4），且开口向左的抛物线的标准方程是．7．（2019•奉贤区二模）双曲线的右焦点恰好是y2＝4x的焦点，它的两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程为．8．（2019•浦东新区二模）焦点在x轴上，焦距为6，且经过点的双曲线的标准方程为．9．（2019•上海模拟）已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过点（0，2），则该椭圆的标准方程为．三、双曲线渐近线相关1．（2019•杨浦区二模）已知命题α：“双曲线的方程为x2﹣y2＝a2（a＞0）”和命题β：“双曲线的两条渐近线夹角为”，则α是β的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件2．（2019•金山区二模）设F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且∠PF1F2＝30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y＝0B．x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝03．（2019•普陀区二模）双曲线的顶点到其渐近线的距离为四、直线双曲线公共点问题1．（2019•闵行区二模）过点（1，0）与双曲线仅有一个公共点的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条2．（2019•宝山区二模）已知双曲线＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），直线y ＝k（x﹣c）与双曲线的右支有两个交点，则（）A．|k|＞B．|k|＜C．|k|＞D．|k|＜五、圆锥曲线基本性质1．（2019•徐汇区二模）已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．C．2D．2．（2019•虹口区二模）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，点P为椭圆C上的点，|PF1|＝8，若M为线段PF1的中点，则线段OM的长为．3．（2019•青浦区二模）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣y2＝1经过抛物线y2＝2px （p＞0）的焦点，则p＝．4.（2019•杨浦区二模）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A（﹣a，0），B（a，0），动点P满足（其中a和λ是正常数，且λ≠1），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为．5.（2019•黄浦区二模）椭圆的焦距长为．6．（2019•徐汇区二模）若2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n＝0的一个根，则圆锥曲线＝1的焦距是．7．（2019•闵行区二模）抛物线y2＝2x的准线方程为解答题分类一、定值定点定关系1．（2019•上海模拟）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）若，求此时直线l的方程；（2）若与直线l垂直的直线l1过点F，且与抛物线C相交于点M、N，设线段AB、MN的中点分别为P、Q，如图1，求证：直线PQ过定点；（3）设抛物线C上的点S、T在其准线上的射影分别为S1、T1，若△S1T1F的面积是△STF 的面积的两倍，如图2，求线段ST中点的轨迹方程．2．（2019•静安区二模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点T（t，4）到其焦点F的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，若，求证：直线l必过一定点，并求出该定点的坐标；（3）过点（2，0）的直线m与抛物线C交于不同的两点M、N，若，求直线m的斜率的取值范围．3．（2019•奉贤区二模）已知两点F1（﹣2，0），F2（2，0），动点P在y轴上的射影是H，且，（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线PF1、PF2的两个斜率存在，分别记为k1、k2，若k1k2＝1，求点P的坐标；（3）若经过点N（﹣1，0）的直线l与动点P的轨迹有两个交点为T、Q，当时，求直线l的方程二、面积相关问题1．（2019•上海模拟）双曲线（b＞0）．（1）若Γ的一条渐近线方程为y＝2x，求Γ的方程；（2）设F1、F2是Γ的两个焦点，P为Γ上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为9，求b 的值；（3）斜率为2的直线与Γ交于A、B两点，试根据常数b的不同取值范围，求线段AB中点的轨迹方程．2．（2019•金山区二模）已知椭圆Γ：，过点D（﹣1，0）的直线l：y＝k（x+1）与椭圆Γ交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E．（1）当m＝1且k＝1时，求点M、N的坐标；（2）当m＝2时，设，，求证：λ+μ为定值，并求出该值；（3）当m＝3时，点D和点F关于坐标原点对称，若△MNF的内切圆面积等于，求直线l的方程．3．（2019•上海二模）已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ相交于P、Q．（1）求△F1PQ的周长；（2）设点A为椭圆Γ的上顶点，点P在第一象限，点M在线段AF2上，若，求点P的横坐标；（3）设直线l不平行于坐标轴，点R为点P关于x轴对称点，直线QR与x轴交于点N 求△QF2N面积的最大值．三、存在性问题1．（2019•杨浦区二模）已知椭圆的左右两焦点分别为F1、F2．（1）若矩形ABCD的边AB在y轴上，点C、D均在Ω上，求该矩形绕y轴旋转一周所得圆柱侧面积S的取值范围；（2）设斜率为k的直线l与Ω交于P、Q两点，线段PQ的中点为M（1，m）（m＞0），求证：；（3）过Ω上一动点E（x0，y0）作直线，其中y0≠0，过E作直线l的垂线交x轴于点R，问是否存在实数λ，使得|EF1|•|RF2|＝λ|EF2|•|RF1|恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．2．（2019•普陀区二模）设曲线Γ：y2＝2px（p＞0），D是直线l：x＝﹣2p上的任意一点，过D作Γ的切线，切点分别为A、B，记O为坐标原点．（1）设D（﹣4，2），求△DAB的面积；（2）设D、A、B的纵坐标依次为y0、y1、y2，求证：y1+y2＝2y0；（3）设点M满足，是否存在这样的点D，使得M关于直线AB的对称点N 在Γ上？若存在，求出D的坐标，若不存在，请说明理由．3．（2019•宝山区二模）已知椭圆的左右焦点为F1，F2，M是椭圆上半部分的动点，连接M和长轴的左右两个端点所得两直线交y正半轴于A，B两点（点A在B的上方或重合）．（1）当△MF1F2面积最大时，求椭圆的方程；（2）当时，若B是线段OA的中点，求直线MA的方程；（3）当b＝1时，在x轴上是否存在点P使得为定值，若存在，求P点的坐标，若不存在，说明理由．四、定义探索类问题1．（2019•青浦区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），总存在一个点Q（x'，y'）满足关系式：（λ＞0，μ＞0），则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换φ，使得椭圆4x2+9y2＝36变换为一个单位圆；（2）在同一直角坐标系中，△AOB（O为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换（λ＞0，μ＞0）得到△A'O'B'，记△AOB和△A'O'B'的面积分别为S与S'，求证：；（3）若△EFG的三个顶点都在椭圆（a＞b＞0），且椭圆中心恰好是△EFG的重心，求△EFG的面积．求出λ的值，若不存在，说明理由．2、（2019•闵行区二模）把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中F（1，0）为Γ1的右焦点．如图所示，A1、A2、B1、B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知，过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P、Q两点（P在x轴的上方）．（1）求半椭圆Γ1和圆弧Γ2的方程；（2）当点P、Q分别在第一、第三象限时，求△A1PQ的周长C的取值范围；（3）若射线FP绕点F顺时针旋转交“曲圆”于点R，请用θ表示P、R两点的坐标，并求△FPR的面积的最小值．3．（2019•崇明区二模）对于直线l与抛物线Γ：x2＝4y，若l与Γ有且只有一个公共点且l 与Γ的对称轴不平行（或重合），则称l与Γ相切，直线l叫做抛物线Γ的切线．（1）已知P（x0，y0）是抛物线上一点，求证：过点P的Γ的切线l的斜率；（2）已知M（x0，y0）为x轴下方一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），求证：x1、x0、x2成等差数列；（3）如图所示，D（m，n）、E（s，t）是抛物线Γ上异于坐标原点的两个不同的点，过点D、E的Γ的切线分别是l1、l2，直线l1、l2交于点G（a，b），且与y轴分别交于点D1、E1，设x1、x2为方程x2﹣ax+b＝0（a，b∈R）的两个实根，max{c，d}表示实数c、d中较大的值，求证：“点G在线段DD1上”的充要条件是“”．五、应用类问题1．（2019•徐汇区二模）2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B 点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？2．（2019•浦东新区二模）浦东一模之后的“大将”洗心革面，再也没有经过网吧，开始发奋学习，2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为R＝700万米）的中心F为右焦点的椭圆C，已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米．（1）求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程；（2）在地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半袖、短半袖的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线L，称该直线的斜率k为“变轨系数”，求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞（精确到小数点后一位）。
