上海2013数学二模几何证明题汇总

虹口区2013年数学学科高考练习题(理科)（时间120分钟，满分150分）2013.4一、填空题（每小题4分，满分56分）1、函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减，则k 的取值范围是 ．2、已知复数ii z +-=1)1(3，则=z ．3、已知31cos sin sin cos =ββαα，则=+)(2cos βα ． 4、设n x )21(+展开式中二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，则=+-∞→nn nn n b a b a l i m ．5、已知双曲线与椭圆161622=+y x 有相同的焦点，且渐近线方程为x y 21±=，则此双曲线方程为 ．6、如果14log -=b a ，则b a +的最小值为 ．7、数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8、设1F 、2F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足221π=∠PF F ，则21PF F ∆的面积等于 ． 9、从集合{}3,2,1的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为ξ，则ξ的数学期望=ξE ．10、对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．11、在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，2)(=⋅+，则ABC ∆面积等于 ．12、将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于 ．13、设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为 ．14、已知函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分） 15、直线⎩⎨⎧+=+=t y tx 121的倾斜角等于（ ）.A 6π .B 3π.C 21arctan .D 2arctan16、已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M等于（ ）.A π6 .B π7 .C π12 .D π1317、若22παπ≤≤-，πβ≤≤0，R m ∈，如果有0s i n 3=++m αα，0cos )2(3=++-m ββπ，则)cos(βα+值为（ ）． .A 1- .B 0 .C21.D 1 18、正方体1111D C B A ABCD -的棱上．．到异面直线AB ，1CC 的距离相等的点的个数为（ ） .A 2． .B 3． .C 4． .D 5．三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，⊥PA 平面ABCD ，矩形ABCD 的边长1=AB ，2=BC ，E 为BC 的中点． （1）证明：DE PE ⊥；（2）如果2=PA ，求异面直线AE 与PD 所成的角的大小．D20、（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，向量)cos 2,sin 2(B B m =，)cos ,cos 3(B B n -=，且1=⋅n m ．（1）求角B ；（2）若2=b ，求ABC ∆的面积的最大值．21、（本题满分14分）已知复数i b a z n n n ⋅+=，其中R a n ∈，R b n ∈，*∈N n ，i 是虚数单位，且i z z z n n n 221++=+，i z +=11． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求和：①13221++++n n a a a a a a ；②1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b ．22、（本题满分16分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p ，直线l 交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B ．（1）当直线l 过点)0,(p M 时，证明21y y ⋅为定值；（2）当p y y -=21时，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）如果直线l 过点)0,(p M ，过点M 再作一条与直线l 垂直的直线l '交抛物线C 于两个不同点D 、E ．设线段AB 的中点为P ，线段DE 的中点为Q ，记线段PQ 的中点为N ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）定义域为D 的函数)(x f ，如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称此函数在区间I 上是“凸函数”． （1）判断函数x x f lg )(=在+R 上是否是“凸函数”，并证明你的结论； （2）如果函数xax x f +=2)(在]2,1[上是“凸函数”，求实数a 的取值范围； （3）对于区间],[d c 上的“凸函数”)(x f ，在],[d c 上任取1x ，2x ，3x ，……，n x ．① 证明： 当kn 2=（*∈N k ）时，)]()()([1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ 成立；② 请再选一个与①不同的且大于1的整数n ， 证明：)]()()([1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ 也成立．D虹口区2013年数学学科高考练习题答案（理）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、)21,(∞-；2、2；3、97-； 4、1-； 5、12822=-y x ； 6、1； 7、7； 8、1； 9、712； 10、]3,1[-； 11、23； 12、322； 13、9； 14、07≤<-a 或2=a ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、C ； 16、A ； 17、B ； 18、C ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）连AE ，由1==BE AB ，得2=AE ，同理2=DE ，∴2224AD DE AE ==+，由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ，∴AE DE ⊥．……………………3分 由⊥PA 平面A B C D ，得DE PA ⊥.由AE DE ⊥，DE PA ⊥A AE PA =⋂，得⊥DE 平面PAE ．∴DE PE ⊥．…………6分（2）取PA 的中点M ，AD 的中点N ，连MC 、NC 、MN 、AC ． AE NC //，PD MN // ，∴MNC ∠的大小等于异面直线PD 与AE 所成的角或其补角的大小．………………8分由2=PA ，1=AB ，2=BC ，得2==MN NC ，6=MC ，∴21222622cos -=⋅⋅-+=∠MNC ，32π=∠MNC ．∴异面直线PD 与AE 所成的角的大小为3π．…………12分 注：用向量解相应给分．20、（14分）解：（1） 1=⋅，∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ，22cos 2sin 3=-B B ，1)62sin(=-πB ，……………………5分 又π<<B 0，∴611626πππ<-<-B ，∴262ππ=-B ，∴3π=B ………………7分（2） 2=b ，B ac c a b cos 2222⋅-+=，∴3cos 2422π⋅-+=ac c a ，即ac c a -+=224…9分∴ac ac ac ac c a =-≥-+=2422，即4≤ac ，当且仅当2==c a 时等号成立．…12分343sin 21≤=⋅=∆ac B ac S ，当2===c b a 时，3)(max =∆ABC S ．…………14分 21、（14分）解：（1） i i b a z +=⋅+=1111，∴11=a ，11=b ．由i z z z n n n 221++=+得i b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211，∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a ………………3分 ∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列，数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列，∴13-=n n a ，12-=n b n ．……………………6分（2）①由（1）知13-=n n a ，2113=-+kk k k a a a a ,∴数列{}1+n n a a 是以3为首项，公比为23的等比数列． 838391)31(312213221-=--=+++++n n n n a a a a a a ．………………9分②当k n 2=，*∈N k 时，)()()()1(122212544332211154433221+-++-++-+-=-++-+-k k k k n n n b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b n n k k b b k b b b b b b k k k 22482)(4)(44442222242242--=--=+⋅-=+++-=----= 当12+=k n ，*∈N k 时，1154433221)1(++-++-+-n n n b b b b b b b b b b122)34)(14(48)()()(22221212221254433221-+=+++--=+-++-+-=+++-n n k k k k b b b b b b b b b b b b b b k k k k k k又1=n 也满足上式∴⎪⎩⎪⎨⎧---+=-++-+-++为偶数时当为奇数时当n n n n n n b b b b b b b b b b n n n 22122)1(221154433221 ………14分 22、（16分）解：（1）l 过点)0,(p M 与抛物线有两个交点，设p my x l +=:，由⎩⎨⎧=+=pxy pmy x 22得02222=--p pmy y ，∴2212p y y -=⋅．……………………4分（2）当直线l 的斜率存在时，设b kx y l +=:，其中0≠k （若0=k 时不合题意）．由⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22得0222=+-pb py ky ．p k pb y y -==∴221，从而2k b -=．………6分从而2k kx y -=，得0)21(=--y k x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==021y x ，即过定点)0,21(．………………8分当直线l 的斜率不存在，设0:x x l =，代入px y 22=得022px y =，02px y ±=，p px px px y y -=-=-⋅=∴000212)2(2，从而210=x ，即21:=x l ，也过)0,21(． 综上所述，当p y y -=21时，直线l 过定点)0,21(．…………10分（3）依题意直线l 的斜率存在且不为零，由（1）得点P 的纵坐标为pm y y y P =+=)(2121，代入p my x l +=:得p pm x P +=2，即),(2pm p pm P +．由于l '与l 互相垂直，将点P 中的m 用m 1-代，得),(2m p p mp Q -+．…………12分设),(y x N ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=)(21)(2122m p pm y p pm p m p x 消m 得)2(22p x p y -=………………14分 由抛物线的定义知存在直线815p x =，点)0,817(p，点N 到它们的距离相等．………16分 23、（18分）解：（1）设1x ，2x 是+R 上的任意两个数，则01lg )(4lg 2lg 2lg lg )2(2)()(2212121212121=≤+=+-+=+-+x x x x x x x x x x f x f x f ∴)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+．∴函数x x f lg )(=在+R 上是 “凸函数”．……4分 （2）对于]2,1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-………………7分若21x x =，a 可以取任意值．若21x x ≠，得)(212121x x x x a +-≤， 1)(2182121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a ． 综上所述得8-≤a ．………………10分 （3）①当1=k 时由已知得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立． 假设当m k =)(*∈N m 时，不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f mm +++≥++++ 成立． 那么，由d x x x c mm≤+++≤2221 ，d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212得]}22[21{)2(22221222112211mm m mm m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++ )]2()2([21222212221mm m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ )]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m )]()()([2112211++++=+m x f x f x f m ． 即1+=m k 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．……………………15分 ②比如证明3=n 不等式成立．由①知d x c ≤≤1，d x c ≤≤2，d x c ≤≤3，d x c ≤≤4， 有)]()()()([41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≥+++成立．d x c ≤≤1，d x c ≤≤2，d x c ≤≤3，d x x x c ≤++≤)(31321，∴)43()3(321321321x x x x x x f x x x f +++++=++)]()()()3([41421321x f x f x f x x x f +++++≥， 从而得)]()()([31)3(321321x f x f x f x x x f ++≥++．………………18分。

2013年上海市徐汇、松江、金山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2006•上海）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a= ．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求a的值，可先列出关于a的两个方程，由已知得y=f（x）的反函数图象过定点（2，﹣1），根据互为反函数的图象的对称性可知，原函数图象过（﹣1，2），从而解决问题．解答：解：若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则原函数的图象过点（﹣1，2），∴2=a﹣1，a=．故答案为．点评：本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．2．（4分）（2013•松江区二模）已知函数的值域为A，集合B={x|＜0}，则A∩B=[2，3）．考点：二阶矩阵；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：根据幂函数的单调性，求出函数的值域确定出集合A，然后根据二阶行列式化简集合B后解不等式确定出集合B，最后求出两集合的交集即可．解答：解：由函数是增函数，得：A=[2，4]，由＜0得到x2﹣4x+3＜0，∴1＜x＜3，∴B=（1，3），∴A∩B=[2，3）．故答案为：[2，3）．点评：此题属于以函数的值域、二阶矩阵为平台，考查了交集的运算，要求学生熟练掌握幂函数的性质及二阶行列式的计算．3．（4分）（2013•松江区二模）已知= ﹣．考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：先利用诱导公式化简cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，求出cosα，然后根据sin2α+cos2α=1，以及α∈（﹣，0），求出sina，进而求得tanα，再利用二倍角的正切，求出结果．解答：解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣∴cosα=∴sinα=±=±∵α∈（﹣，0）∴sinαα=﹣∴tanα=﹣tan2α==﹣故答案为﹣．点评：本题考查了二倍角正切以及诱导公式，解题过程中要注意α的范围，属于基础题．4．（4分）（2013•松江区二模）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高h==4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．解答：解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h ∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高h==4∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π故答案为：12π点评：本题给出圆锥母线长和侧面积，求它的体积，着重考查了圆锥的侧面积公式和体积公式等知识，属于基础题．5．（4分）（2013•松江区二模）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b= 19 ．考点：复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）代入方程，利用复数的运算法则进行化简，再根据复数相等即可得出．解答：解：∵x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，∴（﹣3﹣2i）2+a（﹣3﹣2i）+b=0，化为5﹣3a+b+（12﹣2a）i=0．根据复数相等即可得到，解得．∴a+b=19．故答案为19．点评：熟练掌握方程的根的意义、复数的运算法则和复数相等的定义是解题的关键．6．（4分）（2013•松江区二模）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i= i+2 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由已知中该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，由此易给出执行框中填写的语句．解答：解：∵该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，故执行框中应该填的语句是：i=i+2．故答案为：i+2．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．（4分）（2013•松江区二模）在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρcosθ=3．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先将原极坐标方程ρ=6cosθ的两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．解答：解：由题意可知圆的标准方程为：（x﹣3）2+y2=9，圆心是（3，0），所求直线标准方程为x=3，则极坐标方程为ρcosθ=3．故答案为：ρcosθ=3．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．8．（4分）（2013•松江区二模）将参数方程（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是y=﹣x2+3（）．考点：参数方程化成普通方程．专题：探究型．分析：将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，可以借助于三角函数的平方关系，因此想到把①两边平方，然后和②相加即可，同时求出x的范围．解答：解：由，因为θ∈R，所以﹣1≤sinθ≤1，则．由①两边平方得：x2=2sin2θ③由②得y﹣1=2cos2θ④③+④得：x2+y﹣1=2，即y=﹣x2+3（）．故答案为y=﹣x2+3（）．点评：本题考查了化参数方程为普通方程，解答此类问题的关键是如何把题目中的参数消掉，常用的方法有代入法，加减消元法等，同时注意消参后变量的范围限制，是基础题．9．（4分）（2013•松江区二模）在二项式的展开式中，常数项的值是﹣20，则= ．考点：二项式定理；数列的极限．专题：计算题．分析：先求出二项式的展开式的通项为T r+1=，令6﹣2r=0可求r，结合已知常数项的值可求a，然后利用等比数列的和对已知式子求和，即可求解极限解答：解：由题意二项式的展开式的通项为T r+1=令6﹣2r=0可得r=3此时的常数项为=﹣20，解得a=则==故答案为：点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，等比数列的求和公式的应用及数列极限的求解．10．（4分）（2013•松江区二模）一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1．将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望Eξ=．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由题意可知两次抛掷后向上面所标有的数字有以下四种类型：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），可得ξ的取值为0，1．抛掷一次后出现数字1为事件A，出现数字0为事件B．由古典概型可得p（A）=P（B）=．由于ξ=1当且仅当两次抛掷后向上面所标有的数字都为1，故可求得P（ξ=1），再利用对立事件的概率计算公式可得P（ξ=0），进而得到数学期望Eξ．解答：解：由题意可知两次抛掷后向上面所标有的数字有以下四种类型：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），因此ξ的取值为0，1．设抛掷一次后出现数字1为事件A，出现数字0为事件B．由古典概型可得p（A）=P（B）=．ξ=1当且仅当两次抛掷后向上面所标有的数字都为1，故P（ξ=1）==，∴P（ξ=0）=1﹣P（ξ=0）==．故随机变量ξ的分布列为：故Eξ=．故答案为．点评：知道两次抛掷后向上面所标有的数字分为四种类型，正确理解古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、数学期望的计算公式是解题的关键．11．（4分）（2013•松江区二模）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为15 ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|=10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案．解答：解：∵椭圆方程为，∴焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'| 因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'|∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为15故答案为：15点评：本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．12．（4分）（2013•松江区二模）如图，O为直线A0A2013外一点，若A0，A1，A2，A3，A4，A5，…，A2013中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为1007（）．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：设A0A2013的中点为A，则A也是A1A2012，…A1006A1007的中点，可得===…=，共1007个式子，代入可得答案．解答：解：设A0A2013的中点为A，则A也是A1A2012，…A1006A1007的中点，由向量的中点公式可得=2=，同理可得==…=，故=1007×2=1007（）故答案为：1007（）点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，向量的中点公式是解决问题的关键，属中档题．13．（4分）（2013•松江区二模）设函数f（x）=x|x|，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），若g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，则正数a的取值范围为a＞2 ．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分求出平移后的两个函数解析式，通过g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，利用析：数形结合法，求出a的范围即可．解答：解：函数f（x）=x|x|=，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），g（x）=，将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），h（x）=，分别作出它们的图象，由图象可知，当g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方时，a ＞2．则正数a的取值范围为 a＞2．故答案为：a＞2．点评：本题考查函数的图象与图象变化，考查数形结合思想，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学思想的应用．14．（4分）（2013•松江区二模）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E1，然后复原，记∠CDE1=α1；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E1D重合，得到折痕E2D，然后复原，记∠ADE2=α2；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与E2D重合，得到折痕E3D，然后复原，记∠CDE3=α3；按此折法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则= ．考数列的极限．点：等差数列与等比数列．专题：分由第二步、第三步，…依此类推：（n≥2）．若，析：则；若，则数列{}是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式就得出αn，再利用数列极限即可得出．解解：由第二步可知：；由第三步可知：答：，…依此类推：（n≥2）．∴，∴，①若，则，此时；②若，则数列{}是以为首项，为公比的等比数列，∴，即．∴==．综上可知：．故答案为．点由第二步、第三步，…依此类推：（n≥2）．及熟练掌握评：等比数列的通项公式和数列极限的定义和运算法则是解题的关键．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2013•松江区二模）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题．分析：举反例a=2，b=1，可证甲不能推乙，由不等式的性质可证乙可推甲，由充要条件的定义可得．解答：解：命题甲：ab＞b2，不能推出命题乙：，比如当取a=2，b=1，当然满足甲，但推不出乙；若命题乙：成立，则可得a，b均为负值，且a＜b，由不等式的性质两边同除以b可得ab＞b2，即甲成立，故甲是乙的必要不充分条件，故选B点评：本题考查充要条件，利用不等式的性质和反例法是解决问题的关键，属基础题．16．（5分）（2013•松江区二模）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（﹣x）=﹣f（x）可知f（x）为奇函数，利用奇偶函数的概念即可判断设F（x）=x2•f（x）的奇偶性，从而得到答案．答：解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，又F（x）=x2•f（x），∴F（﹣x）=（﹣x）2•f（﹣x）=﹣x2•f（x）=﹣F（x），∴F（x）是奇函数，可排除C，D．又F（x）=x2•f（x）=，∴F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，可排除A，故选B．点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，着重考查函数奇偶性的定义的应用，属于基础题．17．（5分）（2013•松江区二模）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：进行简单的合情推理．专题：计算题．分析：根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，根据“总数÷天数=平均数”进行解答即可得出答案．解答：解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26．其连续5天的日平均温度均不低于22．②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．根据其总体均值为24可知其连续5天的日平均温度均不低于22．③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，根据其总体均值为24可知其连续5天的日平均温度均不低于22．则肯定进入夏季的地区有甲、乙、丙三地．故选D．点评：本题主要了进行简单的合情推理．解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答即可．18．（5分）（2013•松江区二模）如图所示，向量的模是向量的模的t 倍，的夹角为θ，那么我们称向量经过一次（t ，θ）变换得到向量．在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过n ﹣1次变换得到的向量为，其中为逆时针排列，记A i坐标为（a i ，b i ）（i ∈N *），则下列命题中不正确的是（ ）A ．B ． b 3k+1﹣b 3k =0（k ∈N *）C ． a 3k+1﹣a 3k ﹣1=0（k ∈N *） D ． 8（a k+4﹣a k+3）+（a k+1﹣a k ）=0（k ∈N *）考点：命题的真假判断与应用；数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用变换的定义，推导知的向量坐标，然后求出a n ，b n 的表达式，然后进行计算即可． 解答：解：向量，经过1次变换后得到，则，所以，即A 正确．则由题意知=，所以，．所以，所以B 正确．==，所以C 正确．故错误的是D ． 故选D ．点评： 本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（12分）（2013•松江区二模）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且，若，△ABC 的面积，求a+c 的值．考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数． 专题： 解三角形． 分析：由条件可知，根据△ABC 的面积，求得ac=3，再由余弦定理求得a+c 的值． 解答：解：在△ABC 中，由条件可知，，即，∵．∴ac=3．根据，由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，得b 2=（a+c ）2﹣2ac ﹣2accosB ，于是，，∴a+c=4．点评： 本题主要考查余弦定理，两角和差的正弦公式，属于中档题．20．（14分）（2013•松江区二模）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将v=10时W1=96代入即可算出k的值；（2）算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式即可算出当且仅当v=12.5时，总费用W的最小值为2400（元）．解答：解：（1）由题意，设燃料费为，∵当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，∴当v=10时，W1=96，可得96=k×102，解之得k=0.96．（2）∵其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．∴航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为=元因此，航行100海里的总费用为=（0＜v≤15）∵，∴当且仅当时，即时，航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．答：（1）k值为0.96，（2）该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400（元）．点评：本题给出函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．21．（14分）（2013•松江区二模）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中点．（1）求异面直线A1D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线A1B1到平面DAB的距离．考点：异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）可通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求向量的夹角来求异面直线所成的角；或通过作平行线，再解三角形求解；（2）根据转化思想，线面距离转化为点到平面的距离，再利用三棱锥的换底性求解．解答：解：（1）方法一：以A1B1中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．由题意得则设θ为向量的夹角，，∴异面直线A1D与BC所成角的大小为arccos．方法二：取B1B中点E，连结A1E，DE．∵DE∥CB∴∠A1DE为异面直线A1D与BC所成的角．在Rt△A1B1E中，；在Rt△A1C1D中，；．∴异面直线A1D与BC所成角的大小为arccos．（2）∵AB∥A1B1，∴A1B1∥平面ABD，∴A1B1到平面DAB的距离即为A1到平面DAB的距离，设为h．由题意得，等腰△ADB底边AB上的高为，，则，且D到平面ABB1A1的距离为，由得×S△ABD •h=××，∴，∴直线A1B1到平面DAB 的距离为．点评：本题考查异面直线所成的角及线面距离问题．22．（16分）（2013•松江区二模）已知数列的前n项和为S n ，数列是首项为0，公差为的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求证：数列{d k}为等比数列；（3）对（2）题中的d k，求集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用（1）得出b n，从而得出b2k，b2k﹣1，b2k+1依次成递增的等差数列，求出d k=b2k+1﹣b2k﹣1，利用等比数列的定义即可判断出结论；（3）对k分奇数、偶数讨论，利用二项式定理展开，即可得出集合元素的个数．解答：解：（1）由条件得，即，∴．（2）由（1）可知∴，，，由2b2k﹣1=b2k+b2k+1及b2k＜b2k﹣1＜b2k+1得b2k，b2k﹣1，b2k+1依次成递增的等差数列，所以，满足为常数，所以数列{d k}为等比数列．（3）①当k 为奇数时，同样，可得，所以，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为=；②当k为偶数时，同理可得集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为点评：熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的定义、二项式定理、分类讨论的思想方法是解题的关键．23．（18分）（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证：为定值；（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．情形一：双曲线及它的左顶点；情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点．双曲线的标准方程；平面向量数量积的运算；类比推理．考点：专圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分（1）设双曲线C 的方程为，由顶点坐标、渐近线方程及析：a、b、c 的关系求出a、b的值即得．（2）设P（x1，y1），R（x2，y2），当直线l的斜率存在时，设设此直线方程为y=k（x+3），由得（2﹣k2）x2﹣6k2x﹣9k2﹣2=0，再由方程的根与系数关系及为定值；当直线l的斜率不存在时，当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=﹣3，A，B 的坐标为（﹣3，4）、（﹣3，﹣4），代入可求；（3）对于过定点问题，可先假设存在，即假设直线MN过定点，再利用设直线MN的方程为：x=my+t，联立方程组，利用垂直关系求直线MN过定点，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．最后运用类比推理写出类似结论．解解：（1）设双曲线C 的方程为，则a=1，答：又，得，所以，双曲线C 的方程为．（2）当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=﹣3，A，B的坐标为（﹣3，4）、（﹣3，﹣4），，得=0．当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），由得（2﹣k2）x2﹣6k2x﹣9k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，故=．=++9k2+1=0．综上，=0为定值．（3）当M，N满足EM⊥EN时，取M，N关于x轴的对称点M'、N'，由对称性知EM'⊥EN'，此时MN与M'N'所在直线关于x轴对称，若直线MN过定点，则定点必在x轴上．设直线MN的方程为：x=my+t，由，得（b2m2﹣a2）y2+2b2mty+b2（t2﹣a2）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由EM⊥EN，得（x1﹣a）（x2﹣a）+y1y2=0，（my1+t﹣a）（my2+t﹣a）+y1y2=0，即，，化简得，或t=a（舍），所以，直线MN过定点（，0）．情形一：在双曲线Γ：中，若E'为它的左顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（，0）．情形二：在抛物线y2=2px（p＞0）中，若M，N为抛物线上的两点（都不同于原点O），且OM⊥ON，则直线MN过定点（2p，0）．…..（16分）情形三：（1）在椭圆中，若E为它的右顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，则直线MN 过定点（，0）；（2）在椭圆中，若E'为它的左顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN 过定点（，0）；（3）在椭圆中，若F为它的上顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F），且FM⊥FN，则直线MN过定点（0，）；（4）在椭圆中，若F'为它的下顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F'），且F'M⊥F'N，则直线MN过定点（0，）．点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，向量的坐标表示的应用，属于直线与曲线位置关系的综合应用，属于综合性试题．。

2012-2013学年上海市闸北区中考二模数学试卷及答案一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．23-的值是（ ）A ．－9B ．－6C ．9D ．62．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A ．12B ．14C ．baD ．99+a ．3．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．84．一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．某人在调查了本班同学的体重情况后，画出了频数分布图如图一．下列结论中，不正确的是（ ）A ．全班总人数40人B ．学生体重的众数是13C ．学生体重的中位数落在50～55千克这一组D ．体重在60～65千克的人数占全班总人数的1016．将宽为1cm 的长方形纸条折叠成如图二所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ）A ．1B ．2C ．33D ．332二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7． 计算：(01= ．8． 已知函数()11f x x =-，那么f = ．9． 用科学记数法表示：0.00036＝ ．10．因式分解：236a a -= ．11．点()3,1M 和点()3,1N -关于 轴对称．12．不等式221x x +>+的解集为 ． 13x =-的解是 ．14．若1、x 、2、3的平均数是3，这组数据的方差是 ．15．甲有两张卡片，上面分别写着0、1，乙也有两张卡片，上面分别写着2、3，他们各取出一张卡片，则取出的两张卡片上写的数所得之和为素数的概率是▲ ．16．已知点D 、E 分别在△ABC 的边CA 、BA 的延长线上，//DE BC ．:1:3DE BC =，设DA a =，试用向量a 表示向量CD ,CD = ．17．我们假设把两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．如果 Rt △ABC 是奇异三角形，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，,,AB c AC b BC a ===，且b a >，其中，1a = ，那么b = ．18．如图三，在等腰△ABC 中，底边BC 的中点是点D ，底角的正切值是31，将该等腰三角形绕其腰AC 上的中点M 旋转，使旋转后的点D 与A 重合，得到△A′B′C′，如果旋转后的底边B′C′与BC 交于点N ，那么ANB ∠的正切值等于 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-)2....(..........20)1.....(0652222y x y xy x20．已知：如图四，在⊙O 中，M 是弧AB 的中点，过点M 的弦MN 交弦AB 于点C ，设⊙O 半径为4cm，MN =，OH MN ⊥，垂足是点H ． （1）求OH 的长度； （2）求ACM ∠的度数．21．观察方程①：23x x +=，方程②：6+5x x= ，方程③：127x x +=． （1）方程①的根为： ；方程②的根为： ；方程③的根为： ； （2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ； （3）写出第n 个方程（系数用n 表示）： ；此方程解是： ．22．为迎接“五一”节的到来，某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调查，发现每天它的销售如果单价从最高25元／千克下调到x元／千克时，销售量为y千克，已知y与x之间的函数关系是一次函数：（1）求y与x之间的函数解析式；（不写定义域）（2）若该种商品成本价是15元／千克，为使“五一”节这天该商品的销售总利润是200元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元？23．已知：如图五，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，AF BD AE FB DC EC==：（1）若BE平分ABC∠，试说明四边形DBFE的形状，并加以证明；（2）若点G为△ABC的重心，且△BCG与△EFG的面积之和为20，求△BCG的面积．24．已知：如图六，抛物线223y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点是点P ，过点P 作PB x ⊥轴于点B ．平移该抛物线，使其经过A 、B 两点．（1）求平移后抛物线的解析式及其与x 轴另一交点C 的坐标；（2）设点D 是直线OP 上的一个点，如果CDP AOP ∠=∠，求出点D 的坐标．25．已知：如图七，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，6AD =，8AB =，4sinC 5=，点P 在射线DC 上，点Q 在射线AB 上，且PQ CD ⊥，设DP x =，BQ y =． （1）求证：点D 在线段BC 的垂直平分线上；（2）如图八，当点P 在线段DC 上，且点Q 在线段AB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）若以点B 为圆心、BQ 为半径的⊙B 与以点C 为圆心、CP 为半径的⊙C 相切，求线段DP 的长．参考答案二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、1． 8、12+ ． 9、4106.3-⨯． 10、)2(3-a a ． 11、x ． 12、x ＜1 ． 13、x=0． 14、27． 15、43． 16、4-． 17、2． 18、43．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19、（本题满分10分）解：由①得：（x-2y ）(x-3y)=0 ……………………（2分）x-2y=0,x-3y=0 …………………………………（2分）原方程可写为：⎩⎨⎧=+=-200222y x y x ⎩⎨⎧=+=-200322y x y x …………………（2分） 所以，此方程组的解是⎩⎨⎧=2411y x ⎩⎨⎧-=-=2422y x ⎪⎩⎪⎨⎧==22333y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22344y x ………（4分）20、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，）解：联结MO 交弦AB 于点E ………………………（1分） (1)∵OH ⊥MN,O 是圆心 ………………………（1分）∴MH=21MN …………………………………（1分） 又∵MN=34cm ，∴MH=32 cm ………（1分）在Rt △MOH 中，OM=4 cm ∴OH=2)32(42222=-=-MH OM cm ………（1分）(2) ∵M 是弧AB 的中点，MO 是半径 ………………（1分） ∴MO ⊥AB ……………………………………（1分） ∵在Rt △MOH 中，OM=4 cm, OH=2 cm ∴OH=21MO ……………………………………（1分） ∴∠OMH=30° ……………………………………（1分） ∴在Rt △MEC 中, ∠ECM=90°- 30°= 60°…………（1分）21、（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题2分） 解：（1）方程①根：x 1＝1，x 2＝2；…………………………………（2分）方程②根：x 1＝2，x 2＝3；…………………………………（2分） 方程③根：x 1＝3，x 2＝4；…………………………………（2分） （2）方程④：x ＋x20＝9；方程④根：x 1＝4，x 2＝5．………（2分）（3）第n 个方程：x ＋xn n )1(+＝2n ＋1．此方程解：x 1＝n ，x 2＝n ＋1．…（2分） 22、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）（1）设y ＝kx ＋b (k≠0),将（25,30）（24,32）代入得：……………（1分）⎩⎨⎧=+=+32243025b k b k …………………………………（1分） 解得: ⎩⎨⎧=-=802b k …………………………………（2分）∴y ＝－2x ＋80． …………………………………（1分）（2）设这一天每千克的销售价应定为x 元，根据题意得：（x －15）（－2x ＋80）＝200，………………………………（2分） x 2－55x ＋700＝0， ………………………………（1分） ∴x 1＝20，x 2＝35． ………………………………（1分） （其中，x ＝35不合题意，舍去）答：这一天每千克的销售价应定为20元． ……………（1分）23、（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分） （1）四边形DBFE 是菱形………………………………（1分） 证明：∵△ABC 中，FB AF ＝DCBD ＝EC AE， ∴FE ∥BC ，DE ∥AB ………………………………（2分） ∴四边形DBFE 是平行四边形………………………（1分） 又∵BE 平分∠ABC ∴∠FBE ＝∠DBE∵ FE ∥BC ∴∠FEB ＝∠DBE ………………………（1分） ∴∠FBE ＝∠FEB ………………………………（1分） ∴BF=EF ……………………………（1分） ∴四边形DBFE 是菱形（2）∵FE ∥BC ，∴△EFG ∽△BCG …………………（1分）∴BCG EFG S S ∆∆＝2⎪⎭⎫⎝⎛GC FG ……………………（1分） ∵点G 为△ABC 的重心， ∴GC FG ＝21， ……………………（1分）∴BCG EFG S S ∆∆＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛＝41，∴S △BCG ＝4S △EFG ．……（1分）∵S △EFG ＋S △BCG ＝20，∴S △BCG ＝16………………（1分）24、（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）解：（1）∵抛物线y ＝x 2－2x ＋3与y 轴交于 点A ，顶点是点P ，过点P 作PB ⊥x 轴于点B ．∴A （0，3）、P （1，2）、B （1，0） ……………（3分） 设平移后抛物线的解析式为y ＝x 2＋bx ＋c （如图①）， 将点A （0，3）、B （1，0）的坐标代入，得b ＝－4，c ＝3， ……………（2分） ∴平移后抛物线的解析式为抛物线y ＝x 2－4x ＋3……（1分） 令y=0得x 1＝1，x 2＝3∴点C （3，0）． ……………（1分）（2）（如图②），直线OP 过P （1，2）∴直线OP 解析式为y ＝2x ……………（1分） ∵D 是直线OP 上的一个点，且∠CDP ＝∠AOP ， ∠AOP ＝∠OPB, ∴∠OPB=∠CDP（ⅰ）作C D 1⊥x 轴，交直线OP 于点D 1 PB ∥C D 1，OC=3，OB=1，可得C D 1=3BP∴点D 1（3，6） ……………（2分）（ⅱ）∠PD 2C ＝∠OPB, ∠PD 2C ＝∠C D 1P, ∴C D 2=C D 1且CD ＝6． 设点D 2（x ，2x ），则C D 2＝6，即22)02()3(-+-x x ＝6，∴x 1＝3，x 2＝59-， ∴点D 1（3，6）、D 2（－59，－518）．…………（2分）25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 解：（1）作DH ⊥BC 于H （见图①） …………（1分）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°， ∴∠B ＝90°, ∠BHD=90° ∴四边形ABHD 是矩形∴DH=AB ，BH=AD …………（1分） 又∵AD ＝6，AB ＝8 ∴DH=8，BH=6在Rt △DHC 中, sinC ＝54,可设DH=4k, DC=5k ∴DC=10, HC=681022=-，∴BH=HC=6 …………（1分） 又∵DH ⊥BC∴点D 在线段BC 的垂直平分线上 …………（1分） （2）延长BA 、CD 相交于点S （见图②）， …………（1分）∵AD ∥BC 且BC ＝12 ∴AD=21BC ∴21===BC AD SC SD SB SA ∴SD=DC=10，SA=AB=8 ∵DP ＝x ，BQ ＝y, SP=x+10 由△SPQ ～△SAD 得45==SA SD SP SQ ………（1分） ∴)10(45+=x SQ …………（1分）2745)10(4516+-=+-=x x BQ∴所求解析式为2745+-=x y ， …………（1分）定义域是0≤x≤514 …………（1分）(说明：若用勾股定理列出：222222PC BC QB DP AQ AD -+=-+亦可，方法多样．)（3）由图形分析，有三种情况：（ⅰ）当点P 在线段DC 上，且点Q 在线段AB 上时，只有可能两圆外切， 由BQ+CP=BC ，12102745=-++-x x ，解得32=x （ⅱ）当点P 在线段DC 上，且点Q 在线段AB 的延长线上时，两圆不可能相切， …………（2分） （ⅲ）当点P 在线段DC 的延长线上，且点Q 在线段AB 的延长线上时，此时2745-=x BQ , CP = x-10 …………（1分） 若两圆外切，BQ+CP=BC ，即12102745=-+-x x ,解得334=x …………（1分）若两圆内切，BC CP BQ =-，即12)10(2745=---x x12)10(2745=---x x 解得22=x 12)10(2745-=---x x 解得74-=x （不合题意舍去） …………（1分）综上所述，⊙B 与⊙C 相切时，线段DP 的长为32，334或22 ．。

黄浦区二模（理科）数学参考答案一、填空题1. 3i ±2. [)1,2-3. 21y x =-+4. 125. 1216. [)2,+∞7. 8. 2213y x -= 9. 3- 10. 64π 11.35 12. 4313.271014. []3,4二、选择题15. C 16. D 17. B 18. A三、解答题【题目19】【解析】⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高13AA ==∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=22312V =⨯⨯=⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ， ∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角 ∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EF AA ∥，又E 是1A D 的中点，∴EF 是1AA D ∆的中位线， ∴11322EF AA ==在Rt AFB ∆中BF ===∴3tan 2EBF ∠=÷=∴EBF ∠=【题目20】【解析】⑴∵122z z i =，∴2sin 21(sin )x i x x i λ+=+∴2sin 12sin x x xλ=⎧⎪⎨=+⎪⎩， ∵(0,)x π∈，∴6x π=或56π∴1λ=或12λ=-⑵根据题意可知：12(sin ,),(sin ,1),OZ x OZ x x λ==- ∵12OZ OZ ⊥，∴120OZ OZ ⋅=∴2sin cos 0x x x λ+-=∴2sin cos x x x λ=，∴11(1cos22)sin(2)262x x x πλ=-=-+ ∴最小正周期：22T ππ==∵sin x 在3[2,2],22k k k Z ππππ++∈上单调减∴根据复合函数的单调性：32[2,2],622x k k k Z πππππ-∈++∈ ∴5[,],36x k k k Z ππππ∈++∈∴()f x 在5[,],36k k k Z ππππ++∈上单调减【题目21】【解析】将16(2,)5代入函数可得：8a =，∴2218,011()2,141x x xx x f x x +-⎧<<⎪⎪+=⎨⎪≥⎪⎩+⑴当(0,1)x ∈时，288()11x f x x x x==++ ∵12x x+>，∴0()4f x << 当[1,)x ∈+∞时，221242424()1142412114244x x x x x x x x f x +-⋅⋅====+⨯+++ ∵22x ≥ ∴112142x x ⨯+≥，∴0()4f x <≤ ∴当1x =时，有最大值为max (1)4y f ==⑵∵()f x 在(0,1)上单调增，在[1,)+∞上单调减，最大值为4 ∴()1f x =在(0,1)和[1,)+∞各有一解 当(0,1)x ∈时，28()11xf x x ==+，解得：4x = 当[1,)x ∈+∞时，212()141x x f x +-==+，解得：2log (8x =+∴当2[4(8x ∈+时，为有效时间区间∴有效的持续时间为：2log (8(4 3.85+-≈小时【题目22】设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线交抛物线与11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且124y y =-；⑴求抛物线的方程；⑵若2()OE OA OB =+（O 为坐标原点），且点E 在抛物线C 上，求直线l 的倾斜 角；⑶若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k ，求证：当0k 为定值时，12k k +也为定值。

初中数学讲义几何证明题授课教师：教师联系电话：2013-2018年，上海市二模23题共考80道题目，其中考察内容和解题技巧的具体数目及占比如下图；其中相似三角形、比例线段、平行四边形及特殊的平行四边形、全等三角形是重点考察内容。

其中最核心的解题技巧是“等积化等比”、等量替换；“平行+中点”、“平行+角平分线”、“平行+等角”、旋转型、三线合一等上述技巧是非常典型的解题技巧，应该通过练习熟练掌握。

有个一隐形的技巧就是判定后必定用性质（例如：判定完全等用全等的性质、判定完相似用相似的性质、判定完平行四边形用平行四边形的性质…………）常用技巧讲解及练习： 技巧一：“平行+中点”首先，这是一个证明全等的重要方式，另外通过两个三角形全等，我们可以进一步说明该四边形是平行四边形。

例题：例1. （2017 闵行区）如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 为边BC 上一点，点E 为边AB 的中点，过点A 作AF ∥BC ，交DE 的延长线于点F ，联结BF 1) 求证：四边形ADBF 是平行四边形；D例2. （2014 嘉定宝山区）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB =∠ABC =90°，E 是CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F 1) 联结BE ，求证：BE =EF ；2) 联结BD 交AE 于M ，当AD =1，AB =2，AM =EM ，求CD 的长；练习：1. （2016 浦东区）如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边BA 的延长线上，CE 交AD 于点F ，∠ECA =∠D 1) 求证：△EAC ∽△ECB ； 2) 若DF =AF ，求AC:BC 的值；FDB2. （2018 杨浦区）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，点G 为对角线AC 的中点，过点G 的直线EF分别交边ABCD 于点E 、F ，过点G 的直线MN 分别交边AD 、BC 于点N 、M ，且∠AGE =∠CGN 1) 求证：四边形ENFM 是平行四边形；2) 当四边形ENFM 是矩形时，求证：BE =BN ；3. （2015 崇明区）如图，△ABC 中，BC =2AB ，点D 、E 分别是BC 、AC 的中点，过点A 作AF ∥BC交线段DE 的延长线于点F ，取AF 的中点G ，联结DG ，GD 与AE 交于点H 1) 求证：四边形ABDF 是菱形； 2) 求证：HA 2=HE ∙HCBGB技巧二：“平行+等角”“平行+等角”是一个很重要判定平行四边形的方法，切记切记 例题：例3. （2015 奉贤区）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 是对角线AC 上一点，∠DEC =∠ABC ，且CD 2=CE ∙CA1) 求证：四边形ABCD 是平行四边形；2) 分别过点E 、B 作AB 和AC 的平行线交于点F ，联结CF ，若∠FCE =∠DCE ，求证：四边形EFCD 是菱形；例4. （2016 长宁区）如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别在边BC 、AB 上，且DE ∥AB ，∠DEF =∠A 1) 求证：BE =AF ；2) 设BD 与EF 交于点M ，联结AE 交BD 于点N ，求证：BN ∙MD =BD ∙NDBB练习：4. （2013 长宁区）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，D 、E 分别是BC 、BA 的中点，联结DE ，F 在DE 延长线上，且AF =AE1) 求证：四边形ACEF 是平行四边形； 2) 若四边形ACEF 是菱形，求∠B 的度数；技巧三：“平行+角平分线”“平行+角平分线”必出等腰三角形 例题：例5. （2013 闸北区）已知：如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，AF FB=BD DC=AE EC，若BE 平分∠ABC ，说明四边形DBFE 的形状，证明FDB练习：5.（2013 杨浦区）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，联结DE1)求证：四边形ABED是菱形；2)若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由；技巧四：旋转型旋转型涉及到全等和相似的技巧例题：例6.（2014 奉贤区）已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE1)求证：△ABE∽△ACD；2)求证：BC∙AD=DE∙AC；CBD B例7. （2013 奉贤区）如图，已知等边△ABC ，点D 是BC 延长线上的一个动点，以AD 为一边作等边△ADE ，过点E 作BC 的平行线，分别交AB 、AC 的延长线于点F 、G ，联结BE 1) 求证：△AEB ≌△ADC ；2) 如果BC =CD ，判断四边形BCGE 的形状，说明理由；例8. （2016 徐汇区）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在边AC 上，AD =DB =DE ，联结BE ，∠ABC =∠DBE =72° 1) 联结CE ，求证：CE =BE ；2) 分别延长CE 、AB 交于点F ，求证：四边形DBFE 是菱形；FEA练习：6. （2015 宝山区）如图，已知△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点D 在边BC 上，点E 在边AD 的右侧，联结CE 1) 求证：∠ACE =60°；2) 在边AB 上取一点F ，使BF =BD ，联结DF 、EF ，求证：四边形CDFE 是等腰梯形；7. （2014 闵行区）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，分别以AB 、AD 为腰作等腰△ADE 和等腰△ABF ，且顶角∠BAF =∠DAE ，联结BD 、EF 相交于点G ，BD 与AF 相交于点H 1) 求证：BD =EF ；2) 当线段FG 、GH 和GB 满足怎样的数量关系时，四边形ABCD 是菱形，证明之；BB技巧五：等积换等比等积换等比的目的是为了判断使用比例线段继续做还是用相似判定 比例线段：例9. （2017 静安区）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BA 的延长线上，BE =AF ，CF ∥AE ，CF 与边AD 相交于点G 1) 求证：FD =CG ； 2) 求证：CG 2=GF ∙FC例10. （2017 松江区）如图，点D 、E 分别是△ABC 边BC 、AB 上的点，AD 、CE 相交于点G ，过点E作EF ∥AD 交BC 于点F ，且CF 2=CD ∙CB ，联结FG 1) 求证：GF ∥AB ；2) 如果∠CAG =∠CFG ，求证：四边形AEFG 是菱形；BB练习：8. （2016 崇明区）已知正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∠CAB 的平分线分别交BD 、BC 于点EF ，作BH ⊥AF ，垂足为H ，BH 的延长线分别交AC 、CD 于点G 、P 1) 求证：AE =BG ； 2) 求证：GO ∙AG =CG ∙AO ；相似：例11. （2016 虹口区）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，EF 为对角线BD 上两点，且BE =DF ，AF∥EC1) 求证：四边形ABCD 是平行四边形；2) 延长AF ，交边DC 于点G ，交边BC 的延长线于点H ，求证：AD ∙DC =BH ∙DG ；FB练习：9. （2015 静安区）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =BC ，E 是CD 的中点，BE 交AC 于点F ，过点F 作FG ∥AB ，交AE 于点G 1) 求证：AG =BF ；2) 当AD 2=AC ∙CF 时，求证：AB ∙AD =AG ∙AC ；10. （2013 徐汇区）如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE =AB ，点F 在AE的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N 1) 求证：四边形DBEC 是平行四边形；2) 如果AD 2=AB ∙AF ，求证：CM ∙AB =DM ∙CN ；ABA技巧五：等积式的数字替换 例题：例12. （2018 普陀区）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG =EF 1) 求证：四边形ABED 是菱形；2) 联结AE ，AC ⊥ED ，求证：12AE 2=EF ∙ED例13. （2018 松江区）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE 1) 求证：四边形BCEF 是菱形； 2) 求证：BE ∙AE =2AD ∙BC ；B例14.（2017 闵行区）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D为边BC上一点，点E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F，联结BF1)求证：四边形ADBF是平行四边形；2)当∠ADF=∠BDF时，求证：BD∙BC=2BE2；特殊平行四边形类题目菱形例15. （2016 普陀区）如图，已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相较于点O ，BD 平分∠ABC ，过点D 作DF ∥AB 分别交AC 、BC 于点E 、F 1) 求证：四边形ABDF 是菱形；2) 设AC ⊥AB ，求证：AC ∙OE =AB ∙EF ；例16. （2015 普陀区）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，BE 、AD 相交于点G ，EF ∥AD 交BC 于点F ，且BF 2=BD ∙BC ，联结FC 1) 求证：FG ∥CE ；2) 设∠BAD =∠C ，求证：四边形AGFE 是菱形；DBB11. （2015 虹口区）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 为DC 延长线上一点，联结AE ，交边BC于点F ，联结BE 1) 求证：AB ∙AD =BF ∙ED ；2) 若CD =CA ，且∠DAE =90°，求证：四边形ABEC 是菱形.12. （2014 虹口区）已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E与点C 重合，得△GFC . 1) 求证：BE =DG ；2) 若∠BCD =120˚，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论.FE B例题：例17. （2017 普陀区）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，E 是边AD 上一点，BE ⊥AC 交AC 于点F ，BE 、CD 的延长线交于点G ，且∠ABE =∠CAD 1) 求证：四边形ABCD 是矩形；2) 如果AE =EG ，求证：AC 2=BC ∙BG ；D例18.（2017 奉贤区）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，点E是BD的中点，CE的延长线交边AB于点F，且∠CED=∠A1)求证：AC=AF；2)在边AB下方画∠GBA=∠CED，交CF的延长线于点G，联结DG，在图中画出图形，证明四边形CDGB是矩形；练习：13.（2017 长宁区）如图，在△ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在BC边上，联结AD交PQ于点E，且CPCD =QEBD，点G在BC的延长线上，∠ACG的平分线CF交直线PQ于点F1)求证：PC=PE；2)当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形；A14.（2014 徐汇区）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，点E是BC的中点，F是CD上的点，联结AE、EF、AC1)求证：AO∙OF=OC∙OE；2)若点F是DC的中点，联结BD交AE于点G，求证：四边形EFDG是菱形；正方形：例题：例19. （2015 闵行区）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =AD ，点E 在边AB 上，且DE ⊥CD ，DF 平分∠EDC ，交BC 于点F ，联结CE 、EF 1) 求证：DE =DC ；2) 如果BE 2=BF ∙BC ，求证：∠BEF =∠CEF ；例20. （2015 徐汇区）已知：如图，正方形ABCD ，BM 、DN 分别是正方形的两个外角平分线，∠MAN =45°，将∠MAN 绕着正方形的顶点A 旋转，边AM 、AN 分别交两条角平分线于点M 、N ，联结MN1) 求证：△ABM ∽△AND ；2) 联结BD ，当∠BAM 的度数为多少时，四边形BMND 是矩形，证明之；E例21. （2014 浦东区）如图，正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，联结BE ，过点A 作AF ⊥BE ，分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF 1) 求证：BE =BF ；2) 联结BD ，交AF 于点O ，联结OE ，求证：∠AEB =∠DEO ；练习：15. （2015 长宁区）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE =AF ，AC 和EF 交于点O ，延长AC 至点G ，使得AO =OG ，联结EG 、FG 1) 求证：BE =DF ；2) 求证：四边形AEGF 是菱形；BB16. （2015 松江区）如图，已知正方形ABCD 中，点E 在CD 边上，过C 点作AE 的垂线交于点P ，联结DF ，过点D 作DF 的垂线交AF 于点G ，联结BG 1) 求证：△ADG ≌△CDF ；2) 如果E 为CD 的中点，求证：BG ⊥AF ；17. （2013 松江区）已知在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 在边BC 上，以AD 为边作正方形ADEF ，联结CF 、CE 1) 求证：FC ⊥BC ；2) 如果BD=AC ，求证：CD=CE ；FB辅助线：例22. （2015 普陀区）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，BE 、AD 相交于点G ，EF ∥AD 交BC 于点F ，且BF 2=BD ∙BC ，联结FC 1) 求证：FG ∥CE ；2) 设∠BAD =∠C ，求证：四边形AGFE 是菱形；例23. （2018 黄浦区）如图，点E 、F 分别是菱形ABCD 边AD 、CD 的中点 1) 求证：BE =BF ；2) 当△BEF 是等边三角形时，求证：∠D=2∠A ；BC例24. （2016 静安区）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点E 在边CD 上，点F 在BC 延长线上，CF =DE ，AE 的延长线与DF 相交于点G 1) 求证：∠CDF=∠DAE ； 2) 如果DE=CE ，求证：AE=3EG ；例25. （2014 嘉定区）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB =∠ABC =90°，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ； 1) 联结BE ，求证BE =EF ；2) 联结BD 交AE 于M ，当AD =1，AB =2，AM =EM 时，求CD 的长；B例26.（2017 宝山区）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的中点，BE⊥AC，垂足为点F，联结DF1)求证：CF=2AF；2)求tan∠CFD的值；例27.（2015 闵行区）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF1)求证：DE=DC；2)如果BE2=BF∙BC，求证：∠BEF=∠CEF；E例28. （2015 杨浦区）已知：如图，Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∠ABC =∠CDE =90°，且BC 于CD 共线，联结AE ，点M 为AE 的中点，联结BM ，交AC 于点G ，联结MD ，交CE 于点H 1) 求证：MB =MD ；2) 当AB =BC ，DC =DE 时，求证：四边形MGCH 为矩形；例29. （2013 杨浦区）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD ，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，联结DE1) 求证：四边形ABED 是菱形；2) 若∠ABC =60°，CE =2BE ，试判断△CDE 的形状，并说明理由；ACB。

上海市普陀区2013届高三4月质量调研（二模）文科数学考生注意： 2013.41.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数)1(log 2-=x y 的定义域为 . 2. 若53sin =θ且02sin <θ，则θtan = . 3. 若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .4. 若i a z 21+=，i z +=12（表示虚数单位），且21z z 为纯虚数，则实数=a . 5. 若5522105)12(x a x a x a a x ++++=+ ，则=++-++25312420)()(a a a a a a .6. 若函数1)(2++=ax x x f 是偶函数，则函数||)(x x f y =的最小值为 . 7. 若双曲线C :22221x y a b-=的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 .8. 若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为 .9. 若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .10. 若三条直线03=++y ax 02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a 的值为 .11. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若3π=A ，c b 2=，则C = .12. 若圆C 的半径为3，单位向量e所在的直线与圆相切于定点A ，点B 是圆上的动点，则e AB ⋅的最大值为13. 已知函数⎩⎨⎧<≥=0,10,2)(x x x f x ，若)2()1(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是 .14. 若,i j a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,853543211111中第行、第j 列的元素，其中第行的元素均为，第列的元素为n ,,3,2,1 ，且1,11,,i j i j i j a a a +++=+（、1,,3,2,1-=n j ）,则=∞→2,3limn a n n .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 若集合},4|{2R y x y x A ∈==，1{|0}2xB x x-=≥+，则A B = ………………（ ） A . [0,1]. B .(2,1]-. C . (2,)-+∞. D . [1,)+∞.16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ，则1S :2S =………………………………………………………………………………………………( )A . 1:1.B . 2：1.C . 3:2.D . 4:1.17. 若R a ∈，则“关于x 的方程012=++ax x 无实根”是“i a a z )1()12(-+-=（其中表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的…………………………………（ ）A .充分非必要条件.B .必要非充分条件.C .充要条件.D .既非充分又非必要条件.18.如图，△ABC 是边长为的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且++22||||PB PAa PC =2||（a 为常数）.下列结论中，正确的是……………………………………………（ ）A .当10<<a 时，满足条件的点P 有且只有一个.B .当1=a 时，满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时，满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时，满足条件的点P 是有限个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若锐角θ满足31cos =θ，求)2(θf 的值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1B B 、DC 的中点. （1）求三棱锥1E FCC -的体积.（2）求异面直线1D F 与1A E 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. ABCP第18题第19题1C1D21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=（1）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内有解，求实数m 的取值范围.、22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，方向向量为),1(k d =的直线经过椭圆191822=+y x 的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点（1）若点A 在x 轴的上方，且||||OF OA =，求直线的方程； （2）若1=k ，)0,6(P ，求△PAB 的面积；（3）当k （R k ∈且0≠k ）变化时，试求一点)0,(0x C ，使得直线AC和BC 的斜率之和为0.第22题Oxy F23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：①122++<+n n n a a a ； ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. （1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6sin 2πn b n =（5,4,3,2,1=n ），判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”；（2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ，473=S ，求证：数列}{n S 具有“性质m ”；（3）数列}{n d 的通项公式nn n n t d 21)23(+-⋅=（*N n ∈）.对于任意]100,3[∈n 且*N n ∈，数列}{n d 具有“性质m ”，求实数的取值范围.上海市普陀区2013年高考二模数学试题（文科）参考答案一.填空题1.}1|{>x x2.43- 3.=-)(1x f 2x （0≥x ）4. 2- 5.243- 6.2 7.152022=-y x8.549.6 10.0 11. 6π12.3 13.121-<<-a 14.21二.选择题题 号 15 16 1718答 案A CB C三.解答题19.[解]（1）由题意可得2=A ……………………………………………………………1分π22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-= (5)分函数)321cos(2)(π-=x x f ...... (6)分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ…… ………………………………8分)2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=……………………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………12分 20.[解]（1）=-1FCC E V 1ECC F V -…………………………1分 由题意得⊥FC 平面1ECC 且1=FC …………………………3分222211=⨯⨯=∆ECC S …………………………5分 CD1A1B1C1DEF1ECC F V -322131311=⨯⨯=⨯⨯=∆FC S ECC =-1FCC E V 32…………………………6分 （2）取AB 的中点为G ，连接G A 1,GE由于F D G A 11//,所以直线G A 1与E A 1所成的锐角或直角即为异面直线E A 1与F D 1所成的角……9分 在GE A 1∆中，51=G A ,2=GE ,51=E A由余弦定理得，54552255cos 1=⨯⨯-+=∠E GA 0>……12分 所以54arccos1=∠E GA 即异面直线E A 1与F D 1所成的角的大小为54arccos …………14分21. 解：（1）)()(2)(x g x f x F +=xx a a -++=11log )1(log 2（0>a 且1≠a ） ⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，所以函数)(x F 的定义域为)1,1(-……2分令)(x F 0=，则011log )1(log 2=-++xx a a …（*） ……3分 方程变为)1(log )1(log 2x x a a -=+x x -=+1)1(2，即032=+x x ……………………5分解得01=x ，32-=x ，经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x 即函数)(x F 的零点为0.……6分 （2）xx m aa -++=11log )1(log 2（10<≤x ） =)4141(log 112log 2--+-=-++x x x x x a a ……8分4141--+-=xx a m ，设]1,0(1∈=-t x ……9分 函数tt y 4+=在区间]1,0(上是减函数……………………11分 当1=t 时，此时1=x ，5min =y ，所以1≥m a ………………12分①若1>a ，则0≥m ，方程有解…………………………13分 ②若10<<a ，则0≤m ，方程有解.…………………………14分22.【解】（1）由题意182=a ，92=b 得3=c ，所以)0,3(F ………………………………1分||||OF OA =且点A 在x 轴的上方，得)3,0(A ………………………………2分1-=k ，)1,1(-=d ……………………………………3分直线：113--=-y x ，即直线的方程为03=-+y x …………………………4分 （2）设),(11y x A 、),(22y x B ，当1=k 时，直线：3-=x y …………5分将直线与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+3191822x y y x ，……………………7分 消去x 得，0322=-+y y ，解得31-=y ，12=y ……………………9分4||21=-y y ，所以64321||||2121=⨯⨯=-⨯⨯=∆y y PF S PAB ……10分（3）假设存在这样的点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0,由题意得，直线：)3(-=x k y （0≠k ）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(191822x k y y x ，消去y 得，0)1(1812)21(2222=-+-+k x k x k ……12分 0>∆恒成立，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+2221222121)1(182112k k x x k k x x ……13分011x x y k AD -=，022x x y k BD -=……14分+-=+011x x y k k BD AD 022x x y -0))(())(3())(3()3()3(0201012021022011=----+--=--+--=x x x x x x x k x x x k x x x k x x x k所以06))(3(2021021=+++-kx x x x k x kx ……15分0621)3(1221)1(36020322=+++-+-kx k x k k k k解得60=x ，所以存在一点)0,6(，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.…16分 23.解：（1）在数列}{n a 中，取1=n ，则23122a a a ==+，不满足条件①，所以数列}{n a 不具有“m 性质”；……2分在数列}{n b 中，11=b ，32=b ，23=b ，34=b ，15=b ，则2312323b b b =<=+，3422432b b b =<=+，4532323b b b =<=+，所以满足条件①；26sin 2≤=πn b n （5,4,3,2,1=n ）满足条件②，所以数列}{n b 具有“性质m ”。

上海市16区2013届高三二模数学理试题分类汇编三角函数一、填空、选择题1、（2013届长宁、嘉定区二模）函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是__________．答案：π2、（2013届奉贤区二模）函数x x f 2sin 2)(=的最小正周期是_____________ 答案：π3、（2013届虹口区二模）若22παπ≤≤-，πβ≤≤0，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0cos )2(3=++-m ββπ，则)cos(βα+值为（ ）．.A 1- .B 0 .C21.D 1 答案：B4、（2013届黄浦区二模）在ABC ∆中，120,5,7A AB BC ∠===，则sin sin BC的值为___________. 答案：355、（2013届静安、杨浦、青浦、宝山区二模）已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4t a n (πα-的值等于………………………（ ） （A ）71． （B ）71- ． （C ） 7． （D ）7-． 答案：D6、（2013届闵行区二模）设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边长依次为a b c 、、，若ABC ∆的面积为S ，且22()S a b c =--，则sin 1cos AA=- ．答案：47、（2013届浦东新区二模）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、，若41cos ,7,2-==+=B c b a ，则=b .答案：48、（2013届普陀区二模）若53sin =θ且02sin <θ，则=2tan θ. 答案：39、（2013届徐汇、松江、金山区二模）已知(,0)2πα∈-，且4c o s 5α=，则t a n 2α=___________.答案：247-10、（2013届闸北区二模）函数)02(sin 2<<-=x x y π的反函数为 ．答案：)10)(arcsin(<<-=x x y11、（2013届长宁、嘉定区二模）已知135sin ,53)cos(-==-ββα，且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈，则______sin =α．答案：653312、（2013届奉贤区二模）下列命题中正确的是（ ） （A ）函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数 （B ）函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数（C ）函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数 （D ）函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数 答案：C13、（2013届黄浦区二模）已知4cos25θ=，且sin 0θ<，则tan θ的值为 A ．2425- B. 247± C. 247- D. 247答案：C14、（2013届闵行区二模）设函数()|sin |cos 2,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是 ( )（A ）1-． （B ）0． （C ）12． （D ）98． 答案：B15、（2013届普陀区二模）函数2sin 2cos y x x =+的定义域为2,3πα⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域为]2,41[-，则α的取值范围是 . 答案：]32,0[π二、解答题1、（2013届长宁、嘉定区二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列．（1）求证：03B π<≤；（2）求1sin 2sin cos By B B+=+的取值范围．解：（1）由已知，ac b =2，所以由余弦定理，得acacc a ac b c a B 22cos 22222-+=-+= ………………2分 由基本不等式ac c a 222≥+，得2122cos =-≥ac ac ac B ．………………4分所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,21cos B ．因此，30π≤<B ．………………6分（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=++=4sin 2cos sin cos sin )cos (sin cos sin 2sin 12πB B B B B B B B B B y ， ………………9分由（1），30π≤<B ，所以12744πππ≤+<B ，所以⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,224sin πB ，所以，BB By cos sin 2sin 1++=的取值范围是(]2,1． ………………12分2、（2013届奉贤区二模）位于A 处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A 相距海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+()00450<<θ的C 处，135=AC ．在离观测站A 的正南方某处E ，13132cos -=∠EAC （1）求θcos ； （2）求该船的行驶速度v （海里/小时）；（1）13133cos 1sin ,13132cos 2=∠-=∠∴-=∠EAC EAC EAC 2分 EAC EAC EAC ∠⋅+∠⋅=⎪⎭⎫⎝⎛∠-=sin 43sin cos 43cos 43cos cos πππθ=262651313322)13132(22=⨯+-⨯- 6分 （2）利用余弦定理55,125cos 2222=∴=⋅⋅-+=BC AC AB AC AB BC θ 10分该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为55海里， 该船的行驶速度5153155==v （海里/小时） 14分3、（2013届静安、杨浦、青浦、宝山区二模）如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ， 过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ．（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设θ=∠COP ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos2222πPC OC PC OC OP ⋅-+= 得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ． （2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP= ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCPOC=-)3sin(34θπ-=∴OC ． 解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=， 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅= )sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33.BA解法二：212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ，又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC 当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP S PC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 4、（2013届闵行区二模）如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上． （1）请你在下列两个小题中选择一题作答．．．．．．即可： ①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ的表达式，并写出θ的范围． ②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 的表达式，并写出x 的范围． （2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．[解]①由BOC θ∠=，得20cos ,20sin OB BC θθ==，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2分 所以()2800sin cos 400sin 2S g AB BC OB BC θθθθ==⋅=⋅== 即()400sin 2g θθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭………………………………4分 ②连接OC，则OB (020)x << ……………………2分所以()2S f x AB BC ==⋅=(020)x <<即()2f x =(020)x <<． ……………………4分 （2）①由()400sin 2S g θθ== 得当sin 21θ=即当4πθ=时，S 取最大值2400cm ．…… 4分此时20sin4BC π==，当BC取时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．… 2分②22()2(400)400f x x x ==≤+-=，当且仅当22400x x =-，即x =时，S 取最大值2400cm ．……4分， 当BC取时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2400cm ．… 2分5、（2013届普陀区二模）已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求)2(θf 的值. 解：（1）由题意可得2=A ……………………………………………………………1分π22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-= ………………………………………5分函数)321cos(2)(π-=x x f …… ………………………………………………6分由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ…… ………………………………8分)2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=…………………………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=………………12分 第19题6、（2013届徐汇、松江、金山区二模）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且sin cos cos sin 2A C A C +=,若b =ABC ∆的面积ABC S ∆=a c +的值.解：由条件可得sin()2A C +=，……………2分即sin B =，……………4分 1sin 2ABC S ac B ∆=3.ac ∴=………………………………8分 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,得22()22cos ,b a c ac ac B =+--…………10分 于是，217()23(1).2a c =+-⋅+4a c ∴+=. ………………………12分。

y xOC BA上海2013各区二模24题汇编 1．（本题满分12分）如图，直线AB 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，O 是坐标原点，A （-3，0）且sin∠ABO=53，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 、B 、C 三点，C （-1，0）.（1）求直线AB 和抛物线的解析式； （2）若点D （2，0），在直线AB 上有点P ，使得△ABO 和 △ADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以A 为圆心，AP 长为半径画⊙A ，再以D 为圆心，DO 长为半径画⊙D ，判断⊙A 和⊙D 的位置关系，并说明理由.2.将抛物线2y x =-平移，平移后的抛物线与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，（1）求平移后的抛物线的表达式和点D 的坐标； （2）ACB ∠与ABD ∠是否相等？请证明你的结论；（3）点P 在平移后的抛物线的对称轴上，且CDP △与ABC △相似，求P 的坐标。

x　y( 第24题图 )O3．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知：直线24y x=-+交x轴于点A，交y轴于点B，点C为x轴上一点，AC=1，且OC＜OA．抛物线2 (0)y ax bx c a=++≠经过点A、B、C．（1）求该抛物线的表达式；（2）点D的坐标为（-3，0），点P为线段AB上一点，当锐角∠PDO的正切值为12时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，该抛物线上的一点E在x轴下方，当△ADE的面积等于四边形APCE的面积时，求点E的坐标．x　y( 第24题图 )O4．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）已知：如图六，抛物线y＝x2－2x＋3与y轴交于点A，顶点是点P，过点P作PB⊥x轴于点B．平移该抛物线，使其经过A、B两点．（1）求平移后抛物线的解析式及其与x轴另一交点C的坐标；（2）设点D是直线OP上的一个点，如果∠CDP ＝∠AOP，求出点D的坐标．yxOAPB C(图六)5．（本题满分12分）抛物线bx ax y +=2（0≠a ）经过点)491(，A ，对称轴是直线2=x ，顶点是D ，与x 轴正半轴的交点为点B ．（1）求抛物线bx ax y +=2（0≠a ）的解析式和顶点D 的坐标； （6分） （2）过点D 作y 轴的垂线交y 轴于点C ，点M 在射线BO 上，当以DC 为直径的⊙N 和以MB 为半径的⊙M 相切时，求点M 的坐标． （6分）6. 如图，抛物线c bx x y -+=2经过直线3-=x y 与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另 一个交点为C ，抛物线的顶点为D . （1）求此抛物线的解析式（4分）； （2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆∶ACD S ∆=5∶4的点P 的坐标（5分）；（3）点M 为平面直角坐标系上一点，写出使点M 、A 、 B 、D 为平行四边形的点M 的坐标（3分）.xy O C BDA 1 第247．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）已知：如图，点A （2，0），点B 在y 轴正半轴上，且OA OB 21=．将点B 绕点A 顺时针方向旋转 90至点C ．旋转前后的点B 和点C 都在抛物线c bx x y ++-=265上． （1） 求点B 、C 的坐标； （2） 求该抛物线的表达式；（3） 联结AC ，该抛物线上是否存在异于点B 的点D ，使点D 与AC 构成以AC 为直角边的等腰直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的D 点坐标，如果不存在，请说明理由．第24题图8．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，AH =5，CD =54，点E 在⊙O 上，射线AE 与射线CD 相交于点F ，设AE =x ，DF =y ． （1） 求⊙O 的半径；（2） 如图，当点E 在AD 上时，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3） 如果EF =23，求DF 的长．9. （本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）已知二次函数c bx x y ++-=2的图像经过点P （0,1）与Q （2,-3）. （1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形.①求正方形ABCD 的面积；②联结PA 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△PAD ∽△PEA .（第24题AF EDHBCO10．（本题满分12分，每小题4分）如图，已知二次函数mx x y 22+-=的图像经过点B （1,2），与x 轴的另一个交点为A ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ，过点B 作直线BM ⊥x 轴垂足为点M ．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线BM 上有点P （1，23），联结CP 和CA ，判断直线CP 与直线CA的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E ，使得以A 、C 、P 、E 为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由。