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14.12 博弈论讲义选择理论穆罕默德·伊尔蒂兹(讲座2)1 选择理论基础我们来考虑由所有选择组成的集合X。
选择是互相排斥的，即一个人不能同时做出两个不同的选择。
我们也会穷尽集合中所有可能的选择，这样参与者的选择总能被明确定义。
注意这只是一个建模的问题。
比如，假设我们拥有咖啡和茶两个选项，我们将选择定义为：C = 只要咖啡而不要茶，T = 只要茶而不要咖啡，CT = 既要咖啡又要茶，NT = 既不要咖啡也不要茶。
在集合X上建立一种关系。
在X上建立的关系是X×X 的一个子集。
当且仅当对于任意的x，y ∈ X,要么x y要么y x 时，我们说关系是完全的。
当且仅当对∈，于任意的x, y, z X[x y 且y z]⇒x z时，我们说关系是可传递的。
当且仅当一种关系既是完全的又是可传递的时，它就是一种偏好关系。
在给定偏好关系的前提下，我们可以定义严格偏好关系，即x y [x y 且 y x]，以及无差异关系～，即x～ y [x y 且y x]。
偏好关系可以用一个效用函数来表示，定义如下：。
以下定理进一步说明，能够用效用函数表示的关系必须是一种偏好关系。
定理1 设X为有限集。
一种关系能用一个效用函数表示的充分必要条件是，它既是完全的又是可传递的。
并且，如果表示，且是一个严格递增函数，那么也表示。
根据上述结论，我们称这些效用函数为序数效用函数。
为了运用选择的序数理论，我们应该了解参与者对各种选择的偏好。
正如我们在上次讲座里所看到的那样，在博弈论中，参与者会在他可能的各种策略中做出选择，而他的策略偏好又有赖于其他参与者所选择的策略。
一般来说，一个参与者并不知道其他参与者选择何种策略。
因此，我们需要一个不确定条件下的决策理论。
2 不确定条件下的决策我们考虑一个由奖金构成的有限集Z，以及由Z上所有概率分布构成的集合P，其中。
我们将这些概率分布称为博彩。
博彩可以用一个树形图来描述。
例如，在图1中，博彩1（lottery 1）描述了这样一种情景：参与者以1/2的概率（比如抛硬币得正面）获得10美元；以1/2的概率（比如抛硬币得到的是反面）获得0美元。
第四讲 效用函数与风险升水第一节 不确定状态的描述一、两个变量1、结果：12(,,)n x x x （非现金变量）12(,,)n y y y （钱数）2、概率分布121(,,) 1 0(1,2,)nn i i i p p p p p i n ==≥=∑二、彩票（Lottery ）/赌局（gamble ）:单赌与复赌 单赌：11221(,,,)1,0ns n n i i i L p a p a p a p p ===≥∑单赌：结果与出发点只有一个环节复赌：单赌当中的结果又是一张彩票（compound Lottery ） 复赌公理：如果12324(1)p p p p p =⋅+-⋅，则12L L =三、不确定条件下选择公理公理1：[连续性公理]如A B C ≥≥，则(0,1)p ∍∈使得(1)~p A p C B ⋅+-⋅注意：A 与B 相差很大（1000$—10$）如A=2$，B=1$，理性条件下则公理一般不成立 公理2：[独立性公理]如A B ≥，考虑“C ”则对(0,1) (1)(1)p pA p C pB p C ∀∈+-≥+-对,A B 之间偏好关系不受独立于（,A B ）外的事件C 的影响。
意味着，偏好关系不随时间，地点等而改变。
可以推广到b 11(,,), (,,) a a a b bn n p p p p ζζ== c 12(,,)n x x x ζ= 在a ζ与b ζ间是相同的，a b c ζζζ>>连续性：(0,1)α∃∈，使(1)~a c b αζαζζ+-独立性：如a b ζζ≥，则(1)(1)a c b c αζαζαζαζ+-≥+-公理3：［次序完全公理］如存在A 与B ，偏好A B ≥，或者B A ≥，或者~A B 同时，如A B ≥，并且B C ≥，则A C ≥第二节 期望效用理论一、期望 1122()n n E x p x p x p x =+++问题：有些事件()E x =∞，但()V x <∞二、圣彼得堡悖论（1738）Daniel BernoulliNicolas Bernoulli(1717) 一枚均质硬币（12）获利赌局-1 2n n ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩如掷一次,第一次就背面朝上,获1元 如 二 2 如 三 4 如11111()2()222n n n E x ∞-===++=∞∑ 实际发现()20v x <D ．Bernoulli ():E x 客观的，评价可以一致； ()V x ：主观的，人与人不同。
