中考数学常考易错点4.3等腰三角形与直角三角形

考点14 等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A ∠-︒．1．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）A ．55°，55°B ．70°，40°或70°，55°C ．70°，40°D ．55°，55°或70°，40° 【答案】D【分析】先根据等腰三角形的定义，分70︒的内角为顶角和70︒的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．【详解】（1）当70︒的内角为等腰三角形的顶角,则另外两个内角均为底角，它们的度数为18070552︒-︒=︒ （2）当70︒的内角为等腰三角形的底角，则另两个内角一个为底角，一个为顶角;底角为70︒，顶角为180707040︒-︒-︒=︒综上，另外两个内角的度数分别是55,55︒︒或70,40︒︒故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．2．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的段GN 的比例中项，即满足12MG GN MN MG ==，后人把12这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE的面积为（ ）A ．10-B ．5CD ．20-【答案】A【分析】作AF ⊥BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出BE 、CD 的长度，得到ADE 中DE 的长，利用三角形面积公式即可解题.【详解】解：过点A 作AF ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BF=12BC=2，在Rt ABF ==∵D 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴CD BC =即142CD =，解得CD=2，同理BE=2，∵CE=BC -BE=4-(2)=6-DE=CD -8，∴S △ABC=12DE AF ⨯⨯=()182⨯10- A. 【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE 和AF 的长是解题的关键。

第14讲 等腰三角形考点1等腰三角形1．等腰三角形周长为18，其中一边长为4，则其它两边长分别为（ ）A ．4，10B ．7，7C ．4，10或7，7D ．无法确定【分析】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．【解答】解：当腰为4时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4＝10，∵4+4＝8＜10，∴这样的三边不能构成三角形．当底为4时，腰为（18﹣4）÷2＝7，∵0＜7＜7+4＝11，∴以4，7，7为边能构成三角形∴其它两边长分别为7，7．故选：B ．2．若等边三角形ABC 的边长为a ，且三角形内一点P 到各边的距离分别是h a ，h b ，h c ，则h a +h b +h c ＝ ．【分析】本题考查的是等边三角形的性质．分别连接P A 、PB 、PC 将△ABC 分成3个小三角形，再根据等边△ABC 的面积等于三个小三角形的面积之和，就可以得出答案．【解答】解：设△ABC 的为h ，根据等边三角形的性质h ＝32a ， 分别链结P A ，PB ，PC ，将△ABC 分割成△APB 、△APC 、△BPCS △ABC ＝S △APB +S △APC +S △BPC ＝a •（h a +h b +h c ）•12＝12ah 那么，h a +h b +h c =32a 3．如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，MN 经过点O ，与AB ，AC 相交于点M ，N ，且MN ∥BC ．若AB ＝7，AC ＝6，那么△AMN 的周长是 ．【分析】根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO＝MB，NO ＝NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝7，AC＝6，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝6+7＝13．故答案为：13．4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是底边BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF．（1）下面的证明过程是否正确？若正确，请写出①、②和③的推理根据．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．①在△BDE和△CDF中，∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF．②∴DE＝DF．③（2）请你再用另法证明此题．【分析】（1）根据等边对等角的性质和全等三角形的判定方法判断解答；（2）连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质证明．【解答】（1）解：证明过程正确．推理依据：①等边对等角．②AAS．③全等三角形的对应边相等；（2）证明：连接AD，∵AB＝AC，D是底边BC的中点，∴AD平分∠BAC（三线合一），又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．精选例题，错中淘金易错一等腰三角形的分情况讨论思想典例1等腰三角形的两条边分别为6和8，则等腰三角形的周长是（）A．20 B．22 C．20或22 D．不确定[易错分析] 腰长没有说是6还是8，需要分类讨论，有的学生易漏一种情况。

中考讲义：等腰三角形与直角三角形，解直角三角形第一部分：等腰三角形一．基础知识1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形．3．等腰三角形的性质：(1)两腰相等．(2)两底角相等．(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．4．等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．5．等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60．6．等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．7．等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等．等腰直角三角形的判定：(1)顶角为90的等腰三角形．(2)底角为45的等腰三角形．8.等腰三角形的两大特性。

9.构造等腰三角形（两圆一线找等腰）。

第二部分：直角三角形基础知识1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为a 、b 斜边为c 则a 、b 、c 满足 逆定理：若一个三角形的三边a 、b 、c 满足 则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合 2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据， 3、勾股数，列举常见的勾股数三组 、 、 】 2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质： ⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对 边是 边的一半 3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是 的三角形是直角三角形 ⑵有两个角 的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】第三部分，解直角三角形基础知识锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、都叫做∠A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°sinα 21 22 23cos α 23 2221tan α33134、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）弦切关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（ 解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2013年中考数学专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【赵老师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【赵老师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【赵老师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例 1 （2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．解：（1）当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=12AC=12×8=4；（2）当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=43；（3）当AC=BC时，则AD=4，∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=433；故答案为：433或43或4。

第14讲 等腰三角形和直角三角形☞【基础知识归纳】☜☞归纳 一、等腰三角形1.等腰三角形的定义： 有两条边相等 的三角形是等腰三角形．2.等腰三角形的性质①等腰三角形两个底角 相等 ；②等腰三角形 顶角的平分线 、 底边上的中线 、 底边上的高 互相重合， 简称：“三线合一”③等腰三角形是轴对称图形，有 1 条对称轴． 3.等腰三角形的判定方法①定义判定：一个三角形中，如果有两条边 相等 ，那么这个三角形是等腰三角形． ②判定定理：等角对等边；即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边 相等 ．4.等边三角形的性质①等边三角形的各角都 相等 ，并且每—个角都等于 60 度； ②等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴． 5.等边三角形的判定①三边都 相等 的三角形是等边三角形； ②三个角都 相等 的三角形是等边三角形； ③有一个角等于 60 度的等腰三角形是等边三角形.☞归纳二、直角三角形 1.直角三角形的定义 有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形 2.直角三角形的性质①直角三角形的两个锐角 互余 ；②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的 一半 ； ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 一半 3.直角三角形的判定①两个内角和为 90° 的三角形是直角三角形；②一边上的中线等于这条边的 一半 的三角形是直角三角形 4.勾股定理及逆定理【勾股定理】如果直角三角形两条直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222a b c += 【逆定理】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是 直角 三角形☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一、等腰三角形【例1】(2016贺州) 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）A. 12B. 16C. 20D. 16或20【答案】C【分析】当等腰三角形的三边为4, 4, 8时，因为4+4=8，不符合题意，舍去；当等腰三角形的三边为4, 8, 8时，因为4+8>8符合题意，此时它的周长为4+8+8=20【例2】（2016邵阳）如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A. AC＞BCB. AC=BCC.∠A＞∠ABCD. ∠A=∠ABC 【答案】A【解答】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠ABC＞∠A，所以C选项和D选项错误；∴AC＞BC，所以A选项正确；B选项错误．【举一反三】1. (2016湘西州) 一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A. 13cmB. 14cmC. 13cm或14cmD. 以上都不对【答案】c【分析】当等腰三角形的三边为4, 4, 5时，因为4+4>5，符合题意，此时它的周长为4+4+5=13cm;当等腰三角形的三边为4, 5, 5时，因为4+5>5符合题意，此时它的周长为4+5+5=142. (2016通辽) 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为【答案】69°或21°【解答】分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．3. (2016淮安) 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的 周长是 【答案】10【分析】当等腰三角形的三边为2,2,4时，因为2+2=4，不符合题意，舍去；当等腰三角形的三边为2,4,4时，因为2+4>4符合题意， 此时它的周长为2+4+4=104. (2016随州) 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程28150x x -+=的根， 则该等腰三角形的周长为 【答案】19或21或23【解答】解方程28150x x -+=得x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21； 当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去； 当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19； 综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，5. (2016安顺) 已知实数,x y 满足480x y --=，则以,x y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对 【答案】B【分析】根据非负数的意义列出关于x 、y 的方程并求出x 、y 的值，再根据x 是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得4080x y -=⎧⎨-=⎩，解得48x y =⎧⎨=⎩， （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．6. (2016荆门) 已知3是关于x 的方程2(1)20x m x m -++=的一个实数根，并且这个 方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 【答案】D【分析】把x=3代入已知方程求得m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为27120x x -+=，解得123,4x x ==，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11； ②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10． 综上所述，该△ABC 的周长为10或11．7. (2016荆门) 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB=5，AD=3， 则BC 的长为（ ）A. 5B. 6C. 8D. 10 【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到AD ⊥BC ，BD=CD ，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∵AB=5，AD=3，∴22AB AD -，∴BC=2BD=8，☺ 题型二、直角三角形【例3】(2015毕节) 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）3,4,523【答案】B【分析】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是 直角 三角形；因为 22212)3)+=，所以能够组成直角三角形【例4】(2016南充) 如图，在Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 1+3 【答案】A【解析】如图，∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB, 又∵BC=1 ∴AB=2BC=2．又∵点D 、E 分别是AC 和BC 的中点， ∴DE 是△ACB 的中位线，∴DE=12AB=1．故选A ．【举一反三】1. (2015来宾) 下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ）A. 1, 2, 3B. 2, 3, 4C. 4, 5, 6D. 1,2,3 【答案】D【分析】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是 直角 三角形；因为 2221(2)(3)+=，所以能够组成直角三角形2. (2016甘孜州) 直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3， 则此直角三角形的面积为 ． 【答案】6【分析】∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，∴另一直角边长为4．该直角三角形的面积S =12×3×4=63. (2016泉州) 如图3，在Rt △ABC 中，E 是斜边AB 的中点，若AB=10，则CE= ．图3 图4 【答案】5【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE= 12AB=1102⨯=5.4. (2016百色) 如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ） A. 6 B. 62 C. 63 D.12 【答案】A【解答】∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=12sin30°=12×12=6，5. (2016深圳龙岭期中) 如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE∥BC， 则下列结论中不正确的是（ ）A. AD=AEB. DB=ECC. ∠ADE=∠CD. DE=12BC 【答案】D【分析】由DE 与BC 平行，得到△ADE ∽△ABC ，由相似得比例，根据AB=AC ，得到AD=AE ，进而确定出DB=EC ，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C， 而DE 不一定为中位线，即DE 不一定为BC 的一半，即可得到正确选项．☞【巩固提升自我】☜1. (2014广东) 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17 【答案】A【分析】①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．2. (2015广州) 已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的 两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 【答案】B【分析】解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，解得：m=4．当m=4时，原方程为28120x x -+=， 解得：122,6x x ==，∵2+2=4＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2， ∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14．3. (2016广州) 如图3，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是AC 的垂直平分线， DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD=（ ）图3 图4A. 3B. 4C. 4.8D. 5【答案】D【解答】∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴222BC AC AB +=，∴△ABC 是直角三角形， ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE=EC=4，DE ∥BC ，且线段DE 是△ABC 的中位线，∴DE=3， ∴AD=DC=22AE DE +=5．4. (2015南宁) 如图4，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠B=70°，则∠C 的度数为（ ） A. 35° B. 40° C . 45° D . 50° 【答案】A若测得AM 的长为1.2km ，则M ，C 两点间的距离为（ ）图5 图6A. 0.5kmB. 0.6kmC. 0.9kmD. 1.2km【答案】D解：∵△ABD 中，AB=AD ，∠B=70°， ∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°， ∵AD=CD ，∴∠C=（180°﹣∠ADC ）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°【分析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=12AB=AM=1.2km6. (2015丹东) 如图6，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A. 15°B. 17.5°C. 20°D. 22.5°【答案】A解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=12∠A=12×30°=15°7. (2016海南) 如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD 对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A. 6B. 62332【答案】D解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴×3=。

2023年中考数学一轮复习备考第18讲等腰三角形与直角三角形考点清单考点1 等腰三角形的性质与判定性质(1)两底角相等，即∠B＝∠C(等边对等角)；(2)两腰相等，即AB＝AC；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即AD所在的直线；(4)“三线合一”(即顶角的①、底边上的中线和底边上的高互相重合)判定(1)两边相等的三角形是等腰三角形；(2)②相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)周长、面积周长：C＝a＋2b；面积：S＝③(其中a是底边长，b是腰长，h是底边上的高)【易错警示】等腰三角形中的分类讨论：(1)当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；(2)当腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验．考点2 等边三角形的性质与判定性质(1)等边三角形的三条边相等，即AB＝BC＝AC；(2)等边三角形的三个内角相等且每一个角都等于④，即∠B＝∠C＝∠BAC＝60°；(3)等边三角形是轴对称图形，有⑤条对称轴；(4)等边三角形“三线合一”；(5)等边三角形的内心、外心重合判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是⑥的等腰三角形是等边三角形周长、面积周长：C＝3a；面积：S＝12ah＝34a2(h＝32a)(其中a是边长，h是任一边上的高)考点3 直角三角形的性质与判定性质(1)两锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90°；(2)斜边上的中线等于斜边的⑦；(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑧；(4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么⑨；【拓展】在直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于⑩；外接圆半径R＝c2，内切圆半径r＝12(a＋b－c)判定(1)有一个角为⑪的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足⑫，那么这个三角形是直角三角形；【拓展】一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形周长、面积周长：C＝a＋b＋c；面积：S△ABC＝12ab＝12ch(其中a，b分别为两个直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高)考点4 等腰直角三角形的性质与判定性质(1)两直角边相等，即AC＝BC；(2)两锐角相等且都等于45°；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即CD所在的直线；(4)“三线合一”判定(1)顶角为⑬的等腰三角形是等腰直角三角形；(2)有两个角为⑭的三角形是等腰直角三角形；(3)有一个角为⑮的直角三角形是等腰直角三角形；(4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形周长、面积 周长：C ＝2a ＋c ；面积：S ＝12a 2＝12ch ＝22ah (其中a 为直角边长，c 为斜边长，h 为斜边上的高)强 化 演 练基础练1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点C 作 CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F .若DF 的长为23，则AE 的长为( )A ．2B ．2C ．5D ．2 52．已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．8B ．6或8C ．7D ．7或83．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥AC 交BC 于点D ，则AD 的值为( )A ．125B ．154C ．5D ．2034．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为( )A ．30°B ．20°C ．25°D ．15°5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB ＝AC ，顶角∠BAC ＝120°，跨度BC ＝10 m ，AD 为支柱(即底边BC 上的中线)，两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE ＋DF 等于( )A ．10 mB ．5 mC ．2.5 mD ．9.5 m6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E ，点F 为BC 的中点，连接EF .若BE ＝AC ＝2，则△CEF 的周长为( )A ．3＋1B ．5＋3C ．5＋1D ．47．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A ，B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C , 使得△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点C 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在△ABC 中AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .若∠C ＝40°，则∠AFE 的度数为( )A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°9．如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD ，BE 的交点．若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是( )A ．12B ．2C ．63D ．6410．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的中线．若CD ＝2，则AB ＝ .11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，P 是BC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F .若S △ABC ＝1，则PE ＋PF ＝ .12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝.13．如图，EA＝EB＝EC，∠AEB＝70°，则∠ACB＝°.14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E为垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是 .15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C ＝45°.(1)求证：AB＝BD；(2)若AE＝3，求△ABC的面积．16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至点E，使得CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．强化练17．如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，E为AC的中点，点F，G为AB边上的动点，且FG＝5，则EF＋CG的最小值是()A．57 B．5 6 C．53＋5 D．1518．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE＝45°，F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G，H，∠CBE＝∠BAD.有下列结论：①FD＝FE；②AH＝2CD；③BC·AD＝2AE2；④S△ABC＝4S△ADF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个提升练19．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小聪同学将一个直角边长为20 cm的等腰直角三角形纸板，切割七块，正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为cm2.20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，P是BC上的动点，Q是AC上的动点(Q不与A，C重合)．(1)线段P A的最小值为；(2)当△ABP 为直角三角形，△PCQ 也为直角三角形时，CQ 的长度为 .参 考 答 案考点清单①两角 ②两角 ③12ah ④60° ⑤三 ⑥60° ⑦一半 ⑧一半 ⑨a 2＋b 2＝c 2 ⑩30° ⑪90° ⑫a 2＋b 2＝c 2 ⑬90° ⑭45° ⑮45°强化演练1. C2. D3. B4. D5. B6. C7. B8. C9. A 10. 4 11. 1 12. 54° 13. 35 14. 2 3 15. (1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°. ∵∠C ＝45°，∴∠ADB ＝∠DBC ＋∠C ＝75°，∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝75°，∴∠BAC ＝∠ADB ，∴AB ＝BD .(2)解：在Rt △ABE 中，∵∠ABC ＝60°，AE ＝3，∴BE ＝AE tan ∠ABC ＝ 3. 在Rt △AEC 中，∵∠C ＝45°，AE ＝3，∴EC ＝AE tan C ＝3，∴BC ＝3＋3，∴S △ABC ＝12BC ·AE ＝9＋332.16. (1)证明：在△ADB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△ADC (SAS)，∴∠B ＝∠ACB .(2)解：在Rt △ADB 中，∵AB ＝5，AD ＝4，∴BD ＝AB 2－AD 2＝52－42＝3，∴BD ＝CD ＝3，AC ＝AB ＝CE ＝5，∴BE ＝2BD ＋CE ＝2×3＋5＝11，DE ＝CD ＋CE ＝8. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE ＝AD 2＋DE 2＝42＋82＝45，∴C △ABE ＝AB ＋BE ＋AE ＝5＋11＋45＝16＋45，S △ABE ＝12BE ·AD ＝12×11×4＝22.17. A 18. D 19.25420. (1)3 (2)4.5或4或3。