学×思面授班初三数学 暑假 尖子班讲义 第9讲.正多边形和圆与圆中的计算.尖子班.学生版

脑筋急转弯…漫画释义满分晋级9正多边形和圆与 圆中的计算圆2级 与圆有关 的位置关系圆3级 正多边形和圆 与圆中的计算 圆4级 圆中三大 基本定理暑期班 第八讲暑期班 第九讲秋季班 第一讲中考内容中考要求A B C圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题中考内容与要求圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。

要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。

年份2010年2011年2012年题号11，20 20，25 8，20，25分值9分13分17分考点垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析定 义示例剖析正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正方形 正六边形 正八边形正多边形的相关概念：⑴ 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵ 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．⑶ 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．⑷ 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． H OFED C BA 边心距中心角半径中心正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴；知识互联网模块一 正多边形和圆知识导航⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心. 正偶数边正多边形有两类对称轴；正奇数边正多边形只有一类对称轴．【例1】 ⑴ 小亮从A 点出发前进10m ，向右转15︒，再前进10m ，又向右转15︒……这样一直走下去，他第一次回到出发 点A 时，一共走了_________m ．⑵ 如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中 阴影部分的面积为（ ）A.23π- B. 323π-C. 232π-D. 3232π-⑶ 正八边形的一个内角等于_________，它的中心角等于___________． ⑷ 若正ABC △外接圆的半径为R ，则ABC △的面积为_____________．⑸ 半径为2cm 的圆内接正方形的对角线长为__________cm ，面积为____________2cm ．⑹ 正六边形的边长为a ，半径为R ，边心距r 的比::a R r =__________________．【例2】 如图，有一个圆O 和两个正六边形12T T ，．1T 的6个顶点都在圆周上，2T 的6条边都和圆O 相切（我们称12T T ，分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）． ⑴ 设12T T ，的边长分别为a b ，，圆O 的半径为r ，求:r a 及:r b 的值； ⑵ 求正六边形12T T ，的面积比12:S S 的值．定 义示例剖析能力提升夯实基础知识导航模块二 圆中的计算15°15°AFA O设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线）R n°hRh lR常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： ①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法【例3】 ⑴ 一圆弧的圆心角为300︒，它所对的弧长等于半径为6cm 的圆周长，该圆弧所在圆的半径为________．⑵ 半径为9cm 的圆中，长为12πcm 的一条弧所对的圆心角的度数为_________．⑶从纸上剪下一个圆和一个扇形的纸片（如图），圆的半径为2，扇形的圆心角等于︒120.若用它们恰好围成一个圆锥模型，则此扇形的半径为 ．⑷ 图中有五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿¼1ADA 、¼12A EA 、¼23A FA 、¼3A GB 的路线爬行，乙虫沿¼ACB 路线爬行，则下列结论正确的是（ ） A. 甲先到B 点 B. 乙先到B 点C. 甲、乙同时到B 点D. 无法确定【例4】 ⑴ 一个扇形的弧长为20πcm ，面积为2240πcm ，则该扇形的圆心角为_________度．⑵ 如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周⑶ 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°.把△ABC 绕 点A 按顺时针方向旋转60°后得到△''C AB ，若AB =4，则线段BC夯实基础B DOACC'B'在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）A.32π B. 35π C. 2π D. 4π【例5】 ⑴ 现有30%圆周的一个扇形纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为______．⑵ 用半径为9，圆心角为︒120的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为 ．⑶ 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（ ）A. 4πB. 42πC. 8πD. 82π⑷ 如图，已知圆锥的底面圆半径为1，母线长OA 为3，C 为母线OB 的中点， 在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A 爬到点C 的最短路线长为___________．【例6】 ⑴ 如图，半径为1cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )⑵ 如图，PA PB 、分别与O ⊙相切，切点分别为A B 、，3PA =，60P ∠=︒， 若AC 为O ⊙的直径，则图中阴影部分的面积为__________．⑶ 如图，半圆的半径为2cm ，点C D 、三等分半圆，则阴影部分的面 积为_______________．能力提升B CAB⑷如图，在平面直角坐标系中，已知D⊙经过原点O，与x轴、y轴分别交于A B、两点，B点坐标为(0，，OC与D⊙相交于点C，30OCA∠=︒，则图中阴影部分的面积为___________．⑸如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．FODCBA【例7】如图，已知在O⊙中，43AB=，AC是O⊙的直径，AC BD⊥于F，30A∠=°．⑴求图中阴影部分的面积；⑵若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．⑴如图，把1O⊙向右平移8个单位长度得2O⊙，两圆相交于A B、，且12O A O A⊥，则图中阴影部分的面积是____________．⑵如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B'，则图中阴影部分的面积是（）A.6πB.5πC.4πD.3π.探索创新思维拓展训练(选讲)B'训练1. 已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．训练2. 如图，等腰三角形ABC 的顶角36A ∠=︒．O ⊙和底边BC 相切于BC 的中点D ，并与两腰相交于E F G H ，，，四点，其中点G F ，分别是两腰AB AC ，的中点．求证：五边形DEFGH 是正五边形．训练3. ⑴ 如图，ABC △是直角边长为a 的等腰直角三角形，直角边AB 是半圆1O 的直径，半圆2O 过C 点且与半圆1O 相切，则图中阴影部分的面积是______________．⑵ 如图，四边形ABCD 是菱形．10cm AB =，60ABC ∠=°， 分别以ABCD 的四条边为直径作半圆，则图中阴影部分的 面积为_____________．训练4. 请阅读下列材料：问题：如图⑴，一圆柱的底面半径为5，高AB 为5，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：侧面展开图中的线段AC ．如下图⑵所示：设路线1的长度为1l ，则()22222221552525l AC AB BC ==+=+π=+π． 路线2：高线AB +底面直径BC ．如上图⑴所示：设路线2的长度为2l ，则()()2222510225l AB BC =+=+= ∵222221225252252520025(8)0l l -=+π-=π-=π-> ∴2212l l >，∴12l l >所以要选择路线2较短．⑴ 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1，高AB 为5”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算： 路线1：221l AC ==___________________； 路线2：()222l AB BC =+=__________． ∵2212_____l l ，∴ 12_____l l （填>或<）所以应选择路线____________（填1或2）较短．⑵ 请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线较短．实战演练知识模块一正多边形和圆课后演练【演练正多边形边内角中心角半径边长边心距周长面积数3 60︒234 16 3【演练2】O⊙的内接多边形周长为3，O⊙的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A．6B．8C．10D．17知识模块二圆中的计算课后演练【演练3】一个扇形的半径为60cm，圆心角为150︒，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为__________．【演练4】如果矩形纸片的两条邻边分别为18cm和30cm，将其围成一个圆柱的侧面，求圆柱底面半径．【演练5】如图1，在O⊙中，AB为O∠=︒．OACOC=，60⊙的直径，AC是弦，4⑴ 求AOC ∠的度数；⑵ 在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与O ⊙相切时，求PO 的长； ⑶ 如图2，一动点M 从A 点出发，在O ⊙上按逆时针方向运动一周，当MAO CAOS S =△△时，求动点M 所经过的弧长．图2图1第十七种品格：成就钢铁是怎样炼成的1904年12月22日，奥斯特洛夫斯基出生于乌克兰一个工人家庭，由于家境贫寒，他只读过3年书。