高考理科数学课时练习指数与指数函数理含解析

第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <a <b答案A 解析因为a ＝243＝423，b ＝425，所以a ＝423>425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b答案A解析由已知可得a ＝2，b ＝2，c ＝2，则a ，b ，c 可分别看作直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的图象的交点的横坐标，画出直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的大致图象，如图所示，由图象可知a <b <c .故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()＝n 7m 17(n >0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．1<a <b答案ABC解析由题意，在同一坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，所以A 可能成立；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。

课时作业8 指数与指数函数一、选择题1．化简4a23 ·b － 13 ÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23a－ 13 b 23 的结果为( C )A ．－2a 3bB ．－8ab C ．－6a bD ．－6ab2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：当a <0时，不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3， 因为0<12<1，所以a >－3， 此时－3<a <0；当a ≥0时， 不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1. 故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.3．(2019·湖南永州模拟)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( B )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝log 2x解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，不符合题意；y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意．故选B.4．二次函数y ＝－x 2－4x (x >－2)与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数是( C )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：因为函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x >－2)，且当x ＝－2时，y ＝－x 2－4x ＝4，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝4，则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2－4x (x >－2)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C.5．(2019·福建厦门一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，b ＝log 120.3，c ＝a b ，则a ，b ，c 的大小关系是( B )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．b <c <a解析：b ＝log 12 0.3>log 1212＝1>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，c ＝a b <a .∴c <a <b .故选B.6．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，则( C ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <a D ．1<a <b解析：∵当x >0时，1<b x ，∴b >1.∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1.∴ab >1，∴a >b .∴1<b <a ，故选C.7.如图，在面积为8的平行四边形OABC 中，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)经过点E ，B ，则a 的值为( A )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：设点E (t ，a t )，则点B 的坐标为(2t,2a t )．因为2a t ＝a 2t ，所以a t ＝2.因为平行四边形OABC 的面积＝OC ×AC ＝a t ×2t ＝4t ，又平行四边形OABC 的面积为8，所以4t ＝8，t ＝2，所以a 2＝2，a ＝ 2.故选A.二、填空题8．不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}．解析：∵2x 2－x <4，∴2x 2－x <22， ∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，12. 解析：(数形结合法)当0<a <1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图象，由图象可知0<2a <1，∴0<a <12；同理，当a >1时，解得0<a <12，与a >1矛盾． 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，12. 10．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是0.解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.11．(2019·湖南益阳调研)已知函数f (x )＝2x1＋a ·2x(a ∈R )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12对称，则a ＝1. 解析：由已知，得f (x )＋f (－x )＝1，即2x1＋a ·2x ＋2－x 1＋a ·2－x＝1， 整理得(a －1)[22x ＋(a －1)·2x ＋1]＝0，所以当a －1＝0，即a ＝1时，等式成立．三、解答题12．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．解：令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)． ①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3.13．(2019·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1的大小关系是( D ) A ．M ＝N B ．M ≤N C ．M <ND ．M >N解析：因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1<1，所以M >N ，故选D.14．已知函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0，a ≠1)且f (0)＝0.(1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k 有零点，求实数k 的取值范围； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)对于函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0，a ≠1)，由f (0)＝1－42＋a ＝0，得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－42·2x ＋2＝1－22x ＋1.因为函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k ＝2x ＋1－2＋k ＝2x －1＋k 有零点，所以函数y ＝2x 的图象和直线y ＝1－k 有交点，∴1－k >0，即k <1.(3)∵当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x－2恒成立，即1－22x ＋1>m ·2x －2恒成立，亦即m <32x －22x (2x ＋1)恒成立，令t ＝2x ，则t ∈(1,2)，且m <3t －2t (t ＋1)＝3t ＋1t (t ＋1)＝1t ＋2t ＋1.由于y ＝1t ＋2t ＋1在t ∈(1,2)上单调递减，∴1t ＋2t ＋1>12＋22＋1＝76，∴m ≤76.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．已知实数a ，b 满足12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >14，则( B )A ．b <2b －aB ．b >2b －aC ．a <b －aD ．a >b －a解析：由12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a，得a >1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫222a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ，故2a <b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >14，得⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >⎝ ⎛⎭⎪⎫224，得b <4.由2a <b ，得b >2a >2，a <b2<2， ∴1<a <2,2<b <4.对于选项A ，B ，由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)>0恒成立，故A 错误，B 正确；对于选项C ，D ，a 2－(b －a )＝a ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋14，由于1<a <2,2<b <4，故该式的符号不确定，故C ，D 错误．故选B.16．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max(e |x |，e |x －2|)，则f (x )的最小值为e.解析：由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e|x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(当x ＝1时取等号)， 当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ， 因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.。

课时规范练9 指数与指数函数基础巩固组1.(2019四川成都七中一模,2)设集合A=,B=,则A∩B=( ) A.(-1,2) B.[-1,2) C.(-1,2]D.[-1,2]2.化简√64x 12y 66(x>0,y>0)得( ) A.2x 2yB.2xyC.4x 2yD.-2x 2y3.(2019北京通州一模,2)已知c<0,则下列不等式中成立的是( ) A.c>2cB.c>(12)cC.2c >(12)cD.2c <(12)c4.(2019河北承德一中期中)设2x =8y+1,9y =3x-9,则x+y 的值为( ) A.18B.21C.24D.275.函数f (x )=a |2x-4|(a>0,a ≠1),满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是( ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]6.(2019黑龙江佳木斯一中调研二,5)设a=log37,b=21.1,c=0.81.1,则( ) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<aD.a<c<b7.(2019陕西西安一中月考)下列函数中,与函数y=2x-2-x 的定义域、单调性、奇偶性均一致的是( ) A.y=sin x B.y=x 3 C.y=(12)xD.y=log 2x8.若偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),则{x|f (x-3)>0}=( ) A.{x|x<-3或x>5} B.{x|x<1或x>5} C.{x|x<1或x>7}D.{x|x<-3或x>3}9.(2019广东韶关一中期末)设x>0,且1<b x <a x ,则 ( )A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<aD.1<a<b10.不等式恒建立,则a 的取值范围是 . 11.函数y=xa x|x |(0<a<1)图象的大致形状是( )综合提升组12.(2019福建厦门期末,3)实数x,y满足x>y,则下列不等式成立的是( )<1 B.2-x<2-yA.yxC.lg(x-y)>0D.x2>y213.(2019湖北龙泉中学六月模仿,9)已知a>b>0,x=a+beb,y=b+aea,z=b+aeb,则( )A.x<z<yB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x14.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)15.(2019福建泉州五中模拟)设a>0,且a≠1,函数y=a2x+2a x-1在[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值为.创新应用组16.(2019湖南衡阳八中模拟)在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为( )17.(2019山西吕梁期末,20)已知定义域为R 的函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m ,n 的值;(2)若对于任意的t∈[-1,1],不等式f(t2-2)+f(2a-at)≥0恒成立,求实数a 的取值范畴.参考答案课时规范练9 指数与指数函数1.A ∵集合A={x |2x >12},解得x>-1,B={x |x+1x -2≤0}={x|-1≤x<2},则A ∩B={x|-1<x<2},故选A . 2.A原式=(26x 12y 6)16=2x 2|y|=2x 2y.3.D 因为c<0,所以0<2c<1,(12)c>1,所以选项A,B,C 错,故选D .4.D 因为2x =8y+1=23(y+1),所以x=3y+3,因为9y =32y =3x-9,所以x-9=2y ,解得x=21,y=6,所以x+y=27. 5.B 由f (1)=19,得a 2=19.又a>0,∴a=13,即f (x )=13|2x-4|.∵y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,∴f (x )在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减,故选B .6.B ∵1<a=log 37<2,b=21.1>2,c=0.81.1<1,∴b>a>c.故选B .7.B y=2x-2-x 是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数.而y=sin x 不是单调递增函数;y=是非奇非偶函数;y=log 2x 的定义域是(0,+∞);只有y=x3是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数,符合题意.8.B ∵f (2)=0,∴f (x-3)>0等价于f (|x-3|)>0=f (2).∵f(x)=2x -4在[0,+∞)内为增函数,∴|x -3|>2,解得x<1或x>5.9.C 因为x>0时,1<b x,所以b>1.因为x>0时,b x<a x,所以x>0时,(a b )x>1.所以ab >1,所以a>b ,所以1<b<a.10.(-2,2) 由指数函数的性质知y=是减函数,由于恒建立,所以x 2+ax>2x+a-2恒成立, 所以x 2+(a-2)x-a+2>0恒成立,所以Δ=(a-2)2-4(-a+2)<0,即(a-2)(a+2)<0, 即a 的取值范围是(-2,2).11.D 函数定义域为{x|x∈R,x≠0},且y=当x>0时,函数是一个指数函数,∵0<a<1,∴函数在(0,+∞)上是减函数;当x<0时,函数图象与指数函数y=ax(x<0,0<a<1)的图象关于x轴对称,在(-∞,0)上是增函数,故选D.12.B 由题意,指数函数y=2x是定义域R上的单调递增函数,又由x>y,则-x<-y,所以2-x<2-y,故选B.13.A∵x=a+b e b,y=b+a e a,z=b+a e b,∴y-z=a(e a-e b).又a>b>0,e>1,∴e a>e b,∴y>z.z-x=(b-a)+(a-b)e b=(a-b)(e b-1).又a>b>0,e b>1,∴z>x.综上,x<z<y,故选A.14.D不等式2x(x-a)<1可变形为x-a<(12)x,如图,作出直线y=x-a与y=(12)x的图象.由题意,在(0,+∞)上,直线有一部分在曲线的下方.观察可知,有-a<1,所以a>-1.15.13或3令t=a x(a>0,且a≠1),则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).①当0<a<1,x∈[-1,1]时,t=ax,此时f(t)在上为增函数.所以f(t)max=f-2=14.解得a=-15(舍去)或a=13.②当a>1时,x∈[-1,1],t=ax,此时f(t)在上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).综上,a=13或3.16.D 设原有荒漠化土地面积为b,经过x年后荒漠化面积为z,所以z=b(1+10.4%)x,故y==(1+10.4%)x(x≥0),是底数大于1的指数函数.因此y=f(x)的图象为选项D.17.解(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)==0,∴n=1,∴f(x)=又f(1)=-f(-1),∴1-2 m+4=-1-12m+1,解得m=2,∴f(x)=1-2x2x+1+2.经验证可得函数f(x)为奇函数,∴n=1,m=2.(2)由(1)知f(x)==-,∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.∵f(t2-2)+f(2a-at)≥0,∴f(t2-2)≥-f(2a-at),又f(x)是奇函数,∴f(t2-2)≥f(at-2a),又f(x)为减函数,∴t2-2≤at-2a对任意的t∈[-1,1]恒成立.∴t2-at+2a-2≤0对任意的t∈[-1,1]恒成立.令g(t)=t2-at+2a-2,则{g(-1)=1+a+2a-2=3a-1≤0, g(1)=1-a+2a-2=a-1≤0,解得a≤1 3 .∴实数a的取值范围为(-∞,13].。

课时作业8　指数与指数函数一、选择题1．化简4a ·b ÷的结果为(　C )－(－23ab )A ．－B ．－2a 3b 8a b C ．－D ．－6ab6ab 2．设函数f (x )＝Error!若f (a )<1，则实数a 的取值范围是(　C )A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：当a <0时，不等式f (a )<1为a－7<1，(12)即a <8，即a <－3，(12)(12)(12)因为0<<1，所以a >－3，12此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为<1，所以0≤a <1.a 故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.3．(2019·湖南永州模拟)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是(　B )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝xD ．y ＝log 2x(12)解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝x 是非奇非偶(12)函数，不符合题意；y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意．故选B.4．二次函数y ＝－x 2－4x (x >－2)与指数函数y ＝x的图象的交(12)点个数是(　C )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：因为函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x >－2)，且当x ＝－2时，y ＝－x 2－4x ＝4，y ＝x＝4，则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2(12)－4x (x >－2)与y ＝x的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象(12)的交点个数是1，故选C.5．(2019·福建厦门一模)已知a ＝0.3，b ＝log 0.3，c ＝a b ，则a ，b ，c(12)12的大小关系是(　B )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．b <c <a解析：b ＝log 0.3>log ＝1>a ＝0.3，c ＝a b <a .∴c <a <b .故选B.121212(12)6．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，则(　C )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b解析：∵当x >0时，1<b x ，∴b >1.∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，x>1.(a b)∴>1，∴a >b .∴1<b <a ，故选C.ab7.如图，在面积为8的平行四边形OABC 中，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)经过点E ，B ，则a 的值为(　A )A. B.23C ．2D ．3解析：设点E (t ，a t )，则点B 的坐标为(2t,2a t )．因为2a t ＝a 2t ，所以a t ＝2.因为平行四边形OABC 的面积＝OC ×AC ＝a t ×2t ＝4t ，又平行四边形OABC 的面积为8，所以4t ＝8，t ＝2，所以a 2＝2，a ＝.2故选A.二、填空题8．不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}．解析：∵2x 2－x <4，∴2x 2－x <22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是.(0，12)解析：(数形结合法)当0<a <1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图象，由图象可知0<2a <1，∴0<a <；12同理，当a >1时，解得0<a <，与a >1矛盾．12综上，a 的取值范围是.(0，12)10．已知函数f (x )＝2x －，函数g (x )＝Error!则函数g (x )的最小12x 值是0.解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －为单调增函数，所以g (x )≥g (0)12x ＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －为单调减函数，所以g (x )>g (0)12－x ＝0，所以函数g (x )的最小值是0.11．(2019·湖南益阳调研)已知函数f (x )＝(a ∈R )的图象关2x1＋a ·2x 于点对称，则a ＝1.(0，12)解析：由已知，得f (x )＋f (－x )＝1，即＋＝1，2x 1＋a ·2x 2－x1＋a ·2－x 整理得(a －1)[22x ＋(a －1)·2x ＋1]＝0，所以当a －1＝0，即a ＝1时，等式成立．三、解答题12．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．解：令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x ∈，此时f (t )在上为[a ，1a ][a ，1a]增函数．所以f (t )max ＝f ＝2－2＝14.所以2＝16，解得a ＝(1a )(1a ＋1)(1a＋1)－15(舍去)或a ＝.13②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈，此时f (t )在上是增[1a ，a ][1a，a ]函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝或3.1313．(2019·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝0.1的大小关系是(　D )(1a)A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N解析：因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝0.1<1，所(1a)以M >N ，故选D.14．已知函数f (x )＝1－(a >0，a ≠1)且f (0)＝0.42a x ＋a (1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k 有零点，求实数k 的取值范围；(3)当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)对于函数f (x )＝1－(a >0，a ≠1)，由f (0)＝1－＝42a x ＋a 42＋a 0，得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－＝1－.42·2x ＋222x ＋1因为函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k ＝2x ＋1－2＋k ＝2x －1＋k 有零点，所以函数y ＝2x 的图象和直线y ＝1－k 有交点，∴1－k >0，即k <1.(3)∵当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，即1－>m ·2x －222x ＋1恒成立，亦即m <－恒成立，32x 22x (2x ＋1)令t ＝2x ，则t ∈(1,2)，且m <－＝＝＋.3t 2t (t ＋1)3t ＋1t (t ＋1)1t 2t ＋1由于y ＝＋在t ∈(1,2)上单调递减，1t 2t ＋1∴＋>＋＝，∴m ≤.1t 2t ＋11222＋17676尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．已知实数a ，b 满足>a >b >，则(　B )12(12)(22)14A ．b <2B ．b >2b －a b －aC ．a <D ．a >b －a b －a解析：由>a ，得a >1，由a >b，得2a >b ，故2a <b ，12(12)(12)(22)(22)(22)由b >，得b >4，得b <4.由2a <b ，得b >2a >2，a <<2，(22)14(22)(22)b2∴1<a <2,2<b <4.对于选项A ，B ，由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)>0恒成立，故A 错误，B 正确；对于选项C ，D ，a 2－(b －a )＝a ＋2－，12(b ＋14)由于1<a <2,2<b <4，故该式的符号不确定，故C ，D 错误．故选B.16．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max(e |x |，e |x －2|)，则f (x )的最小值为e.解析：由题意得，f (x )＝Error!当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(当x ＝1时取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.。

高考数学第2章第4节指数与指数函数课时作业理 2020-12-12【关键字】关系、检验、满足一、选择题1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2为增函数的区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞答案：D解析：设t ＝－x 2＋x ＋2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，函数t ＝－x 2＋x ＋2的递减区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞即为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的递增区间，故应选D. 2．已知a ＝0.8－0.7，b ＝0.8－0.9，c ＝1.1－0.8，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案：D 解析：∵0.8－0.9>0.8－0.7>0.80＝1＝1.10>1.1－0.8，∴b >a >c ， 故应选D.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2B ．154C ．174D ．a 2答案：B解析：∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 又∵f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2，① ∴－f (x )＋g (x )＝a －x－a x＋2，②①＋②，得g (x )＝2， ①－②得f (x )＝a x －a －x，又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x－2－x， ∴f (2)＝22－2－2＝154.故应选B.4．(2014·山东济南三模)偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D解析：由f (x －1)＝f (x ＋1)，可知T ＝2.∵x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，又∵f (x )是偶函数，∴可得图象如图所示．∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在x ∈[0,4]上解的个数是4.故应选D.5．(2015·临沂模拟)若函数y ＝a x＋b 的图象如图，则函数y ＝1x ＋a＋b ＋1的图象为( )答案：C解析：由图象可知0<a <1，－2<b <－1. 又函数y ＝1x ＋a ＋b ＋1的图象是由y ＝1x向左平移a 个单位，向下平移|b ＋1|个单位而得到的．结合四个选项可知C 正确．故应选C.6．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1e x －1cos x 是奇函数，则常数a 的值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．12答案：D解析：设g (x )＝a ＋1e x－1，t (x )＝cos x ， ∵t (x )＝cos x 为偶函数，而f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1e x －1cos x 为奇函数， ∴g (x )＝a ＋1e x －1为奇函数．又∵g (－x )＝a ＋1e －x －1＝a ＋ex1－ex ，∴a ＋e x1－e x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1e x－1对定义域内的一切实数都成立，解得a ＝12. 故应选D. 二、填空题 7．若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．答案：(－∞，－1] 解析：作出y ＝2|1－x |与y ＝－m 的图象如图所示，由图可知，m ≤－1.8．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12 －3·2x＋5的最大值为________．答案：52解析：令t ＝2x，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， 又y ＝22x －1－3·2x＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4， ∴t ＝1时，y max ＝52.9．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案：0解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 三、解答题10．设f (x )＝4x4x ＋2，若0<a <1，试求下列式子的值．(1)f (a )＋f (1－a )；(2)f ⎝⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31 001＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001.解：(1)f (a )＋f (1－a )＝4a4a ＋2＋41－a41－a ＋2＝4a4a ＋2＋41－a·4a 41－a ＋2·4a ＝4a4a ＋2＋44＋2·4a ＝4a 4a ＋2＋22＋4a ＝1. (2)f ⎝⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31 001＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9991 001＋…＋ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5001 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5011 001＝1×500＝500. 11．已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数；(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，解得b ＝1. 又f (－1)＝－f (1)，解得a ＝1. 经检验a ＝1，b ＝1符合题意． (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x12 x 1＋1－1－2x22 x 2＋1＝1－2 x 12 x 2＋1－1－2 x22 x1＋12 x1＋12 x2＋1＝22 x 2－2x12 x1＋12 x2＋1.∵x 1<x 2，∴2x 2－2x 1>0， 又∵(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立， ∴f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )．∵f (x )为奇函数，∴f (t 2－2t )<f (k －2t 2)． ∵f (x )为减函数，∴t 2－2t >k －2t 2， 即k <3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13，∴k <－13.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13. 12．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24，又∵a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3×2x.(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0，得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.又g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是减函数，则g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.。

教学过程④负分数指数幂：a n m-＝a n m1＝1na m(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数辨析感悟1．指数幂的应用辨析(1)(4－2)4＝－2.( )(2)(教材探究改编)(na n)＝a.( )2．对指数函数的理解(3)函数y＝3·2x是指数函数．( )(4)y＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax是R上的减函数．( )教学效果分析教学过程(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．( )(6)(2013·金华调研)已知函数f(x)＝4＋a x－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是(1,5)．( )[感悟·提升]1．“na n”与“⎝⎛⎭⎫na n”的区别当n为奇数时，或当n为偶数且a≥0时，na n＝a，当n为偶数，且a＜0时，na n＝－a，而(na)n＝a恒成立．如(1)中4－2不成立，(2)中6－22＝32≠3－2. 2．两点注意一是指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论，如(4)；二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5)．考点一指数幂的运算【例1】(1)计算：＋(－2)2；(2)若＝3，求的值．规律方法进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及a p a－p＝1(a≠0)简化运算．(2)教学效果分析教学过程考点二指数函数的图象及其应用【例2】(1)(2014·泰安一模)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是________．①a＞1，b＜0；②a＞1，b＞0；③0＜a＜1，b＞0；④0＜a＜1，b＜0.(2)比较下列各式大小．①1.72.5______1.73；②0.6－1______0.62；③0.8－0.1______1.250.2；④1.70.3______0.93.1.规律方法(1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．【训练2】已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________．教学效果分析教学过程1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．3．画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a.4．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫110x，y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．易错辨析2——忽略讨论及验证致误【典例】(2012·山东卷)若函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.[防范错施] (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础．【自主体验】当x∈[－2,2]时，a x<2(a>0，且a≠1)，则实数a的范围是________．教学效果分析课堂巩固一、填空题1．(2014·郑州模拟)在函数①f (x )＝1x ；②f (x )＝x 2－4x ＋4；③f (x )＝2x ；④f (x )＝中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)”的是________．2．函数y ＝a x －1a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是________．3.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________．5．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为________．6．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为________．7．(2014·盐城模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．8．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．9．函数f (x )＝a x －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝________. 10．(2014·杭州质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是________． 11．(2014·惠州质检)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则关系式3c ＋3a ________2(比较大小)．二、解答题12．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．。

指数及指数函数高考复习题1若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 2函数164x y =-的值域是 ( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4)3设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是( )（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a4下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 ( )（A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数5.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a6已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x ；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（ ）A.124 B.112 C.18 D.387. 不等式4x －3·2x ＋2<0的解集是( )A ．{x |x <0}B ．{x |0<x <1}C ．{x |1<x <9}D ．{x |x >9}8．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，12)9(理)函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)10(理)若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1D ．0<m ≤111．函数f (x )＝x 12 －(12)x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312(理)已知函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()()6(x a x x a x f x 若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[94，3)B ．(94，3) C ．(2,3) D ．(1,3)13．设函数f (x )＝|2x－1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．414．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=1),1(log 1,)21()(2x x x x f x，则f (x )≤12的解集为________． 15．若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=0,10,)31()(x xx x f x则不等式|f (x )|≥13的解集为________． 16．函数y ＝a x ＋2012＋2011(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．17．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x－1，则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________．18．若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa <b ，b a ≥b ，则函数f (x )＝3x *3－x的值域是________．19．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为______，最小值为______．20.设函数f(x)=,求使f(x)≥2 的x 的取值范围.21．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(3)求函数的值域．22．(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[]的值，求实数上的最大值是在函数且设a a a y a a x x 141,1-12,10.232-+=≠24.已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性； (3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．指数及指数函数高考复习题答案1[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y ＝3x图象上知3a＝9，即a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝ 3. 2解析：[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-∈3.A 【解析】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5xy =在0x >时是减函数，所以c b >。

高三数学指数与指数函数试题答案及解析1.已知，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】∵，，，∴.【考点】指对数的性质.2.已知为正实数,则（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】根据指数的运算性质：，以及对数的运算性质：，可知，∴D正确.【考点】指对数的运算性质3.已知的值为__________.【答案】3【解析】由分段函数="1" , ="3" 所以=3【考点】1.分段函数的知识.2.对数指数函数的运算.4.函数f(x)＝a x－1(a>0，a≠1)的图像恒过点A，则A点的坐标为________．【答案】(1,1)【解析】f(x)＝a x－1(a>0，a≠1)的图像恒过点(1,1)．5. [2014·衡阳月考]“因为指数函数y＝a x是增函数(大前提)，而y＝()x是指数函数(小前提)，所以函数y＝()x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提错误导致结论错【答案】A【解析】“指数函数y＝a x是增函数”是本推理的大前提，它是错误的，因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．6.已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，，∴.【考点】利用函数图象及性质比较大小.7.已知，则下列关系中正确的是（）A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b【答案】A【解析】由已知得，，，，故a>b>c．【考点】指数函数的图象和性质.8.函数f(x)＝a x＋logax在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为－，最大值与最小值之积为－，则a的值为()A．B．C．2D．3【答案】A【解析】a x与logax具有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处取得，f(1)＋f(2)＝－，f(1)·f(2)＝－，解得a＝．9.已知，b=log42，c=log31．6，则A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b【答案】A【解析】，，因为，即，所以。

课时分层训练(八) 指数与指数函数(对应学生用书第219页)A 组 基础达标一、选择题1．函数f (x )＝2|x －1|的大致图像是( )【导学号：79140045】B[f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜1.所以f (x )的图像在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数．] 2．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图像可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c .因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .] 3．(2017·河北八所重点中学一模)设a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( ) A ．a 12 B ．a 56 C ．a 76 D ．a 32C [.故选C.]4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C．[1,9] D．[1，＋∞) C[由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.故选C.]5．若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为()【导学号：79140046】A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞) C[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a，整理得(a－1)(2x＋2－x＋2)＝0，∴a＝1，∴f(x)＞3，即为2x＋12x－1＞3，当x＞0时，2x－1＞0，∴2x＋1＞3·2x－3，解得0＜x＜1；当x＜0时，2x－1＜0，∴2x＋1＜3·2x－3，无解．∴x的取值范围为(0,1)．]二、填空题6．计算：＝________.2[原式＝＝2.]7．若函数y＝(a2－1)x在R上为增函数，则实数a的取值范围是________．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为增函数，得a2－1＞1，解得a＞2或a＜－ 2.]8．已知函数f(x)＝2x－12x，函数g(x)＝⎩⎨⎧f(x)，x≥0，f(－x)，x＜0，则函数g(x)的最小值是________.【导学号：79140047】0 [当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x＜0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x为单调减函数，所以g (x )＞g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.] 三、解答题9．(2017·广东深圳三校联考)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图像过点(－1,2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．故满足条件的x 的值为－1. 10．已知函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数．(1)求a 的值和函数f (x )的定义域； (2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0. [解] (1)因为函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝11－2x －a ，即(1－a )2x ＋a 1－2x ＝a ·2x ＋1－a 1－2x ，从而有1－a ＝a ，解得a ＝12. 又2x －1≠0，所以x ≠0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)由f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0，得f (－m 2＋2m －1)＜－f (m 2＋3)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (－m 2＋2m －1)＜f (－m 2－3)．由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m 2＋2m －1＜0，－m 2－3＜0，所以－m 2＋2m －1＞－m 2－3，解得m ＞－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞)．B 组 能力提升11．(2017·广东茂名二模)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图像如图2-5-3所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图像是( )图2-5-3C [由函数f (x )的图像可知，－1＜b ＜0，a ＞1，则g (x )＝a x ＋b 为增函数，当x ＝0时，g (0)＝1＋b ＞0，故选C.]12．若函数f (x )＝⎩⎨⎧a x，x ＞1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ C [依题意，a 应满足⎩⎨⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，(2－3a )×1＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34.]13．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．(－1,2) [原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.]14．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数，a ＞0，且a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围.【导学号：79140048】[解] (1)因为f (x )的图像过点A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎨⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24，解得a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，则b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－m ≥0恒成立，即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在x ∈(－∞，1]时恒成立．因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x均为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上取得最小值，且最小值为56.所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，56.。

课时跟踪练(八)A 组 基础巩固1．(2019·永州模拟)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝log 2x解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，不符合题意； y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意． 答案：B2．设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( ) A ．18 B ．21 C ．24 D ．27 解析：因为2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，所以x ＝3y ＋3， 因为9y ＝3x －9＝32y ，所以x －9＝2y ， 解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27. 答案：D3．函数y ＝a x－1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：当a >1时，y ＝a x －1a 是增函数．当x ＝0时，y ＝1－1a∈(0，1)，A ，B 不满足．当0<a <1时，y ＝a x －1a 在R 上是减函数．当x ＝0时，y ＝1－1a <0，C 错，D 项满足．答案：D4．设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <b解析：因为x >0时，1<b x ，所以b >1.因为x >0时，b x <a x，所以x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1.所以ab >1，所以a >b ，所以1<b <a .答案：C 5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．答案：B6．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5＝________．解析：原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.答案：1a7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．解析：当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，则2－a <8，解得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1，0≤a <1.综上知，实数a 的取值范围是(－3，1)． 答案：(－3，1)8．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e|x －2|，x ＜1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)， 当x ＜1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x ＞e ， 因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案：e9．(2019·深圳三校联考)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1，2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．解：(1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，又g (x )＝f (x )，则4－x－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0. 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝t ，则t ＞0，t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0， 又t ＞0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1.10．(2019·雅礼中学月考)已知函数f (x )＝3x ＋a3x ＋1为奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并加以证明．解：(1)因为函数f (x )是奇函数，且f (x )的定义域为R ，所以f (0)＝1＋a1＋1＝0，所以a ＝－1.(2)f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，函数f (x )在定义域R 上单调递增．理由：设任意的x 1，x 2，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2（3x 1－3 x 2）（3 x 1＋1）（3 x2＋1）. 因为x 1<x 2，所以3 x 1<3 x 2，所以3 x 1－3 x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在定义域R 上单调递增．B 组 素养提升11．(2019·西安质检)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为()解析：设原有荒漠化土地面积为b ，经过x 年后荒漠化面积为z ，所以z ＝b (1＋10.4%)x ，故y ＝zb＝(1＋10.4%)x (x ≥0)，是底数大于1的指数函数．因此y ＝f (x )的图象为选项D. 答案：D12．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a解析：由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0， 所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)， 故b ＞a ＞c . 答案：B13．(2018·上海卷)已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65、Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________． 解析：依题设知f (p )＝65，且f (q )＝－15，所以⎩⎨⎧2p 2p ＋ap ＝65， ①2q 2q＋aq ＝－15， ②①＋②得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p ＋ap ）（2p ＋ap ）（2q ＋aq ）＝1，整理得2p ＋q ＝a 2pq .又2p ＋q ＝36pq ，所以a 2pq ＝36pq .由于pq ≠0，得a 2＝36(a >0)，则a ＝6. 答案：614．(2019·潍坊模拟)已知函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0，a ≠1)且f (0)＝0.(1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k 有零点，求实数k 的取值范围； (3)当x ∈(0，1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)对于函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0，a ≠1)，由f (0)＝1－42＋a ＝0，得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－42·2x ＋2＝1－22x ＋1.因为g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k ＝2x ＋1－2＋k ＝2x －1＋k 有零点， 所以函数y ＝2x 的图象和直线y ＝1－k 有交点，所以1－k >0，即k <1. 故实数k 的取值范围是(－∞，1)．(3)因为当x ∈(0，1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，即1－22x＋1>m ·2x －2恒成立，亦即m <32x －22x （2x ＋1）恒成立．令t ＝2x ，则t ∈(1，2)，且m <3t －2t （t ＋1）＝3t ＋1t （t ＋1）＝1t ＋2t ＋1.由于y ＝1t ＋2t ＋1在t ∈(1，2)上单调递减，所以1t ＋2t ＋1>12＋22＋1＝76，所以m ≤76.故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，76.。