宁夏银川一中2021届高三上学期第二次月考数学(理)试题

（﹣a，+∞）上是增函数．
（2）∵
f
'x
xa x2
，x＞0．由（1）可知：
13．已知扇形 AOB 面积为 4 ，圆心角 AOB 为120 ，则该扇形的半径为_________.
3
14．若 a (1,1) ， b 2 ，且
a
b
a
，则
a
与
b
的夹角是_______________.
15．已知函数 f x Asin x ， A 0, 0, π
2
的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________.
已知函数 f x aex bx（ a ，b 为常数），点 A 的横坐标为 0，曲线 y f x 在点 A 处的切
线方程为 y x 1.
（1）求 a ， b 的值及函数 f x 的极值；
（2）证明：当 x 0 时， ex x2 ．
21．(本小题满分 12 分)
已知函数 f x lnx a a R ．
e3 p(x) x
1 x
e3 x2
e3 x x2
，
当 7 x e3 时， p(x) 单调递增，当 x e3, p(x) 单调递减，
(9 分) (10 分)
当 x e3 时， p(x) 取最大值 p(e3) 15 ln e3 1 11 （万元），
(11 分)
11 10 当 x e3 20 时， p(x) 取得最大值11万元，
3
x
件产品售价为 6 元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润 P(x) （万年）关于年产量 x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入
-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取

银川一中2021届高三年级第一次月考数 学 试 卷（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．已知全集,{|2},{|1}U R A x x B x x ==≤-=≥，那么集合()U C AB =（ ）A ．{|21}x x -<<B ．{|1}x x ≤C ．{|21}x x -≤≤D ．{|2}x x ≥- 2．以下函数中，在0x =处的导数不等于零的是（ ）A. xy x e -=+ B. 2xy x e =⋅ C. (1)y x x =- D. 32y x x =+ 3．已知133a -=，21211log ,log 33b c ==，那么（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4．曲线3()2f x x x =+-在点P 处的切线的斜率为4，那么P 点的坐标为（ ）A. (1,0)B. (1,0)或(1,4)--C. (1,8)D. (1,8)或(1,4)-- 5．一元二次方程022=++a x x 有一个正根和一个负根的充分没必要要条件是（ ） A. 0<a B. 0>a C. 1-<a D. 1>a6．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)10()(≠>=a a a x f x且 , 且3)4(log 5.0-=f ，那么a 的值为（ ）A.3 B. 3 C. 9 D.237．今有一组实验数据如下表所示：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u1.54.047.51632.01A. 2log u t =B. 1122t u -=- C. 212t u -= D. 22u t =-8. 已知奇函数()x f 在()0,∞-上单调递增，且()02=f ，那么不等式(1)(1)0x f x -⋅->的解集是（ ）A. ），31(-B. )1(--∞C. ),3()1(+∞--∞D. ()()3,11,1 -9．函数22x y x -=的图象大致是（ ）AB C D10．假设方程2|4|x x m +=有实数根，那么所有实数根的和可能是（ ）A. 246---、、B. 46--、-5、C. 345---、、D. 468---、、 11．当210≤<x 时，x a xlog 4<，那么a 的取值范围是（ ） A. (0，22) B. (22，1) C. (1，2) D. (2，2)12．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部份．第13题～第21题为必考题，每一个试题考生都必需做答．第22题～第24题为选考题，考生依照要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13. 已知函数xx x f 2)(⋅=，当)(x f 取最小值时，x = . 14．计算由直线,4-=x y 曲线x y 22=所围成图形的面积=S .15. 要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是 （单位：元） 16. 给出以下四个命题：高 考 资 源 网①命题"0cos ,">∈∀x R x 的否定是"0cos ,"≤∈∃x R x ；②函数)10(11)(≠>+-=a a a a x f xx 且在R 上单调递减； ③设)(x f 是R 上的任意函数， 那么)(x f |)(x f -| 是奇函数，)(x f +)(x f -是偶函数； ④定义在R 上的函数()x f 关于任意x 的都有4(2)()f x f x -=-,那么()x f 为周期函数； ⑤命题p:x R ∃∈，2lg x x ->;命题q ：x R ∀∈，20x >。

银川一中2021届高三年级第二次月考文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{}12A x x =-≤≤，{}3log 1B x x =≤，则A B =（ ）A. {}02x x <≤B. {}12x x -≤≤C. {}12x x ≤≤D.{}03x x <≤【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B ，再利用交集的定义计算即可．【详解】解：由已知{}{}3log 103B x x x x =≤=<≤， 则{}02A B x x ⋂=<≤． 故选：A【点睛】本题考查交集的运算，考查对数不等式，是基础题．2. 如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A. sin cos tan ααα<<B. tan sin cos ααα<<C. cos sin tan ααα<<D. cos tan sin ααα<<【答案】C 【解析】 【分析】分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.【详解】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.3. 如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则AB AD⋅＝（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】【分析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，=＝(2，3)，AB＝(4，1)，AD BC∴⋅＝4×2＋1×3＝11，AB AD【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 4. 若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A.725B. 15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．5. 如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（ ）A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率 【答案】D 【解析】 【分析】根据新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，提取出需要的信息，逐项判定，即可求解. 【详解】由新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，可得：对于A 中，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为321873>，故A 正确； 对于B 中，由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B 正确；对于C 中，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了21311697-=例，故C 正确；对于D 中，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了988858844-=， 2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了887477437-=， 显然753744>，故D 错误. 故选：D .【点睛】本题主要考查了图表的信息处理能力，其中解答中根据曲线图，提取出所用的信息是解答的关键，着重考查信息提取能力.6. 正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，6AB =，2BD =，则AB AD ⋅=（ ） A. 12 B. 18C. 24D. 30【答案】D 【解析】 【分析】先用AB ，BC 表示出AD ，再计算AB AD ⋅即可. 【详解】先用AB ，BC 表示出AD ，再计算数量积．因为6AB =，2BD =，则13BD BC =，13=+AD AB BC所以221111··666303332AB AD AB AB BC AB AB BC ⎛⎫⋅=+=+=-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，属基础题.7. 1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：sin 、tan 、sec （正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cos 、cot 、csc （余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中1sec cos θθ=，1csc sin θθ=.若(0,)a π∈，且322csc sec αα+=，则tan α=（ ）. A.513B.1213C. 0D. 125-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得3sin 2cos 2αα+=，然后使用二倍角的正弦、余弦公式以及齐次化化简可得226tan22tan 222tan 12ααα+-=+，进一步求得tan 2α，最后根据二倍角的正切公式计算即可.【详解】∵3sin 2cos 2αα+=，22226sincos2cos sin 22222cos sin 22αααααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴=+ ∴226tan22tan 222tan 12ααα+-=+，∴23tan1tan 22αα+-=2tan 12α+，解得tan02α=或32. 又∵(0,)απ∈，∴tan02α>，∴3tan22α=，则22tan122tan 51tan 2ααα==--， 故选：D .【点睛】本题考查弦切互换以及齐次化化简，还考查二倍角公式的应用，着重考查对公式的记忆，属基础题 8. 设f (x )＝lg (21x-＋a )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是（ ） A. (－∞，＋∞)上的减函数 B. (－∞，＋∞)上的增函数 C. (－1，1)上的减函数 D. (－1，1)上的增函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得f (0)＝0，代入求出a ，并验证()f x 为奇函数，再求出函数的定义域，根据对数函数的单调性即可得出结果.【详解】由题意可知，f (0)＝0，即lg (2＋a )＝0， 解得a ＝－1，故f (x )＝lg11xx+-， 函数f (x )的定义域是(－1，1)，1()lg()1xf x f x x--==-+， 所以f (x )＝lg11xx+-为奇函数， 在此定义域内f (x )＝lg 11xx+-＝lg (1＋x )－lg (1－x )，函数y 1＝lg (1＋x )是增函数，函数y 2＝lg (1－x )是减函数， 故f (x )＝y 1－y 2在(－1，1) 是增函数. 故选：D.【点睛】本题考查了由函数的奇偶性求参数值、利用对数函数的单调性判断复合函数的单调性，属于基础题.9. 将函数()sin f x x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则函数()()f x g x 的最大值为（ ）A.224+ B.22- C. 1 D.12【答案】A 【解析】 【分析】先求得()g x 的解析式，然后求得()()⋅f x g x 的解析式，利用降次公式和辅助角公式进行化简，根据三角函数的取值范围求得()()⋅f x g x 的最大值. 【详解】由题可知()sin 4g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()sin sin 4y f x g x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭222cos x x x == 22sin 222sin22cos2444x x x π⎛⎫+ ⎪-⎝⎭=，所以()()y f x g x =的最大值为224+.故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数最大值的求法，属于中档题. 10.ABC 的三个内角为A B C 、、，若关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B --=有一根为1， 则ABC 一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D.钝角三角形 【答案】A 【解析】试题分析：依题意可知21cos cos cos 02CA B --=， ∵()21cos cos 11cos cos sin sin cos 2222A B C C A B A B-++-+===∴1-cosAcosB-1cos cos sin sin 2A B A B-+=0，整理得cos （A-B ）=1∴A=B∴三角形为等腰三角形 考点：解三角形11. 函数f (x )是偶函数，对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝1()f x ；当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为（ ） A. (1，3)B. (－1，1)C. (－1，0)∪(1，3)D. (－1，0)∪(0，1)【答案】C 【解析】 【分析】 根据f (x ＋2)＝1()f x ，得到函数的周期，再结合x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，且函数f (x )是偶函数，作出函数f (x )的图象，分x ∈(－1，0)，x ∈(0，1)，x ∈(1，3)求解.【详解】因为f (x ＋2)＝1()f x ，所以()()4f x f x +=， 所以T=4.又因为x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，且函数f (x )是偶函数， 所以f (x )的图象如图所示.当x ∈(－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)； 当x ∈(0，1)时，由xf (x ) >0，得x ∈∅； 当x ∈(1，3)时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3). ∴x ∈(－1，0)∪(1，3)， 故选：C.【点睛】本题主要考查函数的图象和性质以及图象法解不等式，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b -＝cos cos CB，b ＝4，则ABC 的面积的最大值为（ ） 33C. 2 D.3【答案】A 【解析】 【分析】由已知式子和正弦定理可得3B π=，再由余弦定理可得16ac ≤，由三角形的面积公式可得所求．【详解】∵在△ABC 中2a c b －＝cos cos CB， ∴()2cos cos -=a c B b C ，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A =+=+=． 又sin 0A ≠， ∴1cos 2B =， ∵0B π<<， ∴3B π=．在△ABC 中，由余弦定理得22222b 162cos 2a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+--=，∴16ac ≤，当且仅当a c =时等号成立． ∴△ABC 的面积13sin 32S ac B ==≤故选：A ．【点睛】求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.二、填空题13. 已知扇形AOB 的面积为43π，圆心角AOB 为120，则该扇形半径为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.【详解】圆心角AOB 为12023π= 扇形AOB 的面积为2241124232233S r r r πππα⇒==⨯=⇒= 故答案为2【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.14. 若()1,1a =-，2b =，且()a b a -⊥，则a 与b 的夹角是________. 【答案】4πθ=【解析】 【分析】先求出向量的模2,2a b ==，再利用向量的数量积运算展开，即可得出结果.【详解】由题意可知：2,2a b ==，2()00222cos ,0a a b a a b a b ⋅-=⇒-⋅=⇒-⋅⋅<>=2cos ,,24π∴<>=⇒<>=a b a b 故答案为：4π 【点睛】本题考查了利用平面向量的数量积运算求角，考查了运算求解能力，属于基础题目. 15. 已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，0A >，0>ω，2πϕ<的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________.【答案】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由函数图象的最值可得A ，然后将点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭、()0,1代入解析式，利用ϕ、ω的范围即可得到ϕ、ω值，从而得到函数解析式．【详解】由图象得到()f x 的最大值为2，所以2A =将点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭、()0,1代入解析式()()sin f x A x =+ωϕ， ()112sin 0122sin 01πωϕϕ⎧⎛⎫⨯+=⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎩，因为0>ω，2πϕ<，可得6π=ϕ，2ω= 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，注意函数解析式的求法，考查计算能力，属于常考题型．16. 对于任意实数12,x x ，当120x x e <<<时，有122121ln ln x x x x ax ax ->-恒成立，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】0a ≤ 【解析】【分析】 转化为ln ()x ag x x+=在(0,)e 上单调递增，再利用导数可得到结果. 【详解】当120x x e<<<时， 122121ln ln x x x x ax ax ->-恒成立等价于2121ln ln x a x a x x ++>恒成立，等价于ln ()x a g x x+=在(0,)e 上单调递增， 所以221ln 1ln ()0x x ax a x g x x x ⋅----'==≥在(0,)e 上恒成立， 所以1ln a x ≤-在(0,)e 上恒成立， 因为当(0,)x e ∈时，1ln 1ln 0x e -≥-=， 所以0a ≤ 故答案为：0a ≤.【点睛】本题考查了转化划归思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题17. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为225,105（1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值． 【答案】（1）tan()3αβ+=-（2）324παβ+= 【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得cos α 与cos β的值，进而可得出sin α与sin β的值，从而可求tan α与tan β的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出()()tan 2tan αβαββ⎡⎤+=++⎣⎦ 的值，再根据,αβ的取值范围，可得出2αβ+的取值范围，进而可得出2αβ+的值.由条件得cosα＝，cosβ＝.∵ α，β为锐角， ∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.(2) ∵ tan2β＝＝＝，∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝18. 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，21()23C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，3()6ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万年）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？ （取320e =）.【答案】（1）23142,073()15,7x x x P x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元 【解析】 【分析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分07x <<和7x ≥两种情况，得到()P x 与x 的关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案. 【详解】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为6x 万元. 依题意得，当07x <<时，2211()6224233P x x x x x x =---=-+-， 当7x ≥时，33()6(6ln 17)215ln e e x x x x x x P x=-++--=--，23142,073()15,7x x x P x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎪--≥⎪⎩. （2）当07x <<时，21()(6)103P x x =--+， 所以当6x =时，()P x 的最大值为(6)10P =（万元），当7x ≥时，333221()15ln ()e e e xP x x P x x x x x -=--∴'=-+=，∴当37x e ≤<时，()P x 单调递增，当3,()x e P x ≥单调递减， ∴当3x e =时，()P x 取最大值33()15ln 111P e e =--=（万元），1110>，∴当320x e =≈时，()P x 取得最大值11万元，即当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元. 【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.19. 已知向量(2sin 3)a x x =，(sin ,2sin )b x x =-，函数()f x a b =·． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边且()1f C =，1c =，23=ab a b >，求a ，b 的值．【答案】（1）单调递增区间是,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】 【分析】（1）根据函数()f x a b =·．利用向量坐标关系即可求解()f x 化简，结合三角函数性质即可求解()x 的单调递增区间（2）根据()1f C =，求解C ，结合余弦定理，1c =，23=ab a b >，即可求解a ，b 的值．【详解】解：（1）由2()2sin 23sin cos 3sin 2cos212sin(2)16f x a b x x x x x x π==-++-=+-；令， 得：36k xk ππππ-+，k Z ∈．()f x ∴的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）由（1）可得f （C ）2sin(2)116C π=+-=即sin(2)16C π+=，0C π<< 262ππ∴+=C ，可得：6C π=．由余弦定理：221cos 62a b abπ+-=，可得：2261a b =+-⋯⋯① 23ab =⋯⋯②，由①②解得：23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，向量坐标的运算，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．20. 已知函数()xf x ae bx =-（a ，b 为常数），点A 的横坐标为0，曲线()y f x =在点A 处的切线方程为 1.y x =-+（1）求a ，b 的值及函数()f x 的极值； （2）证明：当0x >时，2x e x >．【答案】（1）1a =，2b =，极小值为22ln 2-；无极大值（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得a ，b ，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数()2x h x e x =-，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论．【详解】（1）由已知()0,A a 代入切线方程得1a =，()x f x ae b '=-，∴()01f a b '=-=-， ∴2b =∴()2xf x e x =-，()2x f x e '=-，令()0f x '=得ln 2x =，当ln 2x <时()0f x '<，()f x 单调递减； 当ln 2x >时()0f x '>，()f x 单调递增； 所以当ln 2x =时，()22ln 2f x =-即为极小值；无极大值（2）令()2xh x e x =-，则()2xh x e x '=-，由（1）知()min 22ln 20h x '=-> ∴()h x 在()0,∞+上为增函数 ∴()()010h x h >=>， 即2x e x >.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式．属于中档题. 21. 已知函数()()ln af x x a R x=-∈． （1）判断()f x 在定义域上的单调性；（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为2，求a 的值． 【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在0,上是增函数；当0a <时，()f x 在(]0,a -上是减函数，在(),a -+∞上是增函数；（2）a e =-. 【解析】 【分析】（1）先确定()f x 的定义域为(0,)+∞，再求导，由“()0f x '>，()f x 为增函数()0f x '<，()f x 在为减函数”判断，要注意定义域和分类讨论．（2）因为2()x af x x'+=，0x >．由（1）可知①当0a 时，()f x 在(0,)+∞上为增函数，()()1min f x f =当01a <-时，即1a -时，()f x 在(0,)+∞上也是增函数，()()1min f x f =③当1a e <-<时，即1e a -<<-时，()f x 在[1，]a -上是减函数，在(a -，]e 上是增函数，()()min f x f a =-④当a e -时，即a e -时，()f x 在[1，]e 上是减函数，()()min f x f e =最后取并集．【详解】解：（1）由题意得()f x 的定义域为()0,∞+，()2x af x x +'= ①当0a ≥时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞上为增函数； ②当0a <时，由()0f x '=得x a =-；由()0f x '>得x a >-； 由()0f x '<得x a <-；∴()f x 在(]0,a -上为减函数；在(),a -+∞上为增函数．所以，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上是增函数；当0a <时，()f x 在(]0,a -上是减函数，在(),a -+∞上是增函数． （2）∵()2x af x x+'=，0x >．由（1）可知： ①当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上为增函数，()()min 12f x f a ==-=，得2a =-，矛盾! ②当01a <-≤时，即1a ≥-时，()f x 在()0,∞+上也是增函数，()()min 12f x f a ==-=， ∴2a =-（舍去）．③当1a e <-<时，即1e a -<<-时，()f x 在[]1,a -上是减函数，在(],a e -上是增函数， ∴()()()min ln 12f x f a a =-=-+=，得a e =-（舍去）．④当a e -≥时，即a e ≤-时，()f x 在[]1,e 上是减函数，有()()min 12af x f e e==-=， ∴a e =-． 综上可知：a e =-．【点睛】本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围时，往往转化为求相应函数的最值问题．（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是2222x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(0,)P m ，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值. 【答案】（1）22(1)1y x +-=；0x y m -+=；（2）1. 【解析】 【分析】（1）在极坐标方程是2sin ρθ=的两边分别乘以ρ，再根据极坐标与直角坐标的互化公式cos ,sin x y ρθρθ==及222x y ρ=+即可得到曲线C 的直角坐标方程；消去直线l 的参数方程222x t y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩中的参数t 得到直线l 的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造m 的方程，进一步解的答案.【详解】（1）由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，∵ cos sin x y ρθρθ==，，代入得：222x y y +=，∴ 曲线C 的普通方程为222x y y +=，即：22(1)1y x +-=由l 的参数方程2222x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，消去参数t 得：0x y m -+=.()2当0t =时，得0x y m =⎧⎨=⎩，∴ ()0,p m 在直线l 上，将l 参数方程代入曲线C 的普通方程得： 22222+20222t m t m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得：)222120t m t m m -+-=.设以上方程两根为1t ，2t ，由()()22=21420m m m ∆--->解得：1212m <<由参数t 的几何意义知21221PA PB t t m m =⋅-⋅==， 得221m m -=或221m m -=-，解得12m (舍去)或1m =,∴1m =．【点睛】考点：本题主要考查参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化，同时考查直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题．[选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()1f x x a x =-+-． （1）若()2f a <，求a 的取值范围；（2）当[],x a a k ∈+时，函数()f x 的值域为[]1,3，求k 的值． 【答案】（1）()1,3-；（2）1或2． 【解析】 【分析】（1）()|1|2f a a =-<，即可得a 的取值范围是(1,3)-； （2）对a 分类讨论，由单调性即可得()f x 的单调性．【详解】解：（1）()12f a a =-<，得212a -<-<．即13a -<<，故a 的取值范围()1,3- （2）当1a ≥时，函数()f x 在区间[],a a k +上单调递增．则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得2a =，()()max 213f x f a k a k =+=+-=⎡⎤⎣⎦，得1k =．高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有@高考资源网 - 21 - 当1a <时，()21,11,121,x a x f x a a x x a x a --≥⎧⎪=-<<⎨⎪-++≤⎩则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得0a =，()()max 213f x f a k a k =+=+-=⎡⎤⎣⎦，得2k =．综上所述，k 的值是1或2．【点睛】本题考查了绝对值不等式，属于中档题．。

．已知向量(2,1),(0,1)a b ==，则|2|a b +=（B ．5C ．22πππ边上的动点，则DE DC 的最大值为（(1cos )αα-．设(4,3)a =，a 在b 方向上投影为，b 在x 轴正方向上的投影为，且b 对应的点在第四象限，则b =________．．设向量(cos(a α=，(cos(b α=，且43,a b ⎛⎫+= ⎪α；．已知向量(3sin 22,cos ),(1,2cos )m x x n x =+=，设函数m n = 的最小正周期与单调递减区间；1b =，x x1AB CB CD CE=；F△2,22BF=，求ABC(cos(a b α+=cos(α⎧+（Ⅰ）1a =，32)x x =+-）(3sin22,cos ),(1,2cos )m x x n x =+=，2()3sin222cos 3sin2f x m n x x x ==++=2ππ2T ==令π2π2k +αα=4sin8sin2 '不落在曲线AC CB CD CE=AB•CB=CD•CE．∠=∠是O的切线，∴CBF CAB和△中，BCF2=FA FC FB x x=，∴28△S ABC=23∴1PA K =-．由图可知，要使得()f x 的图像恒在()g x 图象的上方，∴实数k 的取值范围为(12]-，．宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学（文科）试卷解析1．【分析】将B用列举法表示后，作出判断．【解答】解：A={x∈Z||x|≤2}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={y|y=x2+1，x∈A}={5，2，1}B的元素个数是32．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z==+=的实部与虚部的和为1，∴+=1，m=1．3．【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．【解答】解：向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．4．【分析】由题意结合函数的图象，求出周期T，根据周期公式求出ω，求出A，根据函数的图象经过（），求出φ，即可．【解答】解：由函数的图象可知：==，T=π，所以ω=2，A=1，函数的图象经过（），所以1=sin（2×+φ），因为|φ|＜，所以φ=．5．【分析】建立坐标系，由向量数量积的坐标运算公式，可•=x，结合点E在线段AB上运动，可得到x的最大值为1，即为所求的最大值【解答】解：以AB．AD所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）设E（x，0），其中0≤x≤1∵则=（x，﹣1），=（1，0），∴•=x•1+（﹣1）•0=x，∵点E是AB边上的动点，即0≤x≤1，∴x的最大值为1，即•最大值为1；6．【分析】由（）x＞1解得：x＜0.由＜1化为：x（x﹣1）＞0，解出即可判断出结论．【解答】解：由（）x＞1解得：x＜0.由＜1化为：＞0，即x（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜0.∴“（）x＞1”是“＜1”的充分不必要条件，7．【分析】如图所示，建立直角坐标系．直线AB的斜率存在，设方程为：y=kx，k≠0，直线AC的方程为：y=﹣x，可得△ABC的面积S=|AB|•|AC|，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．直线AB的斜率存在，设方程为：y=kx，k≠0.则直线AC的方程为：y=﹣x，∴B（2，2k），C．∴△ABC的面积S=|AB|•|AC|=×=≥2，当且仅当k=±1时取等号．∴△ABC的面积最小值为2．8．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=sinxcosx+cos2 x=sin2x+•=sin（2x+）+的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y=sin[2（x+φ）]+=sin（2x+2φ+）+的图象．再根据所得函数为偶函数，∴2φ+=kπ+，k∈Z，则φ的最小值为，9．【分析】由已知推导出f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），由此能求出f（31）．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），∵当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），∴f（31）=f（32﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣log22=﹣1．10．【分析】利用三角形面积公式表示出S，利用余弦定理表示出cosC，变形后代入已知等式，化简求出cosC 的值，进而求出sinC的值，利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵S=absinC，cosC=，∴2S=absinC，a2+b2﹣c2=2abcosC，代入已知等式得：4S=a2+b2﹣c2+2ab，即2absinC=2abcosC+2ab，∵ab≠0，∴sinC=cosC+1，∵sin2C+cos2C=1，∴2cos2C+2cosC=0，解得：cosC=﹣1（不合题意，舍去），cosC=0，∴sinC=1，则sin（+C）=（sinC+cosC）=．11．【分析】由已知可得函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，画出函数的图象，进而可得满足条件的k值．【解答】解：∵函数y=f（x）对任意的x∈R满足f（4+x）=f（﹣x），∴函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈（﹣∞，2]时，有f（x）=2﹣x﹣5．故函数y=f（x）的图象如下图所示：由图可知，函数f（x）在区间（﹣3，﹣2），（6，7）各有一个零点，故k=﹣3或k=6，12．【分析】根据平移切线法，求出和直线y=x+3平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：设z=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，求函数y=sin2x﹣（x∈[0，π]）的导数，f′（x）=2cos2x，直线y=x+3的斜率k=1，由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=，即2x=，解得x=，此时y=six2x﹣=﹣=0，即函数在（，0）处的切线和直线y=x+3平行，则最短距离d=，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值d2=（）2=，13．【分析】先根据乘积函数的导数公式求出函数f（x）的导数，然后将x0代入建立方程，解之即可．【解答】解：f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1则f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e14．【分析】将原式第一个因式括号中的第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，整理后利用同分母分数的加法法则计算，利用平方差公式变形后，再利用同角三角函数间的基本关系化简，约分后即可得到结果．【解答】解：（+）•（1﹣cosα）=（+）•（1﹣cosα）====sinα．15．【分析】根据投影得出、的夹角及的横坐标为2，设=（2，y），利用夹角公式列方程解出y即可．【解答】解：∵=（4，3），在方向上投影为，||==5，设出、的夹角为θ，∴5cosθ=，∴cosθ=．∵在x轴上的投影为2，设=（2，y），则=8+3y，||=．∴cosθ===，解得y=14或y=﹣．故=（2，14），或=（2，﹣），16．【分析】①若f（x）没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，可得△≤0，解出即可判断出正误；②f（x）在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，解出即可判断出正误；③f′（x）=，利用单调性可得：当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=．且x→0，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）有两个零点，则，解得即可判断出正误；④由于f（x）=log a x（0＜a＜1），可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．k，m，n∈R+且不全等，kd，，，等号不全相等，即可判断出正误．【解答】解：①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，∴△=4（a﹣1）2﹣36≤0，解得﹣2≤a≤4，因此①不正确；②f（x）=在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，因此m∈R且m≠，因此②不正确；③f′（x）=，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，∴当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=．且x→0，f （x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）=﹣m有两个零点，则，解得，因此③不正确．④∵f（x）=log a x（0＜a＜1），∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵k，m，n∈R+且不全等，则，，，等号不全相等，，因此正确．(cos(a b α+=cos(α⎧+⎪⎪（Ⅰ）1a =，2+，）(3sin22,cos ),(1,2cos )m x x n x =+=，2()3sin222cos 3sin2cos23f x m n x x x x ==++=++=2ππ2T ==令π2π2k +3∵3,12S ABC b==△1320．【分析】（Ⅰ）由已知利用周期公式可求最小正周期T=8，由题意可求Q坐标为（4，0）．P坐标为（2，a），结合△OPQ为等腰直角三角形，即可得解a=的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，|OP|=2，|OQ|=4，可求点P′，Q′的坐标，由点P′在曲线y=（x＞0）上，利用倍角公式，诱导公式可求cos2，又结合0＜α＜，可求sin2α的值，由于4cosα•4sinα=8sin2α=2≠3，即可证明点Q′不落在曲线y=（x＞0）上．αα=4sin8sin2'不落在曲线（Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈[，3]，则有k=F′（x0）=≤在x0∈[，3]上有解，可得a≥（﹣+x0）min，x0∈[，3]，求出﹣+x0的最小值，即可求实数a的取值范围；（Ⅲ）a=0，b=﹣时，f（x）﹣lnx+x，2mf（x）=x2有唯一实数解，即2mf（x）=x2有唯一实数解，分类讨论可得正数m的值．，+∞f x(0)()=AC CB CD CEAB•CB=CD•CE．∠=∠是O的切线，∴CBF CAB和△中，ABF BCF△，BCFCF…2=FA FC FBx x=，∴28△S ABC=23．【分析】（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲线C1的参数方程化为普通方程，进而利用即可化为极坐标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；（2）由点M1．M2的极坐标可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），可得直线M1M2的方程为，此直线经过圆心，可得线段PQ是圆x2+（y﹣1）2=1的一条直径，可得得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，代入椭圆的方程即可证明．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为，化成极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=2y，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）由点M1．M2的极坐标分别为和（2，0），可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），∴直线M1M2的方程为，化为x+2y﹣2=0，∵此直线经过圆心（0，1），∴线段PQ是圆x2+（y﹣1）2=1的一条直径，∴∠POQ=90°，由OP⊥OQ得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和，∴，，则，即．【分析】（1）函数f（x）=|x﹣3|+|x+4|，不等式f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．可得①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．。