高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题3.8 欲证直线过定点,结合特征方程验

直线过定点问题解题技巧
解决直线过固定点问题的技巧如下：
1. 使用点斜式或截距式确定直线的方程。

如果直线经过给定的点P（x₀，y₀），可以通过点斜式（y-y₀）=m(x-x₀) 或截距式 y=mx+b 来确定直线的方程。

其中，m 是直线的斜率，b 是y 轴截距。

2. 使用直线的斜率和给定点的坐标计算直线的方程。

如果直线经过两个已知点 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂)，可以使用斜率公式m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) 来计算直线的斜率。

然后，可以使用点斜式或截距式来确定直线的方程。

3. 使用向量的概念来解决问题。

如果直线 L 经过给定点 P(x₀, y₀)，可以使用向量的概念来表示直线。

例如，在平面直角坐标系中，从原点 O(0,0) 到点 P(x₀, y₀) 的向量是 OP = (x₀,
y₀)。

然后，通过平移这个向量，可以得到直线 L 的方程。

4. 使用几何性质和图形的特征来解决问题。

有时，可以根据已知点和直线的特性来确定直线的方程。

例如，如果直线经过原点 O(0,0)，可以确定直线的截距 b=0，并且直线的方程为
y=mx。

总之，“直线过固定点”问题的解决方法可以根据具体情况和已知条件选择不同的技巧，但无论选择哪种方法，都需要根据已知点的坐标和直线的性质来确定直线的方程。

数学过定点问题所有方法我折腾了好久数学过定点问题，总算找到点门道。

说实话，数学过定点问题一开始我也是瞎摸索。

我最开始想到的方法呢，就是特殊值法。

比如说，在有些函数方程里，我就给变量赋特殊的值。

像对于直线方程y = kx + b，如果要找过定点，我就先让k = 0，求出一组x和y的值，再让k = 1，又求出一组。

但是我发现这个方法有些局限性，不是所有的方程都适用。

有时候求出的值不是真正的定点情况，在这里面我吃过很多亏。

有一次考试，我就直接用这个方法，结果做错了，后来才明白原来这个方程变形之后才能用特殊值法准确判断定点。

还有一种方法就是将方程变形为关于某个参数的恒等式。

我记得有一道题是关于含有参数的曲线方程过定点的。

我就把方程进行合并同类项啊，把那些带有参数的项放到一边，不含参数的项放到另一边。

就好比你收拾东西一样，把一样性质的东西放在一起。

然后呢，令所有含参数的系数都为零，这样就可以得到一组方程组，解这个方程组就能求出定点了。

这个方法我用起来开始也不熟练，有几次算错方程组的解了，但后来经过大量的练习就好多了。

分离参数法我也用过。

就是把含参数的式子分离出来，把它想象成一个函数，这个函数在任何情况下这个定点都是它图像上的一个恒定的点。

这个过程就像是把一颗特别的珠子从一堆珠子里面单独分出来，这个特别的珠子就是定点。

比如求一些复杂分式函数过定点，这个方法就很好用。

但是你得注意在分离参数的步骤千万别算错了，我就有一次在分母有理化的过程中出了错，导致后面解出的定点完全不对。

我觉得对于数学过定点问题，要多做题多练手，遇到新的变形要冷静思考用哪种方法好，各种方法并不是孤立的，有时候一个题可能要结合多种方法来判断定点。

专题3.8 欲证直线过定点，结合特征方程验【题型综述】直线过定点的解题策略一般有以下几种：（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【典例指引】类型一椭圆中直线过未知顶点问题例1 【2017课标1，理20】已知椭圆C：2222=1x ya b（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，3），P4（1，3）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.类型二 椭圆中直线过已知定点问题例2. 【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP =u u u r u u u u r。

(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

【解析】(1)设出点P 的坐标，利用2=NP u u u ru u u r得到点P 与点,M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=。

（2）由题意知()1,0F -。

设()()3,,,Q t P m n -,则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r， ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r。

初中数学定点问题提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)定点题型定点问题，初中一般是直线或抛物线恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标.解题思路：这类问题通常有两种处理方法：①第一种方法：是从特殊入手，通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，再证明这个点（值）与变量无关；②第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。

具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值。

一、直线过定点问题：解法1：取特殊值法给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于x，y的两个方程，从中解出x，y即为所求的定点，然后再将此点代入原方程验证即可。

例1：求直线（m+1）x+（m-1）y-2=0所通过的定点P的坐标。

解：令m=-1，可得y=-1；令m=1，可得x=1。

将（1，-1）点代入原方程得：（m+1）·1+（m-1）（-1）-2＝0成立，所以该定点P为（1，-1）。

解法2：由“y-y0=k（x-x0）”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k（x-x0）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x0，y0）。

例2：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标。

证明：由已知直线l的方程得（k+1）x=（k-1）y+2k，∴（k+1）x-（k+1）=（k-1）y+（k-1），不论k取任何实数值时，直线l必过定点M（1，-1）。

解法3：方程思想若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。

例3：若2a-3b=1（a，b∈R），求证：直线ax＋by=5必过定点。

高中数学谈直线恒过定点的破解之道王红敢在近几年各类的模拟考试中，直线恒过定点的问题频频出现，本文通过对一道题目的多种解法，阐释直线恒过定点问题的破解之道。

求证：直线()()()R m 4m 7y 1m x 1m 2∈+=+++恒过某一定点P ，并求该定点的坐标。

破解之道之一：特殊引路法分析：因直线()()4m 7y 1m x 1m 2+=+++随m 取不同的值而变化，但是由题意分析可知应该是围绕某一定点在旋转，而这一定点我们只需两条相交直线即可求得，但是需要我们将点代入原直线方程来证明该点永远在直线上，这样就使得解法更为完备。

证明：直线()()4m 7y 1m x 1m 2+=+++，取21m 01m 2-=⇒=+， 此时直线方程为1y 4217y 21=⇒+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=。

① 取1m 01m -=⇒=+，此时方程为()3x 417x =⇒+-⨯=-② 联立①②解得点P （3，1）。

将点P （3，1）代入直线方程()()()()4m 711m 31m 2y 1m x 1m 2+=⨯++⨯=+++＋。

故直线()()4m 7y 1m x 1m 2+=+++恒过定点P （3，1）。

破解之道之二：换元法分析：众所周知，直线方程中的点斜式()00y x x k y +-=可以表明直线过点P （0x ，0y ），因此我们可以将直线()()4m 7y 1m x 1m 2+=+++的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式，从而证明该直线恒过定点，并且可直接求得该定点。

证明：()()4m 7y 1m x 1m 2+=+++，当1m 01m -≠⇒≠+时，()()4m 7y 1m x 1m 2+=+++1m 4m 71m 1m 2y +++++-=⇒。

令2k k 1m k 1m 1m 2+--=⇒=++-。

由此可得1k 31m 4m 7+-=++。

即原直线方程可化为()13x k 1k 3kx y +-=+-=。

【高中数学】数学《不等式》高考复习知识点一、选择题1．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．2B ．12C ．-2D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果. 【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =. 故选：A . 【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.2．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ） A 3B ．51)C ．45D ．4【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x y x x PM P P M x F x Q P x x-+-+====+≥-， 当4x x =，即2x =时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．变量,x y 满足约束条件1{2314y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的取值集合是（ ） A ．{3,0}- B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-【答案】B 【解析】若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．4．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A ．2B ．4C ．22D ．2【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．5．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）A ．[3,3]；B ．(,3]-∞C ．3,)+∞D ．(,3]3,)-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 为等差数列，∴1515455102a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得11322a d a =--， 当10a >时，11111133323222222a a a d a a a ⎛⎫=--=-+≤-⋅=- ⎪⎝⎭13a 时等号成立； 当10a <时，11113332222a a d a a ⎛⎫⎛⎫=--≥-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13a =-立；∴实数d 的取值范围为(,3]3,)-∞⋃+∞.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.6．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数32()1f x x bx x =+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，依题意即222()3203a c f x x bx +-'=++>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为32()1f x x bx x =+++，所以222()323a c f x x bx +-'=++，若()g x 的定义域为R ，则有()222(2)40b a c ∆=-+-<，即222a c b +->，结合余弦定理，222cos 22a cb B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.7．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】 【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不【详解】因为()122y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 18. 故选：A 【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.8．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ）A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]【答案】B 【解析】 【分析】 作出可行域，1y x+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，观察可行域可得最小值． 【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1y x+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，(1,3)A ，3(1)410QA k --==-，过Q 与直线0x y +=平行的直线斜率为－1，∴14PQ k -<≤．故选：B ．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1y x+表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．9．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.10．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】22x y +≥Q 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.11．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.12．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ） A．2⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．[)1,+∞C．)+∞D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：()0,1F ，设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，M Q 为线段AB 的中点，12022x x x k +∴==， M Q 在直线l 上，200121y kx k ∴=+=+，20021122OMy k k k x k k +∴===+≥=2k =时取等号）， 即直线OM斜率的取值范围为)+∞. 故选：C . 【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.13．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】 【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可． 【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ． 【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．14．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( ) A ．169πB ．89π C ．1627πD ．827π 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可． 【详解】解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323r x -=， 332x r ∴=-，∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r r π=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r rV r r r r πππ++-=-=g g g g …．当且仅当33342r r =-，即43r =时等号成立．∴圆柱的最大体积为169π， 故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．15．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==， 即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.16．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．3-C ．32D ．3 【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.17．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.18．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32 B ．53 C ．74 D ．95【答案】D【解析】【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；【详解】当2m n +=时， Q 131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+ Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3 【答案】D【解析】【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m m n +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n∴+的最小值为3. 故选：D .【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.20．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+…，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．[3,2]-- C ．[2,3)- D ．[3,2]-【答案】D【解析】【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-…，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围.【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数； 又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称，则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-…，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤.故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.。

解析几何中的求过定点问题解题技巧一、引理：过原点两直线与二次曲线一条直线与一个二次曲线交于两点A ﹑B,如图； 设直线AB 方程为mkx y += ① 曲线方程为fey dx cxy by ax +++++22=0 ②必含有xy 项，即0≠c ）将①化为mkxy -=1, ②化为22⋅+++dx cxy by ax 将mkx y -=10)(222=-⋅+-⋅+-⋅+++mkx y f m kx y ey m kx y dx cxy by ax ④显然④是一个二次齐次式，且一定可化为022=++Cx Bxy Ay即：0)()(2=++C xy B x y A ⑤⑤中x y的几何意义为A 、B 两点（即AB 直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA 、OB 的斜率，设为 21,k k 。

由韦达定理知从而，能通过最初的二次曲线和直线AB 相交，得出OA 、OB 的性质。

倒过来，我们也可以通过OA 和OB 的性质与二次曲线得出直线AB 的性质。

下面谈一谈的这个引理的应用，先从简单的例1开始，因为简单的问题往往蕴含了最基本的方法。

二、应用举例例1.抛物线px y 22=,过原点的两条垂直的直线OA ，OB 交抛物线于A 、B 。

,21A B k k -=+A Ck k =⋅21。

求证：直线AB 过x 轴上一定点。

分析：知道OA 与OB 的一个性质：垂直，从而可以从它得出AB 的性质，进而得出定点。

解：设AB ：n my x +=( 显然AB 不能横着） ① 抛物线：px y 22= ②①化为n myx -=1代入②（目的化为二次齐次式）得 n my x px y -⋅=22 即022=-⋅-nmyx px y ③ ③可化为022=++Cx Bxy Ay0)()(2=++C xy B x y A 其中1=A n pC 2-=∴ npA C k k OB OA 2-==⋅ 又1-=⋅OB OA k k （因OA 与OB 垂直） ∴p n 2=， ∴ AB 恒过点（2p ．0)说明：没有必要求出B 值，因为目标与B 值无关，从而减少了运算量！ 下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点的。

【题型综述】直线过定点问题在全国卷近几年高考中出现的频率较低，是圆锥曲线部分的小概率考点．此种平民解法思维上比较接地气，但是实际操作上属于暴力美学范畴．定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可．技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？【典例指引】例1、（“手电筒”模型）已知椭圆C：错误!未找到引用源。

若直线错误!未找到引用源。

与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线错误!未找到引用源。

过定点，并求出该定点的坐标．◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点错误!未找到引用源。

．（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如错误!未找到引用源。

定值，错误!未找到引用源。

定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）．此模型解题步骤：Step1：设AB 直线错误!未找到引用源。

，联立曲线方程得根与系数关系，错误!未找到引用源。

求出参数范围；Step2：由AP 与BP 关系（如错误!未找到引用源。

），得一次函数错误!未找到引用源。

； Step3：将错误!未找到引用源。

代入错误!未找到引用源。

，得错误!未找到引用源。

． 例2、（切点弦恒过定点）有如下结论：“圆错误!未找到引用源。

上一点错误!未找到引用源。

处的切线方程为错误!未找到引用源。

”，类比也有结论：“椭圆错误!未找到引用源。

处的切线方程为错误!未找到引用源。

”，过椭圆C ：错误!未找到引用源。

【题型综述】三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.【典例指引】类型一 向量法证三点共线例1 （2012北京理19）（本小题共14分）已知曲线C :22(5)(2)8m x m y -+-=（m R ∈） (Ⅰ)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；(Ⅱ)设m =4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线.MB方程为：62MMkxy xx+=-，则316MMxGkx⎛⎫⎪+⎝⎭，，∴316MMxAGx k⎛⎫=-⎪+⎝⎭，，()2N NAN x x k=+，，欲证A G N，，三点共线，只需证AG，AN共线即3(2)6MN NMxx k xx k+=-+成立，化简得：(3)6()M N M Nk k x x x x+=-+将①②代入易知等式成立，则A G N，，三点共线得证。

类型二斜率法证三点共线例2.（2017•上海模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．（1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小；（2）求证：点B、O、C三点共线．∵k OB==，y1y2=﹣4，∴k OB=k OC，∴点B、O、C三点共线．类型三直线方程法证三点共线例3（2017•贵阳二模）已知椭圆C：=1（a＞0）的焦点在x轴上，且椭圆C的焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点R（4，0）的直线l与椭圆C交于两点P，Q，过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N，F为椭圆C的右焦点，求证：三点N，F，Q在同一条直线上．==，即直线QN过点（1，0），又∵椭圆C的右焦点坐标为F（1，0），∴三点N，F，Q在同一条直线上．类型四多种方法证三点共线例4.（2017•保定一模）设椭圆x2+2y2=8与y轴相交于A，B两点（A在B的上方），直线y=kx+4与该椭圆相交于不同的两点M，N，直线y=1与BM交于G．（1）求椭圆的离心率；（2）求证：A，G，N三点共线．【扩展链接】1.给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;2. 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线；3.【同步训练】1．已知椭圆E ：+=1（a ＞）的离心率e=，右焦点F （c ，0），过点A （，0）的直线交椭圆E 于P ，Q 两点． （1）求椭圆E 的方程；（2）若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：M ，F ，Q 三点共线； （3）当△FPQ 面积最大时，求直线PQ 的方程．【思路点拨】（1）由椭圆的离心率公式，计算可得a 与c 的值，由椭圆的几何性质可得b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程计算可得答案；（2）根据题意，设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），联立直线与椭圆的方程可得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，设出P、Q的坐标，由根与系数的关系的分析求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法，分析可得证明；（3）设直线PQ的方程为x=my+3，联立直线与椭圆的方程，分析有（m2+3）y2+6my+3=0，设P （x1，y1），Q（x2，y2），结合根与系数的关系分析用y1．y2表示出△FPQ的面积，分析可得答案．（3）设直线PQ的方程为x=my+3．由方程组，得（m2+3）y2+6my+3=0，2.已知椭圆C：+y2=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．（Ⅰ）求△MFN的面积的最小值；（Ⅱ）证明；E，O，D三点共线．【思路点拨】（I）F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．由MF⊥NF，可得=0，化为：t1t2=﹣1．S△MFN=，利用基本不等式的性质即可得出．（II）A（﹣，0）．设M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直线AM，AN的方程分别为：y=x+t，y=x﹣．分别与椭圆方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系可得k OE，k OD．只要证明k OE=k OD．即可得出E，O，D三点共线．【详细解析】（I）F（1，0），设M（0，t1），N（0，t2）．不妨设t1＞t2．∵MF⊥NF，∴=1+t1t2=0，化为：t1t2=﹣1．∴S△MFN==≥=1．当且仅当t1=﹣t2=1时取等号．3.已知焦距为2的椭圆W：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，点M（x0，y0）为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之积为．（1）求椭圆W的标准方程；（2）如图所示，点A，D是椭圆W上两点，点A与点B关于原点对称，AD⊥AB，点C在x轴上，且AC与x轴垂直，求证：B，C，D三点共线．【思路点拨】（1）由c=1，a2﹣b2=1，求得四条直线的斜率，由斜率乘积为，代入求得a和b 的关系，即可求得a和b的值，求得椭圆W的标准方程；（2）设A，D的坐标，代入椭圆方程，作差法，求得直线AD的斜率，由k AD•k AB=﹣1，代入求得=，由k BD﹣k BC=0，即可求证k BD=k BC，即可求证B，C，D三点共线．（2）证明：不妨设点A（x1，y1），D（x2，y2），B的坐标（﹣x1，﹣y1），C（x1，0），∵A，D在椭圆上，，=0，即（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴=﹣，由AD⊥AB，∴k AD•k AB=﹣1，•=﹣1，•（﹣，）=﹣1，∴=，∴k BD﹣k BC=﹣=﹣=0，k BD=k BC，∴B，C，D三点共线．4.给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆的“伴随圆”．已知A（2，1）是椭圆G：x2+4y2=m（m＞0）上的点．（Ⅰ）若过点P（0，）的直线l与椭圆G有且只有一个公共点，求直线l被椭圆G的“伴随圆”G1所截得的弦长；（Ⅱ）若椭圆G上的M，N两点满足4k1k2=﹣1（k1，k2是直线AM，AN的斜率），求证：M，N，O 三点共线．【思路点拨】（Ⅰ）将A代入椭圆方程，可得m，进而得到椭圆方程和伴椭圆方程，讨论直线l的斜率不存在和存在，设出l的方程，代入椭圆方程运用判别式为0，求得k，再由直线和圆相交的弦长公式，计算即可得到所求弦长；（Ⅱ）设直线AM，AN的方程分别为y﹣1=k1（x﹣2），y﹣1=k2（x﹣2），设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆方程求得交点M，M的坐标，运用直线的斜率公式，计算直线OM，ON的斜⇐率相等，即可得证．5.已知椭圆,四点中恰有三点在椭圆C上（1）求椭圆的方程.（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于，两点，轴于点，点在椭圆C上，且求证：，三点共线.【思路点拨】根据椭圆上的点坐标求出椭圆方程；设出，，则，，再向量坐标化，得到，得到，最终得到；6.已知抛物线：（）的焦点为，点为直线与抛物线准线的交点，直线与抛物线相交于、两点，点关于轴的对称点为.（1）求抛物线的方程；（2）证明：点在直线上.【思路点拨】（1）由交点坐标可得，求得可得抛物线方程；（2）设直线的方程为（），代入抛物线方程消去x整理得，再设，，进而得，可得直线的方程为，又，，故BD方程化为，令，得，即结论成立。