麦克斯韦速度分布律几种证明方法的比较

速率分布函数
速率分布函数的物理意义： 附近， 速率分布函数的物理意义：表示在速率 v 附近，单位 速率区间内分子出现的概率， 速率区间内分子出现的概率，或单位速率区间内分子 数占总分子数的百分比。 数占总分子数的百分比。
由于全部分子百分之百地分布在由0到 由于全部分子百分之百地分布在由 到∞的整个速率范 围内， 取v = 0, v → ∞, 则有 : 围内， 1 2 ∞ N dN 归一化条件
dNv m 2 −mv2 2kT 2 π =4 v dv e N π 2 kT
3 2
麦克斯韦速率分布函数
m π f (v) = 4 e π 2 kT
−m 2 v
2kT 2
v
6
讨论： 讨论： 1. f(v)~v曲线 曲线
v = 0时 f (v) = 0 v → ∞时 f (v) → 0
M
∆N1v1 + ∆N 2 v2 + L + ∆N N v N n ∆N ivi 平均速率： 平均速率：v = =∑ i =1 N N N vdN ∞ dN Q = f (v) dv ∴ v = ∫ vf (v)dv v = ∫1 0 N N 11
v = ∫ vf (v)dv = ∫0
利用积分公式 ∫
麦克斯韦速率分布率
1
气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完 全是偶然的，但就大量分子的整体来看， 全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 这个规律也叫麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布律。 这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。
∆N N∆v
4. ∆v → dv 速率间隔很小， 速率间隔很小， 该区间内分子数为dN， 该区间内分子数为 ， 在该速率区间内分子的概率

麦克斯韦气体速率分布律推导麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布律描述了理想气体中分子速度的统计分布。

以下是该分布律的推导过程。

首先，考虑一个由大量相同分子组成的理想气体，这些分子在容器中随机、无序地运动。

由于分子间的碰撞非常频繁，我们可以假定每个分子的运动是相互独立的。

我们的目标是求出分子速率的分布函数。

1. 假设分子的运动是三维的随机运动，并且分子间无相互作用力。

2. 假设分子的运动是各向同性的，即在任何方向上运动的概率都是相等的。

3. 假设分子的运动是稳定的，即分子的速率分布不随时间改变。

4. 引入分子速度的微分元素d³v，表示速度在v到v+dv之间的分子数。

5. 引入微元体积元素dV和微元时间元素dt。

接下来，我们将使用微元分析法来推导速率分布律。

对于一个具有速率v的分子，在时间dt内，它将沿着速度方向移动的距离为v·dt。

因此，它所扫过的体积元素为dV = v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv·dt，其中θ是速度方向与某一选定方向（通常是x轴）的夹角。

现在，考虑在dt时间内所有具有速率v的分子所扫过的体积总和，即所有可能的方向θ的贡献。

由于θ的取值范围是0到π，我们可以将上述体积元素乘以角度元素dθ（从0到π）并积分，以得到总的体积元素dV_total：dV_total = ∫(v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv)·dθ·dt由于cos²(θ)·sin(θ)是关于θ的偶函数，而在0到π的范围内积分，它的积分结果为零。

为了解决这个问题，我们需要考虑在速度方向上的微小位移。

在速度方向上的微小位移为v·cos(θ)·dt，因此，在dt时间内，具有速率v的分子在速度方向上的微小体积元素为dV_v = v·cos(θ)·dv·dt。

1）
v
vp
Nf
(v)dv
2）

vp
1 2
mv 2
Nf
(v)dv
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v) O2
H2
vp
2RT M mol
M mol (H2 ) M mol (O2 )
469.1m / s
由公式
v2 3RT M mol
v2
38.31 300 29 103

507.1m
/
s
例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
f (v) 求 1） 速率在vp ~ v 间的分子数； 2）速率
在 vp ~ 间所有分子动能之和 .
解：速率在v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
N


dN
0



dN


f ()d
N
0N 0
8kT 8RT 1.60 RT
m
M mol
M mol
3


2dN
0



2
f
(
)d
N
0
或由w 1 m2 3 kT
2
2
可得 2 3kT
v1~v2
v2 f ()d
v1
v2 f ()d
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为

完美WORD 格式 编辑麦克斯韦速度分布律的推导与实验验证摘要：本文对麦克斯韦速度分布律的内容及其历史来历做了简略概述，重点是用初等方法推导了麦克斯韦速度分布律，同时简单地描述了一下它的实验验证。

关键词：速度分布函数，实验验证。

一． 内容1、麦克斯韦速度分布律的内容当气体处于平衡态时，气体分子的速度在v ~v dv +间隔内，及分子速度分量在x x x v ~v dv +，y y y v ~v dv +，z z z v ~v dv +间隔内的分子数dN(v)占总分子数N的比率为：2223()/22x y z d v m ()v v v N 2kTx y z m v v v kTN e d d d π-++=（）， 其中m 为分子的质量，T 为气体温度，k 为波尔兹曼常数，222211()v 22x y z m v v v m ++=为气体分子平动能。

d v NN （）表示速度矢量的端点在速度体元d τ内的分子数占总分子数的比率，换言之，一个分子取得v ~v dv +间隔内速度的几率。

2、分子速度分布函数2223()/22m f ()2kTx y zm v v v kTe π-++=x y z dN(v)（v ）=Ndv dv dvf （v ）的物理意义是：分子速度在v 附近，单位时间间隔内的分子数占总分子数的比率。

3、速度分量分布函数2221/221/221/22m f ()2kTm f ()2kTm f ()2kTx y z mv kTmv kTmv kTee eπππ---===x x x y y y z z z dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv3、麦克斯韦速率分布律将以,,x y z v v v 为轴的笛氏坐标进行坐标变换，变为球坐标2,,,,sin {x y z v v v v v d d dv θϕθθϕ→→xyzdvdv dv 分子速度在v ~v dv +，~,~d d θθθϕϕϕ++内的分子数占总分子数的比率为23/222m ()sin 2kTmv kT e v d d dv θθϕπ-=dN(v)N 对θ，ϕ积分，得分子的速度在v ~v dv +内分子数占总分子数的比率为23/222m 4()2kTmv kT e v dv ππ-=dN(v)N 4、分子速率分布函数23/222m f v 4()2kTmv kT e v ππ-=dN(v)（）=Ndv物理意义:分子速率在v 附近，单位速率间隔内的几率。