九年级数学画角平分线

初中数学如何画出一个角的平分线
要画出一个角的平分线，我们可以采用以下步骤：
步骤1：准备工作
在纸上用直尺绘制一个角。

我们可以使用直尺的一条边作为角的一条边，然后用另一条边延长出来作为另一条边。

确保角的两边相交于一个顶点。

步骤2：确定角的平分线的起点
在角的顶点处，使用直尺绘制一条线段，作为平分线的起点。

这个起点可以是任意长度，只需确保它足够长以后续步骤的绘制。

步骤3：以顶点为中心，绘制一个圆弧
以角的顶点为中心，使用指定的半径，在角的两个边上各绘制一个圆弧。

这两个圆弧应该相交于一个点，这个点将成为平分线与角的顶点相交处。

步骤4：以圆弧相交点为半径，作两个圆弧
以圆弧相交点为圆心，以相同的半径作两个圆弧。

这两个圆弧应该分别与角的两个边相交，分别在两个边的延长线上。

步骤5：连接起点和两个相交点
使用直尺连接平分线的起点与两个圆弧相交点，分别得到与角的两个边相交的点。

这两个点将成为平分线与角的两个边相交处。

步骤6：连接起点和角的顶点
使用直尺连接平分线的起点与角的顶点，得到平分线的终点。

至此，我们成功地画出了角的平分线。

需要注意的是，如果角的两边相交于一个直角或钝角的顶点，那么平分线的绘制将稍有不同。

在这种情况下，我们需要将角的两边延长，使其相交于一个锐角的顶点，然后按照上述步骤进行绘制。

总结起来，画出一个角的平分线的步骤包括准备工作、确定平分线的起点、绘制圆弧、连接起点和圆弧相交点、连接起点和角的顶点。

通过这些步骤，我们可以准确地画出角的平分线。

三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型） 模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。

（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1 图2图3 条件：如图1，OO ’平分∠MON ，过OO ’的一点P 作PQ//ON. 结论：△OPQ 是等腰三角形。

条件：如图2，△ABC 中，BD 是 ∠ ABC 的角平分线，DE ∥ BC 。

结论：△BDE 是等腰三角形。

条件：如图3，在中，平分，平分，过点O 作的平行线与，分别相交于点M ，N ．结论：△BOM 、△CON 都是等腰三角形。

2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE 平分∠CBA ，∠ACB ＝∠CDA ＝90°. 结论：三角形CEF 是等腰三角形。

ABC !BO ABC ÐCO ACB ÐBC AB AC FCDE××○○×线交于点．若，则的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．例2．（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O 为△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，OD // AB 交BC 于点D ， OE // AC 交BC 于点E ．若AB =5 cm ，BC =10 cm ，AC =9 cm ，则△ODE 的周长为( )A ．10 cmB ．9 cmC ．8 cmD ．5 cm例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，BE 平分∠ABC 交AD 于E 点，CF 平分∠BCD 交AD 于F 点，则EF 的长为 cm ．例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D ，的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若，，则_____________．例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC 中，AB =AC ，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F .(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF 与BE 、CF 之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC 中∠B 的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F .这时图中还有等腰三角形吗?EF 与BE 、CF 关系又如何?说明你的理由.AF 1l B 130BCA Ð=°1Ð20°25°30°50°ABC △90BAC Ð=°AD BC ^ABC Ð3AE =2DF =AD =ABF EDC模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型图1 图2图3例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在中，D 是边上的点（不与点B 、C 重合），连接．(1)如图1，当点D 是边的中点时，_____；(2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m 、n 的式子表示）；(3)如图3，平分，延长到E ．使得，连接，若，求的值．ABC !BC AD BC :ABD ACD S S =△△AD BAC ÐAB m =AC n =:ABD ACD S S △△AD BAC ÐAD AD DE =BE 3,5,10BDE AC AB S ===△ABC S !课后专项训练1．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，中，，点I 为各内角平分线的交点，ABC !90ABC Ð=°ABC !11．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）12.（2023.广东九年级期中）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =CE 时，EP +BP =________.13．（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，在中，，是斜边上的高，的平分线交于点，交于点．(1)求证：是等腰三角形．(2)若，．求的长度．14．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点，求证：是等腰三角形．15．（2023广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________．（2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长．13ABC !90ACB Ð=°CE AB ABC ÐBD CE M AC D CDM V 10AB =8AC =ME ABC !90ACB Ð=°CD AB AE BAC ÐAE CD F CEF △ABC !10AB AC ==BD ABC ÐCD ACB ÐD EF BC AB AC E F EF BE CF AEF △ABC !10AB AC ==ABC !8AB =10AC =EF BE CF AEF △（3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．16.（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）如图，为的角平分线．（1）如图1，若于点，交于点，，．则________； （2）如图2，若，，的面积是10，求的面积；（3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示）D ABC !AB AC >BD ABC ÐCD ABC !ACG ÐD DE BC AB AC EF EF BE CF AD ABC D CE AD ^F AB E 7AB =5AC =BE =7AB =5AC =ACD D ABC D 2C B Ð=ÐAB m =AC n =BD m n。

角平分线的画法的依据角平分线是一个重要的几何概念，它指的是将一个角分成两个相等的角的直线。

在数学中，角平分线被广泛应用于各种几何问题的解决中，因此了解和掌握角平分线的画法是非常重要的。

本文将介绍角平分线的画法的依据，并详细解释如何准确地画出角平分线。

首先，我们需要了解角平分线的定义。

角平分线是从某个角的顶点开始，将该角分成两个相等角的直线。

在画角平分线之前，需要先画出待分角。

给定一个角ABC，其中A为顶点，角度为θ。

为了构造角ABC的角平分线，我们需要遵循以下步骤：1. 使用直尺绘制一条从角的顶点A开始的射线AC。

这条射线将成为角的一条边，并且应该足够长以确保角平分线与角的另一条边相交。

2. 使用直尺绘制一条从角的另一条边AB上的任意一点B开始的射线BD。

这条射线应该与射线AC相交，并且尽可能接近垂直于射线AC。

3. 通过使用指南针工具，设置一个合适的半径，将B作为圆心在射线AC上绘制一个弧段，与射线BD两次相交。

这两个相交点分别标记为E和F。

4. 使用直尺绘制一条连接顶点A和弧段上的任意一个交点E的直线AE。

同样，使用直尺绘制一条连接顶点A和弧段上的另一个交点F 的直线AF。

5. 直线AE和直线AF分别是角ABC的两条平分线，因为它们将角ABC分成两个相等角。

根据以上步骤，我们可以成功地绘制出角ABC的角平分线。

这个方法的依据主要是基于几何学中的一些公设和定理。

首先，我们应用了平行公设和定理。

在步骤1中，我们绘制了从顶点A开始的射线AC，这条射线与角的一条边AB平行。

在步骤2中，我们绘制了从角的另一条边AB上的点B开始的射线BD，该射线应该足够接近垂直于射线AC。

通过这样的构造，我们可以得到一条平行于射线AC的射线BD，并且这两条射线相交于角ABC的顶点A。

其次，我们应用了圆的性质。

在步骤3中，我们使用圆心B和半径BE（或BF）在射线AC上绘制了一个弧段。

根据圆的性质，弧段上的任意两个点与圆心B的距离相等。

教学设计（一）创设情景，提出问题如图是小明制作的风筝，AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？师生活动：学生根据三角形全等的知识口述其中的道理，从而引入新课．（二）合作探究，形成知识问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题．追问1：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？师生活动：学生分析并回答──利用量角器比较方便，但是有误差；利用折叠的方法比较简捷，但是只限于可以折叠的材质，若在木板、钢板等材料上操作，此方法就不可行了．追问2：下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，射线AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？师生活动：教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．小组交流完成教学过程教学环节教学活动评估要点追问3：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？师生活动：师生分别在黑板和练习本上利用直尺和圆规作∠AOB的平分线．教师与学生共同归纳，得出利用尺规作角的平分线的具本方法．如果学生没有思路，教师可作如下提示：1．在用平分角的仪器画角的平分线时，把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=CD），怎样在作图中体现这个过程呢？2．在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？追问4：你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？师生活动：学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据．【设计意图】让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角的平分线，增强作图技能．最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性．问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？首先思考下面的问题：1．操作测量：任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E 为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：此处的思考内容，重在发展学生的发散思维，肯定学生的闪光点2．观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________ 3．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？师生活动：学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生互相补充，教师指导，一起猜想出角的平分线的性质．追问1：通过动手实验、观察比较，我们猜想“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？1．明确命题中的已知和求证．已知：一个点在一个角的平分线上．结论：这个点到这个角两边的距离相等．（如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等）2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．求证：PD=PE．3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)∴在△PDO和△PEO中∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，∴PD=PE．师生活动：教师首先引导学生分析命题的条件和结论．如果学生感到困难，可以让学生将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中的隐含条件（垂直）．最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程．学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生互相补充，教师指导，追问2：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？师生活动：师生共同概括证明几何命题的一般步聚：1．明确命题中的已知和求证．2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．追问3：角的平分线的性质的作用是什么？师生活动：学生回答，角的平分线的性质的作用主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．【设计意图】让学生通过实践发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路．以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步聚，发展他们的归纳概括能力．而反思性质，可以让学生进一步体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比先证两个三角形全等更简捷．（三）巩固提高1．下列结论一定成立的是（）A．如图1，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．B．如图2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则PD＝PE ．C．如图3，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．图1 图2 图32．如图4，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．图4师生活动：学生先独立思考，然后小组交流，派代表回答，教师适时点拨，并板演证明过程．【设计意图】通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力．板书设计性质一：角的平分线上的点到角的内部到角的两边的距离相等∵∠POA=∠POB（OP平分∠AOB）PA⊥OA、PB⊥OB∴PA=PB课后作业如图， OP 为∠AOB 内一条射线， C，D 分别为 OA ，OB 上两点，且∠PCO+∠PDO＝180°， PC＝PD．求证： OP 平分∠A0B．课后反思本课时重在理解掌握性质定理一，并将其灵活应用到具体的几何问题中去，一定要让学生明白应用的前提是“角平分线”，1是角平分线，2是涉及到垂直（或90度），两者缺一不可。

角平分线的画法及原理宝子，今天咱们来唠唠角平分线这个超有趣的东西呀。

先来说说角平分线的画法吧。

咱有一种特别简单又好玩的方法哦。

拿个圆规来，把圆规的针尖放在角的顶点上，然后随便画个弧，这个弧呢就和角的两条边都相交啦。

这就像是给角的两边都戴了个小帽子一样，是不是很可爱呢？接着呢，不要动圆规的半径哦，分别以刚才和角两边相交的那两个点为圆心，再画两个小弧，这两个小弧呀就会在角的内部相交啦。

最后呢，用直尺把角的顶点和这个相交点连起来，哇塞，这条线就是角平分线啦。

就好像是找到了角这个小世界里最公平的那条分割线一样呢。

那为啥这么画就能得到角平分线呢？这就涉及到一些超酷的原理啦。

咱先看那第一步画的弧，它和角的两边相交得到的那两个点到角的顶点的距离是相等的呀，因为是用同一个半径画的弧嘛。

然后呢，后面又分别以这两个点为圆心画弧，这两个小弧相交的那个点到这两个点的距离也是相等的。

这就像是在角的内部找到了一个到角两边距离都相等的神秘点呢。

从数学的角度来说，角平分线的定义就是把一个角平均分成两个相等的角的线。

我们这么画出来的线，它具有一个超厉害的性质，就是角平分线上的点到角两边的距离相等。

想象一下哦，如果我们在角平分线上随便取一个点，然后向角的两边作垂线，这两条垂线的长度是一样的呢。

这就好像是这个点在角的两边之间找到了一种完美的平衡。

咱再换个角度想，就像分蛋糕一样，如果要把一个角这个“蛋糕”分成相等的两部分，我们通过这样画弧、找交点、连线的方式，就精准地找到了那条分界线。

而且呀，这个方法是经过很多很多聪明的数学家验证过的，超级靠谱呢。

其实角平分线在生活中也有很多应用呢。

比如说在建筑设计里，如果要设计一个对称的建筑，可能就会用到角平分线的知识来确定一些对称轴之类的。

还有在一些艺术创作里，要是想把一个图案按照某个角平均分开，也能用到这个方法哦。

宝子，你看这角平分线是不是既好玩又超级有用呢？它就像是数学这个大宝藏里的一颗亮晶晶的小宝石，虽然看起来小小的，但是蕴含着很多很多的智慧呢。

初中数学角平分线问题的六种方法
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线。

在初中数学中，有六种常见的方法可以求解角平分线问题。

方法一：作弧上的等分线法
以角的顶点为圆心，画一个圆，并将圆分成需要的等分数。

然后将等分点和角的两个端点相连，这些线段就是所求的角平分线。

方法二：作垂线法
以角的一边为直径作一个圆，然后将另一边的端点与圆上的点连成线段。

连接角的两个顶点与圆心，这两条线段就是所求的角平分线。

方法三：作过顶点的角平分线法
以角的顶点为圆心，任意作一个大于角的两边的弧，将弧上的两个点与角的两个端点连成线段。

连接圆心与弧的两个端点，这两条线段就是所求的角平分线。

方法四：作等距离线段法
以角的一边为直径作一个圆，在圆上选择等距离原点的多个点，然后将这些点与角的两个端点连成线段。

与角度相等的线段即为所求的角平分线。

方法五：作锐角三等分线法
将角分成三个相等的锐角，然后以这三个锐角的顶点为圆心，分别作三个圆。

连接圆心与圆上的点，这些线段即为所求的角平分线。

方法六：利用角度性质法
利用角的度数关系来求解角平分线。

如果角的两边垂直，则角平分线就是两边的垂线；如果角的两边相等，则角平分线就是两边的中垂线；如果角的两边呈比例关系，则角平分线是两边之比的垂线。

以上六种方法是初中数学中常见的角平分线求解方法。

每种方法都有其独特的应用场景，根据题目给出的条件，选择合适的方法来求解即可。

同时，理解角平分线的定义和性质，掌握角的几何构造技巧，也能在解决问题中起到很好的帮助作用。