2016-2017下期宁化一中高一数学半期考试题

宁化一中2020-2021学年高一下期第二次阶段考参考答案一、选择题123456789101112D C B C A D CB AB BCD ABD ABC二、填空题13.114.0.5515.5三、解答题17.解：（1）由题意可知：20100.45b a =+，(20.065)101a b ++⨯=解得0.005a =，0.025b =，所以平均值等于500.05600.25700.45⨯+⨯+⨯+800.2900.0569.5⨯+⨯=中位数等于0.2625651069.40.459+⨯=≈18.（1）由题得()()21110m n m n ++++=-++++=，100m n -++=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩解得23m n =-⎧⎨=⎩（2）设(),i z x y x y =+∈R ，()33z i x y i +=++ 为实数，3y ∴=-.()()()()31133339331010z x i x i i x x i i i -==-+-++-⎡⎤⎣⎦--为实数，9x ∴=，93z i ∴=-.()()()()222813183726183z ai a a i a a a i +=--+-=+-+- ，∴由已知得27260,18(3)0,a a a ⎧+->⎨->⎩解得312a <<，即a 的取值范围是()3,12.19.（1）12,e e 分别是x 轴和y 轴正方向的单位向量，且夹角为60︒，所以12111122e e ⋅=⨯⨯= ，OP 的坐标为(4,2)，所以1242OP e e =+ ，所以21221122221)161641616428(224OP e e e e e e =+⋅+=+⨯+=+= ，所以||OP == （2）OQ 的坐标为(3,2)-，所以1232OQ e e =-+，||OQ === 2221212112(4232)()122412147OP OQ e e e e e e e e ⋅=-⋅+⋅+=-+=+-++=- ,所以OP 与OQ夹角的余弦值为|12|||OP OQ OP OQ ⋅⋅==- 所以OP 与OQ 夹角的大小为120 .20（1）由表中数据可得老年人､中年人和青年人选择报团游的频率分别为：1231553032211,,1864044221P P P ======，∵123P P P >>，∴老年人更倾向于选择报团游.（2）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为a ，中年人有2人，记为,b c ，青年人有2人，记为,d e ，从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：()()()(),,,,,,,a b a c a d a e ，∴这2人中有老年人的概率为42105P ==.（3）根据表中的数据，得到：报团游的满意率为41218154515302267P ++==++，自助游的满意率为51461310203P ++==++，∵45P P >，∴建议他选择报团游.21.（1）在ABC ∆中，由正弦定理及()2cos cos a c B b C -=可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B B C C B B C A=+=+=因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =又0B π<<，故3B π=（2）由（1）知，3B π=且AB AC =，所以ABC ∆为等边三角形.设D α∠=则在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AC AD DC AD DC D =+-⋅∠16416cos 2016cos αα=+-=-所以21sin 23ABC S AC πα∆=⋅⋅=142sin 4sin 2ACD S αα∆=⨯⨯=四边形ABCD 的面积4sin 8sin 3S πααα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭因为0απ<<，所以2333πππα-<-<当32ππα-=，即56πα=时max 8S =+所以当56D π∠=时，四边形ABCD 的面积取得最大值8+22．（1）D 为AC 的中点时，//QD 平面11ABB A .证明如下：//AB 平面111A B C ，AB ⊂平面ABQP ，平面ABQP 平面111A B C PQ =，//PQ AB ∴，PQ ⊄平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，所以//PQ 平面11ABB A ，又 D 为AC 的中点，∴1PDAA 是平行四边形，1//PD AA ∴，又PD ⊄ 平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，//PD ∴面11ABB A ，又PD 与PQ 在平面PDQ 内相交，∴面//PDQ 面11ABB A ，又QD ⊂ 面PDQ ，//DQ ∴平面11ABB A ；（2）连接BP ，四棱锥C ABQP -可视为三棱锥C BPQ -和C ABP -组合而成，三棱锥C ABP -可视为P ABC -，底面积24ABC S a == ，高为2，设1C BAP V V -=，体积为111322V =⨯=．三棱锥C BPQ -与C ABP -等高，体积比为底面积之比，设2C BPQ V V -=，则21:::1:2BPQ BAP V V S S PQ AB === ，故211124V V ==，因此，1234C ABPQ V V V -=+=，即为所求．。

2017年福建省三明市宁化县中考数学一模试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列四个数中，与﹣2的和为0的数是（）A．﹣2B．2C．0D．﹣2．（4分）如果∠a=36°，那么∠a的余角等于（）A．54°B．64°C．144°D．134°3．（4分）下列计算中，正确的是（）A．a3+a3=a6B．（a2）3=a5C．a2•a4=a8D．a4÷a3=a 4．（4分）不等式5x＞4x+2的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（）A．每2次必有1次正面向上B．必有5次正面向上C．可能有7次正面向上D．不可能有10次正面向上6．（4分）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000 021用科学记数法表示为（）A．21×10﹣4B．2.1×10﹣6C．2.1×10﹣5D．2.1×10﹣4 7．（4分）如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（）A．30°B．35°C．40°D．50°8．（4分）星期天，小宇同学骑自行车从家出发到图书馆查阅有关资料，之后就返回了家，如图反映了小宇离家的路程y（米）与骑车时间x（分）的函数关系．从图象得到下列信息，错误的是（）A．小宇家与图书馆之间路程是3千米B．小宇在图书馆查阅资料花去了42分钟C．小宇从图书馆骑车回家用了10分钟D．小宇从家到图书馆骑车速度比返回的速度慢9．（4分）命题：“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时，必有实数根”；能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A．b=﹣1B．b=﹣2C．b=﹣3D．b=﹣4 10．（4分）如图，△ABC的顶点A，C落在坐标轴上，且顶点B的坐标为（﹣5，2），将△ABC沿x轴向右平移得到△A1B1C1，使得点B1恰好落在函数y=上，若线段AC扫过的面积为48，则点C1的坐标为（）A．（3，2）B．（5，6）C．（8，6）D．（6，6）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）因式分解：3a2﹣6a=．12．（4分）一个不透明的袋子中装有2个黄球和3个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是．13．（4分）以方程组的解为坐标的点（x，y）在第象限．14．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，若∠BAO=25°，则∠AOC=．15．（4分）已知a=20172017×999，b=20162016×1000，则a与b的大小关系是：a b．16．（4分）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则k=．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：+（π﹣2017）0+|﹣2|﹣（）﹣1．18．（8分）先化简，后求值：，其中x=﹣2．19．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O 且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．20．（8分）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：=1.41，=1.73）21．（8分）某校组织了一次环保知识竞赛活动，根据获奖同学在竞赛中的成绩制成的统计图表如下，仔细阅读图表解答问题：（1）填空：a=，b=，并补全频数分布直方图；（2）获奖成绩的中位数落在哪个分数段？（3）估算全体获奖同学成绩的平均分．22．（10分）某玩具商店根据市场调查，用4500元购进一批儿童玩具，上市后很快售完，接着又用2100元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的一半，但每套进价低了10元．（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部销售完总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率=×100%）23．（10分）如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是⊙O的直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作⊙O的切线交MN于点E．（1）求证：DE⊥MN；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．24．（12分）如图，已知抛物线l1的顶点是P（﹣2，4），且经过点O（0，0）、A （t，0），平行于y轴的直线m与x轴交于点B（b，0），与抛物线l1交于点M．（1）求t的值及抛物线l1的解析式；（2）当BM=4时，求b的值；（3）把抛物线l1绕点（0，1）旋转180°，得到抛物线l2．①直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围．②直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值及此时b的值．25．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D、E分别是边AC、AB上的任意一点，把△ADE沿直线DE折叠，点A的对应点是A1．（1）如图①，若A1是BC边的中点，求CD的长．（2）如图②，若CD=，点A1在BC边上．求证：四边形ADA1E是菱形．（3）若点A1落在BC的下方，A1D、A1E与BC边分别相交于点M、N．①如图③，当△A1MN是等腰三角形（A1M=A1N），求tan∠CDM的值；②是否还有△A1MN是等腰三角形的其他情形？若存在，直接写出tan∠CDM的值．2017年福建省三明市宁化县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列四个数中，与﹣2的和为0的数是（）A．﹣2B．2C．0D．﹣【分析】找出﹣2的相反数即为所求．【解答】解：下列四个数中，与﹣2的和为0的数是2，故选：B．【点评】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．2．（4分）如果∠a=36°，那么∠a的余角等于（）A．54°B．64°C．144°D．134°【分析】根据余角的和等于90°列式计算即可求解．【解答】解：∠a的余角=90°﹣∠α=90°﹣36°=54°．故选：A．【点评】本题主要考查了余角的和等于90°的性质，是基础题，比较简单．3．（4分）下列计算中，正确的是（）A．a3+a3=a6B．（a2）3=a5C．a2•a4=a8D．a4÷a3=a【分析】根据合并同类项法则；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为a3+a3=2a3，故本选项错误；B、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；C、应为a2•a4=a2+4=a6，故本选项错误；D、a4÷a3=a4﹣3=a，正确．故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．4．（4分）不等式5x＞4x+2的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．【解答】解：移项，得：5x﹣4x＞2，合并同类项，得：x＞2，故选：A．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5．（4分）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（）A．每2次必有1次正面向上B．必有5次正面向上C．可能有7次正面向上D．不可能有10次正面向上【分析】利用不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，进而得出答案．【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，所以掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有7次正面向上；故选：C．【点评】本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．（4分）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000 021用科学记数法表示为（）A．21×10﹣4B．2.1×10﹣6C．2.1×10﹣5D．2.1×10﹣4【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000021=2.1×10﹣5；故选：C．【点评】题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．7．（4分）如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（）A．30°B．35°C．40°D．50°【分析】首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数．【解答】解：如图，∵直线m∥n，∴∠1=∠3，∵∠1=70°，∴∠3=70°，∵∠3=∠2+∠A，∠2=30°，∴∠A=40°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出∠3的度数，此题难度不大．8．（4分）星期天，小宇同学骑自行车从家出发到图书馆查阅有关资料，之后就返回了家，如图反映了小宇离家的路程y（米）与骑车时间x（分）的函数关系．从图象得到下列信息，错误的是（）A．小宇家与图书馆之间路程是3千米B．小宇在图书馆查阅资料花去了42分钟C．小宇从图书馆骑车回家用了10分钟D．小宇从家到图书馆骑车速度比返回的速度慢【分析】根据图象分析出小宇同学骑自行车从家出发到图书馆查阅有关资料，之后就返回了家的过程，进而判断即可．【解答】解：根据图象可得小宇家与图书馆之间路程是3千米，故A正确；小宇在图书馆查阅资料花去了42﹣12=30分钟，故B错误；小宇从图书馆骑车回家用了52﹣42=10分钟，故C正确；小宇从家到图书馆骑车速度=，返回的速度，故D正确；故选：B．【点评】此题考查函数图象问题，关键是根据图象对小宇同学骑自行车从家出发到图书馆查阅有关资料，之后就返回了家的过程进行分析．9．（4分）命题：“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时，必有实数根”；能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A．b=﹣1B．b=﹣2C．b=﹣3D．b=﹣4【分析】先根据判别式得到△=b2﹣4，在满足b＜0的前提下，取b=﹣1得到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b=﹣1可作为说明这个命题是假命题的一个反例．【解答】解：△=b2﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没有实数解，所以当b=﹣1时，可说明这个命题是假命题．故选：A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．10．（4分）如图，△ABC的顶点A，C落在坐标轴上，且顶点B的坐标为（﹣5，2），将△ABC沿x轴向右平移得到△A1B1C1，使得点B1恰好落在函数y=上，若线段AC扫过的面积为48，则点C1的坐标为（）A．（3，2）B．（5，6）C．（8，6）D．（6，6）【分析】B和B1的纵坐标相同，据此把y=2代入反比例函数的解析式求得B1的坐标，则平移的距离即可求得，线段AC扫过的部分是平行四边形，利用平行四边形的面积公式求得C1的纵坐标，则坐标即可求得．【解答】解：B1的纵坐标是2，把y=2代入y=得x==3，则B1的坐标是（3，2），则平移的距离是3﹣（﹣5）=8（单位长度）．则AA1=8．则C1的纵坐标是=6，则C1的坐标是（8，6）．【点评】本题考查了图形的平移以及反比例函数的性质，正确求得平移的距离是关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）因式分解：3a2﹣6a=3a（a﹣2）．【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式即可．【解答】解：3a2﹣6a=3a（a﹣2）．故答案为：3a（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．12．（4分）一个不透明的袋子中装有2个黄球和3个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵袋子中共有5个球，其中黄球有2个，∴摸出的球是黄球的概率是，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．13．（4分）以方程组的解为坐标的点（x，y）在第二象限．【分析】先求出x、y的值，再根据各象限内点的坐标特点即可得出结论．【解答】解：，∵①﹣②得，3x+1=0，解得x=﹣，把x的值代入②得，y=+1=，∴点（x，y）的坐标为：（﹣，），∴此点在第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知各项限内点的坐标特点是解答此题的关键．14．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，若∠BAO=25°，则∠AOC=50°．【分析】根据平行线的性质得到∠B=∠BAO=25°，根据圆周角定理解答．【解答】解：∵AO∥BC，∴∠B=∠BAO=25°，由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=50°，故答案为：50°．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．15．（4分）已知a=20172017×999，b=20162016×1000，则a与b的大小关系是：a＜b．【分析】先将a=20172017×999变形为2017×999×10001，进一步得到（2016+1）（1000﹣1）×10001，再展开得到2016×1000×10001﹣2016×10001+1000×10001﹣10001，将b=20162016×1000变形为2016×1000×10001，通过计算﹣2016×10001+1000×10001﹣10001的正负即可求解．【解答】解：a=20172017×999=2017×999×10001=（2016+1）（1000﹣1）×10001=2016×1000×10001﹣2016×10001+1000×10001﹣10001，b=20162016×1000=2016×1000×10001，∵﹣2016×10001+1000×10001﹣10001=（﹣2016+1000﹣1）×10001＜0，∴a＜b．故答案为：＜．【点评】此题考查了因式分解的应用，有理数大小比较，注意整体思想的应用，计算量较大，有一定的难度．16．（4分）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则k=12．【分析】根据P（3a，a）和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式．【解答】解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，则圆的面积为10π×4=40π．因为P（3a，a）在第一象限，则a＞0，3a＞0，根据勾股定理，OP==a．于是π（a）2=40π，a=±2，（负值舍去），故a=2．P点坐标为（6，2）．将P（6，2）代入y=，得：k=6×2=12．故答案是：12．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：+（π﹣2017）0+|﹣2|﹣（）﹣1．【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：+（π﹣2017）0+|﹣2|﹣（）﹣1=4+1+2﹣3=4【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．（8分）先化简，后求值：，其中x=﹣2．【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，约分化为最简，最后代值计算．【解答】解：=•==2x+4；当x=﹣2时，原式=2x+4=0．【点评】此题主要考查的是分式的混合运算，此类代数求值问题，不应考虑把未知数的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．19．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O 且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，OA=OC，继而证得△AOE ≌△COF，则可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA=OC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．20．（8分）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：=1.41，=1.73）【分析】（1）首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；（2）通过解直角△BCD来求BC的长度．【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意，得∠ACD=30°．在直角△ACD中，∠ADC=90°，∴cos∠ACD=，∴CD=AC•cos30°=120×=60（海里）；（2）在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，∴cos∠BCD=，∴BC===60≈60×2.44=146.4（海里），∴146.4÷20=7.32≈7.3（小时）．答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60海里；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．21．（8分）某校组织了一次环保知识竞赛活动，根据获奖同学在竞赛中的成绩制成的统计图表如下，仔细阅读图表解答问题：（1）填空：a=40，b=0.3，并补全频数分布直方图；（2）获奖成绩的中位数落在哪个分数段？（3）估算全体获奖同学成绩的平均分．【分析】（1）首先用分数在95≤x＜100之间的人数÷频率得到总人数，根据频率=频数÷总数分别计算出a、b、c的值，补全统计图；（2）根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，结合统计图可得答案，（3）根据加权平均数公式计算可得平均分．【解答】解：（1）∵总人数为：80÷0.4=200（人），∴a=200×0.2=40（人），b=60÷200=0.3，补全频数分布直方图如图：（2）把所用数据从小到大排列，位置处于中间的是第100名和101名，由统计图可以看出第100名和101名成绩落在85≤x＜90分数段，（3）平均分为：×（82.5×40+87.5×80+92.5×60+97.5×20）=89（分）．【点评】此题主要考查了频数分布直方图，频数分布表，中位数，以及概率公式，读图时要全面细致，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．掌握好概率、中位数、加权平均数的概念．22．（10分）某玩具商店根据市场调查，用4500元购进一批儿童玩具，上市后很快售完，接着又用2100元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的一半，但每套进价低了10元．（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部销售完总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率=×100%）【分析】（1）设第一批玩具每套的进价是x元，根据第二批购的数量是第一批数量的一半，但每套进价低了10元，列出方程，求出x的值即可得出答案；（2）设每套售价至少是y元，根据全部销售完总利润不低于20%和利润率=×100%，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设第一批玩具每套的进价是x元，根据题意得：=×2，解得：x=150，经检验x=150是所列方程的解，答：第一批玩具每套的进价是150元；（2）设每套售价是y元，根据题意得：（y﹣150）+（y﹣140）≥20%（4500+2100），解得：y≥176，答：每套售价至少是176元．【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，关键是根据价格做为等量关系列出方程，根据利润做为不等量关系列出不等式求解．23．（10分）如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是⊙O的直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作⊙O的切线交MN于点E．（1）求证：DE⊥MN；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．（1）连接OD，由DE与⊙O相切知∠ODE=90°，由AD平分∠CAM及OD=OA 【分析】知∠1=∠2=∠3，得OD∥MN，继而知DE⊥MN；（2）连接DC，由勾股定理得AD==3，证△DAE∽△CAD得=，即可知AC==15，从而得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵DE与⊙O相切于点D，∴∠ODE=90°，∵OD=OA，∴∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OD∥MN，∴DE⊥MN；（2）连接DC，∵AC是⊙O的切线，∴∠ADC=90°，又∵∠DEA=90°，∠1=∠2，∴△DAE∽△CAD，∴=，又AD===3，∴AC===15，∴⊙O的半径OA=．【点评】本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）如图，已知抛物线l1的顶点是P（﹣2，4），且经过点O（0，0）、A （t，0），平行于y轴的直线m与x轴交于点B（b，0），与抛物线l1交于点M．（1）求t的值及抛物线l1的解析式；（2）当BM=4时，求b的值；（3）把抛物线l1绕点（0，1）旋转180°，得到抛物线l2．①直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围．②直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值及此时b的值．【分析】（1）先利用抛物线的顶点坐标求出t的值，进而用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先确定出BM=4，再分两种情况，利用点M的纵坐标建立方程求解即可；（3）先表示出点M，N的坐标，进而确定出n与b的函数关系式，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线l1的顶点是P（﹣2，4），∴对称轴为x=﹣2，∴A（﹣4，0），∴t=﹣4，设抛物线l1的解析式为y=a（x+2）2+4，∵抛物线过点O，∴4a+4=0，∴a=﹣1，∴抛物线l1的解析式为y=﹣（x+2）2+4，（2）∵点M在抛物线l1上，∴点B在x轴上，且BM=4，①当点M在x轴下方时，M（b，﹣4），∴﹣4=﹣（b+2）2+4，∴b=﹣2±2，②当点M在x轴上方时，M（b，4），∴4=﹣（b+2）2+4，∴b=﹣2，∴当BM=4时，b=﹣2或﹣2+2或﹣2﹣2；（3）①，由图象知，﹣2＜x＜2，②∵点P关于（0，1）的对称点为P'（2，﹣2），∴抛物线l2的解析式为y=（x﹣2）2﹣2，设点M（b，﹣（b+2）2+4），∴N（b，（b﹣2）2﹣2），∴MN=n=（b﹣2）2﹣2﹣[﹣（b+2）2+4]=2b2+2，∴当b=0时，MN的最小值为2．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称的性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题，是一道基础题目．25．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D、E分别是边AC、AB上的任意一点，把△ADE沿直线DE折叠，点A的对应点是A1．（1）如图①，若A1是BC边的中点，求CD的长．（2）如图②，若CD=，点A1在BC边上．求证：四边形ADA1E是菱形．（3）若点A1落在BC的下方，A1D、A1E与BC边分别相交于点M、N．①如图③，当△A1MN是等腰三角形（A1M=A1N），求tan∠CDM的值；②是否还有△A1MN是等腰三角形的其他情形？若存在，直接写出tan∠CDM的值．【分析】（1）在Rt△A1CD中，根据勾股定理得：x2+42=（6﹣x）2，求x的值，得CD的长；（2）如图②，由折叠得：A1D=AD=，利用勾股定理得：A1C==3，证明△CA1D∽△CBA，利用对应角相等和平行线的判定先证明四边形ADA1E 是平行四边形，再加上一组邻边相等可得结论；（3）①如图③，作辅助线构建角平分线，求PQ和AQ的长，根据同角的三角函数可得：tan∠CDM=tan∠CAP==；②当A1N=MN时，tan∠CDM=；当A1M=MN时，tan∠CDM=．【解答】解：（1）如图①，在Rt△ABC中，AC==6，设CD=x，则A1D=AD=6﹣x，又A1C=BC=4，在Rt△A1CD中有x2+42=（6﹣x）2，解得：x=，∴CD=；（2）如图②，在Rt△A1CD中，A1D=AD=6﹣=，∴A1C==3，由，∵∠C=∠C，∴△CA1D∽△CBA，∴∠CA1D=∠B，∴A1D∥BA，∵∠EA1C=∠EA1D+∠DA1C=∠A+∠B=90°，∴EA1∥AD，∴四边形ADA1E是平行四边形，∵A1D=AD，∴▱ADA1E是菱形；（3）①如图③，当A1M=A1N时，过点A1作A1H⊥BC，由折叠得：∠BAC=∠DA1E，∵AC∥A1H，则∠CDM=∠MA1H=∠BAC，作∠CAB的平分线AP交CB于点P，过P作PQ⊥AB于点Q，则CP=PQ，设CP=y，在Rt△PQB中，有y2+42=（8﹣y）2，解得：y=3，∴tan∠CDM=tan∠CAP==；②当A1N=MN时，如图④，∴∠A1MN=∠A1，∵∠A=∠A1，∠CMD=∠A1MN，∴∠A=∠CMD，∵tan∠A==，∴tan∠CMD==，∴tan∠CDM=；当A1M=MN时，如图④，∴∠MA1N=∠MNA1=∠A，过A1作A1H⊥BC于H，tan∠A=tan∠MNA1==，设A1H=4x，HN=3x，A1M=MN=a，MH=a﹣3x，在Rt△MA1H中，a2﹣（a﹣3x）2=（4x）2，a=x，∵CD∥A1H，∴∠CDM=∠MA1H，tan∠CDM=tan∠MA1H==，∴tan∠CDM=．则tan∠CDM的值是或或．【点评】本题是四边形的综合题，考查了三角函数、菱形的性质和判定、翻折的性质、三角形相似的性质和判定，本题设未知数，多次运用勾股定理列方程，求解即可；第3问有难度，分类讨论，分别以一边为腰，利用三角函数列等式，解决问题．。

宁化一中2019—2020学年第二学期期中质量检测高一数学试题第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、单选题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把★★答案★★填在答题卷相应的位置上. 1.sin 20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ） A. 3 B.32C. 12-D.12【★★答案★★】D 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和的正弦函数公式，即可求解． 【详解】由三角函数的诱导公式以及两角和的正弦公式，可得：1sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos20sin10sin302︒︒︒︒︒︒︒︒︒-=+==. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及两角和的正弦公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1353a a a ++=，则5S =( ) A. 5B. 6C. 7D. 9【★★答案★★】A 【解析】 【分析】首先根据等差数列的性质得到31a =，再计算5S 即可.【详解】因为1532a a a +=，所以135333a a a a =++=，即31a =. 所以153535()525522a a a S a +⨯====. 故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查等差数列的前n 项和，属于简单题.3.设z x y =-，式中变量x 、y 满足约束条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩，则z 的最小值为（ ）A. 2-B. 1-C. 0D. 1【★★答案★★】D 【解析】 【分析】设()()2x y m x y n x y -=++-，可得出关于m 、n 的方程组，求出m 、n 的值，再利用不等式的基本性质可求得z 的最小值.【详解】设()()()()22x y m x y n x y m n x m n y -=++-=++-，则121m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得1323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以，()()121223013333x y x y x y -=++-≥⨯+⨯=， 因此，z 的最小值为1. 故选：D.【点睛】本题考查利用不等式的基本性质求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题. 4.设a b >，,,a b c ∈R ，则下列结论正确的是( ) A. 22ac bc ≥B.1ab> C. 22a b >D.ln ln a b >【★★答案★★】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，采用作差法逐一判断选项即可． 【详解】解：∵a b >，,,a b c ∈R ，∴0a b ->， ∴()2220ac bc a b c -=-≥，当且仅当0c时，等号成立，则A 对；∵1a a b b b--=，当0b >时，0a b b ->，当0b <时，0a bb-<，则B 错； ∵()()22a b a b a b -=+-，当0a b +≤时，220a b -≤，即22a b ≤，则C 错； 当0a b >>时，ln ,ln a b 均无意义，则D 错； 故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，考查作差法比较大小，属于基础题． 5.△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若cb ＝1，∠B＝6π，则△ABC 的形状为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰三角形或直角三角形【★★答案★★】D 【解析】试题分析：在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin 6sin 12c BC bπ===，因为0C π<<，所以3C π=或23π，所以2A π=或6π，所以ABC ∆的形状一定为等腰三角形或直角三角形，故选D ． 考点：正弦定理． 6.数列{}2(1)n n--的前10项和为（ ）A. 1023-B. 1022-C. 1123-D. 1122-【★★答案★★】D 【解析】 【分析】【详解】试题分析：由题意得，数列{}2(1)n n--的前10项和为10123101231011102(12)(2222)[(1)(1)(1)(1)]02212S -=++++--+-+-++-=+=--，故选D.考点：等比数列求和.7.在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于（ ）D.【★★答案★★】B 【解析】【详解】由正弦定理可得2sin ,cossin 60sin 77A A A =⇒===，所以sin sin()sin cos cos sin 14C A B A B A B =+=+=，则BC 边上的高h C ===，应选★★答案★★B.点睛：解答本题的思路是先运用正弦定理求出cos =A ，再运用两角和的正弦公式求得sin 14C =，再解直角三角形可求得三角形的高2h C ==，从而使得问题获解.8.设1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A. 13-B.13C. 79-D.79【★★答案★★】C 【解析】 【分析】首先利用正弦的两角和公式得到sin cos 3αα+=，根据同角三角函数关系得到7sin 29α=-，再利用诱导公式化简cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭即可得到★★答案★★.【详解】由题知：1sin sin cos cos sin cos )4443πππααααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 3αα+=. 即22(sin cos )1sin 29ααα+=+=，所以7sin 29α=-. 7cos 2sin 229παα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题主要考查了正弦的两角和公式，同时考查了同角三角函数关系和诱导公式，属于简单题.9.在ABC ∆中，、、A B C 的对边分别为a b c 、、，其中2b ac =，且sin C B =，则其最小角的余弦值为（ ）A.D.34【★★答案★★】C 【解析】【分析】根据正弦定理可得c =，代入等式即可用a 表示出,b c ，从而可以比较,,a b c 的大小，确定角A 为最小角，结合余弦定理即可求得cos A 的值.【详解】在ABC ∆中，sin C B =，由正弦定理可得c =，而2b =，即b =， 所以2c a ==，则c b a >>，所以在ABC ∆中A 为最小角，故由余弦定理可得222cos 2b c a A bc+-=2228===， 故选：C【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题. 10.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin tan cos αβα+=，则（ ）A. 32παβ-=-B. 22παβ-=-C. 32παβ+=D.22παβ+=【★★答案★★】B 【解析】分析：（1）方法一、运用同角变换和两角差公式，即 sin tan cos βββ=和()sin βα-化简，再根据诱导公式和角的范围，确定正确★★答案★★． （2）方法二、运用诱导公式和二倍角公式，通过242ππααα⎛⎫⇒-⇒- ⎪⎝⎭的变换化简，确定正确★★答案★★． 详解：方法一：sin tan cos βββ=sin 1sin cos cos βαβα+∴=即sin cos cos cos sin βαββα=+ 整理得()sin cos βαβ-=0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22ππβα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，∴ ()2πβαβ-+=整理得22παβ-=-方法二：21cos 2cos 1sin 1242cos sin 2cos tan 2424242sin ππαααππαπαπααα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1tan tan 42βπα∴=⎛⎫- ⎪⎝⎭0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,424παπ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，∴ 422παπβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 整理得22παβ-=-故选B点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，根据题干和选项所给提示，确定解题方向，选取适当三角函数公式化简求值．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得3分，选对但不全得2分，有错选不得分. 11.若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中不一定成立的是( ) A. sin 2sin 2αβ> B. cos2cos2αβ< C. cos2cos2αβ> D. sin 2sin 2αβ<【★★答案★★】AD 【解析】 【分析】利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：2cos 212sin αα=-，2cos 212sin ββ=-，sin sin 0αβ>>，22sin sin 0αβ∴>>，222sin 2sin αβ-<-，则2212sin 12sin αβ-<-，即cos2cos2αβ<，则B 一定成立，C 一定不成立；当,46ππαβ==时sin sin 0sin 2=1αβαβ>>>，， 当,26ππαβ==时sin sin 0sin 2=0=sin 2αβαβ>><，， 则A ，D 可能成立，也可能不成立； 故选：AD ．【点睛】本题主要考查不等式大小的比较，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键，属于基础题．12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( ) A. 20192g =B.()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C .12320192688g g g g ++++=D.22221232019201820202f f f f f f ++++=【★★答案★★】AB 【解析】 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-，()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

AB
对于A：利用向量共线代入，即可求出y；
对于B：利用向量垂直求出y，再利用投影向量的定义即可求出答案；
对于C：利用夹角公式求出y的范围，即可判断；
对于D：利用夹角公式得到 ，经检验 不是方程的根.即可判断.
对于A：因为 ，所以 ，即 .故A正确；
对于B：若 ，则 ，解得： ，所以 ，所以 ，所以 在 方向上 投影是 ，则 在 方向上的投影是 .故B正确；
对于A选项，由题意可知， 最大，则 ，
因为 ，则 ，故 为钝角三角形，A错；
对于B选项， ，B对；
对于C选项，由正弦定理 可得 ，C错；
对于D选项，由平面向量数量积的定义可得 ，D错.故选：B.
7.已知 三角形的外接圆圆心为 ，且 ， ，则 在 上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【7题答案】
A
对于C：设 与 的夹角为 ，则 解得： .但是 时， 与 同向共线，应舍去.故 且 .故C错误.
对于D：若 ， 的夹角为 ，则 ，即 ，而 不是方程 的根.故D错误.故选：AB
10.已知 为虚数单位，则下列选项中正确的是（）
A.复数 的模为5；
B.复数 ，则 在复平面上的点在第四象限
C.复数 纯虚数，则 或
（2）方法一，利用向量，由于 ， ，两边平方化简可得 ，再利用基本不等式可得 ，从而可求出面积的最大值；方法二，△ABC中，由余弦定理可得 ，再由cos∠ADB＝－cos∠CDB，结合余弦定理化简可得 ，再利用基本不等式可得 ，从而可求出面积的最大值
解：
（1）若选①
由2bsinA＝atanB得2 sinBsinA＝
根据已知条件判断出三角形 和三角形 的形状，从而计算出 在 上的投影向量.