[精品]2014-2015年江西省南昌市高一(上)数学期中试卷与答案(甲卷)
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2014-2015学年江西省南昌市高一（上）期中数学试卷（甲卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子表示不正确的是（）A．1∈A B．{﹣1}∈A C．∅⊆A D．{1，﹣1}⊆A2．（5分）三个数0.89，90.8，log0.89的大小关系为（）A．log0.89＜0.89＜90.8B．0.89＜90.8＜log0.89C．log0.89＜90.8＜0.89D．0.89＜log0.89＜90.83．（5分）下列各组函数是同一函数的是（）①与；②f（x）=x与；③f（x）=x0与；④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1．A．①②B．①③C．③④D．①④4．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{1，3，4}B．{2，4}C．{4，5}D．{4}5．（5分）函数y=lnx﹣6+2x的零点一定位于如下哪个区间（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）6．（5分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=﹣x2C．y=2x D．y=|x|7．（5分）已知函数f（+1）=x+1，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2B．f（x）=x2+1（x≥1）C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）8．（5分）如果一个函数f（x）满足：（1）定义域为x1，x2∈R；（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0；（3）任意x∈R，若t＞0，总有f（x+t）＞f（x）．则f（x）可以是（）A．y=﹣x B．y=x3 C．y=3x D．y=log3x9．（5分）已知f（x）=3x，下列运算不正确的是（）A．f（x）•f（y）=f（x•y）B．f（x）÷f（y）=f（x﹣y）C．f（x）•f（y）=f （x+y） D．f（log34）=410．（5分）某工厂前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高．m值为（）A．2 B．4 C．5 D．811．（5分）对任意实数x规定f（x）取5﹣x，x+2，（5﹣x）三个值中的最小值，则f（x）（）A．有最大值，最小值0 B．有最大值，无最小值C．有最大值0，无最小值D．无最大值，无最小值12．（5分）已知幂函数f（x）=，若f（a+1）＜f（10﹣2a），则a的取值范围是（）A．（0，5） B．（5，+∞）C．[﹣1，3）D．（3，5）二、填空题（本大题共4个小题．每小题4分．共16分）13．（4分）已知函数，若f（x0）=5，则x0的值是．14．（4分）函数y=log a（2x﹣3）+2的图象恒过定点P，点P在指数函数f（x）的图象上，则f（﹣1）=．15．（4分）已知函数f（x）=log2（x+1）的值域是[1，2]，那么函数f（x）的定义域是．16．（4分）已知y=f（x）为二次函数，若y=f（x）在x=2处取得最小值﹣4，且y=f（x）的图象经过原点，则函数在区间上的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）计算（2）已知log189=a，18b=5，试用a，b表示log365．18．（12分）已知：函数f（x）=+lg（3x﹣9）的定义域为A，集合B={x|x ﹣a≥0，a∈R}．（1）求集合A；（2）求A∩B．19．（12分）已知函数f（x）=a﹣．（1）求证不论a为何实数，f（x）总是增函数；（2）若函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），求f（x）的值域．20．（12分）已知：函数f（x）=log a（3﹣ax）（a＞0且a≠1）（1）若x∈[0，2]时，f（x）有意义，求实数a的取值范围．（2）是否存在实数a，使f（x）在区间[1，2]上单调递减，且最大值为1？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），．（1）求f（1）的值；（2）如果f（x）+f（2﹣x）＜2，求x的取值范围．22．（14分）已知一次函数f（x）=kx+b的函数经过点（4，﹣1），g（x）=﹣2x•f （x），且g（x）的图象关于直线x=1对称．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x0满足g（x0）+＜0，试判断f（x0+2）的符号．2014-2015学年江西省南昌市高一（上）期中数学试卷（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子表示不正确的是（）A．1∈A B．{﹣1}∈A C．∅⊆A D．{1，﹣1}⊆A【解答】解；∵集合A={x|x2﹣1=0}={x|x2=1}={﹣1，1}，∴1∈A，{﹣1}⊊A，∅⊆A，{1，﹣1}⊆A，∴B不正确．故选：B．2．（5分）三个数0.89，90.8，log0.89的大小关系为（）A．log0.89＜0.89＜90.8B．0.89＜90.8＜log0.89C．log0.89＜90.8＜0.89D．0.89＜log0.89＜90.8【解答】解：∵0.89∈（0，1）；90.8＞1；log0.89＜0，所以：log0.89＜0.89＜90.8，故选：A．3．（5分）下列各组函数是同一函数的是（）①与；②f（x）=x与；③f（x）=x0与；④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1．A．①②B．①③C．③④D．①④【解答】解：①f（x）==与y=的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②=|x|与f（x）=x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f（x）=x0与都可化为y=1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④．故选：C．4．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{1，3，4}B．{2，4}C．{4，5}D．{4}【解答】解：图中阴影部分所表示的集合是由在集合B不在集合A中的元素组成的总体，故集合为{4}．故选：D．5．（5分）函数y=lnx﹣6+2x的零点一定位于如下哪个区间（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）【解答】解：当x=1，2，3，4时，函数值y=﹣4，ln2﹣2，ln3，1+ln4由零点的判定定理知函数的零点存在于（2，3）内故选：B．6．（5分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=﹣x2C．y=2x D．y=|x|【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），函数为非奇非偶函数，∴A错误．B．函数y=﹣x2，为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，∴B错误．C．函数y=2x在（0，+∞）上单调递增，函数为非奇非偶函数，∴C错误．D．函数y=|x|为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，∴D正确．故选：D．7．（5分）已知函数f（+1）=x+1，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=x2B．f（x）=x2+1（x≥1）C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）【解答】解：令则x=（t﹣1）2（t≥1）∴f（t）=（t﹣1）2+1=t2﹣2t+2∴f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）故选：C．8．（5分）如果一个函数f（x）满足：（1）定义域为x1，x2∈R；（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0；（3）任意x∈R，若t＞0，总有f（x+t）＞f（x）．则f（x）可以是（）A．y=﹣x B．y=x3 C．y=3x D．y=log3x【解答】解：由条件（1）定义域为R，排除D；由条件（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，则f（x1）+f（x2）=0，即任意x∈R，f （﹣x）+f（x）=0，即函数f（x）为奇函数，排除C；由条件（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．即x+t＞x时，总有f（x+t）＞f（x），即函数f（x）为R上的单调增函数，排除A故选：B．9．（5分）已知f（x）=3x，下列运算不正确的是（）A．f（x）•f（y）=f（x•y）B．f（x）÷f（y）=f（x﹣y）C．f（x）•f（y）=f （x+y） D．f（log34）=4【解答】解：f（x）•f（y）=3x•3y=3x+y≠3xy=f（xy），所以选项A不正确；=f（x﹣y），选项B正确；f（x）•f（y）=3x•3y=3x+y=f（x+y），选项C正确；f（log34）=3log34=4，选项D正确；故选：A．10．（5分）某工厂前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高．m值为（）A．2 B．4 C．5 D．8【解答】解：∵工厂前m年的总产量S与m在图中对应P（S，m）点，∴前m年的年平均产量即为直线OP的斜率，由图得，当m=5时，直线OP的斜率最大，即前5年的年平均产量最高，故选：C．11．（5分）对任意实数x规定f（x）取5﹣x，x+2，（5﹣x）三个值中的最小值，则f（x）（）A．有最大值，最小值0 B．有最大值，无最小值C．有最大值0，无最小值D．无最大值，无最小值【解答】解：根据题意，可得f（x）=当x时，函数解析式为f（x）=x+2，在（﹣∞，]上是增函数，函数的最大值为f（）=，无最小值；当时，函数解析式为f（x）=（5﹣x），在（，5）上是减函数，函数的最大值小于，最小值大于0；当x≥5时，函数解析式为f（x）=5﹣x，在[5，+∞）上是减函数，函数的最大值为f（5）=0，无最小值．综上所述，可得函数f（x）有最大值，无最小值．故选：B．12．（5分）已知幂函数f（x）=，若f（a+1）＜f（10﹣2a），则a的取值范围是（）A．（0，5） B．（5，+∞）C．[﹣1，3）D．（3，5）【解答】解：∵幂函数f（x）=在[0，+∞）上单调递增，又∵f（a+1）＜f（10﹣2a），∴0≤a+1＜10﹣2a，∴﹣1≤a＜3，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题．每小题4分．共16分）13．（4分）已知函数，若f（x0）=5，则x0的值是﹣2．【解答】解：若x o≤0，则得出f（x o）=+1=5，解得x o=﹣2，（x o=2与x o≤0矛盾，舍去）若x o＞0，则得出f（x o）=﹣2x o=5，解得x o=﹣，（与x o＞0矛盾，舍去）综上所述，x o=﹣2．故答案为：﹣2．14．（4分）函数y=log a（2x﹣3）+2的图象恒过定点P，点P在指数函数f（x）的图象上，则f（﹣1）=．【解答】解：由题意，令2x﹣3=1，则y=2，即点P（2，2），由P在指数函数f（x）的图象上可得，2=a2，则a=，则f（x）=，则f（﹣1）=，故答案为：．15．（4分）已知函数f（x）=log2（x+1）的值域是[1，2]，那么函数f（x）的定义域是[1，3] ．【解答】解：由函数f（x）=log2（x+1）的值域是[1，2]，即1≤log2（x+1）≤2，得2≤x+1≤4，解得：1≤x≤3．∴函数f（x）的定义域是[1，3]．故答案为：[1，3]．16．（4分）已知y=f（x）为二次函数，若y=f（x）在x=2处取得最小值﹣4，且y=f（x）的图象经过原点，则函数在区间上的最大值为5．【解答】解：设二次函数f（x）=a（x﹣2）2﹣4，∵函数图象过原点，∴f（0）=0，解得a=1，∴f（x）=（x﹣2）2﹣4．∵x∈，∴∈[﹣1，3]，设t=，则t∈[﹣1，3]，则g（t）=（t﹣2）2﹣4．且t∈[﹣1，3]，∴当t=﹣1，即x=2时，函数y有最大值5．故答案为：5三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）计算（2）已知log189=a，18b=5，试用a，b表示log365．【解答】解：（1）原式====．（2）由18b=5得：log185=b，log365=====．18．（12分）已知：函数f（x）=+lg（3x﹣9）的定义域为A，集合B={x|x ﹣a≥0，a∈R}．（1）求集合A；（2）求A∩B．【解答】解：（1）要使函数有意义，则，∴定义域A=（2，4]；（2）B={x|x﹣a≥0，a∈R}={x|x≥a}．①当a≤2时，A∩B=（2，4]．②当2＜a≤4时，A∩B=[2，a]③当a＞4时，A∩B=∅．19．（12分）已知函数f（x）=a﹣．（1）求证不论a为何实数，f（x）总是增函数；（2）若函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），求f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，任取x1＜x2则∵x1＜x2∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴不论a为何实数f（x）总为增函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵f（﹣x）=﹣f（x）即解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴∵2x+1＞1∴∴∴∴f（x）的值域为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）已知：函数f（x）=log a（3﹣ax）（a＞0且a≠1）（1）若x∈[0，2]时，f（x）有意义，求实数a的取值范围．（2）是否存在实数a，使f（x）在区间[1，2]上单调递减，且最大值为1？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设u（x）=3﹣ax，∵a＞0且a≠1，∴u（x）是减函数．又x∈[0，2]时，f（x）有意义，∴3﹣2a＞0，故有0＜a＜，且a≠1．∴a的范围是（0，1）∪（1，）．（2）假设存在实数a，满足题设条件，∵f（x）在区间[1，2]上单调递减函数，再根据u（x）=3﹣ax是减函数，可得a＞1，3﹣2a＞0，∴1＜a＜．由已知f（1）=1，即log a（3﹣a）=1，∴a=，∵∉（1，），∴这样的实数a不存在．21．（12分）设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），．（1）求f（1）的值；（2）如果f（x）+f（2﹣x）＜2，求x的取值范围．【解答】解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（4分）（2）∵∴∴，又由y=f（x）是定义在R+上的减函数，得：解之得：．…（12分）22．（14分）已知一次函数f（x）=kx+b的函数经过点（4，﹣1），g（x）=﹣2x•f （x），且g（x）的图象关于直线x=1对称．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x0满足g（x0）+＜0，试判断f（x0+2）的符号．【解答】解：（1）由题意得：4k+b=﹣1，即b=﹣4k﹣1（k≠0），f（x）=kx﹣4k﹣1，g（x）=﹣2kx2+2（4k+1）x，∵g（x）=﹣2x•f（x）的图象关于直线x=1对称，∴=1，∴k=﹣，b=1，∴f（x）=﹣x+1；（2）由（1）得：g（x）=x2﹣2x，g（x0）+＜0，即﹣2x0+＜0，∴2x0＞+，而g（x0+2）=﹣2（x0+2）=+2x0＞++＞0，即g（x0+2）的符号为正号．。
