中心差分法.ppt

U

n1 j

(1
2 2 )U
n j

2
U
n j 1
U
n j 1

U
n1 j
U
n 0

(n
)

n,
U
n J

(n )

n,
n0
U
0 j

fj,

U
1 j

fj
gj
2
2
f j1 2 f j f j1 ,
0 jJ
h
U
1 j

2(1


2
)U
0 j

2
U
0 j 1
U
0 j 1

U
1 j
初始速度的离散
一、简单处理
初始位移
U
0 j

f
(
jh)

f
0 j
初始速度 u(xj ,tk ) u(x j ,tk ) u(x j ,tk ) O( )

t
u(x j ,tk ) u(x j ,tk ) u(x j ,tk )

U
0 j 1

U
1 j

2U
1 j

2(1


2
)U
0 j

2
U
0 j 1

U
0 j 1
2 g j
2f j 2 g j 2 f j1 2 f j f j1
U
1 j

fj
gj

▪ 应用：在约束优化计算、聚类优化计算、非线 性优化控制、神经网络优化、滤波器设计、阵列 天线方向图综合及其它方面得到广泛应用。
引言
开始
根据实际问题进行编码 设置参数
生成初始种群
计算个体适应值
是否满足进 化终止条件
是
算法结束， 输出最优个体
一般演化算法的过程
问题
遗传操作， 生成新种群
否
1、遗传操作象 ✓ 种群中所有个体 ✓ 种群中部分个体 2、遗传操作顺序 ✓ 重叠 ✓ 非重叠 3、新种群重组方式
DE的改进方法
为了提高DE的寻优能力、加快收敛速度、 克服启发式算法常见的早熟收敛现象，许多学 者对DE算法进行改进:
▪ 控制参数的改进。 ▪ 差分策略的改进。 ▪ 选择策略的改进。 ▪ 种群重构 ▪ 混合算法。
DE的改进方法---多种扩展模式
DE算法的多种变形形式常用符号DE /x/y/ z 以 示区分,其中:
开开开开开
基本原理
求解非线性函数f (x 1, x 2, ⋯, x n)的最小值问题, x i满足：
xi t xi,1 t , xi,2 t , , xi,n t
i 1, 2, , M ; t 1, 2, tmax.
令xi 是t 第t代的第i个染色体, 则
xiLj xij xiUj j 1, 2, n
行变异操作;
▪ ：一般在[ 0, 2 ]之间选择, 通常取0. 5;
▪ CR：一般在[ 0, 1 ]之间选择, 比较好的选择应在0. 3 左右,
CR 大些收敛速度会加快, 但易发生早熟现象。
差异演化算法的优缺点
和其它进化算法相比, 差异演化具有以下优点:
▪ 差异演化在求解非凸、多峰、非线性函数优化问题表 现极强的稳健性。

色散误差： 数值解传播的速度与精确解不一致
快格式(FST) ： dki / d 1 慢格式(SLW): dki / d 1 混合格式(MXD):
特点： 波数越高，误差越严重
0： 精确解； 1： 2阶迎风 ； 2： 5阶迎风偏心
3： 3阶迎风紧致 ；4： 5阶迎风紧致
14
【数值实验】 波的传播问题
精度特性 分辨率特性
3
概念澄清2： 有效网格
1
0.5
目的： 计算差分
u x
，x [0, 2 ]
u
0
-0.5
-1
Case 1 u sin x , x 2
0
10
1
Case 2 u sin 2x , x 2
0.5
20
u
0
网格点数增加了一倍， -0.5
但问题也复杂了一倍
-1 0
精度： 反映 x 0 时的情况
分辨率：网格点数很少（例如波里面只有6个点）时的性能 对于多尺度问题，分辨率更重要。 牺牲精度，提高分辨率
8
如何计算修正波数？
方法1. 理论计算 根据差分具体表达式及定义计算
定义： u(x j ) eikxj
~
xu j

k eikx j x
例1：
xu j
vˆk

1 N
N
v eikx j j
j 1
根据修正波数的定义， 有 k~ vˆk x
仅提取波数为k 的波
Step 5) 改变k的值，重复2-5， 得到 k~ 对于 kx 的依赖关系。画图
非线性情况会产生高次谐波，造成 step 4 中隐含的假设无法成立 将Fourier分析手段拓展到非线性系统 需要研究的课题

估计误差
这种误差称为“局部截断误差”，如图。
局部截断误差是以点 的精确解 而产生的误差。
为出发值，用数值方法推进到下一个点
2.整体截断误差—收敛性
整体截断误差是以点 的初始值 为出发值，用数值方法推进i+1步到点
，所得的近似值 与精确值
的偏差：
称为整体截断误差。
特例，若不计初始误差，即 则
即 3.舍入误差—稳定性
五、线性多步（Linear Multistep Method）法
1. 预备知识：插值多项式
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况， 估算出函数在其他点处的近似值。
从几何上理解：对一维而言，已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式 曲线通过这些点。插值多项式一般常见的是拉格朗日插值多项式。
把
代入 中，有
经比较得到
取 为自由参数： 从而得到不同的但都是二阶的R-K方法，对应的有中点法、Heun（亨）法 以及改进的Euler法。
基于相同的过程，通过比较五次Taylor多项式，得到更加复杂的结果，给出了包含 13个未知数的11个方程。得到多组系数，其中常用的是以下四阶R-K法：
改进的Euler法、R-K法以及解析解的比较：
是待定的系数。
Euler法就是
的R-K法。
其系数的确定如下：将 展开成 的幂级数，并与微分方程的精确解
在点 的Taylor展开式相比较，使两者的前
项相同，这样确定的R-K法，
其局部截断误差为
，根据所得关于待定系数的方程组，求出它们的值后
代入公式，就成为一个 阶R-K方法。
例题 以二阶R-K法为例说明上述过程
2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education, Inc., 2004.

通量差分分Байду номын сангаас （FDS）： 耗散低、分辨率高
Step 1: 运用差分格式，计算
U ,U L j 1/ 2
R j 1/ 2
Step 2: 运用Riemann解， 计算
F j 1/ 2
F
(U
L j 1/
2
,U
) R
j 1/ 2
Step 3: F Fj1/2 Fj1/2
x
x
U ,U L j 1/ 2
R j 1/ 2
f
j 1/
2
x
x
f f + f =+
x x x
13
3. 特征重构方法
常系数方程组：
U t
A U x
0
U t
S1ΛS U x
0
V t
Λ V x
0
vk t
k
vk x
0
变系数情况—— 局部冻结系数
完全 解耦
U f(U) 0 U A U 0
t x
t x
在基架点上系数 A j 不变
U t
u j u j1 u j1 u j
二阶精度区
TVD区
二阶精度TVD区（二 者交集）
1
通量分裂技术： 模型方程 NS/ Euler 方程
Step 1 针对模型方程构造差分格式
u a u 0 t x
u uˆ j1/2 uˆ j1/2
x
x
a0
uˆ j1/2 =......
格式1
a0
uˆ j1/2 =......
6
➢ Steger-Warming 具体步骤 （以一维为例）
u a u 0
t x

uh u
0.
稳定性概念
将（2）写成 Lhu(xi ) fi Ri (u)
以此与（1）相减，得
Lh (u(xi ) ui ) Ri (u)
引进误差 ei u(xi ) ui
则误差函数eh (xi ) ei满足下列差分方程
eL0h
ei
Ri (u) eN 0
i 1, 2,L , N 1
O(h)
u(xj
, tn
)
u(x h
j 1 ,
tn
)
u x
n j
O(h)
u(x j1, tn ) u(x j1, tn ) 2h
u x
n
j
O(h2 )
u(x j1, tn )
2u(x j , tn ) h2
u(x j1, tn )
2u
x
2
n j
O(h2 )
对空间的 二阶导
综上，有
（4）的有限差分方
u n1 j
u
n j
a
un j 1
u
n j
0
程，或简称差分方程
j 0, 1, 2,L , n 0,1, 2,L
h
其中unj 为u(xj ,tn )的近似值。
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0
h
u n1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
0
h
u
n j
u
n j
1
a
u
n j
1
,
tk
1
)
y 4
h2

2.1.1 基本方程和定解问题
u t
2u x2
( 0)
求解域： (x, t) [0,1][0, ]
(2.1.1)
初始条件： u(x, 0) f (x)
边界条件： u(0, t) a(t), u(1, t) b(t)
(2.1.2)
方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。
根据数学分析中的知识，我们知道
2u (x,t) lim u(x x,t) 2u(x,t) u(x x,t)
x2
x0
x2
所以，二阶导数可以近似为
2u
x
2
n
k
un k 1
2ukn x2
ukn
un k 1
2ukn
un k 1
称为二阶中心差分。
容易证明：
un k 1
2ukn
un k 1
t
)
ut
(
x,
t
)
lim
t 0
u(
x,
t
t
)u 2t
(
x,
t
t
)
其中，lim 后面的项称为差商(difference quotient)。 t 0
当t足够小时，可以用差商来近似导数。
即：
u(x,t t) u(x,t)
ut (x,t)
t
u(x,t) u(x,t t)
ut (x,t)
t
u(x,t t) u(x,t t)
The Elements of Computational Fluid Dynamics
第二章 有限差分方法基础
§2.1 有限差分方法概述 §2.2 导数的数值逼近方法 §2.3 差分格式的性质 §2.4 发展方程的稳定性分析

但增加是有一定限度的，当产品在市场上趋于 饱和时，销售速度将趋于极限值，这时无论采 取那种形式作广告(不包括其它的促销手段)， 都不能使销售速度增加。
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22
设 M 为销售饱和水平，即市场对产品的最 大容纳能力，它对应着销售速度的上限。当 销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作 用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样 为衰减因子， 0 ，且为常数。
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16
x(t t) x(t) kx(t)t
两边除以t ，令t 0 ，有
lim x(t t) x(t) kx (t)
t 0
t
即 x(t) 满足微分方程
d x kx (t) dt
其解为
(3.7)
x(t) C ekt
若已知t 0 时，x(0) x0 ，则满足初值条件的解为
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12
r(x)
r0
(1
x xm
)
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
d x d t
r0
x (1
x xm
)
x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离
变量法，解得
x(t)
xm
1 ( xm 1) er0 t
x0
(3.6)
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8
这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体”， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。

暗示
Re x 是某一特 征量
5
对流-扩散方程的特性：
u t
u x
1 Re
2u x2
（线性）差分方程：
u n1 j
ak
u
n j
k
(1)
k
j-2 j-1 j j+1 j+2
n+1
n
u n1 j
a un 2 j2
a un 1 j 1
......
a2
u
n j
2
某点的值是上一时刻周围几个点上值的线性组合
ui ui1 ui1 ui 则j点在间断右侧
j
（a>0 时， 右侧为“前”）
原理： 越靠近间断，振荡越剧烈
2） 根据GVC的思想构造格式
u a u 0 a 0 t x
xu j
(3u j
4u j1
u j2 ) /(2x)
(u j1 u j1) /(2x) when
when u j u j1 u j1 u j u j u j1 u j1 u j
B: 高阶人工粘性 人工粘性
系数
人工粘 性项
x2
x
N
U x
光滑区为二阶小量
分离流—— 对粘性敏感
Von Neumann MacCormack
N
u x
N
| u | c p
2 p x2
大梯度区，加大 人工粘性
转捩——对粘性敏感 8
Jameson 人工粘性法
二阶人工粘性
四阶人工粘性
u t
f (u) x
人工粘性法
TVD, 保单调限 制器 群速度控制格式
j=1
j=N n时刻： 单调函数

差分和逼近误差
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程 度。
由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量 差分的量级，称为用差商代替导数的精度。
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
有限差分法基本原理
有限差分法基本原理
上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微 分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 级数表示，这样都可 以得到一个与差分方程对应有的限差新分法的基本微原理分方程，该微分方程称为差
T t
x2T2 ET
ET 2tt22Tin 1x22x44Tin O(t2,x2)
上式中的E T 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误
有限差分法基本原理
离散网格点
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
差分概念：
设有x的解析函数 y f(x) ，函数y 对x 的导
数为：
d yli m ylim f(x x )f(x )
dx x 0 x x 0
x
dy dy 、dx 分别是函数及自变量的微分，dx 是函数 对自变量的导数，又称微商。上式中的y 、x 分别称 为函数及其自变量的差分，y 为函数对自变量的差商。
uin1 uin uin1 uin 0
t
x
ui0 u(xi)
uin1 uin axt (uin1uin)
ui0 u(xi)
有限差分法基本原理
几种差分格式介绍
FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）
uin1 uin axt (uin uin1)
ui0 u(xi)