材料力学第六章知识点总结

= + +
材料力学
3)叠加
5ql 4 ql 4 ql 4 11ql 4 − + = yC = − 384 EI 48 EI 16 EI 384 EI
ql 3 ql 3 ql 3 11ql 3 θB = + − =− 24 EI 16 EI 3EI 48 EI
材料力学
例6-4-3 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均 为已知。求C截面的挠度yC和转角θC。
4）由位移边界条件确定积分常数
x 1 2 1 3 C = − Fl , D = Fl l 2 6 5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EIθ = F ( x − l ) − Fl 2 2 1 1 2 1 3 3 EIy = F ( x − l ) − Fl x + Fl 6 2 6
6）确定最大转角和最大挠度
x = 0, x = 0,
θA = 0
yA = 0
y
A
yB
F
B
θB
x
x = l,
θ max
Fl 2 = θB = − , 2 EI
ymax
Fl 3 = yB = − 3EI
材料力学
例6-3-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最 大挠度，梁的EI 已知，l=a+b，a>b。 解 1）由梁整体平衡分析得： Fb Fa F Ax = 0 , F Ay = , F By = l l 2）弯矩方程 AC 段：
小变形
dy 三、转角与挠曲线的关系： tgθ = dx
⇒
θ = y′
材料力学
四、挠曲线的近似微分方程
M = 推导弯曲正应力时，得到： ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1
ρ
1 M ( x) = ρ ( x) EI z
由数学知识可知： 略去高阶小量，得
1
ρ
=±
y′′ [1 + ( y′) 2 ]3
1
ρ
解：1）载荷分解如图 2)由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
FL 2 Fa 2 θ FA = − =− 16 EI 4 EI FL 3 Fa 3 y FC = − =− 48 EI 6 EI qL 3 qa 3 θ qA = − =− 24 EI 3 EI 5 qL 4 5 qa 4 y qC = − =− 384 EI 24 EI
解： 这种分析方法叫做梁的 逐段刚化法。
刚化BC 段
=
等价
y1
等价
+
刚化AB 段
y2
y1
y2
1.刚化BC 段
y1
( 2q )a 4 =−
3
qa 4 =− 8 EI 4 EI
2.解除BC 段刚化，刚化AB 段
θ B = θ Bq + θ BM
y D = y Dq + y DM
q (2a ) qa 2 (2a ) 1 qa 3 ( =− + = 24 EI 3EI 3 EI
ymax = y 5ql 4 =− 384EI
ql θmax = −θ A = θB = 24EI
3
x=
l 2
积分法求梁的变形关键点： 分段列弯距方程 寻找边界条件
P A B C D
分段：AB、BC、CD三段，共六个积分常数 yA = 0 , θ A = 0 边界条件
y B左 = y B右 , yC左 = yC右
2
4）由边界条件确定积分常数 位移边界条件 光滑连续条件
x1 = 0, y1 ( 0 ) = 0 x 2 = l , y 2 (l ) = 0
x1 = x 2 = a , θ 1 ( a ) = θ 2 ( a )
x1 = x 2 = a , y1 ( a ) = y 2 ( a )
D1 = D2 = 0
4 2
)
5 q(2a ) qa 2 (2a ) 1 qa 4 =− + = (↑) 384 EI 16 EI 24 EI
材料力学
第6章
弯曲变形
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-5 简单超静定梁 §6-6 提高弯曲刚度的一些措施
材料力学 §6-1
工程中的弯曲变形问题
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度 外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以 保证结构或机器正常工作。
b
材料力学
例6-3-3 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均 布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax 和ymax。 解：
y
ql q 2 M ( x) = x − x 2 2 A ql q 2 EIy′′ = x − x x 2 2 ql 2 q 3 ′ EIy = x − x + C 4 6 ql 3 q 4 EIy = x − x + Cx + D 12 24
)
A
B
x
l
yB
θB
x
M ( x ) = − F (l − x ) = F ( x − l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分
EIy′′ = M ( x) = F ( x − l ) 1 ′ EIy = EIθ = F ( x − l ) 2 + C 2 1 EIy = F ( x − l ) 3 + Cx + D 6
= ± y′′
所以
M ( x) ± y′′ = EI z
材料力学
y M>0 y M<0 y′′(x) < 0
y′′( x) > 0
x
x
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二 阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：
M ( x) y′′ = EI z
使用条件：小变形、线弹性、平面弯曲
材料力学
解： 1）将梁上的载荷变成有表可查的情形
θ C1
yC 1
2）再将处理后的梁分解为 简单载荷作用的情形，计算 各自C截面的挠度和转角。
ql 4 ql 3 yC 1 = − , θ C1 = − 8 EI 6 EI l yC 2 = y B 2 + θ B 2 × 2 ql 4 ql 3 l = + × , 128 EI 48 EI 2
θ C左 = θ C右 , y D = 0
C A B
边界条件：
y A = 0 , y B = Δ l BC
分段原则：集中力作用点，集中力偶作用点，分 布力的起、终点为分段点。 边界条件：支承条件、连续条件、光滑条件。有 多少积分常数就需要多少边界条件。
材料力学
积分法求变形有什么优缺点？ 积分法优点：可得到挠度方程y(x)和转角方程
y
A
θA
F
D
C
B
θB x
FBy
FAy x1
ymax
x2
a Fb M ( x1 ) = FAy x1 = x1 ,0 ≤ x1 ≤ a l CB 段： Fb M ( x2 ) = FAy x2 − F ( x2 − a ) = x2 − F ( x2 − a ), l
b
a ≤ x2 ≤ l
3）列挠曲线近似微分方程并积分 CB 段： a ≤ x 2 ≤ l AC 段： 0 ≤ x1 ≤ a Fb Fb ′ ′ EIy2 = M ( x2 ) = x2 − F ( x2 − a ) ′′ = M ( x1 ) = EIy1 x1 l l Fb 2 Fb 2 F ′ EIy1 = x1 + C1 ′= EIy2 x − ( x2 − a ) 2 + C 2 2l 2l 2 Fb 3 Fb 3 F EIy1 = x1 + C1 x1 + D1 x 2 − ( x2 − a ) 3 + C2 x2 + D2 EIy2 = 6l 6l 6
θ(x) 。因而可求出任意截面的挠 度和转角。
积分法缺点：繁、荷载复杂时分段多，积分常
数多。
材料力学
§6-4 用叠加法求弯曲变形
叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 ＝ 每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和
θ ( F1F2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅Fn ) = θ1 ( F1 ) + θ2 ( F2 ) +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +θn ( Fn )
yB 2
θB2
θC 2
yC 2
3）将结果叠加
41ql 4 yC = ∑ yCi = − 384 EI i =1
2
+
θC 2
2
ql 3 = 48 EI
7 ql 3 θ C = ∑ θ Ci = − 48 EI i =1
材料力学
例6-4-4 试按叠加原理求图示等直外伸梁截 面B的转角θB，以及A端和BC段中点D的挠度 yA和yD。
y ( F1 F2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅Fn ) = y1 ( F1 ) + y2 ( F2 ) + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + yn ( Fn )
适用：线弹性、小变形 叠加法的特征：
1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
P
A C a
P
q B
例6-4-1 按叠加原理求A 点转角和C点挠度。
P 2 P 2
P
材料力学
y C y C1
§6-2 挠曲线的微分方程
F x 1.挠度：横截面形心沿垂直 于轴线方向的线位移。用 y 表示。向上为正，反之 为负。
一、度量梁变形的两个基本位移量
θ
θ
2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用θ 表示。横截 面从变形前转动到变形后，逆时针为正，反之为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠 曲线。其方程为： y = y(x)