10.4探索三角形相似的条件(4)课件

答：这样的直线有两条,如下图
A A D B E C B D E C
作DE,使∠ADE=∠B 作DE,使∠ADE=∠C ∵∠A=∠A ∵ ∠A=∠A ∠ADE=∠B ∠ADE=∠C
∴△
ADE∽ △ABC
∴
△ AED∽ △ABC
通过本节课的研究, 你有哪些收获? 还有什么疑问?
1、相似三角形的判定定理1： 两角对应相等的两个三角形相似。
先独立完成，然后 学友A讲给学友B听
2.已知等腰三角形 ΔABC 和 ΔA/B/C/中， ∠ A 、 ∠ A/ 分 别 是 对 应 顶 角 ， 且 ∠A=∠A/
那么ΔABC∽ΔA/B/C/。
A
A/
B
C B/
C/
学友A,B 共同完成
这样的直线有几条？ 过△ABC(∠C>∠B)
D Ｂ
●
的边AB上一点D作一条 Ａ 直线与另一边ＡＣ相 交，截得的小三角形 与△ABC相似，这样的 直线有几条？请把它 C 们一一作出来。
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构成复杂图形中最简单的图形是三角形 请观察下列两个三角形的关系：
学习目标
1.初步掌握两个三角形相似的判 定条件。 2.经历两个三角形相似条件的探 索过程,进一步发展学生的探索、 交流能力，以及动口、动手、动 脑自觉获取知识的习惯。 3.运用三角形相似条件解决简单 的实际问题.
下面两组图形中的两个三角形是否相似？ 为什么？ A
A
30 °
A1
D
C
B
C1
B1
E
° 100
F B
C
①
②

A E
D B
C
例题讲解： 5、如图，已知在△ABC中，AD是BC边 上的中线,EF∥BC,分别交AB、AC、 AD于E、F、O,试说明:OE=OF.
A
O
B
D
C
情境创设： 2、根据下列条件，试判别△A1B1C1 与△ABC是否相似，并说明理由。 （3）AB=10cm，BC=8cm， AC=16cm，A1B1=16cm， B1C1=12.8cm，A1C1=25.6cm.
情境创设： 3、如图，要使△ACD∽△ABC，需 要添加的一个条件 是 。
A D B
C
例题讲解： 1、（1）如图，在△ABC中，高BF、CE 相交于点H， 则图中哪些三角形是相似三角形？
A
E H B C F
例题讲解： 1、（2）如图，若连接EF， AB· AE=AC· AF成立吗？ （2）EF AF 成立吗？
BC AB
A E H B C
F
例题讲解： 2、如图，在梯形ABCD中，AD//BC， AD〈BC，AD=5，AB=CD=2，P为AD 上的一点，∠BPC=∠A.△ABP与△DPC 相似吗？为什么？
初中数学八年级下册 （苏科版）
10.4 探索三角形相似的条件
情境创设： 1、三角形相似的不同条件 解决问题的方法有几种？
情境创设： 2、根据下列条件，试判别△A1B1C1 与△ABC是否相似，并说明理由。 （1）∠A=700，∠C=650，∠A1=700 ∠B1=350；
情境创设： 2、根据下列条件，试判别△A1B1C1 与△ABC是否相似，并说明理由。 （2）∠B=550，AB=6cm，BC=7cm， ∠B1=550，A1B1=18cm， B1C1=21cm；
A B P D C

回顾与反思
☞
判定三角形相似的方法有几种？ 1、平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的 延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A E D 2、判定 1：两个角对应相等 A 判定2：两边对应成比例且夹角相等 D E 判定3：三边对应成比例 D B A C B C
B
C
E
F
如图：在Rt△ABC中，∠ACB=900， CD是斜边AB上的高 ①图中有几对相似三角形？请你用符号把它表示出 来，并说明理由； ②AC是哪两条线段的比例中项？为什么？
E F O B C
练习 巩固
AB BC AC 如图，已知： AD DE AE
①∠1=∠2吗？为什么？
② △BAD与△CAE相似吗？为什么？
学科网
A
1 2
B
D
F
CELeabharlann 例题讲解如图，已知E是等边三角形ABC中CB延长线上的 点，F是BC延长线上的点，且∠EAF=120°. 求证：BC2=EB·FC
学科网
A
1
E
2
F
B
C
如图：已知△ABC中，DE∥BC，BE、CD相交于 F，连结AF并延长交BC于N.
①图中有几对相似三角形？ ②M 、N分别是DE、BC的中点吗？
D F
学科网
A
M
E
B
N
C
学科网
③还有哪些比例中项，你能说出来吗？
AC2=AD·AB
BC2=BD·AB CD2=AD·BD
C
A
知识
射影定理
D
B
已知：如图，在△ABC中，CE⊥AB， BF ⊥ AC，垂足分别为E、F.
(1)试说明：AE·AB=AF·AC；

归纳总结
两角分别 相等 的两个三角形 相似 。
几何语言
A A ', B B ' A B C ∽ A 'B 'C '
9
>>> 探索三角形相似的条件
解: D E//B C
A D E B , A E D C
A D E ∽ A B C
AD DE AB BC
A B 7 ,A D 5 ,D E 1 0
A 和 A ' 都等于 ， B 和 B ' 等于 ，此时，
C 与 C ' 相等吗？三边的比
AB A 'B '
， BC
B 'C '
，A C
A 'C
相等吗？这样的两个三角形相似吗？
5
>>> 探索三角形相似的条件
具体步骤
①任意选取两角 ， 的度数；(例如 50， 60 ) ②与同伴在纸片上分别画出 ABC 和 A'B'C' ； ③测量各边的长度，填入下表，并计算对应边的比值，进行比较。
北师大版 九年级上册
数
学
第四章 图形的相似
§4.4 探索三角形相似的条件
1
>>> 探索三角形相似的条件
课前探究
如图，你能借助刻度尺用最快的方法画出一个三角 形，使得它与 ABC 相似，并且与 ABC的相似比为 1 : 2 吗？动手试一试。
2
>>> 探索三角形相似的条件
概念生成
三角分别 相等 , 三边 成比例 角形叫做相似三角形。
13
>>> 探索三角形相似的条件
14

要标志，即开始起垄培土，若培土过迟，就会在培土过程中损伤小薯而影响产量。现蕾后天左右开始开花，地上部茎叶生长进入盛期，叶面积迅速增大。盛 花期是地上部茎叶生长最旺盛时期，此后，地上部生长趋于停止，制造的养分不断向块茎输送。 [] ⒋块茎的形成 多数品种是在现蕾期块茎开始膨大，但通 常马铃薯到开花盛期，叶面积最大，制造养分的能力最强，所以开花后天左右块茎增长的速度最快，而后随着地上部茎叶的逐渐衰退，输入块茎的养分也相 应地减少，一直到茎叶完全枯死，块茎才停止增大。此时块茎皮层加厚，进入休眠期。 [] 马铃薯块茎的膨大与浆果的形成，在养分分配上是有矛盾的，因浆 果的生长和块茎的膨大基本上同期进行的。植株上浆果愈多，对块茎产量影响愈大，一般要减产%～%，多者可达%以上。所以如果不是为了采收种子，应 对那些结果较多的品种及时摘花、摘蕾，以免浆果与块茎争夺养分。 [] 生长条件 马铃薯种植地 马铃薯种植地 ①温度：性喜冷凉，不耐高温，生育期间以日 平均气温℃～℃为适宜。 [] ②光照：光照强度大，叶片光和作用强度高，块茎形成早，块茎产量和淀粉含量均较高。 [] ③水分：马铃薯的蒸腾系数在～之 间。如果总降雨量在～mm之间，且均匀分布在生长季，即可满足马铃薯的水分需求。 [] ④土壤：植株对土壤要求十分严格，以表土层深
例题讲解
例1、根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，并
说明理由。
AB=4cm，
BC=6cm，
AC=8cm，
A′B′=12cm， B′C′= 18cm，A′C′=24cm；
变式一：AB=4cm， BC=6cm，
AC=8cm，
A′B′=12cm， B′C′= 18cm，A′C′=28cm；
回忆：
判定两个三角形全等有哪些方法？

如果
AC BC

AB AC
，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线
段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比.
图2
一条线段有几个黄金分割点？
2个.
典例精讲
例 计算黄金比.
解：由
AC BC

AB AC
，得 AC2 = AB ·BC.
设AB = 1，AC = x，则BC=1– x .
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可知这两个三角形相似.
课堂小结
1.相似三角形的定义.
2.相似三角形的判定定理1.
第四章
图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
（第2课时）
回顾复习
AB
BC
已知△ABC与△A´B´C´，其中 ，这两个
AB BC
三角形一定相似吗？与同伴交流.

.
∴
BC AB 4
3
3
9
∵ BC=3，∴ DE BC 3 .
4
4
4
探究新知
想一想
如果△ABC与△A′B′C′ 两边成比例，且其中一边
所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？分
别画出如图3所示的三角形，你能得到什么结论？
4 cm
50°
3.2 cm
2 cm
50°
1.6 cm
图3
采用如下方法可以得到黄金分割点：如图5，设AB是已知线段
1
BD AB ;
，过点 B 作 BD⊥AB，使
2
连接 AD，在 AD 上截取
DE=DB；在 AB 上截取AC=AE . 点 C 就是线段AB的黄金分割点. 你

B
F O C
C
3.如图,线段AC﹑BD相交于点O，要使△AOB ∠AOB=∠OC ∽ △DOC，已具备条件______________,还需要
∠A=∠D ∠B=∠C 补充的条件是_______________,或________________, AO:DO=BO:CO 或__________________.
10.4 探索三角形相似的条件(4)
随堂练习
∠A=∠A 如图,要使△AEF ∽ △ACB,已具备条件 __________,还需要补充的条件是_____________, ∠AEF=∠C AE:AC=AF:AB ∠AFE=∠B 或_____________,或_________________. A E
3 当AE=_________时,△ADE∽△ACB;
16 或3 当AE=_________时, △ADE与△ABC相似. 3
讨论与交流 例1：如图：在Ｒt△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ＝９０° ＣＤ是斜边ＡＢ上的高．
（１）图中有哪几对相似三角形?请用符号把它们表示出 来，并说明理由． Ｃ
Ｂ Ｄ （２）ＡＣ是哪两条线段的比例中项？为什么？
B
A
D
☞ 回顾与反思
情景1:
在△ABC中,点D、E分别在边AB、 AC上,而且BC=8,AD:DB=2:1,DE∥BC A 则DE=__________.
16 3
B
D
E
C
情景2: 在△ABC中,点D、E分别在边AB、 AC上,AD=4,DB=2,AC=8,
16 3 当AE=_________时,△ADE∽△ABC;
你还能写出多少像AC2=AD· BD的式子？
Ａ
课本P101 练习1 , 2

D
若图中两个三角形相似，求 DE 的长。 B C A 4、在⊿ABC 中，AB=8cm，BC=16cm，点 P 从点 A 开始 沿 AB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC P 边向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒钟后⊿PBQ 与⊿ABC 相似？ C B Q 二、新课 (一)复习提问 1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？(4 种) 2．叙述平行线判别相似三角形的条件、判定条件 1、2、3。 其中判定条件 1、2、3 的说明思路是什么？(①作相似，证全等；②作全等， 证相似)． (二)讲解新课 例 4、如图，在 Rt⊿ABC 中，△ACB＝90°， C CD 是斜边 AB 上的高。 （1）图中有哪几对相似三角形？请用符号把 它们表示出来，并说明理由； （2）AC 是哪两条线段的比例中项？为什么？ A D B 解：(略)．详见课本 P124 例 4。 教师在讲解例题时，应指出要使△ABC∽△CBD 应有点 A 与 C， C 与 D，B 与 B 成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边． 例 5、如图，在正方形 ABCD 中，点 M、N 分号在 AB、 D C BC 上，AB＝4，AM＝1，BN＝0.75。 (1)△ADM 与△BMN 相似吗？为什么？ (2)求∠DMN 的度数。
N
学生默写 回忆比例中 项概念。 说出解题思 路 说 明 △ ABC ∽△CBD、 △ ACD ∽ △ CBD 的理由， 由学生自己 完成。
解：(略) 详见课本 P124 例 5。
A M
B
例 6、如图，当 BD 与 a、b 满足怎样的关系式时，这两个三角形相似？(不 指明对应关系) 解：(略)． C a b2 b a2-b2 A BD= a 或 BD=已知命题的结论，寻找使结论成立的题设，是探索充分条件， 所以有一定难度．为了降低难度，本题中给了探索方向，即“BD 与 a、b 满足怎样的关系式” ． 这种题目体现分析问题的思维方法，对培养学生研究问题的习惯有好处， 教师要给予足够重视．但由于有一定难度，只要求学生了解这类问题的思 考方法，不应提高要求或增加难度． 三、课堂练习 课本 P101 练习题 第 1、2 题 四、课堂小结： (1)前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用． (2)关于探索性题目的处理． 五、布置作业 课本 P102～103 习题 10.4 第 7、8、11 题 六、中考链接 如图，矩形 ABCD 中,AB=12 厘米,BC=6 厘米.点 P 沿 AB 边从 A 开始向点 B 以 2 厘米 秒 的速度移动;点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1 厘米 秒 的速 度移动.如果 P、Q 同时出发,用 t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）,那么: 当 t 为何值时,以点 Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？

3 应用
在工程和建筑设计中，直角三角形的相似性质被广泛应用。
AAA相似条件和证明方法
1
相似条件
两个三角形的三个角分别相等。
证明方法
2
利用数学推理和几何性质的推导来证明
两个三角形相似。
3
示例
通过测量和角度运算，我们可以证明两 个三角形具有AAA相似条件。
AA相似条件和证明方法
相似条件
两个三角形的两个角分别相等。
实际应用
在建筑结构和力学分析中，重心 定理被广泛应用于计算负载和平 衡。
SAS相似条件和证明方法
1
相似条件
两个三角形的两条边成比例，且夹角相等。
2
证明方法
通过测量和计算，我们可以验证两个三角形满足SAS相似条件。
3
应用
在地图比例尺计算中和角度估算中，SAS相似条件被广泛应用。
重心定理和相似三角形的应用
重心定理
重心是连接三角形顶点和质心的 线段中点。
应用
通过重心定理，我们可以推导出 等边三角形中内切圆半径和边长 的关系。
证明方法
使用角度测量工具和三角函数来 验证两个三角形的相似性。
示例
通过测量和角度运算，我们可以 证明两个三角形具有AA相似条件。
SSS相似条件和证明方法
相似条件
两个三角形的三条边分别成比例。
证明方法
通过测量和运算，我们可以验证两个三角形的边长比例。
示例
利用尺规作图和边长计算，我们可以证明两个三角形具有SSS相似条件。
探索三角形相似的条件课 件
通过本课程，我们将探讨三角形相似的条件和应用。从基本概念、证明方法 到实际应用，让我们一起来发现三角形相似的奇妙之处！
三角形相似的定义和基本概念

练习与拓展
1.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金 分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主 持人应走到离A点至少多少米处是比较得体的位置？ （结果精确到0.1m）.
练习与拓展
2.人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比 越接近0.618越给人以美感，遗憾的是即使是身材修 长的芭蕾舞演员也达不到如此完美.某女士身高 1.68m，下半身1.02m，她应选择多高的高跟鞋看起 来更美丽？（精确到1cm）
具备快速阅读的能力
初中生要掌握快速阅读的能力,这对 提高阅读效率是非常必要的。 高效学习经验 阅读书籍有快有慢
初三学生刘某以737分的高分在7万名考生中 独占鳌头,成为重庆市近十年来中考丢分最 少的人,其中四科都是满分,这样的好成绩让 人瞠目。尽管如此,刘峻琳似乎还不满 足:“再仔细数学其实也可以拿满分
由于父母没有对他过多雕琢,刘峻琳属于那种没有什么特长 的学生。双休日,其他同学都在上各种补习班,只有我是自由 的,爸爸妈妈也不管我,让我有充裕的时间去参加体育运动或 者看课外书。看课外书是我最大的爱好,在阅读课外书的时候, 对于一般内容,我会加快阅读速度,而对于那些经典好句好段, 我就会慢慢品读,一页读几分钟。班主任杨老师说:“刘峻琳 的每篇作文从选材到立意都很大气,其立足点都不是个人、家 庭,而是从民族、国家等角度去写,这都与他的阅读习惯有关。
练习与拓展 这样也可以得到黄金分割点？
正方形ABCD、AFGH
点H是线段AB的黄金 分割点吗？
课堂小结
什么叫做黄金分割？黄金比是多少？ 一条线段有几个黄金分割点？ 如何用尺规作线段的黄金分割点和黄金矩形？ 如何说明一个点是一条线段的黄金分割点？
作业
必做题：习题1、2 选做题：习题4