材料力学(第三章)(06)

3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件

0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析




圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16


强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3

4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2

Mn 0.208 0.886 d
b
6.913

做人？
物理 几何 静力学
内因 外因（平衡）
协调方程
Page 1
第三章 轴向拉压变形
例：套管与轴两端用刚性板固定，其拉压刚度分别为 E1A1、 E2A2。求分别在下列两种情况的载荷P作用下， 套管与轴的轴力。
P
P
P
P
l1
l2
Page 2
第三章 轴向拉压变形
P
P
套筒：E1A1 轴：E2A2
分析变形： 套筒和轴同时伸长，由于两端为刚性固 定，套筒和轴的伸长量相等。
第三章 轴向拉压变形
2
3
45
1C
F
4、解答
2 1 F
FN1
2
3 2F
FN2
2
2 2F
FN3
6、设计截面
2
思考：由上式设计的
A1, A2,能A3,否取各自由上 式的计算值？为什么？
设 F 40kN, 160MPa
FNi ,
Ai
Ai
FN i
Page11
第三章 轴向拉压变形
例：ABC刚性块，各杆EA，求轴力。
代入物理方程
A
FN1l1 E1 A1
FN 3 l3 E3 A3
cos
Page18
第三章 轴向拉压变形
1 32
l2 Al1
FN3 l3
FN1
FN 2
解答：
FN1
FN 2
l3
E1 A1 cos2
1 2E1 A1 cos3
E3 A3
FN 3
l3
2E1 A1 cos3 1 2E1 A1 cos3
Page17
第三章 轴向拉压变形
例：3杆制造误差长 ，1、2杆 E1，A13杆 E，3求A3各杆内力

试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。

2005年注册岩土工程师考前辅导精讲班材料力学第三讲扭转【内容提要】扭转是杆件的又一种基本变形形式，本节主要学习杆件发生扭转时的受力和变形特点，熟悉传动轴的外力偶矩计算，掌握求扭矩和作扭矩图的方法。

掌握横截面上剪应力分布规律和剪应力计算，了解斜截面上的应力计算，掌握剪应力强度条件的应用。

熟悉圆截面极惯性矩，抗扭截面系数计算公式的应用。

熟悉圆截面杆扭转角的计算和刚度条件的应用，了解受扭圆杆应变能的计算。

【重点、难点】求扭矩和作扭矩图的方法，横截面上剪应力分布规律和剪应力计算，剪应力强度条件。

【内容讲解】一、扭转的概念受力特征：杆两端承受一对力偶矩相等．转向相反作用面与杆轴线相垂直的外力偶作用。

变形特征：杆件各横截面绕轴线作相对旋转。

截面间轴线的相对角位移，称为扭转角，用表示。

杆件表面上的纵向线同时倾斜了一个角，即剪应变。

以扭转变形为主要变形的直杆，简称为轴。

二、传动轴外力偶矩传动轴所传递的功率、转速与外力偶矩之间关系式中P为传递功率，常用单位为kW(千瓦)，为转速，常用单位为r／min(转每分)，T为外力偶矩，常用单位为N•m(牛•米)。

三、扭矩扭矩图扭矩:受扭杆件横截面上产生的内力，是一个在横截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩，用表示。

扭矩正负号规定扭矩以右手法则表示扭矩矢量方向，若该矢量方向与截面外向法线方向一致时为正，反之为负。

扭矩计算应用截面法和扭矩正负号的规定，可直接根据横截面左侧(或右侧)杆上作用的外力偶矩，计算该横截面上的扭矩法则：某横截面上的扭矩，在数值上等于该截面的左侧(或右侧)杆上所有外力偶矩的代数和，外力偶矩矢量方向(按右手法则离开该横截面的均取正值，反之取负值。

扭矩图表示沿杆轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

以横坐标轴表示横截面的位置．纵坐标表示相应横截面上扭矩。

根据平面假设，应用几何、物理与静力学三方面，可建立圆截面轴扭转剪应力，变形公式。

四、圆轴扭转剪应力与强度条件(一)横截面上的剪应力1．剪应力分布规律横截面上任一点的剪应力，其值与该点到圆心的距离成正比，方向垂直于该点所在的半径。