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材料力学第三章

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材料力学第三章 扭转

材料力学第三章 扭转

n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2

材料力学第三章

材料力学第三章
解 ϕ = Tl0 = M el0 GI p GI p
33
G=
M el0 ϕI p
= M el0 ϕ ⋅ πd 4
=
150 × 0.1× 32 0.012π × 204 ×10−12
= 79.6 GPa
3-8 设有 1 圆截面传动轴，轴的转速 n = 300 r/min，传递功率 P = 80 kW，轴材料的 许用切应力[τ ] = 80 MPa，单位长度许用扭转角[θ ] = 1.0° / m ，切变模量 G = 80 GPa。试
τ max
= Tmax Wp
≤ [τ ]
3-6 金属材料圆轴扭转破坏有几种形式？ 答 塑性金属材料和脆性金属材料扭转破坏形式不完全相同。塑性材料试件在外力偶作 用下，先出现屈服，最后沿横截面被剪断，如图 a 所示；脆性材料试件受扭时，变形很小， 最后沿与轴线约 45°方向的螺旋面断裂，如图 b 所示。
（2）用简化公式
τ max
=
8FD πd 3
=
8 ×1.5 ×103 × 50 ×10−3 π × 83 ×10−9
= 373 MPa
< [τ ],安全。
讨论：由于 c = D d = 50 8 = 6.25 < 10 ,故应用解（1）中修正公式计算（（1）（2）计算
值相差较大）。
3-7 一圆截面等直杆试样，直径 d = 20 mm，两端承受外力偶矩 M e = 150 N⋅ m 作用。 设由试验测得标距 l0 = 100 mm 内轴的相对扭转角ϕ = 0.012 rad，试确定切变模量 G 。
设计轴的直径。
解 T = 9549 × P = 9549 × 80 = 2546 N ⋅ m
n
300

材料力学第3章扭转

材料力学第3章扭转

试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。

材料力学第3章扭转

材料力学第3章扭转

τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理

材料力学：第三章 剪切

材料力学：第三章 剪切

F 挤压面上应力分布也是复杂的
F
实用计算中，名义挤压应力公式
bs
Fbs Abs
Fbs
Fbs
Abs d
——挤压面的计算面积
挤压强度条件：
bs
Fbs Abs
bs
挤压强度条件同样可解三类问题 bs 常由实验方法确定
例: 已知： =2 mm，b =15 mm，d =4 mm，[ =100 MPa， [] bs =300 MPa，[ ]=160 MPa。 试求：[F]
第三章 剪 切
一. 剪切的概念和实例 二. 剪切的实用计算 三. 挤压的实用计算
一. 剪切的概念和实例 工程实际中用到各种各样的连接，如： 铆钉
销轴
平键 榫连接
(剪切)受力特点： 作用在构件两侧面上的外力合力大小相 等、方向相反且作用线相距很近。
变形特点： 构件沿两力作用线之间的某一截面产生相 对错动或错动趋势。
F F
剪切面上的内力 Fs （用截面法求）
实用计算中假设切应力在剪切
F
m m
面（m-m截面）上是均匀分布的 F
名义切应力计算公式：
F
m
m
FS
FS m
m
F
Fs
A
剪切强度条件：
Fs
A
——名义许用切应力
由实验方法确定
剪切强度条件同样可解三类问题
三. 挤压的实用计算
挤压力不是内力，而是外力
解： 1、剪切强度
4F πd 2
[
]
F πd 2[ ] 1.257 kN
4
2、挤压强度
bs
F
d
[ ]bs
F d[ ]bs 2.40KN
3、钢板拉伸强度 F

材料力学 第三章 扭 转

材料力学 第三章 扭 转

T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI

材料力学课件第三章剪切

材料力学课件第三章剪切
材料抵抗剪切破坏的最大应力称为剪切强度。
剪切现象
生活中的剪切现象
如剪刀剪纸、锯子锯木头等，都 是典型的剪切现连接处， 由于受到垂直于连接面的力而发 生相对错动。
剪切应力与应变
剪切应力
在剪切过程中，作用在物体上的剪切力与物体截面面积的比值称 为剪切应力。
剪切应变
04
剪切破坏与预防措施
剪切破坏类型
01
02
03
04
脆性剪切
材料在无明显屈服的情况下突 然发生剪切断裂，多发生在脆 性材料中。
韧性剪切
材料在发生屈服后逐渐发生剪 切断裂，多发生在韧性材料中 。
疲劳剪切
材料在循环应力作用下发生的 剪切断裂，多发生在高强度材 料中。
热剪切
由于温度变化引起的剪切断裂 ，多发生在高温环境下。
车辆工程中的剪切问题
航空航天器在高速飞行时，会受到气 动力的剪切效应，影响其稳定性。
车辆在行驶过程中，车体结构会受到 风力、路面等载荷的剪切作用，影响 车辆的安全性和舒适性。
船舶结构中的剪切变形
船舶在航行过程中，会受到波浪、水 流等载荷的剪切作用，影响其结构安 全。
THANK YOU
感谢聆听
患。
05
剪切在实际工程中的应用
建筑结构中的剪切问题
80%
桥梁结构的剪切变形
桥梁在受到车辆等载荷作用时， 会发生剪切变形，影响结构的稳 定性。
100%
高层建筑的剪切力传递
高层建筑中的剪切力对建筑物的 稳定性和安全性具有重要影响。
80%
地震作用下的剪切效应
地震时，建筑结构会受到地震波 的剪切作用，可能导致结构破坏 。
03
剪切与弯曲的关系
弯曲与剪切的相互作用

材料力学第三章-PPT

材料力学第三章-PPT

Me3
r / min
Me1 15915 N m
2
3
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
Me1 n Me4
1
4
6366 N·m
+
2)画扭矩图
4774.5 N·m
9549 N·m
【课堂练习】若将
Me2
Me4
从动轮3与4对调如
18
Me1 n Me3
图,试作扭矩图、
2
BC段内:
2,max
T2 Wp 2
π
14103 71.3MPa 100 103 3
3)校核强度
16
2,max >1,max且2,max<[ ] = 80MPa,满足强度条件、
36
§3-5 等直圆杆扭转时得变形·刚度条件
Ⅰ、 扭转时得变形
等直圆杆得扭转变形可用两个横截面得
相对扭转角(相对角位移) j 来度量。
GIP
j Tl 180 GIP
—单位为度 (º)
若圆轴在第i段标距li内Gi、IPi、Ti为常 数,则相对扭转角:
n
j
T i li
—单位为弧度(rad)
i1 Gi I Pi
n
j
T i li 180 —单位为度 (º)
i1 Gi I Pi
39
【例3-4】钢制实心圆轴中,M1=1 592 N·m,M2 = 955 N·m,M3 = 637 N·m,lAB = 300 mm,lAC = 500 mm,d = 70 mm ,切变模量G = 80 Gpa、试求横截面C 相对于
Me
Me
FS左=τ左dydz
FS右=τ右dydz

材料力学第三章总结

材料力学第三章总结

一、剪切：1、受力特征：杆件受到两个大小相等，方向相反、作用线垂直于杆的轴线并且相互平行且相距很近的力的作用。

2、变形特征：：两力之间的截面将发生相对错动，甚至破坏。

3、剪切面：两力作用之间的面（发生错动的面）。

4、剪切的应力：由于螺栓、销钉等工程上常用的连接件与被连接件在连接处都属于“加力点附近局部应力”，应力分布很复杂，很难作出精确的理论分析。

因此，工程设计中，大都采取实用（假定）计算方法。

一、假定应力分布。

二、实验。

由假定应力分布得到破坏时的应力值。

然后由两个假定建立设计准则。

假定：剪切面上的切应力是均匀分布的。

名义剪力：AF s =τ，—A 剪切面面积。

5、剪切的强度条件：[]—ττ≤=A F s 名义许用切应力：在假定的前提下进行实物或模型实验，并考虑安全因数，确定许用应力。

6、可解决三类问题：（1）选择截面尺寸;（2）确定最大许可载荷；（3）强度校核。

7、.剪切的破坏计算：—b s AF ττ>=剪切强度极限。

8、剪切实用计算的关键：剪切面的判定及计算。

（单剪切、双剪切）二、挤压及挤压的实用计算1、挤压：连接件和被连接件在接触面上彼此承压的现象。

2.挤压引起的可能的破坏：在接触表面产生过大的塑性变形、压溃或连接件（如销钉）被压扁。

3.挤压的强度问题：①挤压力bs F ：作用在接触面上的压力。

F F bs =；②挤压面bs A 挤压力的作用面。

③挤压应力bs σ挤压面上由挤压力引起的应力。

④挤压的实用计算：bs bs bs A F =σ；⑤挤压的强度条件：[]—bs bsbs bs A F σσ≤=名义许用挤压应力，由实验测定。

注意：在应用挤压强度条件进行强度计算时，要注意连接件与被连接件的材料是否相同，如不同，应对挤压强度较低的材料进行计算，相应的采用较低的许用挤压应力。

挤压实用计算的关键：挤压面的判定及计算。

4、挤压面面积的计算：（1）平面接触（如平键）：挤压面面积等于实际的承压面积。

材料力学-第三章

材料力学-第三章

21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：


u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量

第三章 材料力学课件

第三章 材料力学课件

例题
3.5
一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭 矩T=5kN·m，许用切应力[τ]=80MPa，试确定空心圆轴 的壁厚。
因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒 和空心圆轴设计 薄壁圆筒设计 2T T 2 τ= d ≤ δ δ τ +δ τ= 设平均半径 R0=(d+δ)/2 2 2πR0 δ πτ
例题
3.1
=500kW， =150kW， =150kW， P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW， =200kW，试绘制扭矩图。 P4=200kW，试绘制扭矩图。
m2
解：①计算外力偶矩
1
m3
2
m1
3
m4
P 500 3 m = 9.55 1 = 9.55⋅ 1 2 n 1 300 n A B C = 15.9(kN ⋅ m ) P P 2 m4 = 9.55 4 = 9.55 m2 = m3 = 9.55 = n n 200 150 ⋅ = 6.37 (kN⋅ m ) = 4.78 (kN⋅ m ) 9.55⋅ 300 300
τ −45 = 0
0
τ
τ τ
α = 450
σ45 = σmin = −τ
0
σmin
τ
τ 45 = 0
0
σmax
扭转破坏试验
低碳钢试件： 沿横截面断开。 先发生屈服，试件表面横向和纵 向出现滑移。 铸铁试件： 沿与轴线约成45°的螺旋线 断开。
强度条件
τ max ≤ [τ ]
强度计算的三类问题 ：
D
②求扭矩（扭矩按正方向设） 求扭矩（扭矩按正方向设）
∑mC = 0 , T + m2 = 0 1 T = −m2 = −4.78kN⋅ m 1 T2 + m2 + m3 = 0 , T2 = −m2 − m3 = −(4.78 + 4.78) = −9.56kN⋅ m T3 − m4 = 0 , T3 = m4 = 6.37kN⋅ m

材料力学课件 第三章剪切与挤压

材料力学课件 第三章剪切与挤压
第三章 剪 切与挤压
§3－1 概述 §3－2 剪切的实用计算 §3－3 挤压的实用计算 §3－4 连接件的强度计算
案例：螺栓的剪切与挤压 如图所示为采用ABAQUS软件模拟的螺栓连接两块钢板 ，固定成一块钢板。两块钢板通过螺栓相互传递作用力 ，作用力沿搭接方向垂直于螺栓。这种螺栓可能有2种破 坏形式：①螺栓沿横截面剪断，称为剪切破坏，如图3.1 （a）所示；②螺栓与板中孔壁相互挤压而在螺栓杆表面 或孔壁柱面的局部范围内发生显著的塑性变形，称为挤 压破坏，如图3.1（b）所示。
（a）剪切云图
（b）挤压云图
§3－1 概述 在建筑工程中，由于剪切变形而破坏的结构很多，例如， 在2008年5月12日14时28分在四川汶川爆发的里氏8.0级特大 地震中，某学校的教室窗间墙发生严重剪切破坏，如图所示。
在机械加工中，钢筋或钢板在剪切机上被剪断，见图所 示
（a）剪切机
（b）剪切机剪切 钢板示意图
[ bs ]
危险截面即为铆钉孔所处的位置，危险截面面积A=t(b-d) ，且此处的轴力为P；则得拉应力
P 24 103 28.9MPa [ ]
t(b d ) 10 (100 17)
以上三方面的强度条件均满足，所以此铆接头是安全的。
方法二（有限元计算法）
经有限元建模，可得钢板及铆接头的应力分布规律及状态 ，如图所示。由图可见，该题中钢板及铆接头的强度均满 足要求。
实用计算假设：假设剪应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪 切面上的平均应力。
（合力） P
n
Q n
1、剪切面--AQ ： 错动面。 剪力--Q： 剪切面上的内力。
n
P
2、名义剪应力--：
（合力）
Q
AQ
剪切面 3、剪切强度条件（准则）：

材料力学 第三章 扭转

材料力学 第三章 扭转

为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p

材料力学 第 三 章 扭转

材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。

材料力学第三章知识点总结

材料力学第三章知识点总结

直升机的旋转轴
电机每秒输入功：外力偶作功完成：
×
=P W
M W
e
⋅
=
形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。

倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。

τdα
τ
l
ϕ
做薄壁圆筒的扭转试验可得
l
是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，G的量纲各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：
ρργγtg ≈x
d d d ′=x d d ϕρ⋅=O 1O 2ABCD 为研究对象
D’
微段扭转变形d dx Rd dx DD tg ϕγγ==≈'d ϕ/ d x －扭转角沿x 轴的变化率
扭转变形计算式
O d A ρTρ⋅
（实心截面）
1、横截面上角点处，切应力为零；
2、横截面边缘各点处，切应力
3、切应力沿横截面周边形成与
4、横截面周边长边中点处，切应力最大。

有关，见教材P93 之表3.2。

材料力学课件第三章 扭转

材料力学课件第三章 扭转

工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
3.4.2 最大扭转切应力和强度条件
第三章 扭转
1. 最大扭转切应力：
由
T
Ip
知：当
R , max
max
TR Ip
T Ip R
T Wp
(令 Wp I p R )
max
T Wp
Wp — 扭转截面系数，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
Wp
d3
16
Wp
(D4
16
d4)
D3(1 4 )
16
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
2、强度条件
强度条件：
max
Tm a x Wp
[ ]
第三章 扭转
许用切应力 u
n
τ s---- 扭转屈服极限 ——塑性材料 τ b---- 扭转强度极限 ——脆性材料 τ u---- 扭转极限应力 ——τs和τb的统称
MB
MC
MA
MD
B
C
解：计算外力偶矩
A
D
MA
9549 PA n
1592N m
MB
MC
9549 PB n
477.5N m
MD
9549 PD n
637N m
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
第三章 扭转
3.2.2 扭矩和扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
剪应力在互相垂直的面上同时存在，数值相等，其方向都垂直于这 两个面的交线，且都指向或者都背离该交线。

材料力学第三章

材料力学第三章

等直圆杆扭转时的应力·强度条件 §3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件
3.理论分析 3.理论分析 变形几何关系： (1) 变形几何关系： G1G′ ρ ⋅ dϕ γ ρ ≈ tanγ ρ = =
dϕ γρ = ρ dx dϕ ：扭转角 沿x轴的变化 轴的变化 ϕ dx 率。对给定截面上的各 它是常量。 点，它是常量。
28
等直圆杆扭转时的应力·强度条件 §3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件
5
§3-2 薄壁圆筒的扭转
1 为平均半径） 薄壁圆筒： 薄壁圆筒：壁厚 δ ≤ r0 （r0：为平均半径） 10
实验： 实验：
实验前：绘纵向线，圆周线； 实验前：绘纵向线，圆周线；
然后施加一对外力偶 Me。
6
§3-2 薄壁圆筒的扭转
当其两端面上作用有外力 偶矩时，任一横截面上的 内力偶矩——扭矩(torque) T = Me
4
§3.1 概述
工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、 工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机 轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。 汽车传动轴等，都是受扭构件。 还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、 还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、 机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形， 机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合 变形。 变形。 本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略 的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为 主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范 围内工作的情况。
Ⅰ. 横截面上的应力 表面 变形 情况 横截面 上应力 变化规 律 内力与应力的关系 横截面上应 力的计算公 式
23
横截 推断 面的 变形 情况
横截面 上应变 应力-应变关系 的变化 规律

材料力学 第三章 应变理论

材料力学 第三章 应变理论

ij 称为柯西应变张量或小应变张量
其实体表示形式为 1 u u 2
是二阶对称张量，只有六个独立分量。
§3-1 位移和变形
在笛卡尔坐标系中，其常用形式为
11
u1 x1
u x
x ,12
21
1 2
u1 x2
u2 x1
1 u
2
y
v x
xy
yx
22
u2 x2
v y
i
ji
ui x j
j
1
i
ui x j
j
i
可由位移梯度分量 ui 和线元正应变 计算任意方向线元
变形后的方向余弦。x j
考虑两线元间的夹角变化
t cos , t t 2 t 1 1
t
1 t t 2 t
§3-2 小应变张量（几何方程）
若变形前两线元互相垂直，即 t 0
u j xi
ei ej
E 1 u u u u 2
➢ 按照欧拉描述还可以定义描述大变形的阿尔曼西（Almansi,E)
应变张量，即
dS2 dS02 2eijdxidxj
eij
1 2
ui xj
u j xi
um xi
um xj
它也是二阶对称张量
由此可见：物体无变形（线元长度不变，仅作刚体运动） 的充分必要条件是应变张量处处为零。
令 为变形后线元间直角的减小量，则由上式可得
cos
2
cos , t
2 t 2ij it j 2t
通常定义两正交线元间的直角减小量为工程剪应变 t ，即
t 2t 2 t 2ijit j
若 , t 为坐标轴方向的单位矢量，例如 i 1, t j 1(i j)

《材料力学》第三章 轴向拉压变形

《材料力学》第三章 轴向拉压变形
-3（共 4 页）
第三章 轴向拉压变形
*四、温度应力、装配应力 一）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力） 。 温度引起的变形量—— L tL 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。 二）装配应力——预应力、初应力：由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应 力。 1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。 轴向拉压变形小结 一、拉压杆的变形（重点） 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 3、横向变形系数（泊松比） ： 4、变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺寸的变化。 5、弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。 6、塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。 3、横向变形系数 7、位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。 8、正应变——微小线段单位长度的变形。
4、求变形： L
FN L EA
LAB
FNAB LAB 240 3.4 104 2.67(m m) EAAB 2.114.54
LCD 0.91mm LEF 1.74mm
5、求位移,变形图如图
LGH 1.63mm
D
LEF LGH DG LGH 1.70 mm EG
第三章 轴向拉压变形
第三章
一、概念 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 二、分析两种变形
轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形
b
L F F
b1
L1
1、轴向变形：Δ L=L1-L ，
L L F L （2） 、在弹性范围内： L N A
（1） 、轴向正应变线应变：
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材料力学
第三章 连接件的剪切与挤压强度计算
Contents
§ 连接件的剪切与挤压强度计算 § 焊缝强度的剪切假定计算 § 结论与讨论
§ 连接件的剪切与挤压强度计算
一、连接件的受力特点和变形特点：
1、连接件
在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如： 螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。
L FN L FL
FN
FN
EA EA
2、变内力拉压杆的弹性定律
NF(（xx) ）
F (x)dx
L L EA(x)
x
L n Fi Li i1 Ei Ai
dx
3、杆件正应力与正应变的物性关系或横向变形系数） 5、小变形与位移的求法

A
为。试求使该结构的用料最省时的角。
D
C B
l
F
B
L1
L2
C
L2 F L1 C' C"
6、静不定问题的方法步骤：
平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程——弹性定律； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
材料在拉伸和压缩时的力学性能
1 、弹性定律 2、极限应力
; E tg
螺栓
特点：可传递一般 力，
P
P
可拆卸。
P P
铆钉
无间隙
特点：可传递一般 力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处由它连接。
齿轮
m 键
轴 特点：传递扭矩。
2、受力特点和变形特点：
以铆钉为例：
①受力特点：
（合力） P
n
构件受两组大小相等、方向相 反、作用线相互很近（差一个几 n 何平面）的平行力系作用。
P （合力） ②变形特点：
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿
横截面发生，有时却是沿斜截面发生的。
k
F

k
F FN F
AA
F
k p
F
F F
A

A
cos
F
k
k p
p

F A

F A

F cos
A
cos
对危于当险等40有截直5oo,,多面杆段上mma轴的xax 力正k时应2，力最---大-最轴大p力工s所in作对应p应力的cco截oss面-s-i-n--危c险o2截s2s面in。2
P
P 解：受力分析如图
t
b
t
P
FQ Pjy 4
P
P
123
P
d
P/4
123
剪应力和挤压应力的强度条件


FQ AQ

P
d 2

110 3.141.62
107
136.8MPa

jy

Pjy Ajy

P 4td

110 4 11.6
107
171.9MPa
实用计算假设：假设剪应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪 切面上的平均应力。
（合力） P
n
FQ n
1、剪切面--AQ ： 错动面。
剪力--FQ： 剪切面上的内力。 n
P
2、剪应力--：
（合力）
剪切面
FQ
AQ
n
3、剪切强度条件（准则）：
P
FQ 其中 : b
强度设计准则（Strength Design Criterion）：
1、强度设计准则?

max max(
F (x))
A( x)

校核强度：
max
设计截面尺寸：
Amin

Fm ax

设计载荷： Fmax A
拉压杆的变形及应变
1、等内力拉压杆的弹性定律
m P
h
AQ
L
b
d
例6 一铆接头如图所示，受力P=110kN，已知钢板厚度为 t=1cm
，宽度 b=8.5cm ，许用应力为[ ]= 160MPa ；铆钉的直径 d=1.6cm，许用剪应力为[]= 140MPa ，许用挤压应力为[jy]=
320MPa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等。）
例5 齿轮与轴由平键（b=16mm，h=10mm，）连接，它传递的扭
矩m=1600Nm，轴的直径d=50mm，键的许用剪应力为[]= 80M Pa ，许用挤压应力为[ jy]= 240M Pa，试设计键的长度。
m
h
2
解：键的受力分析如图
P

FQ

Pjy

2m d

2 1600 0.05

64kN
P=40KN，试求接头的剪应力和挤压应力。
h 解：：受力分析如图∶
P
c
P 剪切面和剪力为∶
a
FQ Pjy P
挤压面和挤压力为：
P
P ：剪应力和挤压应力
b
AQ
Ajy
P
FQ P 40 107 0.952MPa
P
AQ bh 1235
jy

Pjy Ajy

P cb

40 107 4.5 12
16.7MPa
[例3] 如图螺钉，已知：[]=0.6[]，求其d:h的合理比值。
h d F
d h
剪切面
解


FN A

4F
d 2

当 ， 分 别 达 到 [] ， [] 时



FS

F

， 材料的利用最合理
AS dh
F 0.6 4F 得 d : h 2.4
dh
d 2
例4 齿轮与轴由平键（b×h×L=20 ×12 ×100）连接，它传递的
扭矩m=2KNm，轴的直径d=70mm，键的许用剪应力为[]= 60M Pa ，许用挤压应力为[jy]= 100M Pa，试校核键的强度。
解：键的受力分析如图
m
h
2
P 2m 2 2 57kN d 0.07
m
P
h
L
b d
剪应力和挤压应力的强度校核
FQ Pjy P
FQ P 57103 28.6MPa
AQ bL 20100
jy

Pjy Ajy

P Lh
2

57 103 100 6
95.3MPa


jy
h
L b
m P
AQ
d
综上，键满足强度要求。
E
jx p , e , s , 0.2 , b
3、应变硬化 4、伸长率 5、截面收缩率
6、容许应力


L1 L
L
100 0 0


A A1 A
100 00
o
n
拉(压)杆连接部分的剪切与挤压强度计算
（合力） P
n
FQ
n
n
P （合力）
剪切面
n P
FQ n
剪切面 n
铆钉与钢板在相互接触面 上因挤压而使连接松动，发生
P
破坏。
③拉伸破坏
钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。
④铆钉后面连接板的剪切破坏
二、剪切的实用计算
实用计算方法：根据构件的破坏可能性，采用能反映受力基本 特征，并简化计算的假设，计算其应力，然后根据直接试验的 结果，确定其相应的许用应力，以进行强度计算。 适用：构件体积不大，真实应力相当复杂情况，如连接件等。
h
AQ
L
m P
b
d
剪应力和挤压应力的强度条件
FQ [ ]
Lb

[L1]
FQ
b

64 16 80
10 3 (m)

50 mm
2Pjy Lh
[ jy ][L2 ]
2Pjy
h[ jy ]
2 64 103(m) 10 240
53.3mm
综上 L maxL1,L2 53.3mm
A
n
工作应力不得超过材料的许用应力。
三、挤压的实用计算 挤压：构件局部面积的承压现象。 挤压力：在接触面上的压力，记Pjy 。 1、挤压力―Pjy ：接触面上的合力。
假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。
2、有效挤压面积：接触面在垂直Pjy方向上的投影面的面积
挤压面积 Ajy dt
3、挤压强度条件（准则）： 工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。
构件沿两组平行力系的交界面
发生相对错动。
（合力） P
n
FQ n
③剪切面：
n
P （合力）
构件将发生相互的错动面，如 n– n 。
④剪切面上的内力：
内力 — 剪力FQ ，其作用线与 剪切面 剪切面平行。
n P
（合力） P
n
3、连接处破坏四种形式：
①剪切破坏
n
沿铆钉的剪切面剪断，如
P （合力）
沿n– n面剪断 。 ②挤压破坏
1、剪切的实用计算 2、挤压的实用计算
Q
A
jy

Pjy Ajy

jy
挤压面积 Ajy dt
校核强度： [ ]； jy [ jy ]
设计尺寸：AQ

FQ