浙江省衢州市2016年中考数学专题训练(二)矩形(含解析)

浙江省衢州市2016年中考数学（浙教版）专题训练（二）：三角全等的条件一、选择题（共6小题）1．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE 交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC 2．（铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D3．（安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC4．（来宾）如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是（）A．AD=AE B．BD=CE C．BE=CD D．∠B=∠C5．（台湾）附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（）A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF6．（台州）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确二、填空题（共11小题）7．（临夏州）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为．（答案不唯一，只需填一个）8．（上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是．（只需写一个，不添加辅助线）9．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．10．（义乌市）如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是．11．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）12．（庆阳）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是．13．（青海）如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是（不添加任何辅助线）．14．（张家界）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC=，CD=3，则AC=．15．（娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是（添加一个条件即可）．16．（绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD．17．（昭通）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件，就得△ABC≌△DEF．三、解答题（共13小题）18．（泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E 为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．19．（青岛）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE ⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．20．（嘉兴）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE 相交于点G，（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角．（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．21．（兰州）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．（1）求证：AD=BC；（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．22．（梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．23．（泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．24．（防城港）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．25．（随州）如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．26．（宁德）如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求证：△ABC≌△CDE．27．（佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．28．（云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．（1）你添加的条件是．（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．29．（仙桃）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．30．（荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB 上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．浙江省衢州市2016年中考数学（浙教版）专题训练（二）：三角全等的条件参考答案与试题解析一、选择题（共6小题）1．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE 交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC 【解答】解：∵AD=DE，DO∥AB，∴OD为△ABE的中位线，∴OD=OC，∵在△AOD和△EOD中，，∴△AOD≌△EOD（SAS）；∵在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS）；∵△AOD≌△EOD，∴△BOC≌△EOD；故B、C、D均正确．故选A．2．（铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；故选：C．3．（安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC【解答】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选B．4．（来宾）如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是（）A．AD=AE B．BD=CE C．BE=CD D．∠B=∠C【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，A、如添加AE=AD，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；B、如添BD=CE，可证明AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；D、如添∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；故选C．5．（台湾）附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（）A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF【解答】解：根据图象可知△ACD和△ADE全等，理由是：∵根据图形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，∴△ACD≌△AED，即△ACD和△ADE全等，故选B．6．（台州）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，∴B1C1=B2C2，∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，∴△A1B1C1≌△A2B2C2∴②正确；故选：D．二、填空题（共11小题）7．（临夏州）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为AC=CD．（答案不唯一，只需填一个）【解答】解：添加条件：AC=CD，∵∠BCE=∠ACD，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案为：AC=CD（答案不唯一）．8．（上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AC=DF．（只需写一个，不添加辅助线）【解答】解：AC=DF，理由是：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AC=DF．9．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是∠B=∠C（答案不唯一）（只写一个条件即可）．【解答】解：添加∠B=∠C．在△ABE和△ACD中，∵，∴△ABE≌△ACD（AAS）．故答案可为：∠B=∠C．10．（义乌市）如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是AC=AB．【解答】解：添加条件：AB=AC，∵在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（ASA），故答案为：AB=AC．11．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是CA=FD．（只需写出一个）【解答】解：添加CA=FD，可利用SAS判断△ABC≌△DEF．故答案可为CA=FD．12．（庆阳）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是AE=AB．【解答】解：添加条件AE=AB，∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，∴∠BAC=∠EAD，在△BCA和△EDA中，，∴△BAC≌△EAD（SAS）．故答案为：AE=AB．13．（青海）如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是∠A=∠D（不添加任何辅助线）．【解答】解：添加条件：∠A=∠D；∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，即∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）．14．（张家界）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC=，CD=3，则AC=6．【解答】解：过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x．在Rt△CDE中，DC=3，∠DCE=30°，∴，．∴DE=，CE=．则AE=x﹣，在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2=AE2+DE2=，∵AB=BC，BH⊥AC，∴AH=AC=，∵tan∠BAC=，∴BH=在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB2=BH2+AH2，∴．∵AB=AD，∴=解得：x1=，x2=（舍去）．∴AC=6．15．（娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是∠B=∠C或AE=AD （添加一个条件即可）．【解答】解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．故答案为：∠B=∠C或AE=AD．16．（绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件AE=CB，使得△EAB≌△BCD．【解答】解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，若利用“HL”，可添加EB=BD，若利用“ASA”或“AAS”，可添加∠EBD=90°，若添加∠E=∠DBC，可利用“AAS”证明．综上所述，可添加的条件为AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．故答案为：AE=CB．17．（昭通）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件BC=EF，就得△ABC≌△DEF．【解答】解：补充条件BC=EF，∵AF=DC，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFC=∠BCF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：BC=EF．三、解答题（共13小题）18．（泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E 为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【解答】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．19．（青岛）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE ⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．【解答】证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACD，∴∠B=∠EAC，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∵CE⊥AE，∴∠ADC=∠CEA=90°在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）AB=DE，AB∥DE，如右图所示，∵AD⊥BC，AE∥BC，∴AD⊥AE，又∵CE⊥AE，∴四边形ADCE是矩形，∴AC=DE，∵AB=AC，∴AB=DE．∵AB=AC，∴BD=DC，∵四边形ADCE是矩形，∴AE∥CD，AE=DC，∴AE∥BD，AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE且AB=DE．20．（嘉兴）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE 相交于点G，（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角．（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．【解答】解：（1）由图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；（2）选择∠DAG=∠AED，证明如下：∵正方形ABCD，∴∠DAB=∠B=90°，AD=AB，∵AF=DE，在△DAE与△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（HL），∴∠ADE=∠BAF，∵∠DAG+∠BAF=90°，∠GDA+∠AED=90°，∴∠DAG=∠AED．21．（兰州）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．（1）求证：AD=BC；（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．【解答】证明：（1）过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，如图1，∵AB∥CD∴四边形ABMC为平行四边形，∴AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，在△ACD和△BDC中，，∴△ACD≌△BDC（SAS），∴AD=BC；（2）连接EH，HF，FG，GE，如图2，∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，∴HE∥AD，且HE=AD，FG∥AD，且FG=，∴四边形HFGE为平行四边形，由（1）知，AD=BC，∴HE=EG，∴▱HFGE为菱形，∴EF与GH互相垂直平分．22．（梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．【解答】（1）证明：在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；（2）解：设BE=x，∵∠BAC=30°，∴∠ABE=60°，∴AE=tan60°•x=x，∵△ABC≌△ADC，∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，∵∠BCA=45°，∴∠BCA=∠DCA=45°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CE=BE=x，∴x+x=4，∴x=2﹣2，∴BE=2﹣2．23．（泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠CAB=∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS），∴BC=DE．24．（防城港）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）．25．（随州）如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．【解答】解：不能；选择条件：①AB=DE；∵BF=CE，∴BF+BE=CE+BE，即EF=CB，在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS）．26．（宁德）如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求证：△ABC≌△CDE．【解答】证明：∵AB∥CE，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）．27．（佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．【解答】解：（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．（2）已知：在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF．求证：△ABC≌△DEF．证明：如图，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代换）．又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），∴∠B=∠E．∵在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．28．（云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．（1）你添加的条件是∠C=∠E．（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．【解答】解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A，∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E，若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）；故答案为：∠C=∠E；（2）选∠C=∠E为条件．理由如下：在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．29．（仙桃）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．【解答】解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM．选择△AEM≌△ACN，理由如下：∵△ADE≌△ABC，∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB，∴∠EAM=∠CAN，∵在△AEM和△ACN中，∴△AEM≌△ACN（ASA）．30．（荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB 上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．【解答】解：△ACD≌△BCE．证明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE．∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CA=CB，CD=CE，在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE．。

浙江省衢州市2016年中考数（浙教版）专题训练（一）：菱形一、选择题（共16小题）1．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，连接EF ．若EF=，BD=4，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．4B ．4C ．4D ．282．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB 等于（ ）A ．10B ．C ．6D ．53．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．64．如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是（ ）A．4 B．3C．2D．5．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（）A．①②B．③④C．②③D．①③7．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．6米B．6米C．3米D．3米8．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（）A．4 B．4 C．2D．29．如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A．6.5 B．6 C．5.5 D．510．如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A．B．2 C．D．11．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（）A．B．C．12 D．2412．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．8 B．20 C．8或20 D．1013．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE 的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．1414．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18 B．18C．36 D．3615．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（）A．6B．﹣6C．12D．﹣1216．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：D．1：二、填空题（共12小题）17．菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为．18．在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是．19．已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为cm．20．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为．21．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．22．若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3：1，则菱形的高是．23．在以O为圆心3cm为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，若四边形OABC为菱形，则该菱形的边长等于cm；弦AC所对的弧长等于cm．24．菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．25．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为．26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．27．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是．28．如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k=．三、解答题（共2小题）29．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）若菱形ABCD的周长是4，tanα=，求四边形OBEC的面积．30．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．浙江省衢州市2016年中考数（浙教版）专题训练（一）：菱形参考答案与试题解析一、选择题（共16小题）1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A．4 B．4C．4D．28【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=，∴AC=2EF=2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，∴AB==，∴菱形ABCD的周长为4．故选：C．【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．2．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（）A．10 B．C．6 D．5【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=4，OB=3，∴AB==5，即菱形ABCD的边长是5．故选：D．【点评】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．2B．3C．5 D．6【考点】菱形的性质；矩形的性质．【分析】连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=AC=2，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．【解答】解；连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO与△AOE中，，∴△CFO≌△AOE，∴AO=CO，∵AC==4，∴AO=AC=2，∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE=5．故选C．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．4．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（）A．4B．3C．2D．【考点】菱形的性质．【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴BE=2，∴AE==2，∴EF=AE=2，过A作AM⊥EF，∴AM=AE•sin60°=3，∴△AEF的面积是：EF•AM=×2×3=3．故选：B．【点评】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．5．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【考点】菱形的性质；平行四边形的性质．【分析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．【解答】解：A、不正确，两组对边分别平行；B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选D．【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（）A．①②B．③④C．②③D．①③【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的性质即可直接作出判断．【解答】解：根据菱形的对角线互相垂直平分可得：①正确；②错误；根据菱形的对角线平分一组内角可得③正确．④错误．故选D．【点评】本题考查了菱形的性质，正确记忆性质的基本内容是关键．7．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．6米B．6米C．3米D．3米【考点】菱形的性质．【专题】应用题．【分析】由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC 的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），∵∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA==3（米），则AC=2OA=6米，故选A．【点评】此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．8．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（）A．4B．4 C．2D．2【考点】菱形的性质．【专题】压轴题．【分析】连接AC交BD于点E，则∠ABE=60°，根据菱形的周长求出AB的长度，在RT△ABE中，求出BE，继而可得出BD的长．【解答】解：在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，∴∠ABE=60°，AC⊥BD，∵菱形ABCD的周长为16，∴AB=4，在RT△ABE中，AE=ABsin∠ABE=4×=2，故可得AC=2AE=4．故选A．【点评】此题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．9．如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A．6.5 B．6 C．5.5 D．5【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵EG∥AD，FH∥AB，∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，∵AE=AF，∴OE=OF=AE=AF，∵AE=AF，∴BC﹣BH=CD﹣DG，即OH=HC=CG=OG，∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，∴4AE﹣4（8﹣AE）=12，解得：AE=5.5，故选C【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形．10．如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A．B．2 C．D．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【分析】首先利用菱形的性质得出AB=BC，即可得出∠ABC=60°，再利用三角函数得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴∠ABC=60°，∴∠EBF=30°，∴∠BFE=60°，∴tan∠BFE的值为．故选D．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据含30°的直角三角形的性质和三角函数解答．11．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（）A．B．C．12 D．24【考点】菱形的性质．【分析】设对角线相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．【解答】解：如图，设对角线相交于点O，∵AC=8，DB=6，∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3，由勾股定理的，AB===5，∵DH⊥AB，=AB•DH=AC•BD，∴S菱形ABCD即5DH=×8×6，解得DH=．故选A．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．12．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．8 B．20 C．8或20 D．10【考点】菱形的性质；解一元二次方程-因式分解法．【专题】压轴题．【分析】边AB的长是方程y2﹣7y+10=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵解方程y2﹣7y+10=0得：y=2或5∵对角线长为6，2+2＜6，不能构成三角形；∴菱形的边长为5．∴菱形ABCD的周长为4×5=20．故选B．【点评】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．13．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE 的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故选A．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．14．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18 B．18C．36 D．36【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线平分对角求出∠ABC=60°，过点A作AE⊥BC于E，可得∠BAE=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE=3，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，如图：，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=3，∴菱形ABCD的面积是=18，故选B【点评】本题考查了菱形的邻角互补的性质，作辅助线求出菱形边上的高线的长度是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（）A．6B．﹣6C．12D．﹣12【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，3），可求得OC 的长，又由菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，可求得OB的长，且∠AOB=30°，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，∵顶点C的坐标为（m，3），∴OE=﹣m，CE=3，∵菱形ABOC中，∠BOC=60°，∴OB=OC==6，∠BOD=∠BOC=30°，∵DB⊥x轴，∴DB=OB•tan30°=6×=2，∴点D的坐标为：（﹣6，2），∵反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点，∴k=xy=﹣12．故选D．【点评】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求得点D的坐标是关键．16．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：D．1：【考点】菱形的性质．【分析】首先设设AC，BD相较于点O，由菱形ABCD的周长为8cm，可求得AB=BC=2cm，又由高AE长为cm，利用勾股定理即可求得BE的长，继而可得AE是BC的垂直平分线，则可求得AC的长，继而求得BD的长，则可求得答案．【解答】解：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为cm，∴BE==1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB==（cm），∴BD=2OB=2cm，∴AC：BD=1：．故选D．【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的四条边都相等，对角线互相平分且垂直．二、填空题（共12小题）17．菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为5cm或cm．【考点】菱形的性质；正方形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，然后分正方形在AC的两边两种情况补成以BF为斜边的Rt△BGF，然后求出BG、FG，再利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵AC=6cm，BD=4cm，∴AO=AC=×6=3cm，BO=BD=×4=2m，如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交FA的延长线于G，BG=AO=3cm，FG=AF+AG=6+2=8cm，在Rt△BFG中，BF===cm，如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G，BG=AO=3cm，FG=AF﹣AG=6﹣2=4cm，在Rt△BFG中，BF===5cm，综上所述，BF长为5cm或cm．故答案为：5cm或cm．【点评】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，难点在于分情况讨论并作辅助线构造出直角三角形，作出图形更形象直观．18．在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是20．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】AC与BD相交于点O，如图，根据菱形的性质得AC⊥BD，OD=OB=BD=4，OA=OC= AC=3，AB=BC=CD=AD，则可在Rt△AOD中，根据勾股定理计算出AD=5，于是可得菱形ABCD 的周长为20．【解答】解：AC与BD相交于点O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OD=OB=BD=4，OA=OC=AC=3，AB=BC=CD=AD，在Rt△AOD中，∵OA=3，OB=4，∴AD==5，∴菱形ABCD的周长=4×5=20．故答案为20．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．19．已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为5cm．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线BD的长．然后根据勾股定理即可求得边长．【解答】解：菱形ABCD的面积=AC•BD，∵菱形ABCD的面积是24cm2，其中一条对角线AC长6cm，∴另一条对角线BD的长=8cm；边长是：=5cm．故答案为：5．【点评】本题考查了菱形的性质．菱形被对角线分成4个全等的直角三角形，以及菱形的面积的计算，理解菱形的性质是关键．20．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为（，﹣）．【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结论．【解答】解：∵A（1，0），B（0，），∴AB==2．∵点P的运动速度为0.5米/秒，∴从点A到点B所需时间==4秒，∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．∵=125…15，∴移动到第2015秒和第15秒的位置相同，当P运动到第15秒时，如图所示，可得，如图所示，根据相似的性质可知，，，∴PE=×=，PF=1×∴P（，﹣）．故答案为：（，﹣）．【点评】本题考查的是菱形的性质，根据题意得出点P运动一周所需的时间是解答此题的关键．21．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为（4，4）．【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD=2，求出DE=4，AC=4，即可得出点C的坐标．【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），∴OD=2，BD=8，∴AE=OD=2，DE=4，∴AC=4，∴点C的坐标为：（4，4）；故答案为：（4，4）．【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．22．若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3：1，则菱形的高是．【考点】菱形的性质．【分析】作菱形ABCD的高AE．根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长，再根据邻角互补求出较小的内角∠B为45°，然后利用正弦函数的定义求出AE=AB•sin∠B=2×=．【解答】解：如图，作菱形ABCD的高AE．∵菱形ABCD的周长为8，∴菱形的边长为8÷4=2，∵相邻两内角之比是3：1，∴∠B=180°×=45°，∴AE=AB•sin∠B=2×=．故答案为．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数的定义，得出∠B的度数是解题的关键．23．在以O为圆心3cm为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，若四边形OABC为菱形，则该菱形的边长等于3cm；弦AC所对的弧长等于2π或4πcm．【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出∠AOC，根据弧长公式的计算计算即可．【解答】解：连接OB和AC交于点D，∵四边形OABC为菱形，∴OA=AB=BC=OC，∵⊙O半径为3cm，∴OA=OC=3cm，∵OA=OB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=120°，∴==2π，∴优弧==4π，故答案为3，2π或4π．【点评】本题考查了弧长的计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握弧长公式l=，有一定的难度．24．菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为（）．【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．【专题】压轴题．【分析】点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．【解答】解：连接ED，如图，∵点B关于OC的对称点是点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形OBCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y=x，∵点E的坐标为（0，﹣1），∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（），故答案为：（）．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．25．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为24．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【分析】连接BD，交AC与点O，首先根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．【解答】解：连接BD，交AC与点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵AB=15，sin∠BAC=，∴sin∠BAC==，∴BO=9，∴AB2=OB2+AO2，∴AO===12，∴AC=2AO=24，故答案为24．【点评】本题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题难度不大．26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．27．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是6．【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】由菱形ABCD中，∠ABC=60°，易证得△ABC是等边三角形，继而求得对角线AC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6．故答案为：6．【点评】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABC是等边三角形是关键．28．如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k=．【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】首先根据点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），再利用含30°直角三角形的性质算出OA=2a，再利用菱形的性质进而得到B点坐标，即可求出k的值．【解答】解：因为点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），因为四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，），可得：k=，故答案为：【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数，关键是根据菱形的性质求出B点坐标，即可算出反比例函数解析式．三、解答题（共2小题）29．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）若菱形ABCD的周长是4，tanα=，求四边形OBEC的面积．【考点】菱形的性质；矩形的判定；解直角三角形．【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直结合平行线的性质得出∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，进而求出即可；（2）利用菱形的性质结合勾股定理得出CO，BO的长，进而求出四边形OBEC的面积．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD，∵BE∥AC，CE∥BD，∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，∴四边形OBEC是矩形；（2）解：∵菱形ABCD的周长是4，∴AB=BC=AD=DC=，∵tanα=，∴设CO=x，则BO=2x，∴x2+（2x）2=（）2，解得：x=，∴四边形OBEC的面积为：×2=4．【点评】此题主要考查了菱形的性质和判定以及勾股定理等知识，熟练利用菱形的性质是解题关键．30．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．【考点】菱形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．【分析】（1）利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而求出即可；（2）利用勾股定理得出BO的长再利用三角形中位线定理得出EF的长．【解答】解：（1）△OEF是等腰三角形，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，∵点E，F分别是边AB，AD的中点，∴EO=AB，OF=AD，∴EO=FO，∴△OEF是等腰三角形；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=10，∴AO=5，∠AOB=90°，∴BO===12，∴BD=24，∵点E，F分别是边AB，AD的中点，∴EF BD，∴EF=12．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，熟练应用菱形的性质是解题关键．。

浙江省2016年初中毕业学业考试（衢州卷）数学试题卷考生须知1．全卷共有三大题，24小题，共6页，满分为120分，考试时间为120分钟．2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名，准考证号分别填写在“答题纸”的相应位置上，不要漏写．3．全卷分为卷1（选择题）和卷II （非选择题）两部分，全部在“答题纸”上作答，做在试卷上无效，卷1的答案必须用2B 铅笔填涂，卷II 的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”的相应位置上，本次考试不允许使用计算器，画图先用2 B 铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑．4．参考公式：二次函数2y (0)ax bx c a =++≠图像的顶点坐标是（24,24b ac b a a--）． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（2016浙江衢州，1，3分）在2，-1，-3，0，这四个实数中，最小的是（ ） A ． 2 B ．-1 C ．-3 D ．0 【答案】C 2．（2016浙江衢州，2，3分）据统计，2015年“十·一”国庆长假期间，衢州市共接待国内外游客约319万人次，与2014年同比增长16．43%，数据319万用科学记数法表示为（ ） A ．3.19×105 B ．3.19×106 C ．3.19×107 D ．319×104 【答案】B3.（2016浙江衢州，3，3分）如图是由两个小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（ ）【答案】C4.（2016浙江衢州，4，3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 3－a 2＝a B ．a 3·a 2＝a 6 C ．（3a ）3＝9a 3 D ．（a 3）2＝a 6 【答案】D5.（2016浙江衢州，5，3分）如图，在□ABCD 中，M 是BC 延长线上的一点，若∠A ＝135°，则∠MCD 的度数是（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°【答案】A 6．（2016浙江衢州，6，3分）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名中学生想要知道自己能否进入前3名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（ ）A ．众数B ．方差C ．平均数D ．中位数 【答案】D则该函数图像的对称轴是（ ）A ．直线x ＝- 3B ．直线x ＝-2C ．直线x ＝- 1D ．直线x ＝0 【答案】B 8．（2016浙江衢州，8，3分）已知关于的一元二次方程x 2－2x －k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ≥1B ．k ＞1C ．k ≥－1D ．k ＞－1 【答案】D 9．（2016浙江衢州，9，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E,若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为（ ）A ．12B C【答案】A10．（2016浙江衢州，10，3分）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝25，AB ＝30，D 是AB 上的一点（不与A 、B 重合），DE ⊥BC ，垂足是点E.设BD ＝x ，四边形ACED 的周长为y ，则下列图像能大致反映y 与x 之间的函数的关系的是（ ）【答案】B二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（2016浙江衢州，11，4分）当x ＝6时，分式51-x的值等于 ． 【答案】－112．（2016浙江衢州，12，4x 的取值范围是 ．【答案】x ≥3 13．（2016浙江衢州，13，4分）某校随机调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则该50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 小时．【答案】 6，414．（2016浙江衢州，14，4分）已知直角坐标内有四个点O （0，0），A （3，0），B （1，1），C （x ，1），若以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形 则x ＝ ． 【答案】4或－2 15．（2016浙江衢州，15，4分）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m ），中间用两道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m 2．【答案】 14416．（2016浙江衢州，16，4分）如图，正方形ABCD 的顶点A ，B ，在函数(0)ky x ＞x=的图象上，点C ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，当k 的值改变时，正方形ABCD 的大小也随之改变. （1）当k=2时，正方形A ′B ′C ′D ′的边长等于 ．（2）当变化的正方形ABCD 与（1）中正方形A ′B ′C ′D ′有重叠部分时，k 的取值范围是 ．22,189k ≤≤ 三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（2016浙江衢州，17，6分）计算：0213(1)2⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭解：原式=3+3－1+1=6 18．（2016浙江衢州，18，6分）如图，已知BD 是矩形ABCD 的对角线.（1）用直尺和圆规作线段BD 的垂直平分线，分别交AD ，BC 于E ，F （保留作图痕迹，不写作法和证明）. （2）连结BE ，DF ，问四边形BEDF 是什么四边形，请说明理由.解：（1）图形如下：（2）四边形BEDF是菱形理由：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE ∴∠BEF＝∠BFE ∴BE＝BF又∵BF＝DF ∴BE＝ED＝DF＝BF∴四边形BEDF是菱形19．（2016浙江衢州，19，6分）光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发点550度.（1）求这个月晴天的天数.（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其他费用，结果取整数）.解：（1）设这个月晴天天数为x天，由题意得30x+5（30-x）=550解得x=16∴这个月的晴天天数是16天.（2）需要x年才可以收回成本，由题意得，（550-150）·（0.52+0.45）·12x≥400004656x≥40000x≥8.6∴至少需要9年可以收回成本.20．（2016浙江衢州，20，8分）为深化义务教育课堂改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长，艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图.（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？（3）已知该校有800多名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级数比较合理？解：（1）总人数：15÷25%=60（人）选A的人数：60-24-15-9=12（人）12÷60=0.2=20%，m=20补全条形统计图（图略）（2）概率是（12+9）÷60=11 20（3）800×25%=200200÷20=10∴开设10个“实践活动类”课程的班级数比较合理21．（2016浙江衢州，21，6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．（1）求证：直线BF是⊙O的切线．（2）若CD＝OP＝1，求线段BF的长．（1）证明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC＝∠A DC∴∠AFB＝∠ADC∴CD∥BF∴∠APD＝∠ABF∵CD⊥AB ∴AB⊥BF ∴直线BF是⊙O的切线（2）连接OD ∵CD⊥AB ∴PD=CD= OP=1∴OD=2∵∠PAD=∠BAF，∠APD=∠ABF=90°∴△APD∽△ABF∴AP PD AB BF=∴34=∴22．（2016浙江衢州，22，6分）已知二次函数y＝x2＋x的图象，如图所示.（1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2＋x＝1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x2＋x＝1的根（精确到0.1）.（2）在同一直角坐标中系中画出一次函数1322y x=+的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值.（3）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在点P上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数1322 y x=+的图象上，请说明理由.(1)作图描点X1≈-1.6 ，x2≈0.6 (2)画直线x＜-1.5或x＞1（3）平移方法不唯一如，先向上平移54个单位，再向作平移12个单位平移后的顶点坐标P（-1,1）平移后表达式：y =（x +1）2＋1或y =x2+2x＋2理由：把P点坐标（-1,1）代入1322 y x=+左边=右边，点P在函数1322y x=+的图像上.23．（2016浙江衢州，23，6分）如图1，我们吧对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由.（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系.写出证明过程（先画出图形，写出已知，求证）.（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE长.（1）是垂美四边形∵AD=AB ∴点A在BD的垂直平分线∴CB=CD ∴点C在BD的垂直平分线上∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD∴四边形ABCD是垂美四边形（2）猜想结论：垂美四边形两组对边的平方和相等.已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足是点E，求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵AC⊥BD ∴∠AED=∠BEC=∠AEB=∠CED=90°∴AD2+BC2=DE2+AE2+BE2+CE2AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2∴AD2+BC2=AB2+CD2（3）连接CG，BE∵∠GAC=∠BAE=90°∴∠BAG= ∠CAE∵AG=AC AB=AE∴△BAG≌△CAE∴∠AGN=∠ACM∵∠CNM=∠ANG∴∠CMN=∠NAG∴BG⊥CE，即四边形CGEB是垂美四边形∴CG2+BE2=BC2+GE2∴BC=52-42=9 32+50=9+GE2∴GE2=73 GE=24．（2016浙江衢州，24，12分）如图1，在直角坐标系xoy 中，直线l: y = kx ＋b 交x 轴，y 轴于点E ，F .点B 的坐标是（2，2）过点B 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为A ，C .点D 是线段CO 上的动点，以BD 为对称轴，作与△BCD 成轴对称的△BCD ′. （1）当∠C BD ＝15°时，求点C ′的坐标.（2）当图1中的直线l 经过点A ，且k =-时（如图2），求点D 由C 到O 的运动过程中，线段BC ′扫过的图形与△OAF 重叠部分的面积.（3）当图1中的直线l 经过点D ，C ′时（如图3），以DE 为对称轴，作与△DOE 成轴对称的△DO ′E ，连接O ′C ，O ′O.问是否存在点D ，使得△DO ′E 与△CO ′O 相似？若存在，求出k ，b 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）∵△CBD ≌△C ′BD∴∠CBD=∠C ′BD=15°，C ′B=CB=2 ∴∠CBC ′=30°作C ′H ⊥BC 于H ，则C ′H=1，∴∴点C ′的坐标是（1）（2）∵A （2，0），,k b =-∴=即直线AF 的函数表达式是y x =-+∴∠OAF=30°，∠BAF=60°∵在点O 由C 到O 的运动过程中，BC ′扫过的图形是扇形， ∴当D 与O 重合时，点C ′与A 重合， 且BC ′扫过的图形与OAF 重叠部分是弓形∴当C ′在直线y x =-+BC ′=BC=AB ∴△ABC ′是等边三角形，这时∠ABC ′=60°∴重叠部分的面积是22602223603ππ⨯⨯-⨯=-（3）方法一：设OO′与DE交于点M，则O′M=OM，O′O⊥DE 若△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是直角三角形在点D由C到O的运动过程中，△COO′中显然只能∠CO′O=90°∴CO′∥DE，∴CD=OD=1，∴b=1连接BE，由轴对称性可知C′D= CDBC′=BC=BA∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°则有△BAE≌△B C′E, ∴AE=C′E∴DE= C′E+DC′= DC+AE设OE=x，则AE=2-x, ∴DE=DC+AE=3-x由勾股定理得, x2＋1＝（3－x）2，解之得，x=4 3∵D（0,1）,E(43,0), ∴4103k+=,∴34k=-∴存在点D，使△DO′E与△COO′相似，这时34k=-,b=1方法二：（求k）过点C′作PQ∥OA交于P，交AB于Q，则有△C′PD∽△C′QB∴QB BCPC DC'=''（*）设PC′= x，则C′Q=2- x由（*）可得BQ=2 x，在Rt△C′QB中，由勾股定理得，（2－x）2＋（2x）2＝4，解得，x=4 5AQ=2-85=25∴D（0,1），C′（45，25）∴42155k+=，∴34k=-∴存在点D，使△DO′E与△COO′相似，这时34k=-,b=1。

菱形一、选择题（共16小题）1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A．4 B．4 C．4 D．282．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（）A．10 B． C．6 D．53．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．2 B．3 C．5 D．64．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF 的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．5．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①③7．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．6米B．6米C．3米D．3米8．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（）A．4 B．4 C．2 D．29．如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A．6.5 B．6 C．5.5 D．510．如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A．B．2 C．D．11．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（）A．B．C．12 D．2412．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．8 B．20 C．8或20 D．1013．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．1414．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18 B．18C．36 D．3615．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点，连接BD，当DB⊥x 轴时，k的值是（）A．6 B．﹣6C．12D．﹣1216．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：D．1：二、填空题（共12小题）17．菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为．18．在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是．19．已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为cm．20．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为．21．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．22．若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3：1，则菱形的高是．23．在以O为圆心3cm为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，若四边形OABC为菱形，则该菱形的边长等于cm；弦AC所对的弧长等于cm．24．菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．25．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为．26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．27．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是．28．如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．三、解答题（共2小题）29．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）若菱形ABCD的周长是4，tanα=，求四边形OBEC的面积．30．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．浙江省衢州市2016年中考数（浙教版）专题训练（一）：菱形参考答案与试题解析一、选择题（共16小题）1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A．4 B．4 C．4 D．28【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=，∴AC=2EF=2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，∴AB==，∴菱形ABCD的周长为4．故选：C．【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．2．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（）A．10 B．C．6 D．5【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=4，OB=3，∴AB==5，即菱形ABCD的边长是5．故选：D．【点评】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．2 B．3 C．5 D．6【考点】菱形的性质；矩形的性质．【分析】连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=AC=2，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．【解答】解；连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO与△AOE中，，∴△CFO≌△AOE，∴AO=CO，∵AC==4，∴AO=AC=2，∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE=5．故选C．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．4．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF 的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．【考点】菱形的性质．【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴BE=2，∴AE==2，∴EF=AE=2，过A作AM⊥EF，∴AM=AE•sin60°=3，∴△AEF的面积是：EF•AM=×2×3=3．故选：B．【点评】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．5．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【考点】菱形的性质；平行四边形的性质．【分析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．【解答】解：A、不正确，两组对边分别平行；B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选D．【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①③【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的性质即可直接作出判断．【解答】解：根据菱形的对角线互相垂直平分可得：①正确；②错误；根据菱形的对角线平分一组内角可得③正确．④错误．故选D．【点评】本题考查了菱形的性质，正确记忆性质的基本内容是关键．7．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．6米B．6米C．3米D．3米【考点】菱形的性质．【专题】应用题．【分析】由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），∵∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA==3（米），则AC=2OA=6米，故选A．【点评】此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．8．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（）A．4 B．4 C．2 D．2【考点】菱形的性质．【专题】压轴题．【分析】连接AC交BD于点E，则∠ABE=60°，根据菱形的周长求出AB的长度，在RT△ABE中，求出BE，继而可得出BD的长．【解答】解：在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，∴∠ABE=60°，AC⊥BD，∵菱形ABCD的周长为16，∴AB=4，在RT△ABE中，AE=ABsin∠ABE=4×=2，故可得AC=2AE=4．故选A．【点评】此题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．9．如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A．6.5 B．6 C．5.5 D．5【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE 和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵EG∥AD，FH∥AB，∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，∵AE=AF，∴OE=OF=AE=AF，∵AE=AF，∴BC﹣BH=CD﹣DG，即OH=HC=CG=OG，∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，∴4AE﹣4（8﹣AE）=12，解得：AE=5.5，故选C【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形．10．如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A．B．2 C．D．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【分析】首先利用菱形的性质得出AB=BC，即可得出∠ABC=60°，再利用三角函数得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴∠ABC=60°，∴∠EBF=30°，∴∠BFE=60°，∴tan∠BFE的值为．故选D．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据含30°的直角三角形的性质和三角函数解答．11．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（）A．B．C．12 D．24【考点】菱形的性质．【分析】设对角线相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．【解答】解：如图，设对角线相交于点O，∵AC=8，DB=6，∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3，由勾股定理的，AB===5，∵DH⊥AB，∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD，即5DH=×8×6，解得DH=．故选A．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．12．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．8 B．20 C．8或20 D．10【考点】菱形的性质；解一元二次方程-因式分解法．【专题】压轴题．【分析】边AB的长是方程y2﹣7y+10=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵解方程y2﹣7y+10=0得：y=2或5∵对角线长为6，2+2＜6，不能构成三角形；∴菱形的边长为5．∴菱形ABCD的周长为4×5=20．故选B．【点评】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．13．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故选A．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．14．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18 B．18C．36 D．36【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线平分对角求出∠ABC=60°，过点A作AE⊥BC于E，可得∠BAE=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE=3，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：过点A 作AE ⊥BC 于E ，如图：， ∵在菱形ABCD 中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE ⊥BC ，∴AE=3，∴菱形ABCD 的面积是=18， 故选B【点评】本题考查了菱形的邻角互补的性质，作辅助线求出菱形边上的高线的长度是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，∠B OC=60°，顶点C 的坐标为（m ，3），反比例函数y=的图象与菱形对角线AO 交D 点，连接BD ，当DB ⊥x 轴时，k 的值是（ ）A ．6B ．﹣6C ．12D ．﹣12【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】首先过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠BOC=60°，顶点C 的坐标为（m ，3），可求得OC 的长，又由菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，可求得OB 的长，且∠AOB=30°，继而求得DB 的长，则可求得点D 的坐标，又由反比例函数y=的图象与菱形对角线AO 交D 点，即可求得答案．【解答】解：过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，∵顶点C 的坐标为（m ，3），∴OE=﹣m ，CE=3， ∵菱形ABOC 中，∠BOC=60°，∴OB=OC==6，∠BOD=∠BOC=30°，∵DB⊥x轴，∴DB=OB•tan30°=6×=2，∴点D的坐标为：（﹣6，2），∵反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点，∴k=xy=﹣12．故选D．【点评】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求得点D的坐标是关键．16．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：D．1：【考点】菱形的性质．【分析】首先设设AC，BD相较于点O，由菱形ABCD的周长为8cm，可求得AB=BC=2cm，又由高AE 长为cm，利用勾股定理即可求得BE的长，继而可得AE是BC的垂直平分线，则可求得AC的长，继而求得BD的长，则可求得答案．【解答】解：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为cm，∴BE==1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB==（cm），∴BD=2OB=2cm，∴AC：BD=1：．故选D．【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的四条边都相等，对角线互相平分且垂直．二、填空题（共12小题）17．菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为5cm或cm ．【考点】菱形的性质；正方形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，然后分正方形在AC的两边两种情况补成以BF为斜边的Rt△BGF，然后求出BG、FG，再利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵AC=6cm，BD=4cm，∴AO=AC=×6=3cm，BO=BD=×4=2m，如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交FA的延长线于G，BG=AO=3cm，FG=AF+AG=6+2=8cm，在Rt△BFG中，BF===cm，如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G，BG=AO=3cm，FG=AF﹣AG=6﹣2=4cm，在Rt△BFG中，BF===5cm，综上所述，BF长为5cm或cm．故答案为：5cm或cm．【点评】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，难点在于分情况讨论并作辅助线构造出直角三角形，作出图形更形象直观．18．在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是20 ．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】AC与BD相交于点O，如图，根据菱形的性质得AC⊥BD，OD=OB=BD=4，OA=OC=AC=3，AB=BC=CD=AD，则可在Rt△AOD中，根据勾股定理计算出AD=5，于是可得菱形ABCD的周长为20．【解答】解：AC与BD相交于点O，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OD=OB=BD=4，OA=OC=AC=3，AB=BC=CD=AD，在Rt△AOD中，∵OA=3，OB=4，∴AD==5，∴菱形ABCD的周长=4×5=20．故答案为20．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．19．已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为 5 cm．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线BD的长．然后根据勾股定理即可求得边长．【解答】解：菱形ABCD的面积=A C•BD，∵菱形ABCD的面积是24cm2，其中一条对角线AC长6cm，∴另一条对角线BD的长=8cm；边长是： =5cm．故答案为：5．【点评】本题考查了菱形的性质．菱形被对角线分成4个全等的直角三角形，以及菱形的面积的计算，理解菱形的性质是关键．20．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为（，﹣）．【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结论．【解答】解：∵A（1，0），B（0，），∴AB==2．∵点P的运动速度为0.5米/秒，∴从点A到点B所需时间==4秒，∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．∵=125…15，∴移动到第2015秒和第15秒的位置相同，当P运动到第15秒时，如图所示，可得，如图所示，根据相似的性质可知，，，∴PE=×=，PF=1×∴P（，﹣）．故答案为：（，﹣）．【点评】本题考查的是菱形的性质，根据题意得出点P运动一周所需的时间是解答此题的关键．21．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为（4，4）．【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD=2，求出DE=4，AC=4，即可得出点C的坐标．【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），∴OD=2，BD=8，∴AE=OD=2，DE=4，∴AC=4，∴点C的坐标为：（4，4）；故答案为：（4，4）．【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．22．若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3：1，则菱形的高是．【考点】菱形的性质．【分析】作菱形ABCD的高AE．根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长，再根据邻角互补求出较小的内角∠B为45°，然后利用正弦函数的定义求出AE=AB•sin∠B=2×=．【解答】解：如图，作菱形ABCD的高AE．∵菱形ABCD的周长为8，∴菱形的边长为8÷4=2，∵相邻两内角之比是3：1，∴∠B=180°×=45°，∴AE=AB•sin∠B=2×=．故答案为．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数的定义，得出∠B的度数是解题的关键．23．在以O为圆心3cm为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，若四边形OABC为菱形，则该菱形的边长等于 3 cm；弦AC所对的弧长等于2π或4πcm．【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出∠AOC，根据弧长公式的计算计算即可．【解答】解：连接OB和AC交于点D，∵四边形OABC为菱形，∴OA=AB=BC=OC，∵⊙O半径为3cm，∴OA=OC=3cm，∵OA=OB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=120°，∴==2π，∴优弧==4π，故答案为3，2π或4π．【点评】本题考查了弧长的计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握弧长公式l=，有一定的难度．24．菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为（）．【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．【专题】压轴题．【分析】点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．【解答】解：连接ED，如图，∵点B关于OC的对称点是点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形OBCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y=x，∵点E的坐标为（0，﹣1），∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（），故答案为：（）．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．25．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为24 ．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【分析】连接BD，交AC与点O，首先根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．【解答】解：连接BD，交AC与点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵AB=15，sin∠BAC=，∴sin∠BAC==，∴BO=9，∴AB2=OB2+AO2，∴AO===12，∴AC=2AO=24，故答案为24．【点评】本题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题难度不大．26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．27．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是 6 ．【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】由菱形ABCD中，∠ABC=60°，易证得△ABC是等边三角形，继而求得对角线AC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6．故答案为：6．【点评】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABC是等边三角形是关键．28．如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】首先根据点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），再利用含30°直角三角形的性质算出OA=2a，再利用菱形的性质进而得到B点坐标，即可求出k的值．【解答】解：因为点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），因为四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，），可得：k=，故答案为：【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数，关键是根据菱形的性质求出B点坐标，即可算出反比例函数解析式．三、解答题（共2小题）29．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）若菱形ABCD的周长是4，tanα=，求四边形OBEC的面积．【考点】菱形的性质；矩形的判定；解直角三角形．【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直结合平行线的性质得出∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，进而求出即可；（2）利用菱形的性质结合勾股定理得出CO，BO的长，进而求出四边形OBEC的面积．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD，∵BE∥AC，CE∥BD，∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，∴四边形OBEC是矩形；（2）解：∵菱形ABCD的周长是4，∴AB=BC=AD=DC=，∵tanα=，∴设CO=x，则BO=2x，∴x2+（2x）2=（）2，解得：x=，∴四边形OBEC的面积为：×2=4．【点评】此题主要考查了菱形的性质和判定以及勾股定理等知识，熟练利用菱形的性质是解题关键．30．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．【考点】菱形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．【分析】（1）利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而求出即可；（2）利用勾股定理得出BO的长再利用三角形中位线定理得出EF的长．【解答】解：（1）△OEF是等腰三角形，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，∵点E，F分别是边AB，AD的中点，∴EO=AB，OF=AD，∴EO=FO，∴△OEF是等腰三角形；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=10，∴AO=5，∠AOB=90°，∴BO===12，∴BD=24，∵点E，F分别是边AB，AD的中点，∴EF BD，∴EF=12．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，熟练应用菱形的性质是解题关键．。