[初三]竞赛专题选讲之——基本对称式

八年级数学竞赛例题专题讲解:相对相称—对称分析法阅读与思考当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出:对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）.对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称:1.代数中的对称式如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式b a +，ab 表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决. 2.几何图形的对称几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径. 例题与求解【例l 】如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB ，BC 的中点，则PM +PN 的最小值是 . (荆门市中考试题)解题思路:作M 关于AC 的对称点M '，连MN 交AC 于点P ，则PM +PN 的值最小.BC【例2】已知a ，b 均为正数，且2=+b a ，求W =1422+++b a 的最小值.（北京市竞赛试题）解题思路:用代数的方法求W 的最小值较繁，22b a +的几何意义是以a ，b 为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W 的最小值.【例3】已知11122=-+-a b b a ，求证:122=+b a （四川省竞赛试题）解题思路:解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是:乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．【例4】 如图，凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，已知OA ＞OC ，OB ＞OD ，求证:BC ＋AD ＞AB ＋CD .（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路:解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC 为对称轴，将部分图形翻折．DBC【例5】如图，矩形ABCD 中，AB ＝20厘米，BC ＝10厘米，若在AC 、AB 上各取一点M ，N ，使BM ＋MN 的值最小，求这个最小值. （北京市竞赛试题）解题思路:要使BM ＋MN 的值最小，应该设法将折线BM ＋MN 拉直，不妨从作出B 点关于AC 的对称点入手.A N能力训练1.如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴. 若∠AFC ＋∠BCF ＝0150，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是 . (武汉市中考试题)A BO(第1题图) （第2题图） （第3题图） 2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，点E 在BC 上，且AE ＝EC ，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 .(济南市中考试题)3. 如图，∠AOB ＝045，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q ，P 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长最小值是 .4. 比6)56( 大的最小整数是 . （西安交通大学少年班入学试题）5.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE ＝2，P 在BD 上，则PE ＋PC 的最小值为（ ）.A ．32B ．13C ．14D ．15 6. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有( ) .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(南京市中考试题)7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（ ）.A ．)1854(+英里B ．16英里C ．17英里D ．18英里（美国中学生竞赛试题）BCADPEMP(第5题图) （第7题图） （第8题图） 8.如图，等边△ABC 的边长为2，M 为AB 中点，P 为BC 上的点，设P A ＋PM 的最大值和最小值分别为S 和L ，则22L S -等于（ ）A ．24B ．34C ．23D ．339.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c =060，求e d +与x 的值. （江苏省竞赛试题）10. 求代数式9)12(422+-++x x 的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）11. 在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水． 方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(km)d PA PB =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学图1 图2图3的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳（1）① 当4a =时，比较大小:12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ② 当6a =时，比较大小:12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）对a （当1a >时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？(河北省中考试题)12．如图，已知平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1） （1）若P （x ，0）是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若C （a ，0），D （3+a ，0）是x 轴上的两个动点，当四边形ABDC 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，问:是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．x13.在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，将△ABD 沿AB 所在的直线折叠，使点D 落在点E 处；将△ACD 沿AC 所在的直线折叠，使点D 落在点F 处，分别延长EB 、FC 使其交于点M ．（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；（2）若BD＝1，CD＝2，试求四边形AEMF的面积．CB DA(宁夏中考试题)14. 阅读下列材料:小贝遇到一个有趣的问题:在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，现有一动点P按下列方式在矩形内运动:它从A点出发，沿着AB边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45︒的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45︒的方向作直线运动…如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少？小贝的思考是这样开始的:如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3＝P2E，P1A＝P1E．请你参考小贝的思路解决下列问题:(1) P点第一次与D点重合前与边相碰次，P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是cm．(2) 进一步探究:改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB:AD的值为．。

初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, yx 11+， xyzx z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-++， （xy+yz+zx ）()111z y x ++， 222222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1.含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）. 例如：∵x+y, xy 都是对称式，∴x+y ＋xy ， （x+y ）xy ， xyy x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和zy x 111++都是轮换式， ∴z y x 111++＋xy+yz+z ， （zy x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222zy x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111zy x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(zxy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.求代数式 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+的值 分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝222)(1b a b a ---+＝ab 21-， ∴222222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝ －abc b a c 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.（m, n, p 是待定系数）令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩⎪⎨⎧===631p n m∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.例5. 因式分解：① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得 一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数， 得 80=m+n ；令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得 480=6m+n.解方程组⎩⎨⎧=+=+480680n m n m得⎩⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1.已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿ 2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 计算：（x+y ）5.5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解：① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.7. 已知：abcc b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋abcb ca c c +--22. 9. 已知：S ＝21（a+b+c ）. 求证：16)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x1且xy ≠0，那么y 的值是（ ） （A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.参考答案1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.6 .③当a=－b 时，原式＝0， 原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=17. 由已知等式去分母后，使右边为0， 因式分解8. 19. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)10. 选 C。

初中数学竞赛精品标准教程及练习35两种对称数学竞赛是一项重要的学科竞赛活动，对于学生的数学素养和思维能力的培养非常有帮助。

而数学竞赛的核心内容之一就是对称性的研究和运用。

下面是一本初中数学竞赛精品标准教程及练习，主要讲解了两种对称以及相关的题目训练。

一、点、线和面的对称1.点的对称：对称轴是指平面上的一条直线，将平面上的点分成两个互相重合的部分。

点关于对称轴的对称点与原点关于对称轴的垂直距离在对称轴两侧相等。

对称轴上的点是自身的对称点。

2.线的对称：对称轴是指平面上的一条直线，对称轴把平面分成两个互为镜像的区域。

线上的两点关于对称轴对称，线上的每一个点的对称点也在对称轴上。

3.面的对称：对称面是指一般三维空间的平面，平面将空间分为两个完全对称的部分。

平面上的每一个点的对称点都在对称面上。

二、图形的对称1.点的对称性：一个图形关于一个点对称，就是存在于这个图形的每一点关于这个点的对称点也在这个图形中。

2.线的对称性：一个图形关于一条线对称，就是存在于这个图形的每一点关于这条线的对称点也在这个图形中。

3.面的对称性：一个图形关于一个平面对称，就是存在于这个图形的每一点关于这个平面的对称点也在这个图形中。

三、对称性的运用1.利用对称性求解问题：利用对称性质可以简化问题，例如通过将一个点关于对称轴的对应点找出来，从而简化计算。

2.证明问题：对称性是证明问题的重要工具。

可以通过找到问题中的对称性质，从而推导出问题的结论。

四、题目训练以下是一些与对称性相关的常见题目，帮助学生进一步理解和运用对称性：1.镜面反射：一个角度为80度的光线在一面完全光滑的镜子上反射，求它的反射角度。

2.对称点坐标：平面上有点A(2,-3)，求点A关于直线y=2的对称点的坐标。

3.图形对称性：有一组数字：1,2,3,4,5,6,7,8,9、将这组数字按如下规则排列，使排列后的数字具有对称性：1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,8,7,6,5,4,3,2,14.证明对称性：证明一个多边形的内角和等于180度。

基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△ABC ，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，a h 为a 的高，R 、r 分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，)(21c b a p ++=．则△ABC 的面积有如下公式：（1）a ABC ah S 21=∆；（2）A bc S ABCsin 21=∆ （3）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆（4）pr c b a r S ABC =++=∆)(21（5）Rabc S ABC 4=∆（6）C B A R S ABC sin sin sin 22=∆（7）)sin(2sin sin 2C B CB a S ABC +=∆ （8）)(21a cb r S a ABC -+=∆ （9）)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC++=∆ 2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和； （2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△PAB 和△QAB 的公共边AB 所在直线与直线PQ 交于M ，则QM PM S S Q AB PAB ::=∆∆；（7）共角比例定理：在△ABC 和△C B A '''中，若A A '∠=∠或︒='∠+∠180A A ，则C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆． 3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PC PB PA ,,，设α=∠APC ，β=∠CPB ，︒<+=∠180βαAPB ，则C B A ,,三点共线的充要条件是：PCPA PB )sin(sin sin βαβα+=+．例题分析例1．梯形ABCD 的对角线BD AC ,相交于O ，且m S AOB =∆，n S COD =∆，求ABCD S 例2．在凸五边形ABCDE 中，设1=====∆∆∆∆∆EAB D EA CD E BCD ABC S S S S S ，求此五边形的面积．例3．G 是△ABC 内一点，连结CG BG AG ,,并延长与AB CA BC ,,分别交于F E D ,,，△AGF 、△BGF 、△BGD 的面积分别为40，30，35，求△ABC 的面积．例4．R Q P ,,分别是△ABC 的边BC AB ,和CA 上的点，且1====RC QR PQ BP ，求△ABC 的面积的最大值．例5．过△ABC 内一点引三边的平行线DE ∥BC ，FG ∥CA ，HI ∥AB ，点I H G F E D ,,,,,都在△ABC 的边上，1S 表示六边形DGHEFI 的面积，2S 表示 △ABC的面积．求证：2132S S ≥．例6．在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，过△ABD 的内心与△ACD 的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ，△ABC 和△AKL 的面积分别记为S 和T ．求证：T S 2≥．例7．锐角三角形ABC 中，角A 等分线与三角形的外接圆交于一点1A ，点1B 、1C 与此类似，直线1AA 与B 、C 两角的外角平分线将于一点0A ，点0B 、0C 与此类似．求证：（1）三角形000C B A 的面积是六边形111CB BA AC 的面积的二倍； （2）三角形000C B A 的面积至少是三角形ABC 的四倍．例8．在△ABC 中，R Q P ,,将其周长三等分，且Q P ,在边AB 上，求证：92>∆∆ABCPQR S S ． 例9．在锐角△ABC 的边BC 边上有两点E 、F ，满足CAF BAE ∠=∠，作AB FM ⊥，AC FM ⊥（N M ,是垂足），延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，证明四边形AMDN 与△ABC 的面积相等． 三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形ABCDEF 内接于⊙O ，且13+===DC BC AB ，1===FA EF DE ，求此六边形的面积．例11．已知ABC ∆的三边c b a >>，现在AC 上取AB B A ='，在BA 延长线上截取BC C B ='，在CB 上截取CA A C ='，求证：C B A ABC S S '''∆∆>．例12．C B A '''∆在ABC ∆内，且ABC ∆∽C B A '''∆，求征：ABC AB C CA B BC A S S S S ∆'∆'∆'∆=++ 例13．在ABC ∆的三边AB CA BC ,,上分别取点F E D ,,，使EA CE DC BD 3,3==，FB AF 3=，连CF BE AD ,,相交得三角形PQR ，已知三角形ABC 的面积为13，求三角形PQR 的面积．例14．E 为圆内接四边形ABCD 的AB 边的中点，AD EF ⊥于F ，BC EH ⊥于H ，CD EG ⊥于G ，求证：EF 平分FH ．例15．已知边长为,,,c b a 的ABC ∆，过其内心I 任作一直线分别交AC AB ,于N M ,点，求证：bca IN MI +≤． 例16．正△PQR ≅正△R Q P '''，1a AB =，1b BC =，2a CD =，2b DE =，3a EF =，3b FA =．求证：232221232221b b b a a a ++=++．例17．在正ABC ∆内任取一点O ，设O 点关于三边AB CA BC ,,的对称点分别为C B A ''',,，则C C B B A A ''',,相交于一点P ．例18．已知CE AC ,是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点N M ,分别内分ACCE ，且使k CECNAC AM ==，如果N M B ,,三点共线，试求k 的值． 例19．设在凸四边形ABCD 中，直线CD 以AB 为直径的圆相切，求证：当且仅当BC ∥AD 时，直线AB 与以CD 为直径的圆相切．训练题1．设ABC ∆的面积为102cm ，F E D ,,分别是CA BC AB ,,边上的点，且,3,2cm DB cm AD ==若DBEF ABE S S =∆，求ABE ∆的面积．2．过ABC ∆内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC ∆分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为321,,S S S ，求三角形ABC ∆的面积．3．在ABC ∆的三边CA BC AB ,,上分别取不与端点重合的三点L K M ,,，求证：AML ∆，CLK BKM ∆∆,中至少有一个的面积不大于ABC ∆的面积的41．4．锐角ABC ∆的顶角A 的平分线交BC 边于L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 作AB 和AC 边的垂线LK 和LM ,垂足是M K ,，求证：四边形AKNM 的面积等于ABC ∆的 面积．5．在等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上取一点D ，使BC DC 31=，作ADBE ⊥交AC 于E ，求证：EC AE =．6．三条直线n m l ,,互相平行，n l ,在m 的两侧，且m l ,间的距离为2，n m ,间的距离为1，若正ABC ∆的三个顶点分别在n m l ,,上，求正ABC ∆的边长． 7．已知321P P P ∆及其内任一点P ，直线P P i 分别交对边于i Q （3,2,1=i ），证明：在332211,,PQ P P PQ P P PQ P P 这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2．8．点D 和E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上，点K 和M 将线段DE 分为三等分，直线BK 和BM 分别与边AC 相交于点T 和P ，证明：AC TP 31≤．9．已知P 是ABC ∆内一点，延长CP BP AP ,,分别交对边于C B A ''',,，其中x AP =，w C P B P A P z CP y BP ='='='==,,，且3,23==++w z y x ，求xyz 之值． 10．过点P 作四条射线与直线l l ',分别交于D C B A ,,,和D C B A '''',,,，求证：CB D A DC B A BC AD CD AB ''⋅''''⋅''=⋅⋅． 11．四边形ABCD 的两对对边的延长线分别交L K ,，过L K ,作直线与对角线BD AC ,的延长线分别F G ,，求证：KGLGKFLF=． 12．G 为ABC ∆的重心，过G 作直线交AC AB ,于F E ,，求证：GF EG 2≤．同余式与不定方程同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.1. 同余式及其应用定义:设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为或一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r （r=0，1，…，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1) 若,则m|(b-a).反过来,若m|(b-a),则;(2) 如果a=km+b(k为整数),则;(3) 每个整数恰与0,1,…，m-1，这m个整数中的某一个对模m 同余；(4) 同余关系是一种等价关系：①反身性；②对称性，则，反之亦然.③传递性，，则；（5）如果，，则①；②特别地应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2n+1能被3整除的一切自然数n.解∵∴则2n+1∴当n为奇数时，2n+1能被3整除；当n为偶数时，2n+1不能被3整除.例2 求2999最后两位数码.解考虑用100除2999所得的余数.∵∴又∴∴∴2999的最后两位数字为88.例3 求证31980+41981能被5整除.证明∵∴∴∴2．不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1) 不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例4 证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.①若x为偶数，则∴∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.②若x为奇数，则但5y2+7∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例5 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程①证明如果有整数x，y使方程①成立，则=知（2x+3y2）+5能被17整除.设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.例7 （第33届美国数学竞赛题）满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2) 不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例6 求方程的整数解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解解得例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a＜b及b+1=c.证明（因式分解法）∵a2+b2=c2，∴a2=（c-b）（c+b），又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a2.于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1＜3b，即＜.而a≣3,∴≢1，∴＜1.∴a＜b.例9（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程的正整数（a，b，c）的组数是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1³23.∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解由(y-2)x=2y-7,得分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数,∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整数解为例11 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解（不等式法）方程有整数解必须△=（y+1）2-4（y2-y）≣0，解得≢y≢.满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例12 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.解将原方程变形得由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，12-x=1，x=11，这时y=132.故满足题设的方程的正整数解为（x，y）=（11，132）.例13（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及的不同的整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由得当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=26²31，故当且仅当x具有31t2形式时，1984x是完全平方数.∵x＜1984，∵1≢t≢7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≢x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.解法2 ∵1984=∴由此可知：x必须具有31t2形式，y 必须具有31k2形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3.练习二十1. 选择题(1)方程x2-y2=105的正整数解有( ).（A）一组（B）二组（C）三组（D）四组(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（）.（A） 3个（B）4个（C）5个（D）6个2．填空题（1）的个位数分别为_________及_________.(2)满足不等式104≢A≢105的整数A的个数是x³104+1，则x的值________.(3) 已知整数y被7除余数为5,那么y3被7除时余数为________.(4) (全俄第14届中学生数学竞赛试题)求出任何一组满足方程x2-51y2=1的自然数解x和y_________.3.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足.4．（1985年上海数学竞赛题）在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？5．求的整数解.6．求证可被37整除.7．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件的整数x，y的所有可能的值.8．（1985年上海初中数学竞赛题）已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.9.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.练习二十1.D.C.2.(1)9及1. (2)9. (3)4.(4)原方程可变形为x2=(7y+1)2+2y(y-7),令y=7可得x=50.3.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z 都不能是整数.4.可仿例2解.5.先求出,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得6.8888≡8(mod37),∴88882222≡82(mod37).7777≡7(mod37),77773333≡73(mod37),88882222+77773333≡(82+73)(mod37),而82+73=407,37|407,∴37|N.7.简解:原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≣0及y为整数可得0≢y≢5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.∵l2+m2=n2,∴l2=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l2,n-m=1.于是l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1)2.即2(l+m+1)是完全平方数.9.易知p≠q,不妨设p＞q.令=n,则m＞n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.几何解题途径的探求方法一．充分地展开想象想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。