第5章 章末复习课
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同角三角函数基本关系和诱导公式的应用【例1】(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________.(2)已知f(α)＝sin2(π－α)·cos(2π－α)·tan(－π＋α) sin(－π＋α)·tan(－α＋3π).①化简f(α)；②若f(α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值；③若α＝－47π4，求f(α)的值．[思路点拨]先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．(1)13[由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－2＋1－2－1＝13.](2)[解] ①f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.②由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34， 又∵π4＜α＜π2，∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－32. ③∵α＝－474π＝－6×2π＋π4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.1．将本例(2)中“18”改为“－18”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求cos α＋sin α.[解] 因为－π4＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|， 所以cos α＋sin α＞0，又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝34，所以cos α＋sin α＝32.2．将本例(2)中的用tan α表示1f (α)＋cos 2α.[解]1f (α)＋cos 2α＝1sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋1tan α＋1.1．牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.2．诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．三角函数的图象变换问题【例2】 (1)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π2 B.π4 C ．0D ．－π4(1)D (2)B [(1)因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故选D.(2)y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ.若该函数为偶函数，则π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故φ＝k π＋π4.当k ＝0时φ＝π4.故选B.]1．函数y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 图象的两种方法2．对称变换(1)y ＝f (x )的图象――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象．(2)y ＝f (x )的图象――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象．(3)y ＝f (x )的图象――――→关于(0，0)对称y ＝－f (－x )的图象．1．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D [函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.]三角函数的性质【例3】 (1)若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π (2)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．①求f (x )的单调区间；②若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．[思路点拨] (1)先根据函数f (x )是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．(2)①由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 求增区间， 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z 求减区间． ②先求f (x )的最大值，得关于a 的方程，再求a 的值． (1)B [因为函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数， 所以θ＝π2，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝3cos 2x ，令2k π－π≤2x ≤2k π，得k π－π2≤x ≤k π， 可得函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z ， 所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.](2)[解] ①由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．②∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1.1．求本例(2)中函数y ＝f (x )，x ∈R 取最大值时x 的取值集合． [解] 当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π， ∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π，k ∈Z . ∴当f (x )取最大值时，x的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z . 2．在本例(2)的条件下，求不等式f (x )＜1的解集． [解] 由f (x )＜1得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＜1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜－12 所以2k π－5π6＜2x ＋π6＜2k π－π6，k ∈Z . 解得k π－π2＜x ＜k π－π6，k ∈Z . 所以不等式f (x )＜1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π2＜x ＜k π－π6，k ∈Z. 三角恒等变换的综合应用【例4】 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增， 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋k 等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.(2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.2．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．[解] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．三角函数的平面几何中的应用【例5】 直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P 的一直线与走廊的外侧两边交于A ，B 两点，且与走廊的一边的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.(1)将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)[思路点拨] (1)长度l 可分成P A ，PB 两段分别用θ表示．(2)判断铁棒能否水平通过该直角走廊需要比较铁棒长度与AB 长度的最小值． [解] (1)由题意可知：l ＝2sin θ＋2cos θ＝2(sin θ＋cos θ)sin θ·cos θ， 其中0＜θ＜π2. (2)l ＝2(sin θ＋cos θ)sin θ·cos θ，设t ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，因为0＜θ＜π2， 所以π4＜θ＋π4＜3π4， 所以t ∈(1，2]， 所以l ＝4t t 2－1＝4t －1t.因为t －1t 在(1，2]上是增函数， 所以t －1t 的最大值为22， 所以l ＝4t －1t 的最小值为4 2. 因为42＞5，所以长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊．三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下： (1)审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式.ruize (2)利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 的形式. (3)在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.3．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ 上裁下一块平行四边形钢板ABOC ，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？[解] 连接OA ，设∠AOP ＝α，过A 作AH ⊥OP ，垂足为点H ，在Rt △AOH 中，OH ＝cos α，AH ＝sin α，所以BH ＝AH tan 60°＝33sin α，所以OB ＝OH －BH ＝cos α－33sin α，设平行四边形ABOC 的面积为S ，则S ＝OB ·AH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－33sin α·sin α＝sin αcos α－33sin 2α＝12sin 2α－36(1－cos 2α)＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2α＋12cos 2α－36＝13sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6－36. 由于0＜α＜π3，所以π6＜2α＋π6＜56π，当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S max ＝13－36＝36，所以当A 是PQ 的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为36平方米．。
