32.解三角形训练案

高三数学专项训练：解三角形小题练习（三）1．已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，若bc c b a -+=222，，则B tan 的值等于 ． 2．在ABC △，则a = . 3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知5=a ，4．在ABC ∆中c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边,已知,2,4==b a 则5．在ABC ∆中,若222bc b c a +=+ , 则A = 6．在ABC ∆中，已知3=b ，，︒=∠30B ，则a 等于_____________. 7．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）8．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60 ，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为 km ．9．在△ABC 中，若AB AC ＝5，且cosC BC ＝________． 10．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

11．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

12．在ABC ∆中，若，则C ∠=13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，且8,60,75a B C ︒︒===,14．在△ABC 中，120,1,A b =︒=面积等于 。

15．在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a b 、, 则b = .16．在∆ABC 则A =17．在∆ABC 中，00135,15,5,B C a ===则此三角形的最大边长为18．在∆ABC 19．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则∠A 等于_________________________值为 ．21．在ABC ∆中， 60,2,1===B BC AB ，则=AC __________.22．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为23．在ABC ∆中,若1b =，，则a = . 24．已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边，若，则=A sin __________.25．在ABC ∆中，∠C = .26．在ABC ∆中.若b=5a=___________________. 27．在ABC ∆中，A ＝_____________; 28．在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________29．ABC ∆中，B A t a n ,t a n 是01832=-+x x 的两个实数根，则C C C C 22cos 5cos sin 3sin 4--的值为 ．30．设ABC ∆中，形是 三角形.31．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，则C ∠= 或 ．32．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c 则ABC ∆的形状是 ．33．在△ABC 中，1a =，30A =︒，60B =︒，则b 等于 。

《解直角三角形》教学设计(续表)图28－2－5 教师呈现问题并引导学生结合图形，观察已知和的正弦来求∠A的(续表)(续表)【学习目标】 1．知识技能(1)掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(2) 理解解一个直角三角形的前提条件． 2．解决问题通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．数学思考 让学生思考：为什么一个直角三角形可以解的前提条件是必须有两个元素(其中一个必须为边)．从而让学生理解画一个直角三角形的条件．4．情感态度(1) 通过给定具体的两个条件(其中一个为边)，让学生们画直角三角形，培养学生合作交流的意识和探索精神．(2)通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯． 【学习重难点】重点：直角三角形的解法．难点： (1)三角函数在解直角三角形中的灵活运用．(2)学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．课前延伸【知识梳理】(1) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3，c ＝4，则b ＝． (2) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝28°，那么∠B ＝__62°__．(3) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝5，则sin A ＝41，cos A ＝41，tan A ＝__45__(4) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A ＝30°，a ＝6，则c ＝__12__，b ＝． (5) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知c ＝6, ∠A ＝50°，则a ＝__6_sin50°__． (6) 意大利披萨斜塔在建成的时候就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1米，1972年披萨地区发生地震，这座高54.5米的斜塔在大幅摇摆后依然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2米，请你算出这时塔身中心线与垂直中心线的夹角．课内探究一、 课堂探究1(问题探究，自主学习)(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝28, ∠B ＝60°，解这个直角三角形． (2)在Rt △ACB 中，c ＝90°，a ＝30, ∠B ＝80°， 解这个直角三角形． (3)在Rt △ABC 中，c ＝90°，a ＝3，b ＝3, 解这个直角三角形．二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)(1) 画一个直角三角形，使两条直角边分别为3和4.(2) 画一个直角三角形，使一条直角边为3，一个锐角为35°.(3) 画一个直角三角形，使斜边长为8，一个锐角为40°.(4) 画一个直角三角形，使两个锐角分别为30°和60°.各小组比较由(1)(2)(3)(4)画出的直角三角形．讨论1：你觉得给出什么样的条件可以画出一个确定的三角形．讨论2：你觉得确定一个直角三角形需要的元素有什么条件？三、反馈训练1．必做题在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知b＝20, ∠B＝35°，解这个直角三角形(结果保留小数)；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝10 3，b＝20, 解这个直角三角形．2．选做题在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15, ∠A的平分线AD＝10 3，解这个直角三角形．课后提升1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形．2. 已知在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝6，求BC长．3. 如图，在两面墙之间有一个底端在点A的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点B处；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点D处．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3 2 m．求点B到地面的垂直距离BC.图28－2－9。

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题06解三角形之判断三角形形状和边角证明类问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。

但在三角形．．．中，sin sin A B A B >⇔>成立一、单选题1．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2a b c b c a bc +++-=，那么ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定【答案】B【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果.【详解】在ABC 中，()()()2222222a b c b c a b c a b c a bc bc +++-=+-=+-+=，2220b c a ∴+-=，即222b c a +=，则ABC 为直角三角形，故选：B.2．在ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222a b c +<，则ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形3．在ABC 中，1cos b cA c++=，则三角形的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．正三角形D ．等腰三角形【答案】A【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到222c b a =+，进而得到ABC 的形状为直角三角形.二、基础知识过关4．ABC ∆中，sin sin A B >是a b >的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AB c =，AC b =，BC a =，则下列关系不成立的是（）A ．cos a cB =⋅B ．tan tan 1A B ⋅=C ．cos b c A =⋅D ．tan a b B=6．ABC 的三边分别为a ,b ,c ,若ABC 是锐角三角形,则（）A ．sin cos AB <B ．tan tan 1A B >C ．cos()0A B +>D ．sin()sin A B C+>二、填空题7．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos bA c=，则ABC 的形状是____________（填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）．8．ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且满足2cos a b C =，则此三角形的形状是_____.【答案】等腰三角形【分析】利用正弦定理边角互化，由π()A B C =-+结合三角函数和差公式和角的范围即可得B C =，即可得到结果.【详解】因为2cos a b C =，所以由正弦定理可得sin 2sin cos A B C =，又在ABC 中π()A B C =-+,所以sin sin()sin cos sin cos 2sin cos A B C B C C B B C =+=+=，所以sin cos sin cos 0C B B C -=即sin()0C B -=，由,(0,π)B C ∈，故B C =，则此三角形的形状是等腰三角形，故答案为：等腰三角形四、解题技巧实战1．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且(cos cos )a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状；2．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB⋅+⋅=⋅(1)若cos cos A Bb a=，判断ABC 的形状并说明理由；3．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2tan tan cos cos A BA B B A+=+．（1）证明：2a b c +=；4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：2sin a bc C--=.1．（2022·高三课时练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos cos a A b B c C +=，判断ABC 的形状．2．（2022春·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b c =sin cos b A B =．(1)判断ABC 的形状；(2)若O 为ABC 所在平面内一点，且O ，C 在直线AB 的异侧，22OA OB ==，求OC 的最大值．五、跟踪训练达标θ32在AOB 中，由正弦定理可知：sin AB 由余弦定理可知，2cos OB OBA ∠=∴233sin cos 4AB OBC AB AB θ-∠=-=∴在OBC △中，由余弦定理可得：2222cos OC OB BC OB BC 3．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）（1）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222b c a bc +=+，tan tan tan A B A B ++，判断ABC 的形状；（2）在ABC 中，120,B AB == A 的平分线AD =，求AC 的长.2sin 2ADB ∠∴=，由题意知060ADB ∠<< 4．（2022秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．(1)若aa bba b c+=++，判断ABC 的形状；(2)若ABC 不是钝角三角形，求ac的取值范围．5．（2022秋·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ (1)若cos cos A Bb a=，判断ABC 的形状并说明理由；(2)若ABC 是锐角三角形，求sin C 的取值范围.6．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos cos a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状并给出证明；(2)若a b ¹，求sin sin sin A B C ++的取值范围．7．（河北·模拟预测）在△ABC 中，()12cos c b A =+，求证：2A B =.所以A B B -=或180A B B -+=(舍)，所以2A B =8．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．9．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，求证：（1）()()222222tan tan 0a b c A a b c B --+-+=；（2）2222cos 2cos 211A B a b a b-=-.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）根据余弦定理将2222222cos ,2cos bc A ac B a b c a b c ==---+-代入左式，整理结合正弦定理，即可证明等式；（2）用二倍角公式将cos2,cos2A B 转化为sin ,sin A B ，再由正弦定理，即可证明等式.10．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角,,A B C 的对边，sin sin sin sin a b C B c A B--=+.(1)求A ；(2)若33c b =，证明：2c b =.11．（2023·高三课时练习）在ABC 中，22sin cos 222+=(1)求B 的大小；(2))2a c b +=，证明：a c =.12．（2020春·山东济南·高三统考期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点.（1）证明：CD =.（2）已知4a =，6b =，4CD =，求ABC 的面积.。

2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。