2021北师大版(2019)高中数学必修一教案：：1.1.2 集合的基本关系含解析

第一章预备知识

第1节集合

1.2集合的基本关系

集合的基本关系是继上一节集合的基本概念之后的又一个基本知识，集合之间的关系是包含与被包含的包含关系，元素与集合是属于与不属于的从属关系，在言语表达和符号书写时，要求要准确、简洁，它是高中数学的基本符号语言，为下一节集合的运算奠定基础，同时对于学生养成简洁、准确的数学语言，良好的思维习惯和规范的书写习惯等都非常重要。

(1)知识目标：

掌握子集、真子集的含义及其符号表示，准确使用“包含”“包含于”等语言表述和“、 、 、=”等符号表示；掌握集合相等的含义；能使用Venn图表示集合间的包含关系，熟练写出一个集合的子集和真子集。

(2)核心素养目标：

灵活运用集合的符号语言表示有关数学对象，读懂、会用抽象的数学符号（数学语言）进行数学表达，提升学生的数学抽象能力和概括能力，同时培养学生良好的思维习惯和规范的书写习惯。

（1）集合与集合的关系，子集、真子集的概念；

（2）熟练使用“、 、 、=”等符号表示集合间的关系，以及用Venn图表示集合间的关系；掌握空集是任何集合的子集，熟练写出一个集合的所有子集，了解一个集合的子集个数的计算；

（3）数学语言和符号表示的规范性和准确性。

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一、知识的引入

思考讨论：

问题1：某学校高一（1）班全体35位同学组成集合，其中女同学组成集合：

若，则与集合是什么关系？

问题2：用表示所有矩形组成的集合，表示所有平行四边形组成的集合:

若，则与集合是什么关系？

问题3：所有有理数都是实数，则有：

若，则

试问以上问题所涉及到的两个集合之间有什么关系？

二、新知识

1、子集的概念

一般地，对于两个集合与，如果集合中的任何一个元素都属于集合，即若，则，那么称集合是集合的子集。

符号表示： (或)

读作：集合包含于集合（或集合包含集合）

如上面问题1“女生集合包含于班级集合”，记作。

注意：①概念中的关键词“任何一个元素”，相当于“所有元素”；

②元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的从属关系，集合与集合的关系是“包含”或“不

包含”的包含关系；

③符号“”的开口方向的集合要“大”一些。

2、子集的相关结论

（1）任何一个集合都是它本身的子集，即；

（2）空集是任何集合的子集，即；

（3）集合是集合的子集，即，可以用Venn图表示，如图：

3、集合的相等

对于两个集合与，如果集合是集合的子集，并且集合是集合的子集，那么

称集合与集合相等。

记作：

注意：①两个集合、，如果，且，则，

类比:两个实数、，如果，且

，则；

②两个集合相等，则两个集合所含的元素完全相同。

4、真子集的概念

对于两个集合与，如果，并且，那么称集合是集合的真子集。

记作： (或)

读作：集合真包含于集合（或集合真包含集合）

注意：①集合是集合的真子集，说明集合中的元素都属于，但集合中存在元素不属于集合；

②空集是任何非空集合的真子集；

③任何一个集合至少有两个子集：空集和它本身。

如：

常见的几个数集

例3：某造纸厂生产练习本用纸，在纸的密度和厚度都合格时，该产品才合格，若用表示练习本用纸合格

的产品组成的集合，表示纸的密度合格的产品组成的集合，表示纸的厚度合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成立？

试用Venn图表示这三个集合的关系。

解：由题意知，成立，它们的关系可用Venn图表示如下：

例4：写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。

解：由子集的定义知，集合的子集的元素个数最少为0个，最多为3个，由少到多依次写出它的子集，得

，，，，，，，上述8个子集，其中除了以外，其余7个都是它的真子集。

如果集合含有个元素，那么它的子集个数为个。

思考讨论：

(1)你能说出集合与集合的关系吗？

(2)集合，非空集合满足：，并且任意都有

，这样的集合有多少个，请写出来？

提示：(1)

(2)满足条件的非空集合有7个，依次为、、、

、、、。

三、课题练习

教材P7，练习1、2、3、4。

四、作业布置

教材P12，习题1-1，5。

补充作业：已知集合满足：，写出所有满足条件的集合。

解析：集合至少含有元素0和1，另外不能同时含有元素，所以满足条件的集合依次为

、、、、、、、共7个。

本节课内容不多，难度也不大，教学中务必提高学生数学语言的准确性和书写的规范性要求，比如元素与集合之间在叙述时只能是“属于”或“不属于”，而集合之间只能是“包含”或“不包含”等，同时注意培养思考的周密性和运算的准确性。