高考数学复习点拨 直线斜率的求法

平面解析几何 高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。

2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。

例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析： ∵， ∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2．已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB 与AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB 的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB =tan150°= k AC =tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或． 经检验不适合，舍去. 故．例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．思路点拨：如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线.解析：∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴k AB =k AC ．即二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

直线的斜率求解方法直线是数学中一个基础概念，它在几何学和代数学中都起着重要的作用。

而直线的斜率是描述直线特征的一个重要指标，它能够告诉我们直线的倾斜程度和方向。

在数学学习中，掌握直线的斜率求解方法是非常重要的一项技能。

本文将介绍几种常见的直线斜率求解方法，帮助中学生和家长更好地理解和应用这一概念。

一、斜率的定义斜率是指直线上两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。

用代数表示，设直线上两点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则直线的斜率k可以表示为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)二、直线斜率的求解方法1. 通过图像法求解斜率图像法是直观理解直线斜率的一种方法。

我们可以通过绘制直线的图像来观察直线的倾斜程度和方向。

在直线上选取两个点，然后计算这两点的坐标差，再根据斜率的定义求解斜率。

例如，我们要求解直线通过点A(1, 2)和点B(3, 4)的斜率。

首先，我们可以在坐标系中绘制出直线AB，然后计算点A和点B的坐标差：Δy = 4 - 2 = 2Δx = 3 - 1 = 2最后，根据斜率的定义求解斜率：k = Δy / Δx = 2 / 2 = 1所以，直线AB的斜率为1。

2. 通过方程法求解斜率方程法是一种代数求解直线斜率的方法。

我们可以通过直线的方程来求解斜率。

例如，已知直线的方程为y = 2x + 1，我们可以观察到方程中的系数2即为直线的斜率。

所以，直线的斜率为2。

3. 通过斜率公式求解斜率斜率公式是一种常用的求解直线斜率的方法。

我们可以通过已知直线上两点的坐标来求解斜率。

例如，已知直线通过点A(1, 2)和点B(3, 4)，我们可以使用斜率公式来求解斜率：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)= (4 - 2) / (3 - 1)= 2 / 2= 1所以，直线AB的斜率为1。

三、直线斜率的应用直线斜率在数学中有广泛的应用。

下面列举几个常见的应用场景：1. 判断两条直线是否平行或垂直如果两条直线的斜率相等，则它们是平行线；如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们是垂直线。

斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助函数图象或单位圆,数形结合确
定倾斜角 的取值范围.
π
（2）注意倾斜角的取值范围是[0, π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为 ,此
2
时直线垂直于轴.
（3）每条直线都有倾斜角，但不一定存在斜率.
变式题（1）
若直线 + − 1 = 0与连接 2,3 , −3,2 的线段总有公共点，
3.直线 + + = 0
= −, .
2

+
2

≠ 0 的一个法向量 = , ，一个方向向量
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
− 3
1.［教材改编］ 已知直线经过点 −2,0 与 −5,3 3 ,则直线的斜率 =______，
∘
1,
−
3
（答案不唯一）
120
倾斜角 =_______，一个方向向量为_____________________________.

当直线在轴、轴上的截距均不为0时,设直线的方程为



+ =
将点 −3,1 的坐标代入可得 = −2或 = −4,
此时直线的方程为 + + 2 = 0或 − + 4 = 0.故选ABC.

1或

+

−
=1 ≠0 ,
（2）
[2023·山西大学附中月考] 已知△ 的顶点 5,5 ，边上的高所在直
=
2
，
3
=
−1
4− −2
=
−1
−1
，所以
6
6
=
2

直线斜率的求法直线的倾斜角和直线的斜率一样，都是刻画直线的倾斜程度的量，直线的倾斜角侧重于直观形象，直线的斜率则侧重于数量关系.直线的斜率为进一步研究直线奠定了基础，是后继内容（直线的位置关系、直线方程）展开的主线.特别是过两点的斜率公式的推导体现了数形结合的思想.因此我们必须熟练掌握求直线的斜率的各种方法与技巧.下面举例说明.一、根据倾斜角求斜率例1如图，菱形ABCD 的∠ADC ＝120︒，求两条对角线AC 与BD 所在直线的斜率.分析：由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC 与BD 的倾斜角，再利用公式k ＝tan θ.解：∵在菱形ABCD 中，∠ADC ＝120︒，∴∠BAD ＝60︒，∠ABC ＝120︒，又∵菱形的对角线互相平分，∴∠BAC ＝30︒，∠DBA ＝60︒，∴∠DBx ＝180︒－∠DBA ＝120︒， ∴k AC ＝tan30︒＝33，k BD ＝tan60︒＝ 3. 点评：本题在解答的关键是根据直线与其它直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率.二、利用两点斜率公式例2直线l 沿y 轴正方向平移a 个单位（a ≠0），再沿x 轴的负方向平移a ＋1单位，结果恰好与原直线l 重合，求l 的斜率.分析：由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现.因此，本题可以采取在直线取点P ，经过相应的平移后得到一个新点Q ，它也在直线上，则直线l 的斜率即为PQ 的斜率.解：（1）设P(x,y)是l 上任一点，按规则移动后，P 点坐标为Q(x －a －1,y ＋a)，∵Q 也在l 上，∴k ＝(y ＋a)－y (x －a －1)－x ＝–a a ＋1， 点评：①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x ，y)沿x 轴正向平移a 个单位，再点沿y 轴正向移动a 个单位，坐标由(x,y)变为(x ＋a,y ＋b)，本题还可用特殊点，并赋a 为特殊值去解0.②直线过两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），若x 1＝x 2，y 1≠y 2时，倾斜角等于90︒，不能利用两点的坐标斜率公式，此时，斜率不存在.三、利用三角变换公式例3已知M(－4，3)，N(2，15)，若直线l 的倾斜角是直线MN 倾斜角的两倍，求直线l 的斜率.分析：利用过两点的斜率公式先求得直线MN 的斜率，再利用二倍角公式可求得斜率. 解：设直线MN 的倾斜角为θ，则直线l 的倾斜角为2θ，∵M(－4，3)，N(2，15)，∴k MN ＝15－32＋4＝2，即tan θ＝2， ∴tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝43，即直线l 的斜率为43.点评：直线的倾斜角与三角有着密切的联系，在解题中相互补充.此类问题出现在处理两条直线的位置关系上.四、利用待定系数法例4如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l 的斜率.分析：本题可以利用例2解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解.除此之外，还可以考虑直线l 的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果.解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为y －1＝k(x ＋3)＋b ，即y ＝kx ＋3k ＋b ＋1.∴由条件知，y ＝kx ＋3k ＋b ＋1与y ＝kx ＋b 为同一直线的方程.比较系数得b ＝3k ＋b ＋1，解得k ＝－13. 点评：本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果的.另外要注意曲线f(x ，y)＝0沿x 正方向平移a 年单位，沿y 轴正方向移动b 个单位，平移后的曲线方程为f(x －a ，y ＋b)＝0.。