一元一次方程和一元二次方程的根的分布
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第三节一元一次方程和一元二次方程的根的分布
一、方程的根与函数的零点
二、方程的根（函数的零点）的转化
三、一元一次方程的根的分布（一次函数的零点分布）
四、一元二次方程的根的分布（二次函数的零点分布）
直接方法是先求出根，再由题意列不等式.
间接解答一元二次方程的根的分布问题一般思路有二，思路一是：从判别式和韦达定理入手列不等式组；思路二是由图象分析入手，从开口方向、对称轴、判别式、端点值这四个方面列不等式组.
在这里，两个思路是等价的，只不过列出的不等式组有简单与复杂的区别，一般来说，端点值为零时用思路一、思路二列出的不等式组都较简单（下面的第1、2种情况），端点值不为零或不全为零时用思路二列出的不等式组简单一些（下面的3至12种情况）.
其中，端点值指的是方程的根所在区间的端点或分界点对应的函数值，比如“根在区间
(1,3)之间”其端点值为(1)f 、(3)f ，
“两根一正一负”其端点值为(0)f . 一元二次方程的根的分布思维模型：
对于一元二次方程，设其根为1x 、2x ，则
1.两根一正一负；
2.两根都大于零； 两根都小于零；
3.一根比大一根比小()0af k <；
4.两根都比大；
5.两根都比小； 2()0f x ax bx c =++=⇔(0)0af <⇔12
00x x ∆>⎧⎨<⎩⇔002(0)0
b x a af ∆≥⎧⎪⎪=->⎨⎪>⎪⎩⇔1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩⇔002(0)0
b x a af ∆≥⎧⎪⎪=-<⎨⎪>⎪⎩⇔1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩k k ⇔k ⇔02()0
b x k a af k ∆≥⎧⎪⎪=->⎨⎪>⎪⎩k ⇔02()0
b x k a af k ∆≥⎧⎪⎪=-<⎨⎪>⎪⎩
6.两不等根在12(,)k k 之间121202()0()0
b k k a af k af k ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩； 7.两根在之外即一根比大一根比小12
()0()0af k af k <⎧⎨<⎩； 8.一根比大，一根在12(,)k k 之间12
()0()0af k af k >⎧⎨<⎩； 9.一根在12(,)k k 之间，一根比小12
()0()0af k af k <⎧⎨>⎩； 10.一根在12(,)k k 之间，一根在12[,]k k 之外12()()0f k f k <；
11.一根在12(,)k k 之间，一根在23(,)k k 之间1223()()0()()0f k f k f k f k <⎧⎨<⎩
； 12.设23k k <，两根一根在12(,)k k 之间，一根在34(,)k k 之间. 比如，一元二次方程22(1)210m x mx -+-=的两个根一个小于零，另一个大于1，试
确定m 的取值范围.
本题具体操作过程示范：先设函数22
()(1)21f x m x mx =-+-，显然(0)1f =-即函数过点(0,1)-，画出函数草图如图，然后根据函数图象从四个方面分析.第一个方面是开口
方向，由题意知抛物线开口方向向上，则210m ->.第二个方面是对称轴，对称轴所在区间不定，故不需要列不等式.第三个方面是判别式，判别式大于零已经隐含在“函数过点
(0,1)-以及开口方向向上”
之中，故不等式0∆>可以省略.第四个方面是端点值，端点为0和1，(0)f 已经确定，故有(1)0f <.所以得210(1)0
m f ⎧->⎨<⎩，解得m 的取值围为10m -<<.
⇔12[,]k k 2k 1k ⇔2k ⇔1k ⇔⇔⇔⇔1234()()0()()0f k f k f k f k <⎧⎨
<⎩
注意：需要强调的是，方程的根的分布问题的直接解法是解出其根，再列不等式（组）.对于二次方程而言，如果方程的根含有根式则用直接法解答不太容易，可以选择间接解法，如果方程的根为整式（即方程右边能够轻松分解因式）则用直接法解答就容易一些，这时选择直接法解答.比如，已知222320x ax a --=有根在区间[1,1]-上，求a 的取值范围；此题用直接法解答就容易一些，分解因式得(2)(2)0x a x a +-=，则2
a x =-或2a ，故112
a -≤≤或121a -≤≤，所以a 的取值范围为22a -≤≤。
显然，这比用间接法解答要简单.所以，对于一元二次方程的根的分布问题的思维方法，先看能否分解因式，能分解因式的先分解因式，求出其根，然后用直接法解答；如果不能分解因式，则采用间接法解答.。
