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二重积分与二次积分ppt

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二重积分计算法ppt详解.

二重积分计算法ppt详解.

8 R(R2 x2)dx16 R3 .
0
3
【例6】求由曲面 z x2 2 y2及 z 6 2x2 y2
所围成的立体的体积。
二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极
坐标变量 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑
利用极坐标来计算二重积分.
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族 同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1( y) x 1( y), cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
a
g ( x)dx][
d
h( y)dy]
a
c
b
c
D
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
如果D是X型区域 j1(x)yj2(x), axb, 则
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
提示
根截此据面时平是二行以重截区积面间分面[jD积1f(x(为x0,),y已)dj知2(x在的0)几立]为何体底上体、表积以示的以曲求曲线法面z. fz(xf(0x,

二重积分

二重积分
1 画出区域 D 图形
2 xy d x d y , D : y x 与 y x 所围区域 D
2 先对 y 积分（从下到上）
y
xydxdy dx x xydy


x
1
D
xdx ydy
x

x
1 1 1 3 5 ( x x )dx 24 2 0
19. 把 I
D1
0
先对 x 积分 （不分块儿行吗？）
1
x
I

D1 D2
D2 x = y +1
.

dy



y

y
f ( x, y )dx
f ( x, y )dx
–1
. .
dy

11. 将二重积分化成二次积分 D: 由四条直线 : x=3，x=5, y 3x – 2y+4 = 0, 3x –2y+1 = 0 19 2 共同围成的区域 先对y积分
D
D:
0 r r ( )
0 2
0
r ( )
r
.
D
I
f ( x , y )dxdy
D


r (θ )
0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
18. 怎样利用极坐标计算二重积分(2) I 极点位于区域 D 的内部
f ( x , y )d xdy
D
f ( x , y )d xdy
D
D:
0 r r ( )
0 2
r ( )
r

0 r
D

重积分—二重积分的计算(高等数学课件)

重积分—二重积分的计算(高等数学课件)

1
y2
2 1
1 2
x
2
y
y y
2
2
dy
1 2
2 [ 1
y(
y
2)2
y5 ] dy
45 8
x y2
2
o1 (1,1)
y x2 (4,2)
x
课程小结
本讲主要讲了X型区 域和Y型区域的区 分，通过例题学习 在两种区域下二重 积分转化成累次积 分的计算方法。
重积分
直角坐标系中二重积分的计算 （三）
知识点讲解
1.一般型区域
1.二元极限定义
边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共
内点的 X 型区域或 Y 型区域.
y
如图a 所示, D 被分解成三个区域, 其中I 、III 为X 型
区域,II 为 Y 型区域.
III
II D
I
O
x
图a
2.例题分析
1.二元函数极限
例1 设 D ( x, y) 2x x2 y2 4x , f ( x, y) 为 D上的连
y
D2 ( x, y) 4x x2 y 2x x2 ,0 x 2 , O
D3 ( x, y) 4x x2 y 4x x2 , 2 x 4 .
所以有
I
2
dx
4 x x2
2
2xx2
f ( x, y)dy dx
f ( x, y)dy
0
2 x x2
0
4xx2
变换公式
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
1 2
(2ri
ri )rii
ririi

二重积分与二次积分

二重积分与二次积分

二重 积分 出现 ， 不少读 者误 以为二 重积分 与二次 积分 是一 回事 ， 一些 问题 的解 答 出现 了错 误或 使 对
迷惑 。
，

例 １计算积分 ｌ ｘｌ ： ｄ
Ｊ０ Ｊ Ｌ
ｄ。 ｙ
所 围 成 的 积
有 的 同 学 用 交 换 积 分 顺 序 方 法 作 ， 此 他 将 此 二 次 积 分 错 误 地 为 视 为二重积 分 。 域 得在 ０ 画 ≤ ≤ １ 由 一 １ Ｙ 上 和 分 域 Ｄ（ 图 ） 是 如 于
识 到应 改变所 得结果 的符 号 。 当我们 追阃他 们为 什么时 ， 又觉 得很难 说 清 楚 便
其实 二 积 是 续 二 定 分 当 们 定 一ｒ（ ｄ之 ， 出 个 ，次 分 连 作 次 积 ，我 规 ｆ（ｄ一 ， ） 后 给 一 定 ，） ｒ
积 时 分 限一 要 于分 限 而 积 不样重 分ｒ， 中 面元 分 ， 上 不 定太 积下 ； 重 分 一 ， ｆ ）ｄ ， 积 积 然 积Ｊ 其 ｄ
（ 接第 １ 上 ８页 ）
既 然二次 积分 与二 重 积 分不 一样 ， 因此 ， 本题 也 不一 定 要 通过 二 重 积 分 来交 换 积 分 顺 序计 像
算。 比如还可用分部分计算： ｌ 记
ｅ
ｄ ｙ＝Ｆ（ ）则 ｚ，
Ｊ＝ ｄ 胁州ｚ （ 一 圳—
ｍ一 如一 一 ～ 吉
２ 设ｆ ｘ ） ． （， 连续， 交换积分的顺序： ｄ Ｉ ｆｘ ｙｄ ｌ ｘ （，）ｙ
（ 接第 １ 上 ） ７页
这 里 Ｓ ＝ Ｄ２ Ｄ ｎ Ｄ２ 一 Ｄ — Ｄ ｎ Ｄ２ ｌ 一 ，２ Ｓ 。 因 Ｄ 与 Ｄｚ 的面积 相等 ， 均为 ， 故 与 面积 相等 ， 在 上 ， ＋ 。 ＜ ａ ， 在 ： ， ＋ ２ 上

2019年-9-2 二重积分的计算法-PPT精选文档

2019年-9-2 二重积分的计算法-PPT精选文档
解 e y 2 d 无 法 用 y 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2 y3dy e 1 y2 y2dy2 1(1 2).
0
3
0
6
6e
8
例10. 关于分块函数在D上的积分. 求| yx|d
a
a2 y2
故本题无法用直角 坐标计算.
14
二、利用极坐标计算二重积分 y
1
1 x
要分部积分，不易计算
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idy yexydx dy yexydx
11 2y
11
易见尽管须分片积分，但
由于被积函数的特点，积 分相对而言也较方便。
D
7
例 9 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
D1
D2
9
11
1x
0dx x (yx)d y0d0 x (xy)dy y
1(1y2x)y1d x 1(xy 1y2)xdx 1
02
x
0
20
y=x
D1
D
D2
1(1x1x2)d x11x2dx 1
02 2
02
3
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
y2x y 2xx2
问 ： 从 积 分 域 的 形 状 看 ， 此 域 上 的 积 分 应 选 什 么 样 的 积 分 顺 序 ？
6
例8 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y

大学生数学竞赛二重积分.ppt)

大学生数学竞赛二重积分.ppt)
f ( x, y)dy
0 1 x
1
2 d
1 f ( cos , sin )d .
0
sin cos
例3. 计算二重积分
x 2 y 2 4 dxdy, D : x 2 y 2 9. y
D
x2 y2 9
D D1 D2 ,
D1 : x 2 y 2 4 ;
D2
D1
xo2 y2 4
于坐标轴的直线网来划分
D
区域 D.
则面积元素为d dxdy 0
x
故二重积分可写为
f x, yd f x, ydxdy
D
D
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
D
D
性质２
[ f ( x, y) g( x, y)]d
第四讲：二重积分的计算
n
D
f (x, y)
d lim
0
f (i ,i ) i .
i 1
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 元 素
积 分 和
若函数 f ( x, y)在有界闭区域 D 上连续，则二重积分
f ( x, y)d 必定存在.
D
y 在直角坐标系下用平行
直角坐标与极坐标的相互转化公式
x r cos y r sin
x2 y2 r2
dx dy rdrd
将直角坐标系下的二重积分转化为极坐
标系下的二次积分
⑴写出已知 X 型区域：D x, y a x b,1 x y 2 x
⑵将第二个不等式改成等式y=1 x，y=2 x画出两条曲线

第6章 二重积分

n
若二重积分
∫∫ f ( x, y)dσ = lim∑ f (ξi ,ηi )∆σ i 存在 λ →o i =1 D
则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关， 则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关， 故可采用一种便于计算的划分方式 在直角坐标系下， 在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠 的边界 分成一些小区域， 分成一些小区域 这些小区域中除去靠D的边界 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形， 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形， 紧靠D的边界的小区域的面积 紧靠 的边界的小区域的面积 ∆σ i ≤ ∆t i ⋅ λ ⇒ ∑ ∆σ j ≤ λL
二重积分
1、二重积分的概念和性质 、 2、利用直角坐标系计算二重积分 、 3、利用极坐标系计算二重积分 、
二重积分的概念和性质
在一元函数积分学中，我们已经知道， 在一元函数积分学中，我们已经知道，定积 分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形 式的和式的极限， 式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发 需要计算空间形体的体积、曲面的面积、 展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空 间物体的质量等， 间物体的质量等，定积分已经不能解决这类问题 另一方面，从数学逻辑思维的规律出发， ，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然 会考虑定积分概念的推广， 会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数 的积分学问题。 的积分学问题。
j
y
D
o x
其中L为 的围长 其中 为D的围长
⇒
∑ f (ξ j ,η j )∆σ j ≤ M ∑ ∆σ j ≤ MLλ → 0, (λ → 0) j j
dσ = dxdy
则面积元素为
故二重积分可写为

高等数学 课件 PPT 第九章 重积分

分析
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4

东华大学《高等数学AⅡ》课件 第三章 二重积分在极坐标系下的计算


ex2 d x ①
0
2
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 :
若积分区域为
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
y x x2 ( y) d
D
则
f (x, y) d
f (r cos , r sin )
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积
函数含 ( x2 的y用2 ) 此简便.
计算方法——化为二次定积分
(通常先对r 后对 积分
)
二、极坐标系下二重积分化累次积分
三线
方法： 极坐标系下区域如图所示：
r
sin
其中 0r <+, 0 2
(或 - )
r x2 y2
arctg y
x
y
r
0
(x, y) x
一、极坐标系下二重积分的表达式
y
M(x, y)
x r cos
y
r
sin
r (r, )
0
x
? f ( x, y)d 在极坐标系下
D
极坐标系下的面积元素如何表示？
极坐标系下被积函数如何表示？
D
0 f在D上关于x为奇函数
f
( x,
y)dxdy
4
D1
f
( x,
y)dxdy,
f关于 x 且关于 y为偶函数

92二重积分的计算(直角坐标系)ppt省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件


当 f ( x, y) f ( x, y)时.
(即f ( x, y)关于( x, y)为奇函数)
（4）若积分区域 D关于 直线 y x 对称 （ ( x, y)D( y,x)D ），
则 f ( x, y)dxdy f ( y,x)dxdy 。
D
D
又若 D D1D2 ，且 D1与D2 关于直线 y x 对称，则
2
证：积分区域 x2 y2 R2 关于直线 y x 对称，所以
x。
y
(4, 2)
y x
D2 D1
o1
y x2 4x
y x (1,1)
xyd
xyd
xyd
1
0dx
x x
4
x
xydy1 dxx2
xydy55. 8
D
D1
D2
例 3． e y2 d ，其中 D 是由直线 y x ， y1 和 y 轴所围成。
D
解：若先积 y 后积 x，得 e y2 d
1
dx
1
e
y2
的体积。 A( x )
y2(x)
A( x )
y o
a
D
x
y1( x)
bx
x 1( x ) 2( x ) y
一般地， 过 [a,b] 上任一点 x 且平行于yoz平面的平面 ，
与曲顶A(柱 Ax(体x))相交所122(((得xxx)截)f) (面fx(的,xy面),dy积y).d为y 。 1( x)
D
a 1( x)
c 1( y)
二重积分化为二次积分，确定积分限是关键。
其定限方法如下： （1）在 xoy 平面上画出积分区域 D 的图形； （2）若区域 D 为 X 型的，则把 D 投影到 x 轴上，得 投影区间[a,b] ，a 和 b 就是对 x 积分的下限和上限。 x[a,b] ， 过点 x 画一条与 y 轴平行的直线，假如它 与边界曲线交点的纵坐标分别为 y1( x) 和 y2( x) ， 且 2( x)1( x) ，则 1( x) 和 2( x) 就是对 y 积分的下限 和上限。
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a
j(x)
D
b
x= j2(y)
注：若左、右边界曲线中有分段曲线，比如左边界曲线是分段曲线：
x
=
j
(
y)
=
j1 j 2
( y) ( y)
a yc ， c yb
D c
x= j1(y)
x= y(y)
则
f (x, y)d =
c
dy
y (x)
f (x, y)dx
b
dy
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j(x)
DБайду номын сангаас
y
y= y(x)
D
Oa
y= j(x)
bx
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结束
1．将二重积分化为先对y 后对x 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
y
f (x, y)d =
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j(x)
D
注：若上、下边界曲线中有分段曲线，比如下边界曲线是分段曲线：
y
=
j
(x)
=
j1 (x) j 2 (x)
axc， c xb
则
f (x, y)d =
c
dx
1．将二重积分化为先对y 后对x 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
f (x, y)d =
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
y
f (x, y)d =
b
dy
y (x) f (x, y)dx 。
a
j(x)
b
D
x= j(y)
a O
D
x= y(y)
x
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结束
2．将二重积分化为先对x 后对y 的二次积分
y (x)
f (x, y)dy
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j1 ( x)
c
j2 (x)
D
O
y= y(x)
D
y= j1(x)
a
y= j2(x)
c
bx
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结束
2．将二重积分化为先对x 后对y 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
y (x) f (x, y)dx 。
a
j1 ( x)
c
j2 (x)
a
D
O
x
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结束
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
y
f (x, y)d =
b
dy
y (x) f (x, y)dx 。