2018届九年级数学上册第一章特殊平行四边形第3节正方形的性质与判定第2课时教案新版北师大版

(1)求证：四边形 EFGH 是正方形． (2)判断直线 EG 是否经过某一定点，说明理由； (3)求四边形 EFGH 面积的最小值．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA． ∵AE＝DH，∴BE＝AH. 又∵AE＝BF，∴△AEH≌△BFE， ∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF. 同理 FE＝GF＝HG， ∴EH＝FE＝GF＝HG，∴四边形 EFGH 是菱形． ∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°， ∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠FEH＝90°， ∴菱形 EFGH 是正方形．
【点悟】 本题考查了菱形的判定及正方形的判定，解题的关键是熟记各种 四边形的性质和判定．
当堂测评
1．下列命题中，正确的是( D ) A．对角线互相平分且相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是正方形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形
(2)直线 EG 经过正方形 ABCD 的中心，理由如下： 连接 BD 交 EG 于点 O， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠EBD＝∠GDB． ∵AE＝CG， ∴BE＝DG. 又∵∠EOB＝∠GOD， ∴△EOB≌△GOD， ∴BO＝DO，即点 O 为 BD 的中点， ∴直线 EG 经过正方形 ABCD 的中心．
答图
(3)设 AE＝DH＝x，则 AH＝8－x， 在 Rt△AEH 中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋ 32， ∴四边形 EFGH 面积的最小值为 32.
2．已知四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即
可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( D )

以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明。
为ΔABC的中位线， ①若∠BEF=30°，A H D
则∠A= .
②若EF=8cm, E
G
则AHale Waihona Puke =. BFC
核心问题二：中点四边形
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边 形EFGH会有怎样的变化呢？
原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
核心问题一：探索并证明正方形的判定定理
议一议： （1）满足什么条件的矩形是正方形？ （2）满足什么条件的菱形是正方形？
正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形 2.对角线垂直的矩形是正方形 3.有一个角是直角的菱形是正方形 4.有一组邻边相等的矩形是正方形
核心问题一：探索并证明正方形的判定定理
义务教育教科书（北师）九年级数学上册
第一章 特殊平行四边形
1.3正方形的性质与判定（2）
学习目标
1. 掌握正方形的判定定理，能综合运用特殊四边 形的性质和判定解决问题。
2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊 四边形的判定及性质对中点四边形进行判断
情景引入
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角， 打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
2．有一个角是直角的菱形是正方形证明.
布置作业
必做：习题1.8知识技能2、3 选做：问题解决4
梯形
核心问题二：中点四边形
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
正方形的中点四边形是正方形
课堂小结
1.正方形判定方法： 2.中点四边形： 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系.

《正方形的性质与判定》教学设计第2课时一、教学目标1.理解并掌握正方形的判定定理，并会用正方形的判定定理进行证明和计算；2.经历正方形判定定理及中点四边形的探索过程，进一步发展合情推理能力.3.能够用综合法证明正方形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.二、教学重难点重点：理解并掌握正方形的判定定理，会用正方形的判定定理进行证明和计算.难点：探究证明正方形的判定定理，探究并证明中点四边形.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：先提出问题让学生观察，然后再动画演示.问题：观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？预设答案：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.追问：正方形具有哪些性质呢？预设答案：正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等并且互相垂直平分.【想一想】你是如何判断一个四边形是矩形、菱形？预设答案：追问：怎样判定一个四边形是正方形呢？【操作】如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角打开，只要剪口线与折痕成45°角，展开后的图形就是正方形.你知道这样做的道理吗？【合作探究】教师活动：研究正方形的判定方法，准备了两个探究活动，活动1是从矩形的基础上探究，活动2是从菱形的基础上探究，最后得出正方形的4种判定方法.活动1准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.满足怎样条件的矩形是正方形？预设答案：【猜想1】当矩形的一组邻边相等时，会变成一个正方形.【猜想2】当矩形的对角线互相垂直时，会变成一个正方形. 【证明】猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：四边形ABCD 是矩形，AB =BC . 求证：四边形ABCD 是正方形.证明：∵四边形ABCD 是矩形∵∵A =90°，四边形ABCD 是平行四边形 又∵ AB =BC ，∵四边形ABCD 是正方形.猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：四边形ABCD 是矩形，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ∵BD .求证：四边形ABCD 是正方形.证明：∵四边形ABCD 是矩形∵OA =OC =OB =OD ，∵BAD =90°. 又∵ AC ∵BD ，∵∵AOB ∵ ∵AOD （SAS ）. ∵AB = AD .∵四边形ABCD 是正方形.（正方形的定义）.DAB C【归纳】正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∵四边形ABCD是正方形.正方形的判定定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AC∵BD，∵四边形ABCD是正方形.活动 2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.满足怎样条件的菱形是正方形？预设答案：【猜想3】当菱形的有一个角是直角时，会变成一个正方形.【猜想4】当菱形的对角线相等时，会变成一个正方形. 【证明】猜想3：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD 是菱形，∵A =90°. 求证：四边形ABCD 是正方形.证明：∵四边形ABCD 是菱形∵AB =BC ，四边形ABCD 是平行四边形 又∵ ∵A =90°，∵四边形ABCD 是正方形.猜想4：对角线相等的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC =BD .求证：四边形ABCD 是正方形.证明：∵四边形ABCD 是菱形 ∵OA =OC ，OB =OD ，AC ∵BD . 又∵ AC =BD ，∵OA =OC =OB =OD ，∵AOB =∵BOC = ∵COD =∵AOD =90°.∵∵AOB 、∵AOD 、∵BOC 、∵COD 都DAB C是等腰直角三角形.∵∵BAD=90°∵四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.【归纳】正方形的判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.符号语言：∵四边形ABCD是菱形，∵A=90°，∵四边形ABCD是正方形.定理4：对角线相等的菱形是正方形.符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AC=BD，∵四边形ABCD是正方形.【典型例题】思考：任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？预设答案：猜想：正方形你能尝试证明吗？【证明】已知：如图，点A1，B1，C1，D1 分别是正方形ABCD各边的中点.求证：四边形A1B1C1D1 为正方形.证明：连接AC，BD，∵A1，B1分别是AB和BC边中点，∴A1B1∥AC且A1B1=12 AC，同理可证C1D1∥AC且C1D1 =12 AC，A1D1∥BD且A1D1 =12 BD，B1C1∥BD且B1C1 =12 BD.∴四边形A1B1C1D1 为平行四边形.又∵四边形ABCD是正方形，∴AC = BD（正方形的对角线相等）AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），∴A1B1= A1D1 =B1C1= C1D1，∠1 = 90°.∴四边形A1B1C1D1 是菱形，∠2 = 90°.∴四边形A1B1C1D1 为正方形.归纳：以正方形的四边中点为顶点可以组成一个正方形.【议一议】教师活动：做一做环节从任意的四边形和正方形角度探究了中点四边形，议一议主要从矩形和菱形的角度探究，得出猜想并证明，最后得出决定中点四边形的形状的主要因素是:原四边形的对角线的长度和位置关系.问题1：菱形的中点四边形会是什么形状？预设答案：猜想：菱形的中点四边形是矩形.问题2：矩形的中点四边形会是什么形状？预设答案：猜想：矩形的中点四边形是菱形.请尝试证明这两个猜想？【证明】已知：如图，点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为矩形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1 = 90°. ∴四边形PFQO 为矩形.∴∠2=90°.∴四边形EFGH是矩形（矩形的定义）归纳：以菱形的四边中点为顶点可以组成一个矩形.已知：如图，点E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为菱形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC且EF = 12AC，同理可证HG∥AC且HG =12 AC，EH∥BD且EH=12BD，FG∥BD且FG=12BD.∴四边形EFGH为平行四边形.又∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF =EH∴四边形EFGH是菱形（菱形的定义）归纳：以矩形的四边中点为顶点可以组成一个菱形.追问：决定中点四边形形状的关键因素是什么？预设答案：决定中点四边形的形状的主要因素是:原四边形的对角线的长度和位置关系.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应H分别在它的四条边上，且AE= BF = CG = DH. 四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？答案：1.证明: 在正方形ABCD中，BE＝DF，易证∵CEB∵∵AEB∵∵AFD∵∵CFD，即CE＝AE＝AF＝FC，∵四边形AECF是菱形．2. 解：四边形EFGH是正方形.∵在正方形ABCD中，AE=BF=CG=DH，易证∵AEH∵∵DHG∵∵CGF∵∵BFE，即EH＝HG＝GF＝FE，且∵AHE＝∵DGH．∵∵DGH＋∵DHG＝90°，∵∵EHG＝180°－(∵AHE＋∵DHG)＝90°，∵四边形EFGH是正方形.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第25页。

另外，在实践活动和小组讨论中，我发现学生们在应用正方形判定方法解决问题时，还是显得有些吃力。这说明我在教学中需要加强对这部分内容的讲解和练习，让学生在实际操作中更好地掌握判定方法。
此外，我也注意到，在小组讨论环节，学生们表现得积极主动，能够提出自己的观点和想法。但在分享成果时，部分学生表达不够清晰，逻辑性不强。因此，我打算在接下来的课程中，加强学生的表达和逻辑思维能力训练，让他们在分享成果时能够更加自信和清晰。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“1.3正方形的性质与判定”。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过哪些物体的形状是正方形？”（举例说明，如桌面、瓷砖等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正方形的性质与判定的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如正方形性质的推导和判定方法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直角尺和尺子测量正方形的对角线，验证对角线互相垂直平分的性质。