2018届九年级数学上册 第一章特殊平行四边形第2节矩形的性质与判定第2课时教案 北师大版

第一章《特殊平行四边形》《矩形的性质与判定》(第2课时)【教学目标】1.知识与技能（1）.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.（2）.能够用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.2.过程与方法在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。

3.情感态度和价值观体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.【教学重点】矩形的判定【教学难点】矩形的判定及性质的综合应用．【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、复习引入（1）矩形的定义；（2）矩形的特征；（3）矩形的特殊性质；提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是矩形？二、探究新知1.矩形的判定1：定义法（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）制作一个如图所示的平行四边形的活动框架. 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？当 ︒=90α 时，平行四边形为矩形。

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.几何语言：∵四边形ABCD 是平行四边形且∠A=90°∴四边形ABCD 是矩形2.矩形的判定2的探究：对角线相等的平行四边形是矩形活动内容1：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论:对角线相等的平行四边形是矩形.活动内容2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线相等的平行四边形是矩形，你能证明这个命题吗？处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明.证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范.此处可安排学生板演证明过程.定理的证明：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是它的两条对角线，且AC=DB ，证明： 四边形ABCD 是矩形.分析:要证明□ABCD 是矩形,只要证明有一个角是直角即可.证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形∴ AB=DC,AB//DC又∵BC=CB,AC=DB∴ △ABC ≌△DCB∴ ∠ABC=∠DCB∵AB//DC∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠ABC=∠DCB=90°∴平行四边形ABCD 是矩形几何语言：∵在□ABCD 中，AC=BD∴ □ABCD 是矩形3.矩形的判定3的探究：三个角是直角的四边形是矩形活动内容1：一同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？处理方式：学生独立完成作图后可与课本作法进行对比，通过思考作法的正确性，探索得到矩形的另一种判定方法：三个角是直角的四边形是矩形.并对这一判定方法加以证明.已知:如图,在四边形ABCD 中, ∠A=∠B=∠C=90°，求证:四边形ABCD 是矩形.分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°∴AD ∥BC,AB ∥CD.∴四边形ABCD 是平行四边形.∴四边形ABCD 是矩形.几何语言：∵在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°∴ □ABCD 是矩形归纳：矩形的三个判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.三、例题讲解例例1.判断题：（1）有一个角是直角的四边形是矩形。

（ × ）（2）四个角都相等的四边形是矩形。

（ √ ）（3）对角线相等的四边形是矩形。

（ × ）（4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （ √ ）（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。

（√） 例2.下列条件中,不能判定四边形ABCD 为菱形的是（ C ）Ａ. AC ⊥BD ，AC 与BD 互相平分Ｂ. AB=BC=CD=DAＣ. AB=BC ，AD=CD ，且AC ⊥BDＤ. AB=CD ，AD=BC ，AC ⊥BD解析：根据菱形的三个判定可得C 是错误的.例3、如图， ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=5，AC=8，DB=6， 求证:四边形ABCD 是菱形.证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形∴OA=OC=4 OB=OD=3又∵AB=5∴222BO AO AB +=∴∠AOB=90°∴AC ⊥BD又∵ 四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是菱形.四、巩固练习：例1.如图所示，已知□ABCD ，下列条件：①AC=BD ，②AB=AD ，③∠1=∠2，④AB ⊥BC 中，能说明□ABCD是矩形的有_______（填写序号）.解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.答案：① ④例2.如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 边的中点，且MB=MC ，求证：四边形ABCD 是矩形. 分析：要证明平行四边形ABCD 是矩形，则只需验证有一个角是直角或对角线相等即可；根据题意可得△AMB ≌△DMC ，从而有∠A=∠D,再结合AB//CD ，得到∠A=90°，即得证.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB//DC ，AB=DC ，∴∠A+∠D=180°，∵M 是AD 的中点∴AM=MD∵MB=MC∴△AMB ≌△DMC(SSS)∴∠A=∠D∵∠A+∠D=180°∴∠A=90°∴平行四边形ABCD 是矩形.例3. 已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，△AOB 是等边三角形，AB = 4cm ，求这个平行四边形的面积.解：∵ABCD 是平行四边形，∴AC = 2OA ，BD = 2OB 。

２１ＤＣＢA∵OA = OB ，∴AC =BD ，∴ 平行四边形 ABCD 是矩形。

在Rt △ABC 中，∵AB = 4cm ，AC=2AO=8cm ，∴BC=cm 344-822=， 2316344∴cm BC AB S ABCD =×=×=平行四边形.练习：1.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC=BD ，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是（ B ）A.AB=CDB.OA=OC ，OB=ODC.AC ⊥BDD.AB ∥CD ，AD=BC解：A 、由AB=DC ，AC=BD 无法判断四边形ABCD 是矩形．故错误B 、∵OA=OC ，OB=OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形．故正确C 、由AC ⊥BD ，AC=BD 无法判断四边形ABCD 是矩形，故错误．D 、由AB ∥CD ，AC=BD 无法判断四边形ABCD 是矩形，故错误．2.如图，矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点P 从A 开始沿折线A-B-C-D 以4cm/s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （s ），当t= ___5___ 时，四边形APQD 也为矩形． 解：根据题意，当AP=DQ 时，四边形APQD 为矩形．此时，4t=20-t ，解得t=4（s ）．故答案是：4．3.如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为 __2.4____ ．解：连接AP ，∵在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5， A BCD O222∴BC AC AB =+即∠BAC=90°．又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF=AP ，∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即2.4，∴EF 的最小值为2.4.4.如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，AD 为BC 边上的高，过点A 作AE ∥BC ，过点D 作DE ∥AC ，AE与DE 交于点E ，AB 与DE 交于点F ，连结BE ．（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）求四边形AEBD 的面积．分析（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD 是矩形．（2）在Rt △ADC 中，由勾股定理可以求得AD 的长度，由等腰三角形的性质求得BD 的长度，则矩形的面积=长×宽=AD •BD ，即可得出结果．（1）证明：∵AE ∥BC ，BE ∥AC ，∴四边形AEDC 是平行四边形．∴AE=CD ．在△ABC 中，AB=AC ，AD 为BC 边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD ．∴BD=AE ．∴四边形AEBD 是矩形．（2）解：在Rt △ADC 中，∠ADB=90°，AC=5，BD=CD=21BC=3， ∴AD=43-522=．∴四边形AEBD 的面积=BD •AD ═3×4=12．五．拓展提高(1)对角线相等的四边形是矩形吗?(等腰梯形)(2)需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗?归纳：对角线相等且互相平分的四边形是矩形几何语言：∵ AC=BD 且OA=OC OB=OD∴四边形ABCD 是矩形例：已知： 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 上的一点，且AE=BF=CG=DH 。

求证：四边形EFGH 是矩形。

证明： ∵四边形ABCD 是矩形∴ AO=BO=CO=DO又∵ AE=BF=CG=DH∴OE=OF=OG=OH∴四边形EFGH 是平行四边形又∵EO+OG=FO+OH即EG=FH∴四边形EFGH 是矩形六、课堂总结矩形的三个判定方法：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.七、作业布置1.习题2.2：知识技能第1，2两题2.预习第三课时.【板书设计】【教学反思】 本节课可以分为三部分，第一部分是用复习和问题导入新课，复习矩形的性质，学生很容易可以猜想出矩形的判定。

第二部分是合作探究证明矩形的判定。

根据学生的猜想，让学生用矩形的定义来证明矩形的判定。

第三部分是应用和检测。

应用矩形的判定解决问题。