高级高三文科数学中档题训练3

高三文科数学中档题训练（3)1、已知函数.2cos 2)cos (sin )(22-++=x x x x f（1)求函数)(x f 的最小正周期T ；（2）当]43,4[ππ∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值。

2、某中学对其网络服务器开放的4个外网络端口的安全进行监控,以便在发现黑客入侵时及时跟踪锁定。

根据跟踪调查发现，这4个网络端口各自受到黑客入侵的概率为0．1，求：（1）恰有3个网络端口受到黑客入侵的概率是多少?（2）至少有2个网络端口受到黑客入侵的概率是多少？3、已知数列11{},{},2,212,1(0).n n n n n n n n a b a a a a b a b +==+=-≠满足（I ）求证数列1{}nb 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）令1,n n n n C b b S +=为数列{}n C 的前n 项和，求证： 1.n S <高三数学中档题训练（3)答案1、解：（1)1)1cos2(cos sin 21)(2--++=x x x f )42sin(22cos 2sin π+=+=x x x ……………………3分∴函数)(x f 的最小正周期T=π……………………4分(2）∵.434ππ≤≤x ∴474243πππ≤+≤x ……………………6分 ∴22)42sin(1≤+≤-πx ……………………8分 ∴.1)(2≤≤-x f 故)(x f 的最大值为，最小值为－22、解：（1）P C 1433010900036=⨯⨯=...………………6分（2）“至少有2个网络端口被入侵”的对立事件为“没有和有1个网络端口被入侵”，因此P C 24413109010900523=--⨯⨯=(.).(.) (12)分解：（I) .1,1+=∴-=n n n n b a a b又 ()()()11112,1211+++=+∴+=++n n n n n n b b b a a a化简，11++=-n n n n b b b b111,01=-∴≠+n n n b b b ,又111111=-=a b ，nb n b n n 1,1=∴=∴ 11+=∴na n (II ）由题知()11111+-=+=n n n n c n n n c c c s +⋅⋅⋅++=∴21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n =111+-n 〈1。

..Word 资料.高三数学中档题训练1班级 姓名1．集合A=｛1，3，a ｝，B=｛1，a 2｝，问是否存在这样的实数a ，使得B ⊆A ， 且A ∩B=｛1，a ｝？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．2、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

（Ⅰ）求角A 的大小： （Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状。

3. 设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.4.数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++<L .高三数学中档题训练2班级 姓名1.已知函数()116-+=x x f 的定义域为集合A ，函数()()m x x x g ++-=2lg 2的定义域为集合 B. ⑴当m=3时，求()B C A R I ；⑵若{}41<<-=x x B A I ，求实数m 的值.2、设向量(cos ,sin )m θθ=u r ，(22sin ,22cos )n θθ=+-r ，),23(ππθ--∈，若1m n •=u r r ，求：（1）)4sin(πθ+的值； （2）)127cos(πθ+的值．3.在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1（Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ；（Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ．4. 已知ΔOFQ 的面积为2 6 ,且OF FQ m ⋅=u u u r u u u r.(1)设 6 ＜m ＜4 6 ,求向量OF FQ u u u r u u u r与的夹角θ正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图),OF c =u u u r ,m=( 6 4-1)c 2,当OQ u u u r 取得最小值时，求此双曲线的方程.ABCDEF..Word 资料.高三数学中档题训练3班级 姓名1. 已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π2π2，）， 且a ⊥b ． （1）求tan α的值； （2）求cos(π23α+)的值．2、某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s 。

2021年四川省成都市七中高三11月段测三文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U=R ，集合A={x|x ≥12}，集合B={x|x ≤l}，那么=)B ( A C U （ ） A ．{x|x ≤12或x ≥1} B ．{x|x ＜12或x ＞1） C ．{x|12＜x ＜1} D ．{x|12≤x ≤l} 2．命题“0x ∃∈N ，x 02+2x o ≥3”的否定为（ ） A ．0x ∃∈N ，x 02+2x 0 ≤3B ．0x ∀∈N ，x 2+2x ≤3C ．0x ∃∈N ，x 02+2x 0＜3D ．0x ∀∈N ，x 2+2x ＜33．抛物线y=2x 2的焦点坐标是（ ） A ．（0，14） B ．（0，18） C ．（18，0） D ．（14，0）4．已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对于任意的1212,,02,x x R x x 且∈≤<≤都有()()12;f x f x <③函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．()()()7 4.5 6.5f f f << B ．()()()4.57 6.5f f f << C ．()()()7 6.5 4.5f f f <<D ．()()()4.5 6.57f f f <<5．已知正项数列{}n a 为等比数列，且a 4是2a 2与3a 3的等差中项，若a 2=2，则该数列的前5项的和为（ ）A ．3312B ．31C ．314D ．以上都不正确6．已知函数f （x ）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式可能为 （ ）A ．f （x ）=2sin （26x π-）B ．f （x ）2（44x π+） C ．f （x ）=2cos （23x π-） D ．f （x ）=2sin （46x π+） 7．若实数x ，y 满足不等式0{24010x y x y x y +≥+-≤--≤，且x y +的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin A aB c=，（b+c+a ）（b+c-a ）=3bc ，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形9．已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N （点,M N 均在第一象限），当直线1MF 与直线ON 平行时，双曲线的离心率取值为0e ，则0e 所在区间为（ ）A．( B．C．)2 D ．()2,310．设直角△ABC 的三个顶点都在单位圆x 2+ y 2=1上，点M （12，12），则||MA MB MC ++的最大值是（ ）A．12+ D．22+二、填空题 11．函数f （x ）的定义域为 ．12．式子tan20° +tan40°°tan40°的值是____．13．已知向量a ,b 满足2a b ==，且()()22a b a b +⋅-=-，则向量a ,b 的夹角为______.14．已知函数3lg ,2(){3lg(3),2x x f x x x ≥=-<，若函数()y f x k =-无零点，则实数k 的取值范围是 ．15．已知,[0,1]a b ∈，则(,)(1)(1)11a b S a b a b b a=++--++的最小值为 ．三、解答题16．设命题p:|2x -3|＜1;命题q ：lg 2x - （2t+l ）lgx+t （t+l ）≤0， （1）若命题q 所表示不等式的解集为A={x|l0≤x ≤100}，求实数t 的值； （2）若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围．17．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．平面向量m =（cosA ，cosC ），n =（c ，a ），p =（2b ，0），且m ·（n -p ）=0 （1）求角A 的大小；（2）当|x|≤A 时，求函数f （x ）=sinxcosx+sinxsin （x-6π）的值域． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S a n =+，且(1)n n b n a =-． （1）求证：{}1n a -为等比数列； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．已知函数f(x)=ax+blnx+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x−y−2=0．（1）用a表示b，c；（2）若函数g(x)=x−f(x)在x∈(0,1]上的最大值为2，求实数a的取值范围．20．己知椭圆C：2222x ya b+=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线=0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线，与椭圆C 相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程：（2）求OA OB⋅的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．21．已知函数f（x）=lnx-ax+l，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，斜率为k的直线与函数f（x）的图像交于两点A（x 1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax-2＞k（1一2x）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=121x x B A ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧><=121x x x A C U 或)B ( ．故选B ．考点：集合运算：交集、补集． 2．D 【解析】 试题分析：特称命题的否定是将∃改为∀，同时对结论进行否定，所以已知命题的否定是“0x ∀∈N ，x 2+2x ＜3”，故选D ． 考点：特称命题的否定． 3．B 【解析】试题分析：先将抛物线的方程化为标准形式y x 212=，所以焦点坐标为（810，）．故选B ． 考点：求抛物线的焦点． 4．B 【解析】 【分析】由①可知函数f （x ）是周期T=4的周期函数； 由②可得函数f （x ）在[0，2]上单调递增；由③可得函数f （x ）的图象关于直线x=2对称．于是f （4.5）=f （0.5），f （7）=f （3）=f （1），f （6.5）=f （2.5）=f （1.5）．即可得出结果. 【详解】定义在R 上的函数y=f （x ）满足以下三个条件：由①对于任意的x ∈R ，都有f （x+4）=f （x ），可知函数f （x ）是周期T=4的周期函数； ②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f （x 1）＜f （x 2），可得函数f （x ）在[0，2]上单调递增；③函数y=f （x+2）的图象关于y 轴对称，可得函数f （x ）的图象关于直线x=2对称．∴f （4.5）=f （0.5），f （7）=f （3）=f （1），f （6.5）=f （2.5）=f （1.5）．∵f （0.5）＜f （1）＜f （1.5），∴f （4.5）＜f （7）＜f （6.5）．故选：B ． 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题,熟练掌握函数的周期性，单调性，对称性是解题的关键. 5．B 【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由a 4是2a 2与3a 3的等差中项得2a 2+3a 3=2a 4，解得q=2或21-=q ．又因数列各项为正，所以q=2．于是，数列{}n a 是以1为首项2为公比的等比数列，则312121155=--⨯=)(s ．故选B ． 考点：等比数列基本量运算． 6．C 【解析】试题分析：由图像可知，点A 、C 的横坐标的差为π，所以21241T 41=∴=⋅=ωπωππ，，所以排除答案B 、D ．将点B （0，1）的坐标代入答案A 、C 中验证知，选项C 符合题意，故选C ．考点：已知三角函数的部分图像求解析式． 7．C 【详解】试题分析：首先根据约束条件，作出可行域，如下图：可知目标函数z x y =+，可知在点(2,1)M 上取得的最大值，故目标函数z x y =+的最大值为3．考点：简单的线性规划． 【方法点睛】一般地，在解决简单线性规划问题时，如果目标函数z Ax By =+，首先，作直线Ay x B=-，并将其在可行区域内进行平移；当0B >时，直线Ay x B=-在可行域内平移时截距越高，目标函数值越大，截距越低，目标函数值越小；当0B <时，直线Ay x B=-在可行域内平移时截距越低，目标函数值越大，截距越高，目标函数值越小． 8．C 【详解】 由sin sin A aB c=及正弦定理得，a a b c b c =∴=，即三角形ABC 为等腰三角形．又由()()3b c a b c a bc +++-=,得222b c a bc +-=，所以由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==， 又0A π<<，所以3A π=．综上，三角形为等边三角形. 故选：C ． 9．A 【解析】试题分析：由题意得，双曲线的渐近线的方程为by x a=与圆222x y c +=联立，解得(,)M a b ，与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>联立，解得,)N c c ，即22()c a N c c-，直线1MF 与直线ON平行时，即有22b ac =+，即222222()()(2)a c c a a c a +-=-，即32232220c ac a c a +--=，即320002220e e e +--=，设()32222f x x x c =+--，由()()(1)0,0,0,20,30f f f f f <>>>>，所以可得(0e ∈，故选A ．考点：双曲线的标准方程及其简单的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了双曲线离心率的求解和两直线平行的条件及其应用，注重了运算能力和转化的思想方法，属于中档试题，本题的解答 中求出双曲线的渐近线，分别与圆的方程和双曲线的方程联立，求解点,M N 的坐标，再与两直线平行的条件----斜率相等，得到方程，注意结合,,a b c 的关系及离心率的公式，转化为函数的零点问题，从而求解离心率的范围． 10．C 【解析】试题分析：不妨设AC 为直角三角形的斜边，则AC 为圆O 的直径，所以0OC OA =+．设B （x，y），所以||MA MB MC ++-OB OC OM -OC OM -OB OM -OA =++=++=）（）（）（222323）（）（-+-=y x ，则可将其看作是单位圆上点B （x ，y ）与点P （2323，）两点间距离，所以当点B 在PO 的延长线与圆的交点时，两点间的距离最大也即||MA MB MC ++最大，且最大值为1223+=+r PO ．故选C ． 考点：向量模长的最值问题．【方法点睛】本题综合性较强，难以找到突破口，所以根据向量特点尽可能的将向量转化到已知向量（或基底）上来．题目中的定点是O 、M ，所以运用向量运算得到||MA MB MC ++=，这时将所求化为只有一个变量（即点B ）．设点B （x ，y ），得到||MA MB MC ++222323）（）（-+-=y x ，然后考查几何意义即可圆外点P （2323，）与圆上点B 两点间的距离问题，从而求出最值．应注意，如何将复杂问题转化为简单问题，难的化为容易的，感受化归思想是数学的灵魂．11．(]0,10 【解析】试题分析：要使函数有意义需有01≥-x lg ，解得100≤<x ，所以函数的定义域为(]0,10． 考点：求函数的定义域．12【解析】试题分析：因为︒︒-︒+︒=︒+︒=︒402014020402060tan tan tan tan )tan(tan ，所以)tan tan (tan tan ︒︒-=︒+︒4020134020，则tan20° +tan40°°tan40°3=．考点：两角和的正切公式的灵活运用． 13．3π 【分析】由()()22a b a b +⋅-=-得2a b ，再根据平面向量的夹角公式可得结果.【详解】由()()22a b a b +⋅-=-，得2222a a b b +⋅-=-， 所以482a b +⋅-=-，即2a b ，所以21cos ,222||||a b a b a b ⋅<>===⨯，又因为,[0,]a b π<>∈，所以,3a b π<>=.故答案为：3π. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律，考查了平面向量的夹角公式，属于基础题. 14．3lg 2k < 【解析】试题分析：∵函数3lg ,2(){3lg(3),2x x f x x x ≥=-<，故函数()f x 在32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上是增函数，在32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，上是减函数．故当32x =时，()f x 有最小值为3lg 2．由题意可得，函数()f x 的图象与直线y k =无交点，∴3lg2k <．故实数k 的取值范围是3lg 2k <． 考点：1．函数零点；2．函数的单调性．【思路点睛】本题考查函数零点的定义，函数的单调性以及最小值，体现了转化的数学思想，利用函数()f x 的单调性求出函数的最小值，由题意可得，函数()f x 的图象与直线y k =无交点，故只要k 小于()f x 的最小值即可．15【解析】 试题分析：,[0,1]a b ∈，()()()()()2211(,)(1)(1)1111111ab ab a b a b a b S a b a b b a a b a b -+++∴=++--==-++++++，令()()()1,11ab ab T x a b -==++()11ab ab T a b ab-=+++1ab ab -≤()()22211x x x -=+()211x x x -=+，令()f x ()[]21,0,11x x x x -=∈+，可得()()()[]2221',0,11x x x f x x x -+-=∈+，所以()f x 在⎡⎢⎣⎭上单调递增，在⎤⎥⎝⎦上单调递增减；所以()max f x f ==⎝⎭(,)S a b 得最小值为()max 11f x -==． 考点：基本不等式；2．导数在函数单调性中的应用．【思路点睛】首先对(,)S a b 化简，可得()()()1(,)111ab ab S a b a b -=-++，令()()()1,11ab ab T x a b -==++()11ab ab T a b ab-=+++1ab ab -≤()()22211x x x -=+()211x x x -=+，再构造辅助函数()f x ()[]21,0,11x x x x -=∈+，将原问题转化为求函数()f x 在区间[]0,1x ∈的最大值，利用导数求出函数()f x 在区间[]0,1x ∈上的单调性，进而可求出函数()f x 在区间[]0,1x ∈的最大值，即可求出(,)S a b 的最小值．16．（1）1t =；（2）lg 210t -≤≤． 【解析】试题分析：（1）利用换元思想解含有对数的方程，得lg 1t x t ≤≤+，从而求出x 的范围11010+≤≤t t x ．又由已知得10010101==+t t ,10，从而求出t 的值；（2）由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，然后求出对应不等式的解集并利用集合的观点理解充分性、必要性问题，从而得到t 的不等式，进而求解． 试题解析：（1）:q ()()lg lg 10x t x t --+≤⎡⎤⎣⎦，∴lg 1t x t ≤≤+ 解集为{}10100x x A =≤≤，∴1t =（2）设命题p 表示的集合为{}12x x M =<<，设命题q 表示的集合为{}11010t t x x +N =≤≤，由已知，p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件，∴N M ≠⊂∴1101102tt +⎧≤⎪⎨≥⎪⎩⇒lg 210t -≤≤ 考点：①解含对数的不等式；②由充分性、必要性求参数范围． 17．（1）3πA =；（2）⎣⎦．【解析】试题分析：（1）由条件m ·（n -p ）=0得，()2cos cosC 0c b a -A +=，然后运用正弦定理进行边化角，得1cos 2A =，从而求解；（2）由（1）得33x ππ-≤≤，然后利用倍角公式及辅助角公式将函数解析式化为1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后求出值域即可． 试题解析：（1）因为m ·（n -p ）=0，所以()()()()cos ,cosC 2,2cos cosC 0m n p c b a c b a ⋅-=A ⋅-=-A+= 所以()sinC 2sin cos sin cosC 0-B A+A =，即2sin cos sin 0-B A+B =sin 0B ≠，∴1cos 2A =⇒3πA =（2）函数解析式可化为()21sin cos sin sin sin cos 622f x x x x x x x x π⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭11cos 211sin 2sin 2cos 2sin 2422444423x x x x x π-⎛⎫=+⋅=+-=+- ⎪⎝⎭x ≤A ，3πA =，∴33x ππ-≤≤⇒233x πππ-≤-≤1sin 232x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭⇒21sin 244232x π⎛⎫≤+-≤⎪⎝⎭∴函数()f x 的值域为⎣⎦ 考点：①正弦定理的应用；②三角函数求值域．18．（1）详见解析；（2）1(1)22n n T n +=-+【解析】试题分析：（1）2n n S a n =+，得：1121n n S a n ++=++，可得111221n n n n n a S S a a +++=-=-+，化简可得121n n a a +=-，整理可得112(1)n n a a +-=-，即可证明结论．（2）由（1）得12n n a =-，即•2n n b n =然后再利用错位相减即可求出结果．试题解析：（1）2n n S a n =+，得：1121n n S a n ++=++，∴111221n n n n n a S S a a +++=-=-+，即121n n a a +=-， ∴112(1)n n a a +-=-，∴{}1n a -是以-2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）得11222n n n a --=-⨯=-，即21nn a =-+， ∴2nn b n =⋅ ∴1212222n n T n =⋅+⋅++⋅① 231212222n n T n +=⋅+⋅++⋅②①- ②得：21112(21)22222(1)2221n n n n n n T n n n +++--=+++-⋅=-⋅=---∴1(1)22n n T n +=-+．考点：1．数列的递推公式；2．错位相减．【方法点睛】针对数列{}n n a b ⋅（其中数列{}{},n n a b 分别是等差数列和等比数列（公比1q ≠）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1．112233...n n n S a b a b a b a b =++++…①；2．等式112233...n n n S a b a b a b a b =++++两边同时乘以等比数列{}n b 的公比，得到112233...n n n qS a b q a b q a b q a b q =++++…②；3．最后①-②，化简即可求出结果．19．（1）b =a +1，c =−a −1；（2）[1,+∞)． 【解析】试题分析：（1）求导可得，f ′(x)=−a x2+bx (a >0)，由题意，f ′(1)=1，得b =a +1，又切点(1,a +c)在直线x −y −2=0上，得1−(a +c)−2=0，可得：c =−a −1．（2）由（1）得g(x)=x −ax −(a +1)lnx +a +1，得g ′(x)=(x−1)(x−a)x 2，令g ′(x)=0，得x =1或x =a ，然后再对a ≥1，0<a <1和0<x <a分类讨论，即可求出结果．试题解析：（1）f ′(x)=−ax 2+bx (a >0)，由题意，f ′(1)=1，得−a +b =1，∴b =a +1，又切点(1,a +c)在直线x −y −2=0上，得1−(a +c)−2=0， 解得：c =−a −1．（2）g(x)=x −ax−blnx −c =x −ax−(a +1)lnx +a +1，∴g ′(x)=1+a x2−a+1x=x 2−(a+1)x+ax 2=(x−1)(x−a)x 2，令g ′(x)=0，得x =1或x =aⅰ）当a ≥1时，由0<x ≤1知，g ′(x)≥0 ∴g(x)在(0,1]上单调递增， ∴g(x)max =g(1)=2， 于是a ≥1符合条件． ⅱ）当0<a <1时，当0<x <a 时，g ′(x)>0；a <x <1时，g ′(x)<0 ∴g(x)在(0,a)上单增，在(a,1)上单减， g(x)max =g(a)>g(1)=2与题意矛盾， ∴0<a <1不符合题意．综上，实数a 的取值范围是[1,+∞)．考点：1．导数的几何意义；2．利用导数研究函数的单调性．20．（1）22143x y +=；（2）134,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；（3）()1,0．【解析】试题分析：（1）由椭圆性质离心率得2243a b =，由直线与圆相切得到b =圆方程；（2）设出直线方程并代入椭圆方程得到关于x 的一元二次方程()2222433264120kx k x k +-+-=，并设出点A 、B 的坐标，利用韦达定理得出12122872543x x y y k OA ⋅OB =+=-+，然后利用判别式大于零求出k 的范围，最后函数求值域即可；（3）直线恒过定点问题，常求出直线方程，令参数的系数等于零即可求解．试题解析：（1）由题意知12c e a ==，∴22222214c a b e a a -===，即2243a b =．又b ==∴24a =，23b =． 故椭圆的方程为22143x y += （2）解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =-由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得，()2222433264120k x k x k +-+-=由()()()22223244364120kk k ∆=--+->得，214k <设()11,x y A ，()22,x y B ，则21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+ ①∴()()()2221212121244416y y k x k x k x x k x x k =--=-++∴()22222121222264123287141625434343k k x x y y k k k k k k -OA⋅OB =+=+⋅-⋅+=-+++2104k ≤<，∴28787873434k -≤-<-+，∴134,4⎡⎫OA ⋅OB ∈-⎪⎢⎣⎭∴OA ⋅OB 的取值范围是134,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． （3）证：B 、E 两点关于x 轴对称，∴()22,x y E -直线AE 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =得：()112112y x x x x y y -=-+又()114y k x =-，()224y k x =-，∴()121212248x x x x x x x -+=+-由将①代入得：1x =，∴直线AE 与x 轴交于定点()1,0．考点：①求椭圆方程；②向量与椭圆的综合应用；③直线恒过定点问题．【方法点睛】直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于x （或y ）的一元二次方程，设出交点坐标A （11y x ,）、B （22y x ,），利用韦达定理得出坐标的关系，同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解．如本题()22222121222264123287141625434343k k x x y y k k k k k k -OA⋅OB =+=+⋅-⋅+=-+++，然后求值域即可．注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用．21．（1）当0a <时()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）证明过程详见解析；（3）不存在满足条件的整数k ，证明过程详见解析． 【解析】试题分析：（1）先求定义域，再求导数，然后由导数大于零、小于零分别求解，并总结结论即可．但注意导函数含有参数a ，所以注意讨论；（2）由点A 、B 的坐标表示出直线的斜率21221121212121ln ln ln ln 1y y x x x x x x k x x x x x x ---+-===----，并化简所要证明的结论，即等价于证明21221211ln x x x x x x x x --<<，然后构造函数法证明不等式；（3）由不等式恒成立求参数问题，常转化为最值问题求解．本题转化为()()ln 120g x x x kx k =--+>，1x >，即求解．试题解析：（1）()1f x a x'=-，0x >， ∴当0a <时，()0f x '>，即()f x 在()0,+∞上是增函数．当0a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数．∴综上所述，当0a <时()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）当1a =时，()ln 1f x x x =-+，∴21221121212121ln ln ln ln 1y y x x x x x x k x x x x x x ---+-===----，∴2121ln ln 1x x k x x -+=-．要证1211x x k <<+，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-， 因为210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<， 令21x t x =（1t >），即证11ln 1t t t-<<-（1t >）．令()ln 1k t t t =-+（1t >），由（1）知，()k t 在()1,+∞上单调递减，∴()()10k t k <=，即ln 10t t -+<， ∴ln 1t t <-． ①令()1ln 1h t t t =+-（1t >），则()221110t h t t t t'-=-=>， ∴()h t 在()1,+∞上单调递增，∴()()10h t h >=，即1ln 1t t>-（1t >）． ②综①②得11ln 1t t t -<<-（1t >），即1211x x k <<+． （3）由已知()221f x ax k x ⎛⎫+->-⎪⎝⎭，即为()()ln 12x x k x ->-，1x >， 即()ln 120x x kx k --+>，1x >．令()()ln 12g x x x kx k =--+，1x >，则()ln g x x k ='-． 当0k ≤时，()0g x '>，故()g x 在()1,+∞上是增函数， 由()11210g k k k =--+=->，则1k >，矛盾，舍去．当0k >时，由ln 0x k ->解得k x e >，由ln 0x k -<解得1k x e <<，故()g x 在()1,ke上是减函数，在(),ke +∞上是增函数，∴()()min 2k k g x g e k e ==-．即讨论()min 20kg x k e =->（0k >）恒成立，求k 的最小值．令()2th t t e =-，则()2th t e '=-，当20t e ->，即ln 2t <时，()h t 单调递增， 当20t e -<，即ln 2t >时，()h t 单调递减，∴ln 2t =时，()()max ln 22ln 22h t h ==-．1ln 22<<， ∴02ln 222<-<．又()120h e =-<，()2240h e =-<，∴不存在整数k 使20k k e ->成立．综上所述，不存在满足条件的整数k ．考点：①求含参数的函数的单调区间；②证明不等式；③由不等式恒成立求参数范围（或值）． 【方法点睛】对于含双变量的不等式证明问题，题目中变量（）之间的关系，一般选取为主元，将，，，，建立关于t 的函数，用函数思想建立数量关系，利用导数这个重要工具去研究．本题：要证1211x x k <<+，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-， 因为210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<，令21x t x =（1t >），即证11ln 1t t t-<<-（1t >），从而将问题转化为关于t 的不等式证明．应在实践中应用并体会这种思想、方法．。

中档大题保分练(1) (推荐时间：50分钟)1．已知函数f(x)＝32sin 2x－12(cos2x－sin2x)－1，x∈R，将函数f(x)向左平移π6个单位后得到函数g(x)，设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若c＝7，f(C)＝0，sin B＝3sin A，求a和b的值；(2)若g(B)＝0且m＝(cos A，cos B)，n＝(1，sin A－cos A tan B)，求m·n的取值范围．2．某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株．现用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(1)求x(2)如果杉树的树干周长超过60 cm就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？(3)树干周长在30 cm到40 cm之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．3．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求三棱锥E－SBC的高．4．已知n∈N*，数列{d n}满足d n＝3＋(－1)n2，数列{a n}满足a n＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n；又知数列{b n}中，b1＝2，且对任意正整数m，n，b m n＝b n m.(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；(2)将数列{b n}中的第a1项，第a2项，第a3项，……，第a n项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，求数列{c n}的前2 013项和．1.解 (1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1 g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6－1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1 由f (C )＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6＝1. ∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.由sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a .由余弦定理得(7)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3.∴7＝a 2＋9a 2－3a 2，∴a ＝1，b ＝3. (2)由g (B )＝0得sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝1， ∵0<B <π，∴π6<2B ＋π6<136π，∴2B ＋π6＝π2，∴B ＝π6.∴m ·n ＝cos A ＋cos B (sin A －cos A tan B )＝cos A ＋sin A cos B －cos A sin B＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵A ＋C ＝5π6，∴0<A <5π6，∴π6<A ＋π6<π，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1. ∴m ·n 的取值范围是(0,1]．2. 解 (1)按分层抽样方法随机抽取100株，可得槐树为40株，杉树为60株，∴x ＝60－6－19－21＝14，y ＝40－4－20－6＝10. 估计槐树树干周长的众数为45 cm. (2)1460×600＝140， 估计该片园林可以砍伐的杉树有140株．(3)设4株树为B 1，B 2，B 3，D ，设D 为有虫害的那株，基本事件为(D )，(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )，(B 1，B 2，D )，(B 1，B 3，D )，(B 2，B 1，D )，(B 2，B 3，D )，(B 3，B 1，D )，(B 3，B 2，D )，(B 1，B 2，B 3)，(B 1，B 3，B 2)，(B 2，B 1，B 3)，(B 2，B 3，B 1)，(B 3，B 1，B 2)，(B 3，B 2，B 1)共16种，设事件A ：排查的树木恰好为2株，事件A 包含(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )3种， ∴P (A )＝316.3.(1)证明 ∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ， SE ⊥AD ， ∴SE ⊥平面ABCD .∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE .∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3，∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°.∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE . 结合SE ∩CE ＝E ，得BE ⊥平面SEC . ∵BE ⊂平面SBE ，∴平面SBE ⊥平面SEC . (2)解 如图，作EF ⊥BC 于F ，连接SF . 由BC ⊥SE ，SE 和EF 相交， 得BC ⊥平面SEF .由BC 在平面SBC 内，得平面SEF ⊥平面SBC . 过E 作EG ⊥SF 于点G ， 则EG ⊥平面SBC ，即线段EG 的长即为三棱锥E －SBC 的高． 由SE ＝1，BE ＝2，CE ＝23得BC ＝4，EF ＝3， 所以SF ＝2.在Rt △SEF 中，EG ＝SE ·EF SF ＝32，所以三棱锥E －SBC 的高为32. 4.解 方法一 (1)∵d n ＝3＋(－1)n2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n . ＝3×2n2＝3n . 又由题知：令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n. 若b n ＝2n ，则b m n ＝2nm ，b n m ＝2mn ， ∴b m n ＝b n m 恒成立．若b n ≠2n ，当m ＝1，b m n ＝b n m 不成立，∴b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b 1＝1，b 2＝4，公比均是8， T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012) ＝2×(1－81 007)1－8＋4×(1－81 006)1－8＝20×81 006－67.方法二 (1)a n ＝d 1＋d 2＋…＋d 2n ＝32×2n ＝3n .由b m n ＝b nm 及b 1＝2>0知b n >0，对b m n ＝b n m 两边取对数得，m lg b n ＝n lg b m ，令m ＝1，得lg b n ＝n lg b 1＝n lg 2＝lg 2n ， ∴b n ＝2n .(2)T 2 013＝c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝b 1＋b 2＋b 4＋b 5＋b 7＋b 8＋…＋b 3 018＋b 3 019 ＝(b 1＋b 2＋…＋b 3 019)－(b 3＋b 6＋…＋b 3 018) ＝2(1－23 019)1－2－8(1－81 006)1－23＝20×81 006－67.中档大题保分练(2)(推荐时间：50分钟)1． 已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3A cos x ，A2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域．2． 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．3． 如图1，在等腰△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，现将△ACD 沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .(如图2)(1)求证：AB ∥平面DEF ； (2)求证：BD ⊥AC ；(3)设三棱锥A －BCD 的体积为V 1，多面体ABFED 的体积为V 2，求V 1∶V 2的值．4． 已知数列{a n }是一个公差大于零的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2b n －2.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求T n .1.解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A ⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A >0，由题意知A ＝6.(2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象． 因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24， 所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 故g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 2.解 (1)共包含12个基本事件．Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y ， 则A ＝{(0,0)，(2,1)}，含2个基本事件， 则P (A )＝212＝16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角， 可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则P (B )＝S B S Ω＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13.3.(1)证明 在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF ∥AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)证明 ∵平面ACD ⊥平面BCD ， 平面ACD ∩平面BCD ＝CD ， AD ⊥CD ，且AD ⊂平面ACD ， ∴AD ⊥平面BCD .又BD ⊂平面BCD ， ∴AD ⊥BD .又∵CD ⊥BD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴BD ⊥平面ACD .又AC ⊂平面ACD ，∴BD ⊥AC . (3)解 由(2)可知AD ⊥平面BCD ， ∴AD 是三棱锥A －BCD 的高， ∴V 1＝13·AD ·S △BCD ，又∵E ，F 分别是AC ，BC 边的中点，∴三棱锥E －CDF 的高是三棱锥A －BCD 高的一半， 三棱锥E －CDF 的底面积是三棱锥A －BCD 底面积的一半， ∴三棱锥E －CDF 的体积V E －CDF ＝14V 1，∴V 2＝V 1－V E －CDF ＝V 1－14V 1＝34V 1，∴V 1∶V 2＝4∶3.4.解 (1)依题意，设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55 ①2a 1＋7d ＝16 ②将②代入①得(16－3d )(16＋3d )＝220， 即d 2＝4，∵d >0，∴d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1， 当n ＝1时，S 1＝2b 1－2，b 1＝2， 当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(2b n －2)－(2b n －1－2) ＝2b n －2b n －1， ∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．即b n ＝2n . (2)c n ＝a n b n ＝2n －12n ， T n ＝12＋322＋…＋2n －12n12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1 ∴③－④得，12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1 ∴T n ＝3－2n ＋32n .中档大题保分练(3)(推荐时间：50分钟)1． 已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)．(1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8的取值范围． 2． 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0(n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.3．某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？(3)已知y≥96，z≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．4．如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F 分别为AD，BP的中点，AD＝3，AP＝5，PC＝27.(1)求证：EF∥平面PDC；(2)若∠CDP＝90°，求证：BE⊥DP；(3)若∠CDP＝120°，求该多面体的体积．1.解(1)由m∥n，可得3sin x＝－cos x，于是tan x＝－13，∴sin x＋cos x3sin x－2cos x＝tan x＋13tan x－2＝－13＋13×⎝⎛⎭⎫－13－2＝－29.(2)在△ABC中，A＋B＝π－C，于是sin(A＋B)＝sin C，由正弦定理知：3sin C＝2sin A sin C，∵sin C≠0，∴sin A＝32.又△ABC为锐角三角形，∴A＝π3，于是π6<B<π2.∵f(x)＝(m＋n)·m ＝(sin x＋cos x,2)·(sin x，－1)＝sin2x＋sin x cos x－2 ＝1－cos 2x2＋12sin 2x－2 ＝22sin⎝⎛⎭⎫2x－π4－32，∴f⎝⎛⎭⎫B＋π8＝22sin⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫B＋π8－π4－32＝22sin 2B－32. 由π6<B<π2得π3<2B<π，∴0<sin 2B≤1，－32<22sin 2B－32≤22－32，即f⎝⎛⎭⎫B＋π8∈⎝⎛⎦⎤－32，22－32.2. 解 (1)∵a n ＝3n －1(n ∈N *)，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9， 在等差数列{b n }中，∵b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5. 又∵a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列， 设等差数列{b n }的公差为d ，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2， ∵b n >0(n ∈N *)，∴舍去d ＝－10，取d ＝2，∴b 1＝3， ∴b n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)知，T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1， ① 3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)·3n ，②①－②得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n＝3＋2×3－3n 1－3－(2n ＋1)3n ＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n ， ∴T n ＝n ·3n .3.解 (1)由x900＝0.16，解得x ＝144.(2)第三批次的人数为y ＋z ＝900－(196＋204＋144＋156)＝200， 设应在第三批次中抽取m 名，则m 200＝54900，解得m ＝12，所以应在第三批次中抽取12名．(3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(y ，z )．由(2)知y ＋z ＝200(y ，z ∈N *，y ≥96，z ≥96)，则基本事件总数有：(96,104)，(97,103)，(98,102)，(99,101)，(100,100)，(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共9个；而事件A 包含的基本事件有(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)共4个． 所以，所求概率为P (A )＝49.4.(1)证明 取PC 的中点为O ，连接FO ，DO . 因为F ，O 分别为BP ，PC 的中点， 所以FO ∥BC ，且FO ＝12BC .又四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点， 所以ED ∥BC ，且ED ＝12BC ，所以FO ∥ED ，且FO ＝ED ，所以四边形EFOD 是平行四边形，所以EF ∥DO . 又EF ⊄平面PDC ，DO ⊂平面PDC ， 所以EF ∥平面PDC .(2)解 若∠CDP ＝90°，则PD ⊥DC ， 又AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥DP ， 又∵DC ∩AD ＝D ，所以DP ⊥平面ABCD 因为BE ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥DP . (3)解 连接AC ，由ABCD 为平行四边形可知△ABC 与△ADC 面积相等， 所以三棱锥P －ADC 与三棱锥P －ABC 体积相等， 即五面体的体积为三棱锥P －ADC 体积的2倍． 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥DP ， 由AD ＝3，AP ＝5，可得DP ＝4.又∠CDP ＝120°，PC ＝27，由余弦定理得DC ＝2，所以三棱锥P －ADC 的体积V P －ADC ＝V A －CDP ＝13×12×2×4×sin 120°×3＝23，所以该五面体的体积为4 3.。